高考数学-解三角形知识点

高考文数
第四章
三角函数
§4.4
考点 用正、余弦定理解三角形
1.正、余弦定理
解三角形
知识清单
2.解三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A时,解的情况如下:
上表中A为锐角时,a<bsin A无解;A为钝角时,a=b,a<b均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形的面积 设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角为A,B,C,其面积为S,外接圆半 径为R.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
; (4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B>
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C;
(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C A B
5 a sin A = . 5 4b 5
2 5 由(1)知,A为钝角,所以cos B= 1 sin 2 B = .
4 ,cos 2B=1-2sin2B= 3, 于是sin 2B=2sin Bcos B= 5 5 4 3 2 5 2 5 5 - 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A= × × =- . 5 A B C =cos ;cos =sin . 2 2 2 2
方法技巧
方法 1 正弦定理和余弦定理的应用方法

高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::= 3化角为边二.三角形面积1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a 3．利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222③若， 所以为钝角，则是钝角三角形3 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3）已知两边和一个角，求其他边和角 五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2）三角形三边关系： 两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，；3）在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)22cos 1cos ;22cos 1sin 22αααα+=-=(4)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。

类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.【答案】(1)2π3(2)33,3 2【详解】(1)由c=2a cos C-b得2a cos C=c+2b，由正弦定理得2sin A cos C=sin C+2sin B=sin C+2sin A+C=sin C+2sin A cos C+2cos A sin C，所以2cos A sin C+sin C=0，又因为C∈0，π，所以sin C≠0，所以cos A=-12，又A∈0，π，所以A=2π3，(2)由c2+a2=b2+3ac，得c2+a2-b2=3ac，由余弦定理知cos B=c2+a2-b22ac =32，又因为B∈0，π，所以B =π6，所以C =π-A -B =π6，所以b =c =2，如图，设∠BAM =α,则∠CAN =π3-α,∠BMA =5π6-α,∠CNA =π2+α，在△ABM 中，由正弦定理可知AM =c sin B sin ∠BMA =2sin π6sin 5π6-α =1sin π6+α ，在△ANC 中，由正弦定理可知AN =b sin C sin ∠CNA =2sin π6sin π2+α =1cos α，故S △AMN =12AM ⋅AN ⋅sin ∠MAN =12⋅1sin α+π6 ⋅1cos α⋅sin π3=34sin α+π6cos α=323sin α+cos α cos α=323sin αcos α+2cos 2α=33sin2α+cos2α+1=32sin 2α+π6 +1，因为α∈0，π3 ，所以π6<2α+π6<5π6，所以12<sin 2α+π6 ≤1，所以2<2sin 2α+π6 +1≤3，所以33≤32sin 2α+π6 +1<32，即S △AMN ∈33，32.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1)π6(2)8-43【详解】(1)由题意，在△ABC 中，3c sin B =a -b cos C ，∵a sin A=b sin B =csin C ，A +B +C =π∴3sin C sin B =sin A -sin B cos C ,即3sin C sin B =sin B +C -sin B cos C ，∴3sin B -cos B sin C =0，∵sin C ≠0，0<B <π∴3sin B -cos B =0，可得tan B =33，解得：B =π6.