2019上海中考专题：二次函数与相似及参考答案

2019年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x2．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y B．y C．y D．y4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大5．（4分）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等6．（4分）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7．（4分）计算：（2a2）2＝．8．（4分）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝．9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是．10．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．11．（4分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一种容量单位）13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是．14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约千克．15．（4分）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．16．（4分）如图，在正边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A 落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．18．（4分）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|1|820．（10分）解方程： 121．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．2019年上海市中考数学试卷（详解版）一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x【微点】整式的混合运算．【思路】根据整式的运算法则即可求出答案．【解析】解：（A）原式＝5x，故A错误；（C）原式＝6x2，故C错误；（D）原式，故D错误；故选：B．【点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 【微点】不等式的性质．【思路】根据不等式的性质即可求出答案．【解析】解：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，故选：D．【点拨】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y B．y C．y D．y【微点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．【思路】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．【解析】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．故选：A．【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大【微点】算术平均数；中位数；方差．【思路】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．【解析】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A．【点拨】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．5．（4分）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等【微点】命题与定理．【思路】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大．6．（4分）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【微点】圆与圆的位置关系．【思路】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：C．【点拨】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7．（4分）计算：（2a2）2＝4a4．【微点】幂的乘方与积的乘方．【思路】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解析】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．【点拨】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8．（4分）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝0．【微点】函数值．【思路】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．【点拨】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是．【微点】算术平方根．【思路】根据算术平方根的定义解答．【解析】解：∵正方形的面积是3，∴它的边长是．故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义．10．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是m．【微点】根的判别式．【思路】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【解析】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m．故填空答案：m．【点拨】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（4分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．【微点】列表法与树状图法．【思路】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为，故答案为：．【点拨】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一种容量单位）【微点】二元一次方程组的应用．【思路】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．【解析】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则，故5x+x+y+5y＝5，则x+y．答：1大桶加1小桶共盛斛米．故答案为：．【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是y＝﹣6x+2．【微点】函数关系式．【思路】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．【解析】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．故答案为：y＝﹣6x+2．【点拨】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约90千克．【微点】用样本估计总体；扇形统计图．【思路】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案．【解析】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约100×15%＝90（千克），故答案为：90．【点拨】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．15．（4分）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120度．【微点】平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．【思路】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠DCA＝∠DAC＝30°，再利用三角形外角性质得到∠2＝60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数．【解析】解：∵D是斜边AB的中点，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．【点拨】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．16．（4分）如图，在正边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为2．【微点】*平面向量．【思路】连接CF．利用三角形法则：，求出即可．【解析】解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴2，∵，∴2，故答案为2．【点拨】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A 落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是2．【微点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【思路】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB2．【解析】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE AD AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB2．故答案为：2．【点拨】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．（4分）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．【微点】全等三角形的性质．【思路】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，即可求得∠C1D1B1＝∠BDC，根据等角的余角相等求得∠B1C1D1＝∠B，即可证得△C1B1D∽△BCD，根据其性质得出2，解得求出AD的长．【解析】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC ＝4，B1C1＝2，∴AB5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴，即2，解得x，∴AD的长为，故答案为．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得△C1B1D∽△BCD是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|1|8【微点】实数的运算；分数指数幂．【思路】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解析】解：|1|81﹣22 4＝﹣3【点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（10分）解方程： 1【微点】解分式方程．【思路】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．【微点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．【思路】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．【解析】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y x，∴k，∵一次函数的图象经过点A（2，3），∴3b，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y x+2；（2）由y x+2，令y＝0，得x+2＝0，∴x＝﹣4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（0，y），∵AC＝BC，∴，∴y，经检验：y是原方程的根，∴点C的坐标是（0，）．【点拨】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【微点】矩形的性质；解直角三角形的应用．