第4章ADAMS软件基本算法本章主要介绍ADAMS软件的基本算法，包括ADAMS建模中的一些基本概念、运动学分析算法、动力学分析算法、静力学分析及线性化分析算法以及ADAMS软件积分器介绍。
通过本章的学习可以对ADAMS软件的基本算法有较深入的了解，为今后合理选择积分器进行仿真分析提供理论基础，为更好地使用ADAMS打下良好的理论基础。
4.1 ADAMS建模基础ADAMS利用带拉格朗日乘子的第一类拉格朗日方程导出――最大数量坐标的微分－代数方程（DAE）。
它选取系统内每个刚体质心在惯性参考系中的三个直角坐标和确定刚体方位的三个欧拉角作为笛卡尔广义坐标，用带乘子的拉格朗日第一类方程处理具有多余坐标的完整约束系统或非完整约束系统，导出以笛卡尔广义坐标为变量的动力学方程。
4.1.1 参考标架在计算系统中构件的速度和加速度时，需要指定参考标架，作为该构件速度和加速度的参考坐标系。
在机械系统的运动分析过程中，有两种类型的参考标架——地面参考标架和构件参考标架。
地面参考标架是一个惯性参考系，它固定在一个“绝对静止”的空间中。
通过地面参考标架建立机械系统的“绝对静止”参考体系，属于地面标架上的任何一点的速度和加速度均为零。
对于大多数问题，可以将地球近似为惯性参考标架，虽然地球是绕着太阳旋转而且地球还有自转。
对于每一个刚性体都有一个与之固定的参考标架，称为构件参考标架，刚性体上的各点相对于该构件参考标架是静止的。
4.1.2 坐标系的选择机械系统的坐标系广泛采用直角坐标系，常用的笛卡尔坐标系就是一个采用右手规则的直角坐标系。
运动学和动力学的所有矢量均可以用沿3个单位坐标矢量的分量来表示。
坐标系可以固定在一个参考标架上，也可以相对于参考框架而运动。
合理地设置坐标系可以简化机械系统的运动分析。
在机械系统运动分析过程中，经常使用3种坐标系：（1）地面坐标系（Ground Coordinate System）。
地面坐标系又称为静坐标系，是固定在地面标架上的坐标系。
ADAMS中，所有构件的位置、方向和速度都用地面坐标系表示。
（2）局部构件参考坐标系（Local Part Reference Frame，LPRF）。
这个坐标系固定在构件上并随构件运动。
每个构件都有一个局部构件参考坐标系，可以通过确定局部构件参考坐标系在地面坐标系的位置和方向，来确定一个构件的位置和方向。
在ADAMS中，局部构件参考坐标系缺省与地面坐标系重合。
（3）标架坐标系（Marker System）。
标架坐标系又称为标架，是为了简化建模和分析在构件上设立的辅助坐标系，有两种类型的标架坐标系：固定标架和浮动标架。
固定标架机械系统动力学分析及ADAMS 应用固定在构件上，并随构件运动。
可以通过固定标架在局部构件参考坐标系中的位置和方向，确定固定标架坐标系的位置和方向。
固定标架可以用来定义构件的形状、质心位置、作用力和反作用力的作用点、构件之间的连接位置等。
浮动标记相对于构件运动，在机械系统的运动分析过程中，有些力和约束需要使用浮动标架来定位。
动力学方程的求解速度很大程度上取决于广义坐标的选择。
研究刚体在惯性空间中的一般运动时，可以用它的质心标架坐标系确定位置，用质心标架坐标相对地面坐标系的方向余弦矩阵确定方位。
为了解析地描述方位，必须规定一组转动广义坐标表示方向余弦矩阵。
第一种方法是用方向余弦矩阵本身的元素作为转动广义坐标，但是变量太多，同时还要附加六个约束方程；第二种方法是用欧拉角或卡尔登角作为转动坐标，它的算法规范，缺点是在逆问题中存在奇点，在奇点位置附近数值计算容易出现困难；第三种方法是用欧拉参数作为转动广义坐标，它的变量不太多，由方向余弦计算欧拉角时不存在奇点。
ADAMS 软件用刚体iB 的质心笛卡尔坐标和反映刚体方位的欧拉角作为广义坐标，即Ti z y x q ],,,,,[ϕθψ=，TT n T T q q q q ],,,[21 =。
由于采用了不独立的广义坐标，系统动力学方程虽然是最大数量，但却是高度稀疏耦合的微分代数方程，适用于稀疏矩阵的方法高效求解。
4．2 ADAMS 运动学分析4.2.1 ADAMS 运动学方程利用ADAMS 建立机械系统仿真模型时，系统中构件与地面或构件与构件之间存在运动副的联接，这些运动副可以用系统广义坐标表示为代数方程，这里仅考虑完整约束。
设表示运动副的约束方程数为nh ，则用系统广义坐标矢量表示的运动学约束方程组为： 12()[(),(),...,()]0KKKKTnh q q q q Φ=ΦΦΦ= （4-1）考虑运动学分析，为使系统具有确定运动，要使系统实际自由度为零，为系统施加等于自由度（nh nc -）的驱动约束：0),(=Φt q D (4-2)在一般情况下，驱动约束是系统广义坐标和时间的函数。
驱动约束在其集合内部及其与运动学约束合集中必须是独立和相容的，在这种条件下，驱动系统运动学上是确定的，将作确定运动。
由式（4-1）表示的系统运动学约束和式（4-2）表示的驱动约束组合成系统所受的全部约束：0),(),(),(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΦΦ=Φt q t q t q D K (4-3)第4章 ADAMS 软件基本算法式（4-3）为nc 个广义坐标的nc 个非线性方程组，其构成了系统位置方程。