(2)由题意及(1)得在△ABC 中，B =π6，DC =AD ，BD =2，∴D 为边AC 的中点，4BD2=4×22=16∴2BD =BA +BC ,∴4BD 2=BA +BC 2=BA 2+2BA ⋅BC +BC 2，即4BD 2=BA 2+2BA BC cos B +BC 2=16，设BA =c ，BC =a ，则a 2+c 2+2ac cos π6=a 2+c 2+3ac =16≥2+3 ac ，所以ac ≤162+3=32-163，当且仅当a =c 时，等号成立.∴S △ABC =12ac sin B =14ac ≤8-43，当且仅当a =c 时，等号成立，∴△ABC 的面积的最大值为8-4 3.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)A =π3(2)6439【详解】(1)∵2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ，∴2a 2=2b -c b +2c -b c ，即a 2=b 2+c 2-bc ，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =12，∵A ∈0,π ∴A =π3．(2)根据题意可得AD =AB +BD =AB +34BC =14AB +34AC，所以平方可得16=116c 2+916b 2+38bc cos π3．又256=c 2+9b 2+3bc ≥9bc ，所以bc ≤2569，当且仅当b =1639，c =1633时，等号成立，所以S =12bc sin π3≤12×2569×32=6439，即△ABC 面积的最大值为6439．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．【答案】(1)2π3(2)33【详解】(1)由c =2a cos C -b 得2a cos C =c +2b ，由正弦定理得2sin A cos C=sin C+2sin B，因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C，所以2cos A sin C+sin C=0．又因为C∈(0,π)，所以sin C≠0，所以cos A=-1 2 .因为A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)由c2+a2=b2+3ac得c2+a2-b2=3ac，故cos B=c2+a2-b22ac=32．因为B∈(0,π)，所以B=π6，所以C=π-A-B=π6，可得b=c=2.根据正弦定理asin A=bsin B可得，a=b sin Asin B=2×3212=2 3.设BM=m，CM=n，在△BMC中，∠BMC=π3，由余弦定理可得a2=m2+n2-2mn cos π3=m2+n2-mn=12.所以12=m2+n2-mn≥2mn-mn=mn，当且仅当m=n=23时取等号，所以mn≤12.所以S△MBC=12mn sinπ3=34mn≤34×12=33．故△BMC面积的最大值为33．5在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C-sin B)，D为BC边上一点，AD平分∠BAC,AD=2．(1)求角A；(2)求△ABC面积的最小值．【答案】(1)A=π3；(2)433【详解】(1)由(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C-sin B)，可得(a+b)(a-b)=c(c-b)，整理得b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，则A=π3 .(2)过点D 作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，又∠DAC =∠DAB =π6,AD =2，则DF =DE =1，则S △ABC =12bc sin A =12b +c ⋅1，则3bc =2b +c ，又b +c ≥2bc (当且仅当b =c 时等号成立)，则3bc ≥4bc ，则bc ≥163，则S △ABC =12bc sin A ≥433(当且仅当b =c 时等号成立)，则△ABC 面积的最小值为433．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6 ；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3(2)3【详解】(1)解：选①：因为m =2a -c ,b ，n=cos C ,cos B 由m ⎳n ，可得(2a -c )cos B -b cos C =0，由正弦定理得:(2sin A -sin C )cos B -sin B cos C=2sin A cos B -sin C cos B +sin B cos C =2sin A cos B -sin (B +C )=0，因为B +C =π-A ，可得sin B +C =sin A ，所以2sin A cos B -sin A =0，又因为A ∈(0,π)，可得sin A >0，所以cos B =12，因为B ∈(0,π)，所以B =π3.选②：因为b sin A =a cos B -π6，由正弦定理得sin B sin A =sin A ⋅32cos B +12sin B，又因为A ∈(0,π)，可得sin A >0，则sin B =32cos B +12sin B ，即12sin B =32cos B ，可得tan B =3，因为B ∈(0,π)，所以B =π3.选③：因为a +b a -b =a -c c ，可得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3.