【思路】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE 及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE 中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解析】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米．答：点D′到BC的距离为（4570）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【微点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【思路】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．【解析】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【微点】二次函数综合题．【思路】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，即可求解．【解析】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．【点拨】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【微点】相似形综合题．【思路】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，，由DE＝2：3，可得cos∠ABC．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解析】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵DE＝2：3，∴cos∠ABC．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E∠C，∴∠ABC＝∠E∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时2．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时2．综上所述，∠ABC＝30°或45°，2或2．【点拨】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

二次函数与相似、全等-1一、 二次函数与相似三角形1. 与顶点固定的三角形相似2. 与顶点不固定的三角形相似二、 二次函数与全等1. 【难】（相似+面积）（2012甘肃天水）如图，已知抛物线经过()40A ，，()10B ，，()02C -，三点．⑴求该抛物线的解析式；⑵在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得DCA △的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及DCA △面积的最大值；若不存在，请说明理由．⑶P 是直线1x =右侧的该抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴∵该抛物线过点()02C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将()40A ，，()10B ，代入22y ax bx =+-，得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴该抛物线的解析式为215222y x x =-+-．⑵存在．如图1，设D 点的横坐标为()04t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．∴E 点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴215122222DE t t t ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭2122t t =-+．∴DAC △的面积2112422S t t ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭24t t =-+()224t =--+．∴当2t =时，4S =最大．∴()21D ，，DAC △面积的最大值为4． ⑶存在．如图2，设215222P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，，则1m >．Ⅰ．当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=︒，∴①当21AM AO PM CO ==时，APM ACO △∽△． ∴21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，解得12m =，24m =（舍去）．∴()121P ，． ②当12AM CO PM AO ==时，APM CAO △∽△． ∴()21524222m m m -=-+-，解得34m =，55m =（均不合题意，舍去）．∴当14m <<时，()221P ，． Ⅱ．当4m >时，同理可求()252P -，．综上所述，符合条件的点P 为()121P ，和()252P -，．2. 【难】（相似+面积）（2009临沂）如图1，抛物线经过点()40A ，、()10B ，、()02C -，三点．⑴求此抛物线的解析式；⑵P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．图1【答案】⑴因为抛物线与x 轴交于()40A ，、()10B ，两点，设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =--，代入点C 的坐标()02-，，解得12a =-．所以抛物线的解析式为2115(1)(4)2222y x x x x =---=-+-．⑵设点P 的坐标为1(1)(4)2x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．①如图2，当点P 在x 轴上方时，14x <<，1(1)(4)2PM x x =---，4AM x =-．如果2AM AO PM CO ==，那么1(1)(4)224x x x---=-． 解得5x =不合题意．如果12AM AO PM CO ==，那么1(1)(4)1242x x x ---=-． 解得2x =．此时点P 的坐标为()21，． ②如图3，当点P 在点A 的右侧时，4x >，1(1)(4)2PM x x =--，4AM x =-．解方程1(1)(4)224x x x --=-，得5x =．此时点P 的坐标为(52)-，． 解方程1(1)(4)1242x x x --=-，得2x =不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，1x <，1(1)(4)2PM x x =--，4AM x =-．解方程1(1)(4)224x x x--=-，得3x =-．此时点P 的坐标为(314)--，． 解方程1(1)(4)1242x x x --=-，得0x =．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为()21，或(314)--，或(52)-，．图2 图3图4⑶如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为122y x =-． 设点D 的横坐标为(14)m m <<，那么点D 的坐标为215222m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，，点E 的坐标为122m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．所以215122222DE m m m ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122m m =-+．因此2112422DAC S m m ∆⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭24m m =-+2(2)4m =--+．当2m =时，DCA △的面积最大，此时点D 的坐标为()21，．图5 图63. 【难】（相似）（2009年莆田市中考）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A 、B 的横坐标分别为1-和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ． ⑴求点A 、B 、F 的坐标； ⑵求证：CF DF ⊥；⑶点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】方法一，如图1，当1x =-时，14y =当4x =时，4y =∴114A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+． 当0x =时，1y =，∴()01F ，方法二：求A 、B 两点坐标同方法一，如图2，作FG BD ⊥，AH BD ⊥，垂足分别为G 、H ，交y 轴于点N ，则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形，设FO x =∵BGF BHA △∽△ ∴BG FGBH AH=（图2）（图1）（图1）备用图∴441544x -=-解得1x =．∴()01F ，⑵证明：方法一：在Rt CEF △中，1CE =，2EF = ∴22222125CF CE EF =+=+=．∴CF =在Rt DEF △中，4DE =，2EF = ∴222224220DF DE EF =+=+=∴DF =．由⑴得)11C --，，()41D -， ∴5CD =∴22525CD ==∴222CF DF CD +=． ∴90CFD ∠=︒． ∴CF DF ⊥．方法二：由⑴知54AF =，54AC =∴AF AC =．同理：BF BD =， ∴ACF AFC ∠=∠． ∵AC EF ∥，∴ACF CFO ∠=∠． ∴AFC CFO ∠=∠． 同理：BFD OFD ∠=∠∴90CFD OFC OFD ∠=∠+∠=︒ 即CF DF ⊥． ⑶存在．解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M ． 9分又∵PQ OP ⊥，∴Rt Rt OPM OQP △∽△ ∴PM OMPQ OP =． ∴PQ PMOP OM=． 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x =，OM x =①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，图312PQ CF OP DF === ∴21142xPM OM x == 解得2x =．∴()121P ，②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === ∴2142xPM OM x == 解得8x =．∴()2816P ，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似．4. 【中】（相似）（2013年上海市初中毕业生统一学业数学考试试卷）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线()20y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且ABC △与AOM △相似，求点C 的坐标．【答案】（1）∵2OA OB ==，120AOB ∠=︒，作AF x ⊥轴，∴60AOF ∠=︒，可得到点(A -，()2,0B代入()20y ax bx a =+>中，可以得到()()2211220a b a b ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2y x （2）将抛物线配方：))22211y x x x -+=-∴1,M ⎛ ⎝⎭过M 作MQ x ⊥轴，则MQ =1OQ =，tan MQ QOM OQ ∠==∴30QOM ∠=︒，12030150AOM ∠=︒+︒=︒（3）联结AB ，∵120AOB ∠=︒，∴60AOF ∠=︒又∵OA OB =，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴150ABx ∠=︒ 150ABx AOM ∠=︒=∠∴点C 在B 点的右侧，设点(),0C c∵AOM △相似于ABC △，分两种情况讨论①CAB MAO ∠=∠，即ABC AOM △△∽AB AO BC OM =，AB =2BC c =-，2AO =，OM =()124,4,02c C =⇒= ②CAB AMO ∠=∠，即ABC MOA △△∽AB OM BC OA =，AB =2BC c =-，2AO =，OM =()238,8,02c C =⇒= 所以有两种情况，点C 坐标为()4,0C 或()8,0C5. 【难】（相似）（2013云南省昭通市中考试题）如图1，已知3,0A （）、4,4B （）、原点0,0O （）在抛物线2 0y ax bx c a =++≠（）上． （1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D ，求m 的值及点D 的坐标．（3）如图2，若点N 在抛物线上，且NBO ABO ∠=∠，则在（2）的条件下，求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标（点P O D 、、分别与点N O B 、、对应）【答案】(1)∵()3,0A 、()4,4B 、()0,0O 在抛物线()20y ax bx c a =++≠上，∴9301644,0a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：130a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故抛物线的解析式为：23y x x =-； （2）设直线OB 的解析式为()110y k x k =≠， 由点()4,4B 得 144k =， 解得11k =。

