【全国百强校】北京市清华大学附属中学2019届高三11月学术能力诊断数学(理)试题

中学生标准学术能力诊断性测试2019 年9月测试理科综合试卷本试卷共300 分，考试时间150 分钟。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Mn—55 C a—40一、选择题：本题共13 小题，每小题6分，共78 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列不能为生物界具有统一性提供证据的是：A．所有生物合成蛋白质的场所都相同且共用一套密码子B．所有生物都以具有特定核苷酸序列的核酸携带遗传信息 C．所有生物都以A TP 和A DP的相互转化机制作为能量供应机制 D．所有生物都以有丝分裂或者无丝分裂的方式实现细胞增殖2．狂犬病病毒是一种嗜神经病毒，可由神经-肌肉接点处入侵神经细胞，过程如图所示。

目前疫苗接种是预防和控制狂犬病发病最有效的措施。

狂犬疫苗是将狂犬病毒接种在地鼠肾细胞培养后，收获病毒液，经灭活纯化而成。

下列选项中正确的是：A．神经细胞被狂犬病病毒感染后往往会引起细胞坏死B．吞噬细胞吞噬消化侵入人体的部分病毒，此过程属于人体的第三道防线 C．狂犬病病毒被胞吞进入突触小体并沿着轴突逆行，与神经冲动传导的方向相反D．人被咬伤后可注射狂犬疫苗，以刺激浆细胞产生抗体直接消灭病毒3．最新研究发现外源环磷酸鸟苷 (c G M P)可调控大蒜根尖细胞有丝分裂，实验结果如表所示，据表分析正确的是：A．在显微镜视野中排列紧密呈长方形的细胞属于根尖分生区细胞B．据表可知不同浓度c GMP 溶液可抑制细胞分裂还可抑制染色体畸变 C．剪取根尖2～3cm，进行解离、漂洗、染色、制片后可在显微镜下观察细胞D．若每个根尖装片约统计600 个细胞，这样每种c GMP 浓度下应保证统计7个根尖装片以降低实验误差4．2019 年获诺贝尔生理医学奖的科学家揭示了生物钟的分子控制机制。

他们研究发现，果蝇中的per i od基因有活性时转录并翻译出 PER 蛋A．生物节律是指生命活动以24 小时左右为周期的变动，其控制中枢在大脑皮层B．机体对生物节律的控制存在负反馈调节机制C．PER 和T IM 通过核孔进入细胞核，核孔对大分子的进出具有选择性D．控制T IM 合成的t imless 基因突变后，个体将可能无法感知外界环境的昼夜周期变化5．江苏太湖水体富营养化非常严重，蓝藻疯长。

2018-2019学年北京市清华附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足（1﹣i）2+z（1﹣i）+i＝0，则z＝（）A．B．C．D．2．已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|≤2x≤8}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3]B．（0，3]C．[﹣1，4）D．（0，4）3．将420名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005．这420名工人来自三个工厂，从001到200为A工厂，从201到355为B工厂，从356到420为C 工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（（）A．28，23，9B．27，23，10C．27，22，11D．28，22，104．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝3，若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前5项之和为（）A．﹣23B．﹣25C．﹣43D．﹣455．设曲线y＝ax2﹣blnx在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣2，则ab的值分别为（）A．2，1B．﹣2，﹣1C．3，1D．﹣3，﹣16．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，若2＝，则＝（）A．B．C．D．7．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2A．9B．9C．18D．278．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝，且|AF|＞|BF|，则＝（）A．3B．C．2D．49．若实数x ，y 满足，则x 2+（y ﹣）2的取值范围是（（ ）A ．[1，2]B ．[]C ．[]D ．[1，]10．在[﹣4，4]上随机地取一个数m ，则事件“直线x ﹣y +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝2有公共点”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知P 为双曲线C ：＝1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，A 为其左顶点，F （4，0）为其右焦点，满足|AF |＝|PF |，∠PFA ＝60°，则点F 到PA 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在三棱锥A ﹣BCD 中，BC ＝BD ＝AC ＝AD ＝10，AB ＝6，CD ＝16，点P 在平面ACD 内，且BP ＝，设异面直线BP 与CD 所成角为α，则sin α的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试语文试卷一、现代文阅读论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下列小题。

