最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的综合应用》课后导练

课后导练基础达标1.5名成人要带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同排法种数有( )A.2455A A B.2555A A ∙ C.2655A A ∙D.66774A A -解析:先排大人,共有55A 种小孩有4个空可插,有24A 种插法根据分步计数原理N =2455A A (种答案:A2.八名学生排成前后两排,计算其排法种数,在下列答案中错误的是(A.前后两排各4人,共有4448A A 种排法B.前3人,后5人有88A 种排法C.前3人,后5人,甲必站前排有442313A A A 种排法D.前3人,后5人,甲不站前、后两排的正中,有776A 种排法解析:甲站前排有13A 种排法,其余全排有77A 种排法∴应该是7713A A ∙答案:C3.用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,要求五位数比20 000大且不是5的倍数,这样的五位数共有(A.108个B.78个C.72个D.36个解析:以2开头的且5不结尾的五位数有3313A A ∙=18(种以3、4开头的且5不结尾的五位数有331312A A A =36(种以5开头的有44A =24(种∴N =78(种 答案:B4.用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的六位数,要求个位数字小于十位数字,这样的六位数共有…(A.210个B.300个C.464个D.600个 解析:(1)当个位是0时,十位有5种情况∴N 1=5·44A =120(种(2)当个位是1时,十位有4种情况, 并且不以0开头∴N 2=3313A A ∙·4=72(种(3)当个位是2时,十位有3种情况, 并且不以0开头∴N 3=3313A A ∙·3=54(种(4)当个位是3时,十位有2种情况, 且不以0开头∴N 4=3313A A ∙·2=36(种(5)当个位是4时,十位有1种情况, 且不以0开头∴N 5=3313A A ∙=18(种∴N =120+72+54+36+18=300(种 答案:B5.要排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单,要求合唱节目不连排而且不排在第一个节目,那么不同的节目单有(A.7 200种B.14 400种C.1 200种D.2 880种解析:先排独唱有55A 种排法,有6个空.合唱插空,有5个空符合条件,有35A 种插法∴N =3555A A ∙=7 200(种答案:A6.若a ∈{1,2,3,5},b ∈{1,2,3,5},则方程x aby =表示的不同直线条数为_________. 解析:(1)a =b 时,有y=x(2)a ≠b 时,有1314A A ∙=12条不同直线∴N =12+1=13(条答案:137.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有________种.解析:先排数学有33A 种排法再排外语有22A 种排法将数学、外语看成整体与其他书全排有55A 种排法∴N =552233A A A ∙∙=1 440(种答案:1 4408.由6名运动员中选4人参加400米混合游泳接力赛,其中甲不游仰泳,乙不游蝶泳,共有多少种选派方法?解析:(1)甲、乙都不选有44A =24种情况(2)选甲、乙中一个有341312A A C ∙=144种情况(3)甲、乙同时被选中①甲游蝶泳:2413A A ∙ =36(种②甲不游蝶泳:241212A A A =48(种∴N =36+48+144+24=252(种). 9.有6个人排成一排(1)甲和乙两个相邻的排法有多少种(2)甲、乙、丙三个两两不相邻的排法有多少种?解:(1)分两步:第一,甲、乙当作整体与其余4人进行全排列为55A 种;第二,甲、乙全排列为22A 种,则共有2255A A ∙=5!·2!=240(种(2)甲、乙、丙三人两两不相邻,分两步第一,甲、乙、丙三人之外的三个人全排列有33A 种;第二,对上述排列插空有34A 种,则共有3433A A ∙=3!×4×3×2=144种. 综合运用10.若n ∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n )…(29-n)·(30-n)等于(A.1020AB.1120nA -C.1030nA -D.1130nA -解析:mn A =n (n -1)…(n -m故原式=1130nA -答案:D11.不等式21-n A -n≤0的解是(A.nB.nC.n =2或nD.n =1或n =2或n =3 解析:∵n -1≥2,又(n -1)(n -2)≤n ∴n答案:A12.若2213623x x x A A A +=+则x =__________.解析:化简得3x 2-17x +10=0,解得x =5或x =32(舍去答案:5。

第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B 在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6B．24C．48D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A23＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为() A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种解析：分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法．所以排法共有A24＋A23＋A22＝20(种).答案：A二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A24种选法．由分步乘法计数原理知，选法共有3A24＝36(种)．答案：367．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A28＝448(个)．答案：448三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．10．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须相邻；(3)甲、乙两人不得相邻．解：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其余位置，有A44种站法，所以不同站法共有A36A44＝2 880(种)．(2)把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于6个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以站法共有A66A22＝1 440(种)．(3)法一先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以不同站法共有A55·A26＝3 600(种)．法二不考虑限制条件，共有A77种站法，除去甲、乙相邻的站法A66·A22，所以不同站法共有A77－A66·A22＝3 600(种)．B级能力提升1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1 543 B．2 543C．3 542 D．4 532解析：千位数为1时组成的四位数有A34个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A34个数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A34＝72，即3 542是第72个．答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：24小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

