[配套K12]2017-2018学年高中数学 第四章 函数应用 1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2017-2018学年高中数学第四章导数应用2 导数在实际问题中的应用学案北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第四章导数应用2 导数在实际问题中的应用学案北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§2导数在实际问题中的应用2．1 实际问题中导数的意义错误!某人拉动一个物体前进,他所做的功W（单位：J）是时间t(单位：s）的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t）＝t3－4t2＋10t.问题1：t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？提示：错误!＝错误!＝11(J/s）．问题2：上述问题的实际意义是什么？提示：它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.问题3:W′（1)的实际意义是什么？提示:∵W′（t）＝3t2－8t＋10，∴W′(1）＝5。

表示此人在t＝1s时每秒做功为5 J.实际问题中导数的意义1．功关于时间的导数是功率．2．降雨量关于时间的导数是降雨强度．3．生产成本关于产量的导数是边际成本．4．路程关于时间的导数是速度．速度关于时间的导数是加速度．5．质量关于长度的导数是线密度．在日常生活中,有许多需要用导数概念来理解的量．如物理学中,速度是路程关于时间的导数，功率是功关于时间的导数．解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上,利用数学知识对模型进行分析,得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题．[对应学生用书P52］导数在物理学中的应用［例1]如果第x h时，原油的温度(单位：℃）为y＝f(x)＝x2－7x＋15（0≤x≤8）．(1)分别计算当x从0变到1,从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率,比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．［思路点拨］（1)平均变化率即为错误!。

2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在课时作业1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在课时作业1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4。

1。

1 利用函数性质判定方程解的存在（建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1. 函数f（x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．（－1,0)C．(0，1）D．(1,2)【解析】因为函数f（x）的图像是连续不断的一条曲线，又f（－1)＝2－1－3＜0，f（0)＝1＞0,所以f（－1）·f（0)＜0,故函数零点所在的一个区间是(－1，0）．故选B.【答案】B2. 函数f（x）＝错误!的零点有( ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由f（x）＝错误!＝0得x＝1，∴f（x)＝x－1ln xx－3只有一个零点．【答案】B3。

若函数f（x）＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ）A．a<1 B．a〉1C．a≤1 D．a≥1【解析】由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a〉1。

【答案】B4。

函数f（x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是（）A．（1,2) B．（2,3)C．(3,4) D．(4，5)【解析】∵f(x）＝log3x＋x－3,∴f(1）＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，f（3）＝log33＋3－3＝1〉0,f(4)＝log4＋4－3＝log34＋1＞0，3f（5)＝log5＋5－3＝log35＋2＞0，3∴函数f（x）＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(2，3)．故选B。

二用数学归纳法证明不等式对应学生用书P421．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．对应学生用书P42[例1] 证明：2n＋2>n2，n∈N＋.[思路点拨]验证n＝1，2，3时，不等式成立―→假设n＝k成立，推证n＝k＋1―→n＝k＋1成立，结论得证[证明] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．当n＝k＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)(因k ≥3，则k －3≥0，k ＋1>0)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.所以2k ＋1＋2>(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)，原不等式对于任何n ∈N 都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n ＝k 时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立．即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1k ＋>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立． 2．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2<2－1k＋1k ＋2<2－1k ＋1kk ＋＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n ≥2，n ∈N ＋时均成立． 3．设P n ＝(1＋x )n，Q n ＝1＋nx ＋n n －2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．解：(1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3<0，所以P 3<Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4.假设P k <Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k k －x 22＋x ＋kx 2＋k k －x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k k ＋2x 2＋k k －2x 3＝Q k ＋1＋k k －2x 3<Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .[例2] 设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值．(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[思路点拨] 利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．[解] (1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)>0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{a n}、{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；(2)证明你的结论．解：(1)由条件得2b n＝a n＋a n＋1，a2n＋1＝b n b n＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2.(2)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上知结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立． 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝ 2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)．b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时， 结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．5．是否存在常数a ，b ，c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立，若存在，求出a ，b ，c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a ，b ，c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )，对于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a b ＋c ＝1，a b ＋c ＝3，3a b ＋c ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)； 当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N ＋都成立．对应学生用书P44 1．用数学归纳法证明“对于任意x >0和正整数n ，都有x n＋x n －2＋xn －4＋…＋1xn －4＋1xn －2＋1x n≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确解析：需验证：n 0＝1时，x ＋1x≥1＋1成立．答案：A2．用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：n 取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5. 答案：C3．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k－1 C ．2kD ．2k＋1解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1，应增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k项．答案：C 4．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在解析：令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，取n ＝2,3,4,5等值，发现f (n )是单调递增的，所以[f (n )]min ＞m 24，所以由f (2)＞m24，求得m 的最大值为13. 答案：B 5．证明n ＋22<1＋12＋13＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时．要证明的式子为________． 解析：当n ＝2时，要证明的式子为 2<1＋12＋13＋14<3.答案：2<1＋12＋13＋14<36．用数学归纳法证明“⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12”时，n 的最小取值n 0为________．解析：左边为(n －1)项的乘积，故n 0＝2. 答案：27．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为________解析：当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N . 当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab <M . 当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b <M . 归纳得M ≥N . 答案：M ≥N8．用数学归纳法证明，对任意n ∈N ＋，有 (1＋2＋…＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝右边，不等式成立．当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝92>22，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ≥k 2.则当n ＝k ＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ (1)⎦⎥⎤＋1k ＋1 ＝(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )1k ＋1＋(k ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k .∵当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32，(*)∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2.这就是说当n ＝k ＋1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n ≥1时，不等式成立． 9．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a ≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5. 由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明． ①当n ＝1，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时．a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2.10．设a ∈R ，f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数，(1)求a 的值；(2)如果g (n )＝nn ＋1(n ∈N ＋)，试比较f (n )与g (n )的大小(n ∈N ＋)．解：(1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.故a ＝1.(2)f (n )－g (n )＝2n －12n ＋1－n n ＋1＝2n－2n －12n ＋1n ＋1.只要比较2n与2n ＋1的大小． 当n ＝1,2时，f (n )<g (n )； 当n ≥3时，2n>2n ＋1，f (n )>g (n )．下面证明，n ≥3时，2n>2n ＋1，即f (x )>g (x )． ①n ＝3时，23>2×3＋1，显然成立， ②假设n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，2k>2k ＋1， 那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k>2(2k ＋1)．2(2k ＋1)－[2(k ＋1)＋1]＝4k ＋2－2k －3＝2k －1>0(∵k ≥3)， 有2k ＋1>2(k ＋1)＋1.∴n ＝k ＋1时，不等式也成立，由①②可以判定，n ≥3，n ∈N ＋时，2n>2n ＋1. 所以n ＝1,2时，f (n )<g (n )；当n ≥3，n ∈N ＋时，f (n )>g (n )．。