上海中考数学压轴题专题12 二次函数背景下的相似三角形教学重难点1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

几种特殊的二次函数的图像特征如下：a≠特殊的二次函数：下图中01.函数y=- ax2+bx特殊在:经过坐标原点2.函数y=-ax2+ 2ax+c特殊在:已知对称轴3.函数y=ax2- 2ax-3a特殊在:已知与X轴交点二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

1.（2020长宁、金山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB ＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．2.（2020控江中学一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2240y mx mx m =-+≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB =6.（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E （0,2），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果10OEFB S =四边形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.1.（2019•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +8与x 轴相交于点A （﹣2，0）和点B （4，0），与y 轴相交于点C ，顶点为点P ．点D （0，4）在OC 上，联结BC 、BD ．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△CDB ∽△CPQ ，求点Q 的坐标．2.（2019•广西模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+4x +c 过点A （6，0）、B （3，32），与y 轴交于点C ．联结AB 并延长，交y 轴于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）求△ADC 的面积；（3）点P 在线段AC 上，如果△OAP 和△DCA 相似，求点P 的坐标．3.（2019•黄浦区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．4.（2019•随县模拟）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A 和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM，求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．5.（2019•金山区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，6），点B（1，3），直线l1：y＝kx（k≠0），直线l2：y＝﹣x﹣2，直线l1经过抛物线y＝x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E．若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上（此时抛物线的顶点记为M），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上（此时抛物线的顶点记为N）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的解析式．（2）判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．（3）设点F、H在直线l1上（点H在点F的下方），当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标（直接写出结果）．6.（2019•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD∽△AOB；（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．7.（2019•东阳市模拟）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．。

2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之相似问题一（附答案详解）1．如图，已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣2，0）、B（﹣3，3），顶点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是第一象限内的抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，已知点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点，交于点，交于点．求该抛物线的解析式；当点在直线上方时，请用含的代数式表示的长度；（3）在的条件下，是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．5．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．6．如图1，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点．求这条抛物线的表达式；在第四象限内的拋物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；如图2，若点M在这条抛物线上，且，求点M的坐标；在的条件下，是否存在点P，使得∽？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案详解：1．(1) y=x2+2x；(2)见解析.（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）分两种情况讨论，①若△AMP∽△BOC，②若△PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出P点坐标.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得：．故抛物线的解析式为：y=x2+2x；（2）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（，）和（3，15）．2．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）5；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可．解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）.将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．∵O′与O关于BC对称，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴，即，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．3．；，（1）将D（-4，0），B（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先求出抛物线与直线BC的交点，再求PG的长度.（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．解：∵四边形是正方形，点坐标为，∴点的坐标是，∵点和点在抛物线上∴，∴，∴该抛物线的解析式为：；∵，解得或，∴抛物线与直线的交点为，∴点在直线上方时，的取值范围是：，∵，，∵轴交抛物线于点，交于点，∴，，∴，∵抛物线的解析式为：；设点，∴，，∵，∴，∵，∴，，∵以、、为顶点的三角形与相似且，∴，∴，∴，∴，∴或（舍）即：.4．（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0=a（3﹣1）2﹣2∴a=，∴y=（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y=kx+m，∴,∴,∴直线AB的解析式为y=.∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣.）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+.（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，∴.过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q=x P=x，y Q=﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴,又OA=3，OB=，AB=,又DQ=x﹣1，∴DP=（x﹣1），∴,解得：x=﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，∴.由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1，∴解得：x=1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．5．（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；点P坐标为（﹣1，）或（-，-）；（3）存在，CQ最小值为.（1）根据直线y=﹣x﹣1易求得A点坐标，由抛物线的对称性可求得C点坐标，然后写出抛物线的交点式即可；（2）根据题意可设点P的坐标为（a，﹣a﹣1），分△AOB∽△APD和△AOB∽△APD两种情况，第一种情况直接根据相似三角形对应边成比例即可求得结果，第二种情况先过点P 作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，再根据相似三角形对应边成比例即可求得结果；（3）如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心，因为tan∠AFD=2，则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，再根据两点之间的距离公式求得CE 的长，然后减去圆的半径即可得解.解：（1）∵直线y=﹣x﹣1与x轴交于A点，∴点A坐标为（﹣3，0），又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；（2）存在；由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），设点P的坐标为（a，﹣a﹣1），①当△AOB∽△ADP时，，即，解得：a=﹣1；点P坐标为（﹣1，）；②当△AOB∽△APD时，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE•ED，∴（﹣a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣，∴点P坐标为（﹣，﹣）；（3）存在，CQ最小值为；如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心，∵tan∠AFD=2，∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，此时CE=，∵⊙E半径为，∴CQ最小值为.6．（1）抛物线解析式为；（2）；（3）；存在满足条件的点P，其坐标为或由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）①设MB交y轴于点N，则可证得≌，可求得N点坐标，可求得直线BN 的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标；②过M作轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作轴于点H，由条件可证得∽，由的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．解：在直线上，，，把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为；如图1，过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，点C是抛物线上第四象限的点，可设，则，，，，，，的面积为2，，解得，；（3）①设MB交y轴于点N，如图2，，，在和中，，≌，，，可设直线BN解析式为，把B点坐标代入可得，解得，直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，，②，，且，，，∽，，，当点P在第一象限时，如图3，过M作轴于点G，过P作轴于点H，，，且，∽，，，，，，，；当点P在第三象限时，如图4，过M作轴于点G，过P作轴于点H，同理可求得，，；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或。