课堂指导三点剖析一、排列数组合数的运算【例1】 已知61-m n C =14mn C =211-m n C .解析：已知条件可化为)1()!1(6!+--∙m n m n=)!(!14!m n m n -∙=)!1()!1(21!--+∙m n m n ，又n!,（m-1）!（n-m-1）!都是正整数，故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-,)1(211)(141,141)1(61m m n m m n 即 ⎩⎨⎧=--=+-.0352,03103m n m n 解得⎩⎨⎧==.3,9m n 所以m n C 1-=38C =56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算，组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用. 二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 解析：把六门课程看成六个元素，把顺序看成位置（1）位置分析法：依第一节课的情况进行分类，有以下情况排法： ①第一节课排数学，第六节课排体育，共有44A 种排法. ②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有14A 44A 种排法. ③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有14A 44A 种排法. ④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种.（2）元素分析法：依数学课的排法进行分类，有以下情况的排法：①数学课排在第一节，体育课排在第六节，共有44A 种排法. ②数学课排在第一节，体育课不排在第六节，共有14A 44A 种排法. ③数学课不排在第一节，体育课排在第六节，共有14A 44A 种排法. ④数学课不排在第一节，体育课不排在第六节，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种. 温馨提示排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之，再排队”. 三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学.思路分析：若设共有n 名同学，则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来，从而得到一个关于n 的方程，解方程可求出n 的值.解：设共有n 名同学，首先从这n 名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有41-n A 种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有12A 种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有31-n A 种方法，共有12A ·3n A 种参赛方式，由分类计数原理共有41-n A +12A ·31-n A 种方法，根据题意，得 41-n A +12A ·31-n A =72解得n=5. 温馨提示对于这类较为复杂的问题，往往会感到无从下手，如果从竞赛学科角度来思考，则需分很多情况，容易出错，而我们可以采取“先取后排”的原则，即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答条理性强，有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简11A +222A +333A +…+nn nA . 解析：由于-n n A =n n n A ,则11A +222A +333A +…+n n n A=（22A -11A ）+（33A -22A ）+（44A -33A ）+…+11+-n n A -n n A=11++n n A -1=（n+1）!-1.变式提升 1求n n C 313++1312-+n n C +2311-+n n C +…+n n C -172的值. 解析：由n n C 313+知n 满足3n≤13+n ① 由n n C -112知n 满足17-n≤2n.②联立①②得317≤n≤213,而n ∈N *,所以n=6所以原式=1819C + 1718C +…+1112C =119C +118C +…+112C=19+18+…+12=124. 类题演练 2用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数. （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的四位偶数？解析：（1）直接法：15A 35A =300；间接法：46A -35A =300； （2）由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理，另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待.方法一：（直接法）0在个位的四位偶数有35A 个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在首位，应有12A ·14A ·24A 个.综上所述，共有35A +12A ·14A ·24A =156个.方法二：（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有13A ·35A ，其中第一位是0的有12A ·24A 个，故适合题意的数有13A ·35A ·24A =156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. （1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 解析：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种放法.（2）为全排列问题，共有44A =24种方法.（3）方法一：先将四个小球分为三组，有22111224A C C C 种， 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有34A 种投放方法，故共有22112224A C C C 34A =144（种）. 方法二:先取4个球中的两个“捆”在一起，有24C 种选法，把它与其他两个球，共3个元素分别放入4个盒子中的3个中，有34A 种， 所以共有24C 34A =144（种）. 类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A.140种B.84种C.70种D.35种解析：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有25C ·14C 种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有24C ·15C +14C ·25C =70（种）.答案：C 变式提升 34个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？解析：从4个小球中取出2个看成一个“大球”，有24C 种取法，再把这“3个球”全部放入3个盒子中，有33A 种方法，共有24C ·33A =36种放法.。