(2)解：因为B =π3，且b =2，由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+c 2-2ac cos π3，可得a 2+c 2-ac =4，又由a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ，当且仅当a =c 时，等号成立，所以ac ≤4，所以△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B ≤12×4×sin π3=3，即△ABC 的面积的最大值为 3.类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD.(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.【答案】(1)23(2)2+23【详解】(1)由CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，则CD=b cos C ，即2c sin B =5b cos C ，根据正弦定理，2sin C sin B =5sin B cos C ，在锐角△ABC 中，B ∈0,π2，则sin B >0，即2sin C =5cos C ，由C ∈0,π2 ，则cos 2C +sin 2C =1，整理可得cos 2C +54cos 2C =1，解得cos C =23.(2)由a =3c cos B ，根据正弦定理，可得sin A =3sin C cos B ，在△ABC 中，A +B +C =π，则sin B +C =3sin C cos B ，sin B cos C +cos B sin C =3sin C cos B ，sin B cos C =2sin C cos B ，由(1)可知cos C =23，sin C =1-cos 2C =53，则sin B =5cos B ，由sin 2B +cos 2B =1，则5cos 2B +cos 2B =1，解得cos B =66，sin B =306，根据正弦定理，可得b sin B =c sin C，则c =sin C sin B b =2，a =62c =3，故△ABC 的周长C △ABC =a +b +c =23+ 2.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．【答案】(1)9(2)3+3．【详解】(1)在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC cos D =AD 2+DC 2-AD ⋅DC =(AD +DC )2-3AD ⋅DC ≥(AD +DC )2-3AD +DC22=(AD +CD )24，即9≥(AD +CD )24，解得：AD +DC ≤6，当且仅当AD =DC =3时取等号．故△ACD 周长的最大值是9．(2)设∠DAC =α，则∠DCA =120°-α，∠BCA =α-45°．在△ACD 中，CD sin α=AC sin60°，在△ACB 中，AB sin α-45° =AC sin105°，两式相除得，2sin α-45° sin α=sin105°sin60°，因为sin105°=sin 45°+60° =sin45°cos60°+cos45°sin60°=6+24，∴(6-2)sin α=26cos α，故tan ∠DAC =tan α=266-2=3+3．9已知△ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ．点O 为△ABC 的内心，b =23且S =34(a 2+c 2-b 2)．(1)求B 的大小；(2)求△AOC 的周长的取值范围．【答案】(1)B=π3(2)43,4+23【详解】(1)因为S=34(a2+c2-b2)=12ac sin B，所以34×2ac cos B=12ac sin B，即3cos B=sin B，可得tan B=3，因为B∈(0,π)，所以B=π3．(2)设△AOC周长为l，∠OAC=α，如图所示，由(1)知B=π3，所以0<∠BAC<2π3，可得0<α<π3，因为点O为ΔABC的内心，OA，OC分别是∠A，∠C的平分线，且B=π3，所以∠AOC=2π3，在△AOC中，由正弦定理可得OAsinπ3-α=OCsinα=23sin2π3，所以l=OA+OC+AC=4sinα+4sinπ3-α+23=4sinα+432cosα-12sinα+23=2sinα+23cosα+23=4sinα+π3+23，因为α∈0,π3，所以α+π3∈π3,2π3，可得sinα+π3∈32,1，可得△AOC周长l=4sinα+π3+23∈43,4+23．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．【答案】(1)π6(2)3+3,2+23【详解】(1)sin A-sin B3a-c=sin Ca+b，由正弦定理得：a-b3a-c=ca+b，即a2+c2-b2=3ac，由余弦定理得：cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B∈0,π，所以B=π6；(2)锐角△ABC中，a=2，B=π6，由正弦定理得：2sin A =bsinπ6=csin C，故b=1sin A,c=2sin Csin A=2sin A+π6sin A=3sin A+cos Asin A，则b+c=3sin A+cos A+1sin A=3+1+1cos Atan A=3+1+1+tan2Atan A=3+1tan A +1tan2A+1，因为锐角△ABC中，B=π6，则A∈0,π2，C=π-π6-A∈0,π2，解得：A∈π3,π2 ，故tan A∈3,+∞，1tan A ∈0,33，则1tan2A+1∈1,233,3+1tan A+1tan2A+1∈1+3,23，故b+c∈1+3,23，a+b+c∈3+3,2+23所以三角形周长的取值范围是3+3,2+23.11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．