参考答案1.、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-= ∵抛物线过原点， ∴1)20(a 02+-= ∴41a -=. 抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即x x 41y 2+-=⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB,由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==,∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP 的解析式为x 21y -=由x x 41x 212+-=-,得6x ,0x 21==.∴P(6,－3)过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P ,使得△BOP 与△AOB 相似.练习2、解：（1）由已知可得：3375040a a c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解之得，203a b c =-==，．因而得，抛物线的解析式为：223y x x =-+． （2）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则223n m =-+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△=223m +=解之得，12m m ==当1m =2n =，即为Q点，所以得Q要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有33n -=，即223333m +=解之得，12m m ==m =P 点，当1m =3n =-，所以得3)Q -． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．Q点的坐标为3)-．（3）在Rt OCP △中，因为tan CP COP OC ∠==．所以30COP ∠=． 当Q点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠=． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形． 又在Rt OAQ △中，因为tan 3QA QOA AO ∠==．所以30QOA ∠= ．即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠= ． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠= ， 所以OQA OQP △≌△．练习3 解：（1）OCD △与ADE △相似。

上海市2019届一模提升题汇编第24题（二次函数综合）含2019上海中考试题中考【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=．（1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOMS；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【24．解：（1）过A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，∵OB=2，∴B （2,0）………………………………（1分） ∵120AOB ∠=︒∴60,30AOH HAO ∠=︒∠=︒．∵OA=2，∴112OH OA ==．∵222Rt AHO OH AH OA +=在中，，∴22213AH =-=．∴(1,3)A --……………………………………（1分）（第24题图）∵抛物线21:C y ax bx A B=+经过点、，∴可得：42033a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⎨⎨-=⎪⎩⎪=⎪⎩………………………………………………（1分）∴这条抛物线的表达式为233y x x =-+…………………………………………（1分）（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G，∵2y x x =+∴顶点M是⎛ ⎝⎭，得3MG = ……………………………………………………（1分）∵(1,A -，M⎛ ⎝⎭． ∴得：直线AM为33y x =- …………………………………………………（1分）∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭……………………………………………………（1分）∴1122AOM S ON MG ON AH ∆=⋅+⋅111122322=⨯⨯+⨯=…………………………………………………………………………（1分）（3）∵）33，1（M 、)0,2(B ，∴3MG Rt BGM MBG BG ∆∠=在中，tan =，∴MBG ∠︒=30．∴MBF 150∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，∴MBO MOB=150∠=∠︒． ∵OB=120A ∠︒，∴OM=150A ∠︒ ∴OM=MBF A ∠∠．∴BM BFOA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当==∆∆ 即332BF 2332或BF 3322332==，∴32BF 或2BF ==． ∴）0，38）或（0，4（F ………………………………………………（2分）设向上平移后的抛物线k x x y ++-=33233:为C 22，当）0，4（F 时，338=k ，∴抛物线33833233:为C 22++-=x x y …（1分）当）0，38（F 时，27316=k ，抛物线22:3327C y x x =-++……．（1分）】【2019届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB;（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO求点P 的坐标.【24、（1）211482y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭】【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)yax bx c a与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD.（1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标.Oxy1 2 3 4 1 23 4 5-1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m），∴DH= m ，HO=1.∵1tan 3COD，∴13OH DH ，∴m=3. ····················································· （1分）∴抛物线2y ax bx c 的顶点为D （1,3）. 又∵抛物线2yax bxc 与y 轴交于点C （0,2）， ∴3,1,22.ab c ba c （2分）∴1,2,2.a b c∴抛物线的表达式为222y x x.······ （1分）（2）∵将此抛物线向上平移， ∴设平移后的抛物线表达式为222(0)y x x k k，. ···························· （1分）则它与y 轴交点B （0,2+k ）.∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分） ∴20(2)2(2)2k k k .∴122,1k k .∵0k，∴1k.∴A （3,0），抛物线222y x x向上平移了1个单位. . ······························ （1分）∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB.∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM.∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB.∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△BPA. ·································································· （2分）B APy OM H∴BP BABMBP .∴23226BPBA BM∴221(3)6BPy .∴123535y y ，（舍）.. ···························· （1分）∴(1,35)P . . ····················································································· （1分）】【2019届一模普陀】 24．（本题满分12分） 如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．135FBD ∠=xOy图10【24．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，∴点的坐标是()3,0． ··········································································· （1分）解法一：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩ ······························································ （1分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ······················································ （1分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）解法二：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-， 由抛物线与y 轴的交点C 的坐标是()0,3-，得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ························································ （1分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）（2）过点D 作DH OC ⊥，H 为垂足． ∴90DHO ∠=．∴90DEH EDH ∠+∠=． ∵BE DE ⊥，∴90DEH BEO ∠+∠=． ∴BEO EDH ∠=∠．又∵BOE EHD ∠=∠，∴△BOE ∽△EHD ． ········································· （1分）∴BO OEEH HD =．∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．B B∵点的坐标是()3,0，∴3OB =．