课后导练基础达标1.小于50 000且含有两个5而其他数字不重复的五位数有（ ）A.14A 24A 28A 个B.14C 24C 28A 个C.14C 24C 28C 个D.14C ·28C ·14A 个 解析：首位有14C 种排法，其余4个位置上排两个5，有24C 种排法，剩下的两个位置排法有28A 种，由分步计数原理得14C 24C 28A ，故选B.答案：B2.（2005福建高考，理9）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A.300种B.240种C.144种D.96种解析：能去巴黎的有4人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的人分别有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有4×5×4×3=240种，故选B.3.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个.（用数字作答）解析：合条件四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排.按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类： ①0排在个位能被5整除的四位数有11A ·（14C 24C ）33A =144个； ②0排在十、百位，但5必须排在个位有12A ·11A （14C 13C ）22A =48个； ③不含0，但5必须排在个位有11A ·（13C 24C ）33A =108个. 由分类计数原理得所求四位数共有300个.4.把10人平均分为两组，再从每组选正、副组长各一人.共有_________选法. 解析：分两步，先分组，再分别在每一组选正副组长，分组有51021C 种方法，每组选正副组长都有25A 种方法，总的选法种数为51021C 25A 25A =50 400种. 答案：50 4005.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一个空盒的放法有________种. 分析:本题是排列组合混合应用题，放在同一个盒中的两个球没有顺序问题，属于组合.而哪一个盒子中放两个球，则有顺序属于排列.四个盒子中的球数的模式为2，1，1，0，先从4个球中选两个球，有24C 种选法，由于4个盒子有编号，因此将2，1，1，0放入四个盒中时应有44A 种放法，故共有24C ·14A =144种放法. 综合运用6.某车队有车7辆，现要调出4辆按一定的顺序执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要在乙车前开出，则不同的调度方法种数是（ ）A.30B.60C.120D.240解析：因为甲、乙两车必须参加，所以从剩下5辆车中选出2辆车有25C 种选法，与甲、乙两车一起执行任务有14A 种选法.又甲车在乙车前与乙车在甲车前执行任务选法相同，所以符合要求的选法有2521C ×14A =120. 答案：C7.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A.90种B.180种C.270种D.540种解析：分两步完成：先分医生.3名医生分配到3所学校，每校1名，有13C 12C 11C ，即33A 种分法；6名护士分配到3所学校，每一校2名，有26C 24C 22C 种分法.由分步计数原理，分法共有33A 26C 24C 22C =540（种）答案：D8.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子展览，如果甲、乙两种种子不许放入第一号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A.210C 48AB.19C 59AC.18C 59AD.219C 59A 解析：分两步完成，将除甲、乙两种种子外的其余8种种子选1种放在1号瓶内，有18C 种放法；再把包括甲、乙在内的剩下的9种不同的种子选5种放入从2号瓶到6号瓶共5个不同的瓶子，有59A 种放法，依分步计数原理可得不同的放法共有18C 59A 种，故选C. 答案：C9.设A={a,b,c,d},B={e,f,g},映射f:A→B,满足条件；B 中任何元素都有原像，则这样的映射有_________个.解析：该映射特点为A 中两个元素对应B 中某一个元素，其余两元素与B 中另外2个元素对应，故有24C ·33A =36个.答案：36个 拓展探究10.集合A ，B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3},当A≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有多少.分析：这是已知A ∪B ，解A ，B 的逆向问题，一般来讲逆向问题往往不能保证唯一性，应根据题目的特征正确分类. 解析：（1）若A={a 1,a 2,a 3},则满足题设的B 可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B 有03C +13C +23C +33C =23（个），这时（A ，B ）有33C ·23对.（2）若A 为二元素集合，则A 有23C 种取法，其对应的B 有02C +12C +22C =22（个），这时（A ，B ）有23C ·22对.（3）若A 为单元素的集合，则A 有13C 种取法，其对应的B 有2个，这时（A ，B ）有13C ·2对.（4）若A 为空集，则A 有03C 种取法，其对应的B 有1个，这时（A ，B ）有03C ·20，综上，共有N=33C ·23+23C ·22+13C ·2+03C ·20=27对.备选习题11.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是（ ）A.9B.12C.15D.18 解析：如图所示：使1号盒分别装5、4、3、2、1个球时，共有N=1+2+3+4+5=15种. 答案：C12.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（ ）A.45种B.36种C.28种D.25种 解析：因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6次，一步二个台阶的有2次，那么六个1和二个2，不同的组合方案就构成了不同的走法，我们分类进行讨论.①两个2的位置不相邻，先把六个1排成一列那么有7个空挡可供两个2选择，这样有27C 种插法.②两个2相邻，这时把两个2当作一个，有7个空挡可供选择即有7种插法.故一共有27C +7种即28种不同的走法. 答案：C13.(2006辽宁高考，理15)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有___________种.（以数作答）解析：分两类：两老一新时，有13C ×12C 22A =12种排法；两新一老时，有12C 23C ×33A =36种排法，故一共有12+36=48（种）排法. 答案：4814.用红、绿、黄、蓝、白五种颜色涂在“田”字形的小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格不同色.如果颜色可以重复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解析：可分三类一类是四格均不同色，有45A =120种涂色方法；一类是有且仅有两格同色，则必定是相对两格，有15C ·2·24A =120种涂色方法；第三类是两组对角方格分别涂同色，有25A 种涂法.所以共有120+120+20=260种涂色方法.15.如图1所示，某人沿着网格线前进，他走最短路线：（1）这人从原点O （0，0）走到点P （5，4）可有多少条不同的行走路线？（2）若擦去从点A （2，1）到点B （2，2）这一段，也就是假设这一段禁止通行，这个人又有多少条不同的行走路线？ 解析：（1）这人从原点O （0，0）走到点P （5，4），必须向右行走5个单位，向上行走4个单位，这样任何一条行走路线都一一对应于从5+4个单位中选取4个位置向上走，无论向上走的4个位置排在9个单位中哪个位置上，共有49C =126条路线.（2）由（1）知，这人从原点O （0，0）走到A （2，1）的最短路线有13C 条，从点A （2，1）到点B （2，2）的最短路线则是唯一的，又从点B （2，2）到点P （5，4）的最短路线有25C 条.所以，这人不走AB 这一段，从原点O （0，0）走到点P （5，4）的最短路线有： 49C -13C 25C =96（条）。