《诗经》研究领域存在一些长期未能解决的学术悬案，这些公案直接关涉诗经学的根基，但传世文献本身已无力解决，若想有所推进，唯有把眼光转向出土文献。

?孔子删诗说?首见于司马迁《史记孔子世家》，称?古者《诗》三千余篇，及至孔子，去其重?，为?三百五篇?。

但是到了唐代，孔颖达编纂《诗经正义》时，开始对该学说提出质疑，其核心理由是?书传所引之诗，见在者多，亡逸者少，则孔子所录，不容十分去九?。

此后，不承认孔子删诗活动者代不乏人，并陆续增加了诸如?诗三百?之名由来已久、孔子八岁时吴公子季札所观周乐演奏顺序已与今本《诗经》篇序相近、布衣孔子不得代表官方删诗、孔子本人仅自称?乐正?而未曾言过?删诗?、孔子若删诗则不可能留存?淫诗?等新的理由。

肯定?删诗说? 者则又对新的否定理由逐一驳难。

但遗憾的是，对孔颖达的核心理由，始终无力颠覆，因为《国语》《左传》称引赋诵诗篇确实多见于今本《诗经》而少?逸诗?。

有学者又变换思路，以刘向校理《管子》《荀子》等十去其九之例，类推孔子编订《诗经》十去其九的可能性，以回护?删诗说?，可惜也仅是间接推测而非实证。

2012 年清华简第三册《周公之琴舞》公布，为肯定?孔子删诗说?提供了经典实证。

该组诗以周公还政、成王嗣位为内容，存诗两组，周公儆毖成王一组仅余前半首 4 句，成王自儆诗存完诗 9 首，每首 8 句。

这 9 首半诗确为《诗经》?逸诗?无疑，因为第 1 首就是今本《诗经周颂》中的《敬之》篇，而从第 1 首到第 9 首诗连续用音乐依次标识?元纳启曰?至?九启曰?，是一个有机整体。

既然第 1 首是《诗经》作品，后 8 首也必然是删除之前的《诗经》作品。

由两组诗前小序明言各为 9 章乐曲可知，该组竹简一次性贡献了 8 首?逸诗?文本和 9 首?逸诗?数目，可谓?逸诗?大宗，只是周公的 9 首作品仅保存前半首而已。

2019年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|0}x x x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 23 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可． 【详解】由3222x >=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜， 所以312a +=，解得21=a ．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【解析】解：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n≥3，n∈N *）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A. 12B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出2c a =，然后求得离心率21==a c e 即可. 【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.4.已知函数f （x ）=21111log x x x x≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（ ） A. (],2-∞B. (],0(1-∞⋃，2]C. []0,2D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦ 【答案】D【解析】【分析】对x 讨论，当x 1≥时，当1x <时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．【详解】解：当x 1≥时，()1f x ≤，即为： 2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0． 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 233π- B. 133π- C. 81633π- D. 8833π- 【答案】D【解析】【分析】 根据三视图可知该几何体是14球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出14球与三棱锥的体积，从而可得结果． 【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a nD. 2)1(+=n n a n 【答案】D【解析】【分析】令m=1得11n n a a n +-=+，再利用累加法求数列{}n a 的通项公式.【详解】令m=1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( )A. 212B. 84C. 3D. 21【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。

2018-2019学年北京市清华附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足（1﹣i）2+z（1﹣i）+i＝0，则z＝（）A．B．C．D．2．已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|≤2x≤8}，则A∩B＝（）A．[﹣1，3]B．（0，3]C．[﹣1，4）D．（0，4）3．将420名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005．这420名工人来自三个工厂，从001到200为A工厂，从201到355为B工厂，从356到420为C工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（（）A．28，23，9B．27，23，10C．27，22，11D．28，22，104．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝3，若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前5项之和为（）A．﹣23B．﹣25C．﹣43D．﹣455．设曲线y＝ax2﹣blnx在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣2，则ab的值分别为（）A．2，1B．﹣2，﹣1C．3，1D．﹣3，﹣16．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，若2＝，则＝（）A．B．C．D．7．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2A．9B．9C．18D．278．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝，且|AF|＞|BF|，则＝（）A．3B．C．2D．49．若实数x，y满足，则x2+（y﹣）2的取值范围是（（）A．[1，2]B．[]C．[]D．[1，]10．在[﹣4，4]上随机地取一个数m，则事件“直线x﹣y+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有公共点”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知P为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，则点F到PA的距离为（）A．B．C．D．12．在三棱锥A﹣BCD中，BC＝BD＝AC＝AD＝10，AB＝6，CD＝16，点P在平面ACD内，且BP＝，设异面直线BP与CD所成角为α，则sinα的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试物理试卷(一卷)本试卷共300分，考试时间150分钟。