∴341OEOE =-． ·············································································· （1分）∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =． ∴点E 的坐标是()0,1-． ··········································································· （1分）（3）过点F 作FG x ⊥轴，G 为垂足．作45DBM ∠=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△EHD ． ∴BE ED =． ∵90BED ∠=，∴45DBE ∠=． ∵135FBD ∠=，∴90FBE ∠=． ················································································ （1分） ∴OBE GFB ∠=∠．∴在Rt △BOE 中，90BOE ∠=，∴cot 3OBE ∠=∴cot 3GFB ∠=． ·········· （1分） ∴3FG BG =．设点F 点的坐标为()2,23m mm --．∴223FG m m =--,3BG m =-．∴2233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是()4,21-． ·········································································· （1分）】【2019届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）B如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2yax bx 交于点A(6，0)和点B(1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．【24．解：（1）由题意得，抛物线2yax bx 经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得3660,5.a b a b 解得1,6.ab∴抛物线的表达式是26y x x =-. ······ （4分）由题意得，设直线AB 的表达式为ykxb ，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得60,5.k bk b解得1,6.k b∴直线AB 的表达式是6y x =-. ········ （2分）（2）过点O 作OH AB ，垂足为点H ．设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-.∴45ODA OAD，cos45DH OH OD ==•︒= ∵2BD，∴22BH.在Rt △OBH 中，90OHB ，3tan 2OHOBHBH． ······························· （2分）∵∠BOC 的正切值是32，∴BOCCBO . ··············································· （1分） ①当点C 在点B 上方时，BOCCBO .∴COCB ． 设点C(,6)x x -，2222(6)(1)(65)x x xxOy图10ABxyo解得174x，1776644x .--------------------------------------------------------------------（2分）所以点D坐标为177,44⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO 时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是177,44⎛⎫-⎪⎝⎭．】【2019届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线cbx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值.【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分） ∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分）(第24题图)y xOBA（2）()2912142122+--=++-=xxxy…………………………………（1分）∴对称轴为直线x=1，过点P作PG ⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴PG BOBG AO=……………………………………………（1分）∴121BG=，∴12BG=…………………………………（1分）∴72OG=，∴P（1，27）………………………………（1分）（3）设新抛物线的表达式为2142y x x m=-++-…（1分）则()0,4D m-,()2,4E m-，DE=2……………………（1分）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF∴2=1DE EO DOFH OF OH==，∴FH=1……………………………………………（1分）点D在y轴的正半轴上，则51,2F m⎛⎫--⎪⎝⎭，∴52OH m=-∴42512DO mOH m-==-，∴m=3……………………………………………………（1分）点D在y轴的负半轴上，则91,2F m⎛⎫-⎪⎝⎭，∴92OH m=-∴42912DO mOH m-==-，∴m=5……………………………………………………（1分）∴综上所述m的值为3或5.】(第24题图)yx OBAEDF H【2019届一模嘉定】24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【24. 解：（1）∵抛物线22++=bx ax y 点经过)0,4(A 、)2,2(B ∴⎩⎨⎧=++=++222402416b a b a ……………………1分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2141b a …………2分 ∴抛物线的表达式是221412++-=x x y …………1分 （2）由（1）得：抛物线221412++-=x x y 的顶点M 的坐标为)49,1(……1分图7O 11-1 -1∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ⊥轴，垂足为点H ∴AOCMHC AOHM AMC S S S S ∆∆∆--= …………1分∴42211412149)41(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=∆AMC S∴23=∆AMC S …………1分（3）联结OB过点B 作x BG ⊥轴，垂足为点G∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA ∴△BGA 是等腰直角三角形∴︒=∠45BAO 同理：︒=∠45BOA∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形 ∴︒=∠45DBO ,22=BO ∴DBO BAO ∠=∠∵︒=∠45DOE ∴︒=∠+∠45BOE DOB ∵︒=∠+∠45EOA BOE ∴DOB EOA ∠=∠ ∴△AOE ∽△BOD∴BO AOBD AE =…………1分 ∵抛物线221412++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，∴点D 的坐标为)2,1(∴1=BD …………1分∴2241=AE ∴2=AE …………1分过点E 作x EF ⊥轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形 ∴1==AF EF∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】 【2019届一模青浦】24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c ． ······················· （1分）将A （-1，0）、B （4，0），代入得（第24题图）（备用图）101640.，--+=⎧⎨-++=⎩b c b c ··············································································· （1分） 解得：34.，=⎧⎨=⎩b c所以，2+34=-+y x x ． ·········································································· （1分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）．设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∵，∴22=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．∵1122⋅=⋅AC BN AB OC54=⨯BN，∴17=BN ． ········ （1分） ∵DM ∥BN ，∴=DM CD BN CB，∴=DM BN，∴17=DM ． ···················· （1分）∴sin =17221∠==DM CAD AD ． ············································· （1分）（3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．∵22+3444=-++-=-PQ n n n n n，=PC ， ····································· （2分）∴24-n n，解得=4n 或=0n （舍）． ·········································· （1分） ∴点Q的坐标为（4，2）． ···················································· （1分）】【2019届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与 ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【24．解：（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．∵132ABD S AB DH ∆=⋅=，又∵(5,3)D∴2AB =．····························································································· （1分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2y ax bx c =++， 得04201643255a b ca b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得168a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ···························································· （1分）∴抛物线解析式是268y x x =-+． ······························································ （1分）（2）过点B 作BG AD ⊥，交AD 于点G ． ··················································· （1分）BD O图10xy﹒ ﹒由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D ，得ADH ∆是等腰直角三角形，且45HAD ∠=∵3AH DH ==，∴AD = ································································ （1分） ∴在等腰直角AGB ∆中，由2AB =，得AG BG ==，∴DG AD AG =-=∴在Rt DGB ∆中，1tan 2BG ADB DG ∠==． ·················································· （1分）（3）∵抛物线268y x x =-+与y 轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，∴直线CD 的解析式为8y x =-+，∴(8,0)E ． ···························································································· （1分） 当点P 在线段AD 上时，APE ∆∽ABD ∆，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则AP AE AB AD =，即AB AE AP AD ⨯===．