第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种解析：分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以取法共有15＋6＝21(种)．答案：C2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析：依题意，满足题意的选法共有C24×2×2＝24(种)．答案：B3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A．24种B．18种C．12种D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C13种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A23种方法，所以所求方法有C13A23＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种B．20种C．36种D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C34＝10(种)．答案：A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种解析：依题意，所求播放方式的种数为C12C13A33＝2×3×6＝36.答案：C二、填空题6．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10(种)．答案：107．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案(用数字作答)．解析：分两类，第一类学生不选A，B，C中的任意一门，选法有C46＝15(种)．第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有C13C36＝60种选法．所以选法共有15＋60＝75(种)．答案：758．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58(个)．答案：58三、解答题9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C26场比赛，4个组共计4C26场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C28场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C28＝4(场)．综上，两轮比赛共进行4C26＋C28－4＝84(场)．10．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解：(1)分三步：选选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25有种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知选法有C16C25C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此选法共有C16C25C33A33＝360(种)．(3)先分三步，则应是C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书分别为A，B，C，D，E，F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，AB，CD)，(EF，CD，AB)共A33种情况，而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90(种)．B级能力提升1．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个解析：此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个)．答案：D2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．答案：23．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一依0与1两个特殊值分析，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．综上所述，不同的三位数共有C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A33＝432(个)．法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故可组成的不同三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

排列与组合综合(二)课后练习题一：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？题二：求方程x+y+z=10的正整数解的个数.题三：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？题四：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36种B．48种 C．72种D．96种题五：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？题六：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) 种A．60 B．48C．42 D．36题七：某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．题八：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) 种A．12B．18C．24D．48题九：将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．题十：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )A. 360B. 288C. 216D. 96排列与组合综合(二)课后练习参考答案题一： 69C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法.题二： 36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板)，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值， 故解的个数为29C =36(个). 题三： 6467A A ⋅种. 详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A ⋅种不同排法．题四： C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共3234A A ＝72种排法，故选C.题五： 30. 详解：记两个小品节目分别为A 、B .先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有15C 种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有16C 种方法.故由分步计数原理知，方法共有1156C C 30⋅=(种).题六： B. 详解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有2232C A =6种不同排法)，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间(若甲在A 、B 两端．则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间， 此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A 左B 右和A 右B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B ．题七： 120.详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有24C 种，最后，安排其他两辆车共有22A 种方法，故不同的调度方法为222542C C A ⋅⋅＝120种． 