二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.如右图所示，ABC 是半径为R的半圆弧，AC 是水平直径，半圆弧与地面相切于B 点，从A 点水平向右抛出一个可视为质点的小球，小球运动的轨迹与圆弧相交于D 点，C 、D 间的距离正好等于圆弧半径R ，重力加速度g ＝10m/s 2，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为A.2m/sB.3m/sC.4m/sD.5m/s15.如右图所示，在地面上固定的两根竖直杆a 、b 之间搭建两个斜面1、2，己知斜面1与a 杆的夹角为600，斜面2与a 杆的夹角为300。

现将一小物块先后从斜面1、2的顶端(a 杆处)由静止释放，两次到达斜面底端(b 杆处)所用时间相等，若小物块与斜面1、2之间的动摩擦因数分别为µ1和µ2，则12µµ等于A.2B.3C.12D.1316.北京时间2019年4月10日21时，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片，如图所示。

黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大，体积极小的天体，它的引力很大，连光都无法逃脱。

若某黑洞表面的物体速度达到光速c 时。

恰好围绕其表面做匀速圆周运动，己知该黑洞的半径为R ，引力常量为G ，则可推测这个黑洞的密度为A.2234c GR πB.2243c GR πC.34cR G πD.43cR Gπ 17.如图所示电路中，电源内阻及线圈L 1的电阻均不计，当滑动变阻器的滑片自左端匀速向右滑动时，用丝线悬挂的闭合金属环的运动状态可能为A.保持静止B.向左摆动C.向右摆动D.有向下运动趋势18.有一回旋加速器，两个D 形盒的半径为R ，两D 形盒之间的高频电压为u ，偏转磁场的磁感应强度为B 。

中学生标准学术能力诊断性测试2018 年11 月测试政治参考答案一、选择题。

（每小题4 分）38．意义：生态文明建设有利于实现人与自然和谐发展，满足人民群众日益增长的美好生活需要，开创社会主义生态文明新时代，建设美丽中国。

(每点1分，答出3点可得4分) 启示：①贯彻创新、绿色、共享新发展理念，坚持市场调节与宏观调控相结合，走生态与经济并重的中国特色生态建设之路。

②突出政府在生态文明建设中的主导作用，锐意改革、科学调控，凝聚社会各界动力，共同致力于生态文明建设。

③充分发挥企业的市场主体和科技创新主体作用，企业积极承担社会责任，走产业化经营道路，开发新技术，延伸产业链。

④大力彰显劳动者在生产过程中的主导作用，让广大人民成为生态文明建设的主力军，大力发展生态经济，践行绿色消费。

⑤坚持开放共享，引进来与走出去相结合，向世界提供生态文明建设的中国经验和中国方案。

（每点2 分，共10 分）39．①中国特色社会主义最本质的特征是中国共产党领导，党的领导是顺利推进改革开放的根本保证。

②党在改革开放中科学的顶层设计，避免了改革开放犯方向性、颠覆性错误。

③党的领导确保为改革开放创造稳定、和谐的社会环境。

党代表最广大人民的根本利益，党的领导能够让改革开放成果惠及全体人民，使社会保持和谐稳定。

④党的领导能最广泛、最充分地调动一切积极因素，汇聚起推动改革开放的各方力量，凝聚起推动改革开放的磅礴伟力。

（每点3 分，共12 分）40. （1）社会存在决定社会意识，随着社会生活的变迁，诞生于农耕社会的传统节日由于其习俗与社会生活不合拍而渐受冷落，甚至消失。

（3 分）社会意识反作用于社会存在，先进的社会意识、正确的价值观对社会发展起积极的推动作用，面对西方节日文化的冲击，许多有识之士对传统节日文化的价值肯定推动了传统节日文化的回归。

（3 分）价值判断和价值选择具有社会历史性特征，通过将传统节日纳入假日体系，非遗名录等举措，努力寻找传统节日与现代社会、时代精神的契合点这样的价值选择，让包括七夕节在内的很多传统节日在今天重新焕发出光彩与活力。