【答案】(1)π3.(2)3+3.【详解】(1)由题意在△ABC中，a-ca+c+b b-a=0，即a2+b2-c2=ab，故cos C=a2+b2-c22ab=12，由于C∈(0,π)，所以C=π3 .(2)由题意△ABC的面积是32，C=π3，即S△ABC=12ab sin C=34ab=32,∴ab=2，由c=3，c2=a2+b2-2ab cos C得3=a2+b2-ab=(a+b)2-6,∴a+b=3，故△ABC的周长为a+b+c=3+ 3.类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC22=AD2+CD2②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.【答案】(1)39 8(2)8(1)由正弦定理bsin B =csin C，∴sin C=c sin Bb=5×787=58又b>c，若C为钝角，则B也为钝角，与三角形内角和矛盾，故C∈0,π2∴cos C>0，即cos C=1-sin2C=1-58 2=1-2564=3964=398 (2)取BC边上的中点D，则AD=21，设BD=x在△ABD中，利用余弦定理知：cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD⋅BD =21+x2-52221x=-4+x2221x在△ACD 中，利用余弦定理知：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =21+x 2-72221x =-28+x 2221x又∠ADB +∠ADC =π，则cos ∠ADB +cos ∠ADC =0即-4+x 2221x +-28+x 2221x =0，即2x 2-32=0，解得x =4又a =2x =8故a 的值为8.13在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2,b =5,c =1．(1)求sin A ,sin B ,sin C 中的最大值；(2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为sin B =22(2)12【详解】(1)∵5>2>1，故有b >a >c ⇒sin B >sin A >sin C ，由余弦定理可得cos B =(2)2+12-(5)22×2×1=-22，又B ∈(0,π)，∴B =3π4，故sin B =22．(2)设AC 边上的中线为BD ，则BD =12(BA +BC )，∴(2BD )2=(BA +BC )2=c 2+a 2+2ca cos B =12+(2)2+2×1×2×cos 3π4=1，∴|BD |=12，即AC 边上的中线长为12．14在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3b sin A =a cos B +a .(1)求角B 的值；(2)若c =8，△ABC 的面积为203，求BC 边上中线AD 的长.【答案】(1)π3(2)7【详解】(1)解：由正弦定理得3sin B sin A =sin A cos B +sin A ，A ∈0,π ，sin A ≠0∴3sin B =cos B +1，则sin B -π6 =12，B ∈0,π ，∴B =π3；(2)∵S =12ac sin B =203，c =8，∴a =10，由余弦定理AD2=c2+a22-2×12ac cos B=64+25-40=49，得AD2=49，∴AD=7，15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．【答案】(1)cos C=14，BC=6(2)3158【详解】(1)∵sin2C=sin B，∴2sin C cos C=sin B，∴2c cos C=b，∴cos C=1 4由余弦定理得cos C=a2+9-366a=14⇒a=6(负值舍去)，即BC=6.(2)∵cos C=14>0，C∈0,π2，∴sin C=154，∴S△ABC=12CA⋅CB⋅sin C=9154，∵AE平分∠BAC，sin∠BAE=sin∠CAE，由正弦定理得：BEsin∠BAE =ABsin∠AEB,CEsin∠CAE=ACsin∠AEC，其中sin∠AEB=sin∠AEC，∴AB AC =BECE=2⇒S△AEC=13S△ABC，∵AD为BC边的中线，∴S△ADC=12S△ABC，∴S△ADE=S△ADC-S△AEC=16S△ABC=3158.16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.【答案】(1)9-33(2)6(1)解：由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2⋅AC⋅AD⋅cos A，∴322=232+AD2-2×23×AD×-12，解得AD=-3±3(负值舍).所以，AB=2AD=6-23，故S△ABC=12AB⋅AC⋅sin A=12×6-23×23×32=9-33.(2)解：由正弦定理得CDsin A=ACsin∠ADC，即3232=23sin∠ADC，解得sin∠ADC=22.又∠A=2π3，则∠ADC∈0,π3，∴∠ADC=π4，∴∠ACD=π-2π3-π4=π12.又CD平分∠ACB，则∠ACB=2∠ACD=π6 .所以，∠B=π-2π3-π6=π6，则∠B=∠ACB，故AB=AC=2 3.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos A=232+232-2×23×23×-1 2=36.