………………………………………（1分）··························································································································· 过点P 作PQ ⊥∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····································································· （1分） ②当点P 在线段AD 延长线上时，APE ADB ∠=∠， ·················································· ∴EP //DB过点P 作PR x ⊥轴于点R ， ··················································································13AH AD AB AR AP AE ===，∴9AR PR ==， ······················································································ （1分） 即(11,9)P ． ···························································································· （1分） ∴APE ∆与ABD ∆相似时，点P 的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P,一次函数2y x bx=+。

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

二次函数与三角形相似结合题型例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.例2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；的最大值；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3.已知抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y 轴交于点C ，且AO=2OC. （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第三象限抛物线上一点，连接OD 、AC 交于点E ，求DE OE 的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l //AC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q ，使△PQA ∽△CBA ，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

例4．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．l xyoA B C图2例5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与∆ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.例6.（走角题）.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点D，直线AD:y=x+3，抛物线的顶点为C，CE⊥AB.（1）求抛物线的解析式；S∆MAB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（2）抛物线上是否存在点M，使得S∆ACD=38（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACE相似时，求点P的坐标；【答案详解】例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.（1）请直接写出抛物线的解析式为__（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.【解析】（1）y=−x2−2x+3（2）注意题目隐藏条件“∠CAO=45º”，即当P在C点上方时则∠OAP=60º，当P在C点下方时则∠OAP=30º，利用特殊角的三角函数值来求解CP的长；解：由抛物线解析式可得C(0,3)，则OA=OC=3,则∠CAO=45º.①当点P在C点上方时，则∠OAP=60º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=3√3,∴CP=OP-OC=3√3-3；②当点P在C点下方时，则∠OAP=30º，∴OP=OAtan∠OAP=√3OA=√3,3∴CP=OC-OP=3−√3；综上所述，CP的长为3√3-3或3−√3；（3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走角”；【思考角度1】“走边”解：由△MCN~△CAM可得∠ACM=∠CMN，可得AC//MN，则设直线MN的解析式为y=x+a，即OM=a，由△MCN~△CAM可得MC:CA=MN:CM，即MN=CM 2CA =23√2，由MN//AC可得MN:AC=MB:BA，即23√23√2=(a+1):4，解得a=32或a=3(舍去)，∴直线l的表达式y=x+32.【思考角度2】“走角”由△MCN~△CAM可得∠CAM=∠MCN=45º，出现特殊角，而只需求出M点坐标即可求出直线l的表达式.这是二次函数几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性问题”的典型解题思路走即可解答此题.解：如图，作BD⊥BC交MC于点D，过点B作y轴的平行线，过点C、D作x轴的平分线，分别交于点E、F两点，由∠CBD=∠BED=∠CFB=90º,∠BDE=∠DCF,CD=BD,可证△BDE≌△BCF，则DE=BF=3,BE=CF=1,∴D(-2,-1)，设直线CD的解析式为y=kx+3，代入D点坐标可得k=2，∴直线CD的解析式为y=2x+3，∴M(-32，0),∴直线l的表达式y=x+32.C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DE AE 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设抛物线为交点式，即y=a(x+1)(x-4)，代入C 点坐标，可得a=12， ∴抛物线解析式为y =12(x+1)(x-4)=12x 2−32x −2(2)构造相似典型图形“8字模型”，利用相似性质把DE AE 用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。

2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之相似问题二（附答案详解）1.如图，直线AB交x轴于点B(4,0) ，交y轴与点(0,4) ，直线D M⊥X轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6 ，连接DA，∠DAC=900．(1)求点D的坐标及过O、D、B三点的抛物线的解析式；(2) 若点P是线段MB上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交上问中的抛物线于点E．①连接CE, 请求出满足四边形DCEF为平行四边形的点P的坐标；②连接CE，是否存在点P，使△BPF 与△OCE 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．抛物线经过点和点．求该抛物线所对应的函数解析式；该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB，过点C作，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N运动时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．（1）求抛物线的函数表达式；（2）D 是直线OB 下方抛物线上的一动点，连接OD ，BD ，在点D 运动过程中，当△OBD 面积最大时，求点D 的坐标和△OBD 的最大面积；（3）如图2，若点P 为平面内一点，点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD ∽△NOB 的点P 坐标．5．如图在直角坐标平面内，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）连接AD 、DC ，求ACD 的面积； （3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．6．如图，抛物线y=x 2+mx+n 与直线y=﹣x+3交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）求抛物线的关系式和tan ∠BAC 的值；（2）P 为抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥OA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在AB上找一点M，使得OM+DM的值最小，直接写出点M的坐标．答案详解：1．②存在或.（1）先求出点D的坐标，再把、、，代入，即可求出过O、D、B三点的抛物线的解析式；（2）①先求出AB所在的直线解析式，利用列出方程求解即可；②存在；设，由于对顶角，故当与相似时，分为：，两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标即可．解：，，，，，设抛物线的解析式为，把、、，代入得，解得，过O、D、B三点的抛物线的解析式为；（2）①，，所在的直线解析式为，∵C点横坐标为2，∴C点坐标为(2，2)，，则当时，满足四边形DCEF为平行四边形，设点，的纵坐标为，E的纵坐标为，，解得舍去或，；②存在；过O、D、B三点的抛物线的解析式为，由①得，设，，，1.当时如图，与相似，过C点作，∵OA=OB，∴∠OBA=45°，∴、、为等腰直角三角形，则，将代入抛物线中，得，解得或，故P点坐标为；2.当时如图，此时，，为等腰直角三角形，则，将代入抛物线中，得，解得舍去或，故P点坐标为.故答案为或．2．（1）；（2）在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为81；存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题；②利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标．解：(1)∵抛物线经过点和点，，解得，该抛物线对应的函数解析式为；(2))①联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，得：，解得：，，与相似，点P的坐标为或．设点P的坐标为，则点N的坐标为，，．，当时，取最大值，最大值为81，在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为81．②∵，若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q 的坐标为，，，，．当或时，有，解得：，舍去，点P的坐标为；当时，有，解得：，舍去，点P的坐标为．综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．3．（1）y=﹣x+；（2）当t=时，S值最大，且最大值为；（3）当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似（1）分别过C、B作x轴的垂线，设垂足为D、E，根据B、A的坐标可知AE=1，根据等腰梯形的对称性知，OD=AE=1，而B、C的纵坐标相等，由此可确定C点的坐标，即可用待定系数法求出直线AC的解析式；（2）易知BC=2，可用t表示出CN的长，再根据∠NCQ（即∠CAD）的正切值求出NQ的长，进而可表示出QP的长；同理可用t表示出AM的长，以AM为底，PQ为高即可得到关于△AMQ的面积与t的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出△AMQ的最大面积及对应的t的值；（3）此题要分两种情况考虑：①当M在点P左侧时，由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似则有两种可能：一、△QPM∽△QPA（此时两三角形全等），二、△QPM∽△APQ；根据上述两种情况所得的不同比例线段即可求出t的值；②当M在P点右侧时，方法同①．