北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。

5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0x x a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥,1AB t=,AC t =,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP ABAC=+,当t 变化时,PB PC ⋅的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭nA ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)e xxx x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A.211(,)16e -B.211(,0)(0,)16e- C.21(0,)e D.21[0,)e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；A B C D E A C B B A D C E D D B C团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N-，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)a a≠，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；②存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD中，90ABC∠=︒，2DCA BAC∠∠=．若BD xBA yBC=+（x y∈R，），则x y-的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c，，，满足sin1sin sinb Ca c A B=-++．（1）求角A的值；（2）若=3=22a b，sin(2+)B A的值．E A E16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是A B 80cm 80cm A B A正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．X A B X B20.（本小题满分14分）对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9. 1,- 10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1- 三．解答题15．（本小题满分13分） 解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分又0πA <<，∴π3A =． .…….……6分（2）由（Ⅰ）知，π3A =，又 3a =，b = ∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，D∴cos B=．.…….……9分∴sin22sin cosB B B=，.…….……10分21cos212sin3B B=-=-．.…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin2cos cos2sin333B A B B B+=+=+．.…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC交于EF于点H，E、F为BC、1BB的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH∴∥，DH ⊂面DEF，1AC∴∥面DEF．（2）矩形11BCC B中，连结1C F、1C E，连结AE，AE BC⊥，面1BCC B⊥面ABC，1AE BCC B∴⊥面，AE EF∴⊥，1AC EF⊥，EF∴⊥面1AC E，1EF EC∴⊥，1FECRt△中，22211EF EC FC+=，221112FC B C=+，221184EC BC=+，22124EF BC=+，4BC∴=，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，(F，()1,0,0D，()E，(DF=-，()0,DE=，平面DEF的一个法向量()1,,x y z=n，∴11DFDE⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩nn，即0x⎧-==⎪，取x=)1=n，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110，，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∵生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即， 生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为． 18. （本小题满分13分）80cm A B A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→， ∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e aa -<<<，∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内． ∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点． 19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2，又∵椭圆C 1的离心率是√32．∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． （2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y 2=8x x=my+2得y 2-8my -16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8（1+m 2）． 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0，x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1．∴|CF |=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1•√1+m 2． △ABC 面积s =12|AB |•|CF |=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f （t ）=16t 34t 2−3，f ′（t ）=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2，令f ′（t ）=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)（2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”， 则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =-下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。