因此，BC=6.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.【答案】(1)任选一个，答案均为π3(2)132．(2)在△ABD和△ACD中分别应用余弦定理后相加可得AD．【详解】(1)选①3b=a sin C+3cos C，由正弦定理得3sin B=sin A(sin C+3cos C)，3sin(A+C)=sin A sin c+3sin A cos C，3(sin A cos C+cos A sin C)=sin A sin C+3sin A cos C，3cos A sin C=sin A sin C，三角形中sin C≠0，所以tan A=3，又A∈(0,π)，所以A=π3；选②a sin C=c sin B+C 2由正弦定理得sin A sin C=sin C sin B+C2=sin C cos A2，三角形中sin C≠0，所以2sin A2cos A2=cos A2，又三角形中cosA2≠0，所以sin A2=12，A∈(0,π)，所以A2=π6，即A=π3；选③a cos C+12c=b，由余弦定理得a2+b2-c22b+12c=b，整理得b2+c2-a2=bc，所以cos A=b2+c2-a22bc=12，而A∈(0,π)，A=π3；(2)由(1)a2=b2+c2-2bc cos A=1+9-2×1×3cosπ3=7，a=7，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD⋅CD cos∠CDAc2=AD2+BD2-2AD⋅BD cos∠BDA，又BD=CD，cos∠CDA=-cos∠BDA，所以b2+c2=2AD2+BD2+CD2=2AD2+12a2，所以AD2=121+9-12×7=134，AD=132．类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)A=π3；(2)①33；②3 3.【详解】(1)∵asin A=bsin B=csin C且sin B-sin Cb=a-csin A+sin C,∴b-cb=a-ca+c，即b2+c2-a2=bc，∴cos A=b2+c2-a22bc =bc2bc=12，又A∈0,π，∴A=π3；(2)选①∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC =π6，∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴12AB ⋅AD ⋅sin ∠BAD +12AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =12b ⋅c ⋅sin A ，即c sin π6+b sin π6=bc sin π3，∴c +b =3bc由基本不等式可得：3bc =b +c ≥2bc ，∴bc ≥43，当且仅当b =c =233时取“=”，∴S △ABC =12bc sin A =34bc ≥33，即△ABC 的面积的最小值为33；②因为AD 是BC 边上的中线，在△ADB 中由余弦定理得cos ∠ADB =a 2 2+12-c 22×a 2×1，在△ADC 中由余弦定理得cos ∠ADC =a 2 2+12-b 22×a 2×1，∵cos ∠ADB +cos ∠ADC =0，∴a 22+2=b 2+c 2，在△ABC 中，A =π3，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc ，∴4-bc =b 2+c 2∴4-bc =b 2+c 2≥2bc ，解得bc ≤43，当且仅当b =c =233时取“=”，所以S △ABC =12bc sin A =34bc ≤33，即△ABC 的面积的最大值为33.19在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +33b cos A +B =33b .(1)求角C 的大小；(2)若c =3，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求△ABD 面积的取值范围.【答案】(1)π3(2)3-34,34【详解】(1)解：∵c sin B +33b cos A +B =33b ，由正弦定理可得：sin C sin B +33sin B cos A +B =33sin B ，∴sin C sin B -33sin B cos C =33sin B ，∵sin B ≠0，∴sin C -33cos C =33，∴sin C -π6 =12，∵C 为锐角，∴C -π6∈-π6,π3 ，∴C -π6=π6，∴C =π3；(2)解：由题意可知∠ADB =2π3，设∠DAB =α，∴∠ABD =π3-α，∵0<2α<π2，又∵B =π-π3-2α0,π2 ，∴α∈π12,π4，在△ABD 中，由正弦定理可得：AB sin ∠ADB =AD sin ∠ABD ，即：3sin 2π3=AD sin π3-α ，∴AD =2sin π3-α ，∴S △ABD =12AB ⋅AD ⋅sin α=12×3×2sin π3-α sin α=32sin αcos α-32sin 2α=32sin 2α+π6 -34，∵α∈π12,π4 ，∴2α+π6∈π3,2π3，∴sin 2α+π6 ∈32,1 ，∴32sin 2α+π6 -34∈3-34,34，∴三角形面积的取值范围为3-34,34.20已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足b cos C +c cos B sin B +3b cos A =0.