解：（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；则AE=4﹣3=1，BE=CD=2；由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；∴Rt△COD≌Rt△BAE；∴OD=AE=1，即C（1，2）；设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；∴直线AC的解析式为：y=﹣x+；（2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；∴tan∠CAD=；∵BN=t，OM=3t，∴CN=2﹣t，AM=4﹣3t；∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2﹣t）；∴PQ=NP﹣NQ=2﹣（2﹣t）=；设△AMQ的面积为S，则有：S=（4﹣3t）•=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2），∴当t=时，S值最大，且最大值为；（3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；QP=，PM=3﹣4t，AP=t+1；由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；∴PM=PA，即3﹣4t=t+1，解得t=；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即：（t+1）2=（3﹣4t）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；QP=，PM=4t﹣3，AP=t+1；若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；此时M、A重合，∴≤t≤2；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即（t+1）2=（4t﹣3）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．4．（1）y=x2+3x，（2）当m=﹣2时，S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=．∴A（﹣3，0），设抛物线解析式为y=ax（x+3），把B（﹣4，4）代入得a•（﹣4）•（﹣4+3）=4，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x（x+3），即y=x2+3x，（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，直线OB的解析式为y=﹣x，设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，∴S△BOD=S△BCD+S△OCD=•4•DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，当m=﹣2时，S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，易得四边形BIOK为正方形，∵∠NBO=∠ABO，∴∠IBA=∠KBM，而BI=KM，∴Rt△BIA≌Rt△BKM，∴KM=AI=1，∴M（0，3），设直线BN的解析式为y=px+q，把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，∴直线BN的解析式为y=﹣x+3，解方程组得或，∴N（，），∵OB=4，OD=2，∴=，∴△POD与△NOB的相似比为1：2，过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，∴△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，∴F点为ON的中点，∴F（，），∵点E与点D关于x轴对称，∴点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE，则△P′OD∽△NOB，此时P′（，﹣）；作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，此时P″（﹣，），综上所述，满足条件的P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．5．（1）y=x 2-2x-3，（1，-4）（2）3（3）()618,2,255⎛⎫-- ⎪⎝⎭解：（1）点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线23y ax bx =+-上∴30{ 9330a b a b --=+-=，解得 1{ 2a b ==- ，∴抛物线的表达式为223y x x =--，∵()222314y x x x =--=--， ∴顶点D 的坐标是（1，-4）（2）如下图，∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4），∴AC=CD=∴CD 2=AC 2+AD 2，∴∠CAD=90°，∴S △ACD=12AC·AD=3；（3）如下图，∵∠CAD=∠AOB=90°，AD AC BO AO == ∴△CAD ∽△AOB ，∴∠ACD=∠OAB ，∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD ，即∠BAC=∠BCD ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形则△POC 也为锐角三角形，点P 在第四象限，由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是26y x =-，设P ()26t t -，（0<t<3）， 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则OH=t ，PH=6-2t ，①当∠POC=∠ABC 时，由tan ∠POC=tan ∠ABC 得PH AO OH BO =， ∴623t t -=，解得65t =， ∴P 161855⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②当∠POC=∠ACB 时，由tan ∠POC=tan ∠ACB=tan45°=1得1PH OH =， ∴621t t-= ，解得2t =， ∴P 2()22-，，综上得P 161855⎛⎫- ⎪⎝⎭，或P 2()22-，.6．（1）抛物线解析式：y=x 2﹣x+3；tan ∠BAC=；（2）点P 坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）；（3）M 点坐标（，）.解：（1）∵抛物线y=x 2+mx+n 过点A （0，3），点C （3，0）． ∴ ，解得：n=3，m=﹣，∴抛物线解析式：y=x2﹣x+3当y=0时，0=x2﹣x+3∴x1=3，x2=2∴D点坐标（2，0）∵抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点∴，解得：，；∴B点坐标（4，1）∵A（0，3），C（3，0），B（4，1）∴AB=2，BC=，AC=3，∵AB2=20，BC2=2，AC2=18∴AB2=BC2+AC2．∴∠ACB=90°∴tan∠BAC==，（2）设P（a，a2﹣a+3），若点P在点A的下方，则PQ=a＞0∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°∴或，若，则3AQ=PQ 即3[3﹣（a2﹣a+3）]=a解得a=，a=0（不合题意舍去）∴点P（，）若，则AQ=3PQ 即[3﹣（a2﹣a+3）]=3a解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1（不合题意舍去）若点P在点A上方，且在y轴左侧，则PQ=﹣a＞0∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°∴或若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣a解得：a=0（不合题意舍去），a=（不合题意舍去）若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣3a解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1∴点P（﹣1，6）若点P在点A上方，且在y轴右侧，则PQ=a＞0∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°∴或若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=a解得：a=0（不合题意舍去），a=，∴点P（，）若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=3a解得：a=0（不合题意舍去），a=11，∴点P（11，36）综上所述：点P坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）（3）∵A（0，3），B（4，1）∴直线AB的解析式：y=﹣x+3作点O关于直线AB的对称点O'（，）∴OM+DM=O'M+DM根据两点之间，线段最短，则当O'，M，D三点共线时，OM+DM值最小．连接O'D交AB于M∵O'（，），D（2，0）∴O'D解析式：y=12x﹣24则解得：∴M点坐标（，）。

上海市各区2019届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B .（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点(A ∴04=+-m ∴4=m ∵直线m x y +=的经过点(B ∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点B 的坐标为)3,1(- ∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c图7∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分∴23=AB ,2=AP ,52=PB ∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分 ∴PBAP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分 （3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDBQB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ ……………1分 ∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD =∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8 又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）备用图第24题图∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD（ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOAC BOAD ，∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-= ①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OHPH=，∴326=-tt，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分）②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P（ 2分）综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次2(0)y ax bx c a =++≠，………………………1将A （0,3）、B （4，）、C （3,0 3.c ⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分 所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+ ……………………………1分 （2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0）∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB += ∴90ACB =︒∠ ………………………………………………………2分∴13BC tan BAC AC ===∠ ……………………………………………2分 （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H 