高三第二学期入学检测试卷数学(理)一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A. 1i -B. 1i +C.1122i - D.1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 2.已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B . 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 4B. 3C. 2-D. 3-【答案】A 【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4.设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】由（a ﹣b ）a 2＜0得到：0,0a a b ≠-<，则a ＜b 成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.5.将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】由题意得1151()4216nn -=⇒= ,选A. 6.自点 A （﹣3，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1的切线，则A 到切点的距离为（ ）B. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出AC 的值，可得切线的长度.【详解】圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1表示以C (2,3)为圆心，1为半径的圆，由于AC =且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，5= 故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7.某几何体三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）A.103B.203C.25D.45【答案】B 【解析】 【分析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA ⊥平面ABCD ，作BE CD ⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB 和直角三角形BEC 构成， 则：1121204(222)3223V +=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选：B【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8.已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A. 11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：直线()4x m y=-恒过定点(0,4)，当0m>时，约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m=时，直线()4x m y=-与y轴重合，平面区域()4{04yx yx m y≤-≤≥-为图中y轴右侧的阴影区域，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m<时，由约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-表示的可行域如图，点P与点B重合时，()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB=u u u r，联立{(4)y xx m y==-，解得44(,)11m mBm m--，所以421mOBm=-u u u r，由4221mm≤-，解得1135m-≤≤，所以13m-≤≤，综上所述，实数m的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分） 9.在等差数列{}n a 中，若()246n n a a n n N *++=+∈,则该数列的通项公式na=_____【答案】21n + 【解析】 【分析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由246n n a a n ++=+ ①， 可得24414n n a a n +++=+ ② ，可得②-①，48n n a a +-=，可得2d =， 把1n =代入①，可得12410a +=，可得13a =， 可得数列的通项公式32(1)21n a n n =+-=+， 故答案：21n +.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10.102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =_________．【答案】2或2- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a 的值．【详解】2a x ）10展开式中的通项公式为 T r+1=10r C •a r •552r x -， 令5﹣52r =0，求得r=2，可得它的常数项为a 2•210C =180，故a=±2， 故答案为2或2-【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____． 【答案】π7π(,)1212(或π7π[,]1212) 【解析】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(，则2sin ϕ=sin ϕ= ，0,23Q ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤Q ,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤.【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12.经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -=【解析】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=13.已知非零向量a r ，b r 满足|b r |＝1，b r 与b a r r -的夹角为30°，则|a r|的最小值是_____．【答案】12． 【解析】 【分析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出|a r|的最小值.【详解】根据题意：作,,30o CB a CA b b a BA A ==∴-=∠=u u u r r u u u r r r r u u u r过C 作CD AB ⊥，垂直为D ，则CD 的长度即为|a r|的最小值，1=sin 302o CD CA =，故|a r|的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2＝1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P ＝r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P ＝AP 的长度（如图）．（1）直线2x +2y +1＝0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为_____； （2）若线段MN 上存在点T ，使得： ①点T 在⊙O 内；②∀点P ∈线段MN ，都有S T ≥S P 成立．则线段MN 的最大长度为_____．【答案】 (1). 124- (2). 4 【解析】 【分析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，此时P 到⊙O 的距离最长，即得解；（2）分析可得S P ≤1，因此当线段MN 过原点时，当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为4，即得解.【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，|OP|取得最小值，此时P 到⊙O 的距离最长， 此时OP 22124822===+，则AP ＝1﹣OP ＝124-． （2）∵点T⊙O 内，∴S T ≤1，∵S T ≥S P 成立，∴S P ≤1，∀点P ∈线段MN ，若P 在圆内，都满足S P ≤1；若P 在圆外，P 必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界） ∴当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题（共6小题；共80分）15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．【答案】（1）()sin()44f x x ππ=+；（2）45. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到ω，再利用特殊点（1,1）解出ϕ的值，从而得到()f x 解析式；第二问，先利用1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，得到,,M N P 点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN 、MP 、PN 的长，利用余弦定理得到cos MNP ∠的值，最后利用平方关系得到sin MNP ∠，法二：还可以利用向量的数量积来计算.试题解析：（1）由图可知，1A =， 最小正周期428,T =⨯=∴2ππ8,.4T ωω===又∵π(1)sin()14f ϕ=+=，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==∴()sin()44f x x ππ=+．（2） 解法一: ∵ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin(51)14f =+=-， ∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，MN MP PN ==从而3cos 5MNP ∠==-，∵()0,MNP π∠∈，∴4sin 5MNP ∠==. 考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ，方差为S 12，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S 22，试判断S 12与S 22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）9395；（Ⅱ）1229；（Ⅲ）2212S S ＞； 【解析】 【分析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解; （Ⅲ）设4类案件的均值为x ，则34x xX x +==,代入运算，得解. 