(1)求A ；(2)若c =2，a =23，角B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.【答案】(1)2π3；(2)6.【详解】(1)由正弦定理化边为角可得：sin B cos C +sin C cos B sin B +3sin B cos A =0，即sin B +C sin B +3sin B cos A =0所以sin A sin B +3sin B cos A =0，因为sin B ≠0，所以sin A +3cos A =0即tan A =- 3.因为0<A <π，所以A =2π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，代入数据可得：12=b 2+4-2b ×2×-12 即12=b 2+4+2b .解得：b =2或b =-4(舍).所以b =c =2，所以B =C =π6，在△ABD 中，由BD 是∠ABC 的角平分线，得∠ABD =π12，则∠ADB =π-2π3-π12=π4，在△ABD 中，由正弦定理得：AB sin ∠ADB =BD sin ∠BAD 即2sin π4=BD sin 2π3，可得：BD =2×sin 2π3sin π4=2×3222= 6.21已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ，且有3cos A c cos B +b cos C +a sin A =0．(1)求A ；(2)设AD 是△ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程x 2-6x +4=0的两根，求线段AD 的长度．【答案】(1)A =2π3；(2)AD =23.【详解】(1)由正弦定理得：3cos A sin C cos B +sin B cos C +sin 2A =0，即3cos A sin B +C +sin 2A =0，又sin B +C =sin π-A =sin A ，∴-3sin A cos A =sin 2A ，又A ∈0,π ，∴sin A ≠0，∴sin A =-3cos A ，∴tan A =-3，又A ∈0,π ，∴A =2π3；(2)∵b ,c 为方程x 2-6x +4=0的两根，∴b +c =6，bc =4，由(1)知：A =2π3，∴∠BAD =∠CAD =π3，∵S △ABC =S △ABD +S △ADC ，∴12bc sin 2π3=c 2⋅AD sin π3+b 2⋅AD sin π3=b +c 2⋅AD sin π3，即332AD =3，解得：AD =23.22在①b sin B +c sin C =233b sin C +a sin A ；②cos 2C +sin B sin C =sin 2B +cos 2A ；③2b =2a cos C +c 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 外接圆的半径为1，且.(1)求角A ；(2)若AC =2，AD 是△ABC 的内角平分线，求AD 的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)A =π3；(2)AD =2.【详解】(1)选择①：b sin B +c sin C =233b sin C +asin A ，由正弦定理得：b 2+c 2=233b sin C +a a ，即b 2+c 2-a 2=233ab sin C ，由余弦定理得：2bc cos A =233ab sin C ,所以sin C cos A =33sin A sin C .因为C ∈0,π ,所以sin C >0，所以tan A >3因为A ∈0,π ,所以A =π3.选择②：cos 2C +sin B sin C =sin 2B +cos 2A 得：1-sin 2C +sin B sin C =sin 2B +1-sin 2A ，即sin 2B +sin 2C -sin 2A =sin B sin C ，由正弦定理得：b 2+c 2-a 2=bc .由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，因为A ∈0,π ,所以A =π3.选择③：由2b =2a cos C +c ，结合正弦定理得：2sin B =2sin A cos C +sin C .因为A +B +C =π，所以sin B =sin A +C ，即2sin A +C =2sin A cos C +sin C ,所以2cos A sin C =sin C .因为C ∈0,π ,所以sin C >0，所以cos A =12因为A ∈0,π ,所以A =π3.(2)在△ABC 中，由正弦定理得：AC sin B=2R =2,所以sin B =22，所以B =π4(因为A =π3，由内角和定理，B 不可能为3π4).在△ABD 中，由正、余弦定理建立方程组得：AD sin B =BD sin A 2cos B =BD 2+AB 2-AD 22×AB ×BD AB sin C =2R ，即AD 22=BD 1222=BD 2+AB 2-AD 22×AB ×BD AB 6+24=2 ，解得：AD =2BD =1AB =6+22，即AD = 2.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求AD AB 的最小值．【答案】(1)2π3(2)3-1．【详解】(1)解：由余弦定理可得c 2-a 2-b 2=-2ab cos C ，因为△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ，可得S △ABC =34c 2-a 2-b 2 =-32ab cos C ，又因为S △ABC =12ab sin C ，所以12ab sin C =-32ab cos C ，即tan C =-3，因为0<C <π，所以C =2π3.