设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3）∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ………………………1分∴点P的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分2° PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠即3PHAH= ∴231522x x x =- 解得173x =…………………………1分 ∴点P的坐标为1744(,)39……………………………………………………1分 奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （如图8），抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y对称轴为直线，过点C 作直线的垂线，垂足为点E ，联结（1）当点C （0，3）时，① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE ；（2）当CB 平分∠DCO 时，求m 的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：013b cc =++⎧⎨=⎩，———————————————————（2分） 解得：43b c =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为243y x x =-+. ——————————————（1分）（2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分）作DT ⊥y 轴于点T ,则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.————————（3分）（3）令P ()()2,432p p p p -+>.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，————————————（2分）解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为图8直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．24．解：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0）， ∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．……………………………（2分） ∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+…………………………………（1分）顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得： =，解得：m=2，…（2分）∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+………………………（1分）∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………（1分）∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ， 又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-，………（1分） 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………（1分）∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分） 静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD 是等腰梯形， 且AD //BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴aax 28-=，即4=x ． …………（1分）点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴0=c ， …………（1分）将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a …………………………（1分）∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=…………………………（1分）（2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ） 又∵MA =MC ，即22MC MA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） …………………（2分）∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCM 为梯形，AB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入b kx y BC += 可得⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，x y AD 3-=…（1分）又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x , …………………………（1分） 解得11=x (不合题意，舍去)， 5132=x …………………………（1分）∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．……………………（1分）闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点（1）求抛物线的解析式和顶点D （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分）O BC AMx（第24题图）∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分）∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC∆中，1ta n3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =DC =AD =，∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=， ∴1tan 3DC DAC AC∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分）∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠， 即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分）（3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-， 化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分）由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得1134x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2234x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭．…（2分） 普陀区24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ． （1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由． 24．解：（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-. ···· （1分）由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =.（1分）（2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3. ···· （2分）图10xy1 1O∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫⎪⎝⎭. ·· （1分）∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ····· （1分） ①如果BG BCCB CD ＝，2，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1.························· （1分）②如果BG BCCD CB＝，那么352m -，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭. ······················ （1分）综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫⎪⎝⎭． （3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫⎪⎝⎭. ········· （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．24．解：（1x 1分） 2bx ++分）解得1=a ，4=-b ． ············ （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ····· （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． · （1分） ∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ············· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ··················· （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积，∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ·· （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即 OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +，即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ···· （1分） 同理，得点252F （-,0） ·············· （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得34=OF OF OC ==3F ）、4F （）（2分）综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．24．（本题满分12分，每小题各4分）解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，-∴ 112a b ba+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为：y=x 2-2x （2）∵点P 的横坐标为m ，(第24题图)∴P 的纵坐标为：m 2-2m ……………………………1分 令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN = m 2-2m ，ON =m ，O M =1由PN BMON OM=得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分（3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分∴1t =+1t =舍去）………………………………1分∴ P 的坐标为（1）……………………………………1分 徐汇区24. 如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A . （1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴 交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时， 求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠=∠，求点D的坐标.DBA CAO杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。