【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件， 共有2400+3000+4100＝9500种取法， 其中取到的是结案案件方法数为 2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ， 则P （A ）9395=； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法， 其中是判决案件有1200种取法， 设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B ，则P （B ）1229=； （Ⅲ）2212S S ＞；设4类案件的均值为x ，则34x xX x +== 2214S =[22221234()()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[()2222123()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[222123()()()x x x x x x -+-+-] 13＜[222123()()()x x x x x x -+-+-]21S =． 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.17.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）155【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点，由FA FC =，知AC FO ⊥，由此能够证明AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以//,//AD BC DE BF ，平面//FBC 平面EAD ，由此能够证明//FC 平面EAD ；（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=o ，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ，由,,OA OB OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=o，则2BD =，所以3,0,3CF =u u u v，)3,1,0CB =u u u v，求得平面BFC 的法向量为()1,3,1n =--r ，平面AFC 的法向量为()0,1,0v =v，由此能求出二面角A FCB --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD，且O 为AC 中点． 又 FA=FC ，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O， 所以 AC⊥平面BDEF ．（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD∥BC，DE∥BF，所以平面FBC∥平面EAD．又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．18.已知椭圆E：2xmy2＝1（m＞1）3过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用221c b a a=-即可得解；（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：2xm+y2＝1（m＞1）的离心率为3，∴2213112c ba a m=-=-=⇒m＝4，（Ⅱ）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由22144x myx y=+⎧⎨+=⎩⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴12224my ym-+=+，12234y ym-=+．因为A0（4，y1），2124A By ykx-=-，所以直线A0B的方程为：y﹣y1()21244y yxx-=--，⇒y21221212122122144444y y x y y x y yx y xx y y x y y⎛⎫⎛⎫----=-+⋅=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21122122144y y my y y yxx y y⎛⎫--+=+⎪--⎝⎭．∵()121232my y y y =+，∴()121221212154522y y my y y y y y y y --+==---， ∴直线A 0B 的方程为：y 212542y y x x -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，当直线AB 与x 轴重合时，直线A 0B 与x 轴重合， 综上，直线A 0B 恒过定点（52，0） 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19.设f （x ）＝xe x ﹣ax 2﹣2ax ．（Ⅰ）若y ＝f （x ）的图象在x ＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a 的值； （Ⅱ）若f （x ）存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）a 1e =；（Ⅱ）（0，12e ）∪（12e ，1e）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求f '（x ）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a ≤0，a ＞0两种情况分析导数极值，得到f （ln 2a ）是极大值，由极大值小于0，求a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）f '（x ）＝e x +xe x ﹣2ax ﹣2a ＝（x +1）（e x ﹣2a ），f '（﹣1）＝0，f （﹣1）1e=-+a ， 所以由题意得：011ae -+=-，∴a 1e=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a ≤0时，即a ≤0时，e x ﹣2a ≥0， ∴x ＜﹣1，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ＞﹣1，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）有极小值，无极大值； 当a ＞0，f '（x ）＝0，x ＝﹣1或x ＝ln 2a ， 当ln 2a ＞﹣1时，即a 12e＞， ∴x ∈（﹣∞，﹣1）和 （ln 2a ，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜ln 2a 时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （﹣1）为极大值，且f （﹣1）1e =-+a ，由题意得：f （﹣1）＜0，∴112a e e＜＜； 当ln 2a ＜﹣1时，即0＜a 12e＜， ∴x ∈（﹣∞，ln 2a ）和 （﹣1，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， x ∈（ln 2a ，﹣1），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （ln 2a ）是极大值，且f （ln 2a ）＝2aln 2a ﹣aln 22a ﹣2aln 2a ＝﹣aln 22a ＜0恒成立；当ln 2a ＝﹣1时，即a 12e=，f '（x ）＝（x +1）2≥0恒成立，f （x ）单调递增，无极值，舍去； 综上所述：符合条件的a 的取值范围：（0，12e ）∪（12e ，1e）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20.如果无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n }具有性质P ．（Ⅰ）若a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），判断数列{a n }是否具有性质P ，并说明理由， （Ⅱ）若数列{a n }具有性质P ，求证：{a n }中一定存在三项a i ，a j ，a k （i ＜j ＜k ）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n }具有性质P ，则{a n }中是否一定存在四项a i ，a j ，a k ，a l ，（i ＜j ＜k ＜l ）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）数列{a n }具有性质P ．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）分n 为奇数，n 为偶数讨论，研究a n 包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ,分j a 为奇数，偶数讨论，分别构造,,t j k a a a ，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列，即得证.（Ⅲ）构造反例：{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），∴数列{a n }具有性质P ． 理由如下：当n 为奇数，n ∈N *时，a n ＝n +1包含所有的正偶数， 当n 为偶数，n ∈N *时，a n ＝n ﹣1包含所有的正奇数， ∴无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列， ∴数列{a n }具有性质P ．（Ⅱ）证明：不妨设1,2,max{,}s t a a m s t === 考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ，则12,,...,j a a a 中含有1，2，且j a 为前j 项中的最大项(3j a ≥)(i )若j a 为奇数，22j j a a ->，所以22j a -在j a 之后，记为22k j a a =-，则k j t >>，,,t j k a a a 为公差为奇数的等差数列;(ii ) 若j a 为偶数，令21k j a a =-，则k j s >>，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列. 故结论成立. （Ⅲ）不一定存在例如{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…, 即每三项构成一组，第k 组的通项公式为：2k -1,4k -2,4k ，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差， 由于{}n a 中，任意一项奇数j a 后面的偶数都大于等于2j a ， 因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差. 故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。