(2)解：如图所示，因为BD =3BC ，设BC =t ，则CD =2t ，由余弦定理可得AD 2AB 2=4t 2+4-2×2×2t cos π3t 2+4-2×2t cos 2π3=4-12t +1 +3t +1≥4-23当且仅当t =3-1时，等号成立，所以AD AB的最小值为3-1．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc (1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC ，求线段AD 长的最大值.【答案】(1)π3(2)23+2【详解】(1)因为a 2-b 2=ac cos B -12bc ，所以根据余弦定理，可得a 2-b 2=ac ⋅a 2+c 2-b 22ac -12bc ，所以b 2+c 2-a 2=bc ，所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为A ∈0,π ，所以A =π3.(2)解法一：因为2BD =DC ，所以2AD -AB =AC -AD ，所以AD =23AB +13AC，所以AD 2=194AB 2+AC 2+4AB ⋅AC=19b 2+4c 2+2bc .因为b 2+c 2-a 2=bc ，a =6，所以b 2+c 2-bc =36，则AD 2=4×136b 2+4c 2+2bc =4×b 2+4c 2+2bcb 2+c 2-bc=4×b c 2+4+2×b cb c 2+1-b c.令t =b c ，t >0，则AD 2=4×t 2+4+2t t 2+1-t =4×t 2-t +1 +3t +3t 2-t +1=4+12t +1t 2-t +1.令u =t +1，则u >1，所以AD 2=4+12u u 2-3u +3=4+12u +3u -3≤4+1223-3=16+83，当且仅当u =3u ，即u =3时取等号.所以，AD ≤16+83=23+2，所以，线段AD 长的最大值为23+2.解法二：设△ABC 外接圆的半径为R ，根据正弦定理，可得2R =632，所以R =2 3.当AD 过圆心O 时，AD 的长取得最大值.作OE ⊥BC ，则E 为BC 的中点，因为∠BAC =π3，所以∠BOE =12×2∠BAC =π3，所以OE =OB cos π3= 3.因为BE =3，BD =13BC =2，所以DE =1，所以OD =OE 2+ED 2=2，所以AD =23+2，所以，线段AD 长的最大值为23+2.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3 .(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.【答案】(1)A =π3(2)332【详解】(1)因为C =π-(A +B )，所以sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ，又sin C =2cos A sin B +π3 =2cos A 12sin B +32cos B=cos A sin B +3cos A cos B ，所以sin A cos B =3cos A cos B ，所以cos B (sin A -3cos A )=0，所以cos B =0或sin A -3cos A =0，若cos B =0，则B =π2，与△ABC 为锐角三角形矛盾，舍去，从而sin A -3cos A =0，则tan A =3，又0<A <π2，所以A =π3；(2)由(1)知cos A =12=b 2+c 2-a 22bc =(b +c )2-2bc -a 22bc =36-2bc -a 22bc ，化简得a2=36-3bc，因为S△ABC=12a⋅AD=12bc sin A，所以AD=3bc2a，所以AD2=3(bc)24a2=3(bc)24(36-3bc)，又b+c≥2bc，所以bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以AD2=3(bc)24(36-3bc)=3436(bc)2-3bc≤343692-39=274，所以AD≤332，故AD长的最大值为332.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.【答案】(1)π3(2)3【详解】(1)由a sin B+C=b-csin B+c sin C，得a sin A=b-csin B+c sin C，由正弦定理，得a2=b-cb+c2=b2+c2-bc.由余弦定理，得cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又A∈0,π，所以A=π3 .(2)因为a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，又12bc sin A=12AD⋅a，a=2，所以AD=12bc sin A1=34bc≤3，故AD的最大值为 3.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．【答案】(1)3(2)4【详解】(1)由于S△ABC=12bc sin A=14bc=312b2，所以b=3c，由正弦定理可得sin Bsin C=bc=3．(2)由于S△ABC=12ac sin B=312b2，所以b2=23ac sin B；由余弦定理可得a2+c2=2ac cos B+b2，所以c2+a2ac=23sin B+2cos Bacac=23sin B+2cos B=4sin B+π6，则当B=π3时，c2+a2ac取得最大值4．。