2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学案北师大版必修1的全部内容。

4。

2．1 实际问题的函数刻画4。

2．2 用函数模型解决实际问题4。

2．3 函数建模案例1. 了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．（重点)2。

掌握求解函数应用题的基本步骤．(难点）[基础·初探］教材整理 1 实际问题的函数刻画阅读教材P120～P122整个本节课内容，完成下列问题．在现实世界里,生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )1【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加,总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析,故选B.【答案】B教材整理 2 用函数模型解决实际问题阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．1。

4．3.1 利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x<0，解得：0<x <1或x <－1.又∵x >0，∴0<x <1，故选A.3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常函数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的 Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．答案 (－∞，－1) 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y ＝f (x )的递增区间．解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间，则－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根， ∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75，令f ′(x )＞0，则3x 2－75＞0，解得x ＞5或x ＜－5，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)． 二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( ) A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案 C解析∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a的取值范围是________．答案[3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数， 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝x ＋x ＋2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0， 得x ＜1－2或x ＞1＋2；令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ， 又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )＞0，即3mx 2－6mx ＞0，当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m ＜0时，解得0＜x ＜2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上，当m ＞0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m ＜0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。

第四章函数应用章末复习课网络构建核心归纳知识点一函数的零点1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)．(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0．知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为要点一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．【例1】 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e －14 －4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝e 34 >0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0． 答案 C【训练1】 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 设g (x )＝x 3－22－x，则g (0)＝－4，g (1)＝－1，g (2)＝7，g (3)＝2612，g (4)＝6334，显然g (1)·g (2)<0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内，即y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点在(1,2)内．答案 B要点二 二分法及其应用二分法是把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．它适合于：①函数y ＝f (x )的图像在[a ，b ]上连续，②f (a )·f (b )<0.同时满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值．【例2】 利用计算器，求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确度0.1)． 解 作出函数y 1＝lg x 与y 2＝3－x 的图像，如图所示．由图可以发现，方程lg x ＝3－x 有唯一解，记为x 1，并且这个解在区间(2,3)内． 设f (x )＝lg x ＋x －3，用计算器计算，得：f (2)<0，f (3)>0⇒x 1∈(2,3)； f (2.5)<0，f (3)>0⇒x 1∈(2.5,3)； f (2.5)<0，f (2.75)>0⇒x 1∈(2.5,2.75)； f (2.5)<0，f (2.625)>0⇒x 1∈(2.5,2.625)；f (2.562 5)≈－0.028 8<0，f (2.625)≈0.044 1>0⇒x 1∈(2.562 5,2.625)．∵|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1， ∴原方程的近似解可取为2.562 5．【训练2】 用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是________．解析 令f (x )＝ln x －2＋x ，取区间[1,2]的中点32．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12<0， f (1)＝ln 1－2＋1＝－1<0，f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，所以f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0． 所以下一个含根的区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 要点三 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图像和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．【例3】 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *． (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋，20<t ≤30，t ∈N *，＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110t －2－40，20<t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小．所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．【训练3】 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N *)．(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式； (2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解 (1)根据图像，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *.(2)设日销售额为y 元， 则y ＝P ·Q⎩⎪⎨⎪⎧t ＋－t ＋，0<t <25，t ∈N *，－t ＋－t ＋，25≤t ≤30，t ∈N *，即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，t －2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125． 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.方向1 数形结合思想在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维与形象思维联系起来，实现抽象概念与具体图像之间的相互转化，即数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来研究．本章数形结合思想主要体现在判断函数零点的个数或零点所在的大致区间．【例4－1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是________．解析 易知函数f (x )的图像如图所示：由图可知0<k <1． 答案 0<k <1 方向2 方程思想当一个问题可以与某个方程建立关联时，构造方程并对方程的性质进行研究，由此解决这个问题，这就是方程思想．本章方程思想的应用主要体现在：由求方程f (x )＝0的实数根确定函数y ＝f (x )的零点，即求函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．【例4－2】 求下列函数的零点．(1)f (x )＝x 3＋1；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1．解 (1)f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)． 令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0， 解得x ＝－1．∴函数f (x )＝x 3＋1的零点是－1．(2)令f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1＝x ＋2x －1＝0，解得x ＝－1．∴函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1的零点是－1．方向3 转化与化归思想转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．【例4－3】 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数．解 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，x －－x ＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，x －－x ＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3)．在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图像，如图所示．(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图像无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图像有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图像有两个交点，故原方程有两个实数根．。