对式(4-3)求导，得到速度约束方程：0),(),(),,(=Φ+Φ=Φt q q t q t q q t q (4-4) 若令),(t q t Φ-=υ，则速度方程为：0),(),,(=-Φ=Φυq t q t q q q (4-5) 对式(4-4)求导，可得加速度方程：0),(),(2)),((),(),,,(=Φ+Φ+Φ+Φ=Φt q q t q q q t q q t q t q q q tt qt q q q (4-6) 若令tt qt q q q q qΦ-Φ-Φ-= 2)(η，则加速度方程为： 0),,(),(),,,(=-Φ=Φt q q q t q t q q q q η (4-7) 矩阵q Φ，为雅可比矩阵，如果Φ的维数为m ，q 维数为n ，那么q Φ维数为n m ⨯矩阵，其定义为j i j i q q ∂Φ∂=Φ),()(。
在这里q Φ为nc nc ⨯（nh 个运动学约束，nc －nh 个驱动约束，nc 个广义坐标）的方阵。
4.2.2 ADAMS 运动学方程的求解算法在ADAMS 仿真软件中，运动学分析研究零自由度系统的位置、速度、加速度和约束反力，因此只需求解系统的约束方程：(,)0n q t Φ= (4-8)运动过程中任一时刻n t 位置的确定，可由约束方程的Newton-Raphson 迭代法求得：(,)0j q j j n q q t Φ∆+Φ= (4-9)其中，1j j j q q q +∆=-，表示第j 次迭代。
n t 时刻速度、加速度可以利用线性代数方程的数值方法求解，ADAMS 中提供了两种线性代数方程求解方法：CALAHAN 方法（由Michigan 大学 Donald Calahan 教授提出）与HARWELL 方法（由HARWELL 的Ian Duff 教授提出 ），CALAHAN 方法不能处理冗余约束问题，HARWELL 方法可以处理冗余约束问题，CALAHAN 方法速度较快。
1q t q-=-ΦΦ (4-10) 1()2q q q qt tt q q q q -⎡⎤=-ΦΦ+Φ+Φ⎣⎦ (4-11)机械系统动力学分析及ADAMS 应用4．3 ADAMS 动力学分析4.3.1 ADAMS 动力学方程ADAMS 中用刚体B 的质心笛卡尔坐标和反映刚体方位的欧拉角作为广义坐标，即[,,,,,]T q x y z ψθϕ=，令[],,T R x y z =，[],,Tγψθφ=，[,]T T T q R γ=。
构件质心参考坐标系与地面坐标系间的坐标变换矩阵为：cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos gi A ψφψθφψφψθφψθψφψθφψφψθφψθθφθφθ---⎡⎤⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4-12）定义一个欧拉转轴坐标系，该坐标系的三个单位矢量分别为上面三个欧拉转动的轴，因而三个轴并不相互垂直。
该坐标系到构件质心坐标系的坐标变换矩阵为：sin sin 0cos sin cos 0sin cos 10B θφθθφθθ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4-13） 构件的角速度可以表达为：B ωγ= （4-14）ADAMS 中引入变量e ω为角速度在欧拉转轴坐标系分量：e ωγ= （4-15）考虑约束方程，ADAMS 利用带拉格朗日乘子的拉格朗日第一类方程的能量形式得到如下方程:1()nj i i j j jd T T Q dt q q q λ=∂∂∂Φ-=+∂∂∂∑ (4-16) T 为系统广义坐标表达的动能，j q 为广义坐标，j Q 为在广义坐标j q 方向的广义力，最后一项涉及约束方程和拉格朗日乘子表达了在在广义坐标j q 方向的约束反力。
ADAMS 中近一步引入广义动量：j jT P q ∂=∂ (4-17)第4章 ADAMS 软件基本算法简化表达约束反力为：1nj ii jC q λ=∂Φ=∂∑ （4-18） 这样方程(4-16）可以简化为：j j jjT P Q C q ∂-=-∂ (4-19) 动能可以近一步表达为：1122T T TT R MR B JB γγ=+ (4-20) 其中M 为构件的质量阵，J 为构件在质心坐标系下的惯量阵。
将(4-19)分别表达为移动方向与转动方向有：R R RR T P Q C q ∂-=-∂ (4-21) T P Q C q γγγγ∂-=-∂ (4-22) 其中()RR d d T P MR MV q dt dt⎛⎫∂=== ⎪∂⎝⎭ ，0R T q ∂=∂。
(4-21)式可以简化为：R R MV Q C =- (4-23) T T P B JB q γγγ⎛⎫∂==⎪ ⎪∂⎝⎭，由于B 中包含欧拉角，为了简化推导，ADAMS 中并没有进一步推导P γ，而是将其作一个变量求解。
这样ADAMS 中每个构件具有如下15个变量（而非12个）和15个方程（而非12个）。
变量：机械系统动力学分析及ADAMS 应用[][],,,,,,,,,,Tx y z T T Te T V V V V R x y z P P P P γψθφψθφωωωωγψθφ⎧⎡⎤=⎣⎦⎪⎪=⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪⎡⎤⎪=⎣⎦⎪⎪=⎩(4-24)方程：R RT e e MV Q CV R TP Q C q P B JB γγγγγωωγ⎧=-⎪⎪=⎪∂⎪-=-⎨∂⎪⎪=⎪⎪=⎩(4-25)集成约束方程ADAMS 可自动建立系统的动力学方程――微分－代数方程：()0,0(,,)T T q T P H F q T P q u q q t F f u q t λ∂⎧-+Φ+=∂⎪⎪∂=⎪∂⎪⎨=⎪⎪Φ=⎪=⎪⎩(4-26)其中，P 为系统的广义动量；H 为外力的坐标转换矩阵。