题八： C. 详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ，有22A 种方法; A 与戊机形成三个“空”，把丙、 丁两机插入空中有23A 种方法;考虑A 与戊机的排法有22A 种方法.由乘法原理可知共有222232A A A 24=种不同的着舰方法.故应选C ． 题九： 96.详解：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是444A ＝96.题十： B. 详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题， 先从3个女生中选两位，有23C 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有22A 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有33A 种不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中.有24A 种不同的排法，共有22322334A C A A 种不同的排法.然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.甲可能站左端，也可能是右端，有12C 种不同的方法，然后其它两个男生排列有22A 种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有23A 种不同的排法.共2212223223A C C A A 种不同的排法， 故总的排法为223222122233423223A C A A A C C A A -=288种不同的方法.。

课后导练基础达标1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方 式共有多少种?解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是2.写出下面问题中所有可能的排列.(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?(2)A 、B 、C 、D 四名同学站成一排照相，写出A 不站在两端的所有可能的站法，共有多少种?解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12 个.(2)所有可能的站法为：BACD 、BADC 、BCAD 、BDAC 、CABD 、CADB 、CBAD 、CDAB 、DACB 、DABC 、DBAC 、DCAB 共12种.3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )A.10B.24C.48D.60解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出14A ·24A =48(个)不同的方程.答案：B4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由乘法原理可知，共有55A ·22A =240种不同排法.选(C)5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法(只要求写出式子，不必计算)?解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为66A 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为47A ·66A 种.综合运用6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种( )A.4544A AB.354433A A AC.554413A A CD.554422A A A解析：选把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有22A 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为554422A A A ，故选D.7.从{1，2，3，4，…，20}中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有( )A.90B.180C.200D.120解析：从其中10个奇数中任选两个作为等差数列的首项和末项，则它们的等差中项为自然数(唯一确定)，这样的等差数列有210A 个.同理，从其中10个偶数中任选两个作为等 差数列的首项和末项的等差数列，也有210A 个，故共有2102A 个，选B.8.把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )A.36种B.120种C.720种D.1 440种解析：本题相当于6个不同元素站成一排，共有66A =720种，故选C.9.由1，2，3，4，5组成比40 000小的没有重复数字的五位数的个数是__________. 解析：要比40 000小首位数只能是1，2，3，所以应为13A ·14A =72个.答案：72.拓展探究10.如图，在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案. 解析：给六块区域依次标上字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，按间隔三块A ，C ，E 种植植物的种数分三类：1)若A ，C ，E 种同一种植物，有4种种法.当A ，C ，E 种植好后，B ，D ，E 各有3种种法.此时共有4×3×3×3=108种；2)若A ，C ，E 种2种不同植物，有24A 种种法.在这种情况下，若A ，C 种同一植物，则B 有3种种法，D ，F 各有2种种法；若C ，E 或E ，A 种同一植物，情况相同(只是次序不同)，此时共有24A ×3(3×2×2)=432种；3)若A ，C ，E 种3种不同植物，有34A 种种法.这时，B ，D ，F 各有2种种法.此时共有34A ×2×2×2=192种. 综上所述，不同的种植方案共有N=108+432+192=732(种).拓展探究11.从6名志愿者中选出4人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作，若其中两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种解析：可分三类：不能从事翻译工作的两名志愿者有0人当选、1人当选、两人当选.于是选派方案共有：24233413142A A A A A ∙+∙+=240(种),故选B. 12.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12解析：可分两类：一类是这两个节目相邻，另一类是这两个节目不相邻，于是不同插法的种数为262216A A A +∙=42,故选A.13.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )A.24种B.18种C.12种D.6种解析：由于黄瓜必须种植，故只需从剩下的3种蔬菜品种中再选出2种进行种植即可，不同的种植方法共有：13A ·23A =18种，故选B.14.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为( )A.1∶14B.1∶28C.1∶140D.1∶336 解析：28188552233=∙∙A A A A ,选B. 15.有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.解析：分两步：第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·33A =48(个)，故填48.16.晚会上有8个歌唱节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数( )A.88AB.811AC. 3988A A ∙D.88A ·38A解析：这是一个不相邻问题，故可用插空法来求，不同节目单的种数为3988A A ∙,故选C.。