4.2．1 实际问题的函数刻画4.2．2 用函数模型解决实际问题4.2．3 函数建模案例1. 了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．(重点)2. 掌握求解函数应用题的基本步骤．(难点)[基础·初探]教材整理 1 实际问题的函数刻画阅读教材P120～P122整个本节课内容，完成下列问题．在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】 B教材整理 2 用函数模型解决实际问题阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．1. 常用的函数模型通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．一辆汽车在某段路上的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图4­2­1，那么图像所对应的函数模型为( )图4­2­1A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数【解析】 由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 【答案】 A教材整理 3 函数建模案例阅读教材P 125～P 130整节课的内容，完成下列问题． 函数建模 (1) 定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模． (2) 过程我国1999～2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：【解】画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．如图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k＝0.677 7，b＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.[小组合作型]300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图4­2­2(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图4­2­2(2)的抛物线表示．(1) (2)图4­2­2(1)写出图4­2­2(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )； 写出图4­2­2(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )． (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大． (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)【导学号：04100078】【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式．【尝试解答】 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)， 将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)．(2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －2＋100＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100.当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100. 当200＜t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －2＋100＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100.当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．[再练一题]1. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 【解】 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－x －，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获得利润为S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x －10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－x －2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，S 取最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10(单位：m/s)，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 【精彩点拨】 理清各个量的含义，代入运算．【尝试解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的函数关系式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.1. 指数模型在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用下面的公式y ＝N (1＋p )x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．2. 对数模型对数模型函数可设为y ＝k log a x ＋b .利用条件确定系数，对数模型函数解题的关键是对数运算 .[再练一题]2. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)．如图4­2­3所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图4­2­3(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？【解】 (1)设药物释放过程中即t ∈(0,0.1)时，y 与t 的函数关系式为y ＝kt ， 将(0.1,1)代入y ＝kt ，得1＝0.1k ，所以k ＝10，y ＝10t .t ∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a ，得＝1，a ＝110.故所求函数关系式为：y ＝(2)由(1)知，当t ∈[0.1，＋∞)时，y 为t 的减函数．令，所以t －110＞12，所以t ＞35.即35小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室． [探究共研型]探究 1 【提示】 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索方法为： (1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式； (3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．探究 2 今有一组试验数据如下表所示：A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2【提示】 可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D ；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)【精彩点拨】 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．【尝试解答】 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12，则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)，则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值，0．15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8(万元)．即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：作图：根据已知数据作出散点图；选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；利用所求得的函数模型解决问题.[再练一题]3. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)：(1)y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；图4­2­4(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【解】 根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(x ∈N )．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上， 故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N )．(2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.1. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a )，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )A B C D【解析】 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.【答案】 C2. 国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【解析】 由题意可知，当x ＝1200时，y ＝7.00元，故选C.【答案】 C3. 已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．【解析】 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．【答案】 甲4. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数，则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)【导学号：04100079】【解析】 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72.【答案】 36.72分钟5.图4­2­5要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图4­2­5，窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积S 最大，窗户应具有怎样的尺寸？【解】 由题意得窗框总长l ＝π2x ＋x ＋2y ， ∴y ＝2l －π＋x 4，∴S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋x ·2l －π＋x 4＝－π＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l π＋42＋l 2π＋.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＝2l －π＋x 4＞0， 得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2l π＋2， 当x ＝2l π＋4时，S max ＝l 2π＋， 此时y ＝l π＋4＝x 2， 所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．。