二次函数与几何存在性问题探究课件

(x－2)2－2，
∴顶点D的坐标为(2，－2)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将D(2，－2)，C(6，6)代入，得
2k 6k

b b

2，解得
6
k b

2 6
，
∴直线CD的解析式为y＝2x－6，当x＝4时，y＝2,
∴B(4，2)，即AB＝2，OA＝4，
在Rt△BOA中，由勾股定理，得
设直线l与x轴的交点为点M，
则点D的坐标为(
5 ，3)，点M的坐标为(
2
5 2
，0)，
则CD＝ 5 ，PD＝|t－3|，PM＝|t|，BM＝4－ 5 ＝ 3 ，
2
∴PC2＝CD2＋PD2＝
245＋(t－3)2，
22
PB2＝PM2＋BM2＝t2＋ 94，BC2＝25，
第1题解图
当△BCP是直角三角形时，则有：
(ⅰ)当∠BCP＝90°时，即PC⊥BC，
PC2＋BC2＝PB2，即 25 ＋(t－3)2＋25＝t2＋9 ，
4
4
解得t= 19 ，此时点P的坐标为( 5 ，19 )；
3
23
(ⅱ)当∠PBC＝90°时，即BP⊥BC，
BP2＋BC2＝PC2，即t2＋
9 4
＋25＝
25 4
＋(t－3)2，
解得t＝－2，此时点P的坐标为( 5 ，－2)；
例题图③
解：△OCD是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得 OC2＝62＋62＝72， OD2＝22＋(－2)2＝8， CD2＝(6－2)2＋(6＋2)2＝80， ∵OC2＋OD2＝CD2， ∴△OCD是直角三角形；
(4)在x轴上是否存在一点E，使△COE是以OC为斜边的直角三角形；

点P、Q、B、O为顶点的四边形
为平行四边形，直接写出相应的 A
C
点Q的坐标．
33
①点AC为对角线
0

0

4 3
a

m
a

a


1 3
a

m2

2m

a
m

5 2
a


15 8
②点AN为对角线
0 a

4 3 1 3
a a

0m a m2

2m

a
am18255 （舍）
③点AP为对角线
0 a
先求出A(0，a)，C (0， -a)，设P(m，m2-2m+a) 根据A(0，a) ,M（1，a-1）,先求出 直线AM的解析式为y=-x+a,再根据 直线y = 0.5x - a与直线AM的交点为 N可求出点N的坐标。
N(4 a, 1 a) 33
先求出A(0,a)，C (0, -a)，N ( 4 a, 1 a) ， 设P(m,m2-2m+a)
为平行四边形的对角线三种情况进行讨论
例题图④
③根据平行四边形顶点规律列方程组求出点H的坐标；
解：存在，理由如下：假设存在满足条件的点H ， 已知A（1，０），Ｃ（０，３） 设G点坐标为(2,a)，H点坐标为(n，n2－4n＋3) 分三种情况： ①当AC为对角线时，
②当AG为对角线时，
③当GC为对角线时， 这种情况不存在
四边形？如果存在，请求出E点的坐标；如果不存在，请
说明理由； 解：存在；假设存在满足条件的点E，
已知D (2，－1)，B(3，0)，C(0，3) ，设E（ｘ，ｙ）

解析
(1)由题意知，点 A 与点 B 关于直线 x＝－1 对
称，A(－3，0)，
∴B(1，0)． (2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x2＋2x
＋c 中得 c＝－3， ∴该抛物线的关系式为 y＝x2＋2x－3.
∵S△BOC＝12·OB·OC＝21×1×3＝32，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.
故经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式是 y＝－12x2＋32x＋2.
解析
(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－232＋285，
∴M 32，285.
设直线 MC 对应的函数关系式是 y＝kx＋b，
把 C(0，2)，M
32，285
代入，得285＝32k＋b， b＝2，
－－322－3×－32＝94.
总结：
解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二 次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．
探究二.二次函数与四边形的结合
例2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象 与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)， 点P是直线BC下方抛物线上的动点．
总结：此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次 函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的 对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
探究四.二次函数与圆的结合
例4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)， 以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴 正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函 数关系式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对 应的函数关系式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明 你的结论．

(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶 点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使 △NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在， 求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
假设存在满足题意的点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋ 1上，可设点N坐标为(x0，x20－3x0＋1)．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
(1)求抛物线对应的函数解析式．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，
∴
0＝1＋ b＋ c，
2＝
c，
解得
b＝－ 3，
c＝
2
.
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－3x＋2.
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3
当x0> 2 时，如图②，
1
1
3
同理可得 2 ×1×x0＝2× 2 ×1×(x0－ 2 )，
∴x0＝3，此时x20－3x0＋1＝1，
∴点N的坐标为(3，1)．
综上，存在符合条件的点N，其坐标为(1，－1)或(3，1)．
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(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移 后所得抛物线对应的函数解析式．
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确