R.Jacobson 翻译的分类

Chapter 1:Main issues of translation studies:1. Jacobson’s categories of translation:a. Intralingual;b. Interlingual;c. Intersemiotic (verbal- non-verbal).2.History of the discipline:a. From the late 18th to the 1960s – grammar-translation method (replaced by communicative approach in the 1960s and 1970s);b.The USA 1960s –translation workshop concept based on Richards’reading workshops and practical criticism approach that began in 1920s; running parallel to this approach was that of comparative literature;c.The USA 1930s-1960s/70s – contrastive analysis;d.More systematic, and mostly linguistic-oriented, approach 1950s-1960s:i.J.-P. Vinay and J. Darbelnet (French/English);ii. A. Malblanc (French/German);iii.G. Mounin (linguistic issues of translation);iv. E. Nida (based on Chomsky generative grammar).v.James S. Holmes’“The name and nature of translation studies”is considered to be the founding statement of a new discipline.vi.Hermans Manipulation Schoolvii.Vieira Brazilian cannibalist school Postcolonial theoryviii.Venuti cultural-studies-oriented analysisThe Holmes/Toury map of translation studies1:Chapter 2: Translation theory before the 20th century:Traduttore, traditore = the translator is a traitorChapter 3: Equivalence and equivalent effect:In the 1950s and 1960s the place of circular debates around literal and free translation took the new debate revolved around certain key linguistic issues, among them those of meaning and equivalence, discussed by R. Jakobson in 1959. Over the following 20 years many further attempts were made to define the nature of equivalence.Jakobson:1.Meaning: the signifier=the signal of the signified (the concept).2.There is no full equivalence between code-units of different languages.3.So, we should substitute not words, but messages.4.Only p oetry is considered ‘untranslatable’ and requires ‘creative transposition’.Nida’s ‘science of translating (subjective):1.Meaning:a.Linguistic;b.Referential (dictionary meaning);c.Emotive (connotative).2.Ways of determining meaning:a.Hierarchical structuring (animal dog, cow etc);ponential analysis (grandmother, mother, cousin etc);c.Semantic structure analysis (spirit can mean demon, angel, god, ghost, ethos, alcohol etc)meaning depending on context.3.3-stage system of translation (Chom sky’s influence: deep/surface structure of a language):SL1 (analysis) X (transfer) Y (restructuring) TL24.Equivalence:a.Formal (form and content);b.Dynamic (equivalent response of: t2 reader on t2 as t1 reader on t1) (closest naturalequivalent).5.Correspondence in meaning must have priority over correspondence in style.6.Reader-based orientation.主要理论1：对等和等效（1950s－1960s）1．代表人物（1）罗曼雅各布逊A．描写了翻译的三类型：语内翻译，语际翻译和符际翻译B．提出语际翻译指用一种语言替换另一种语言种的整个信息C．强调对等的差异性（2）尤金奈达A. 提出形式对等和动态对等B. 提出著名的读者反应理论C. 他的理论以乔姆斯基的转换生成语法为基础（3）皮特纽马克A．提出语义对等和交际对等（4）韦内科勒A．区分了对应和对等B．描写了五种对等：外延意义，隐含意义，文本规则，语用及形式对等Newmark’s semantic and communicative translation:1.Replaces Nida’s division with semantic (resembles formal equivalence) and communicative(resembles dynamic equivalence) translation.2.Nida’s division inoperant if the text is out of TL space and time.3.Dynamic equivalence: are readers ‘to be handed everything on a plate’?4.Semantic translation differs from literal in that it ‘respects context’, interp rets and explains(metaphors). Literal translation is to be the best approach in both semantic and communicative translation. If semantic translation would result in an ‘abnormal’ TT or would not secure equivalent effect in the TL, then communicative translation should win out.Tertium comparationis, an invariant against which 2 text segments can be measured to determine variation.Chapter 4: The translation shift approach:1.Vinay and Darbelnet’s taxonomy:a)Direct (=literal) translation:(1).Borrowing(2).Calque(3).literal translation (word-for-word)b).Oblique translation:(4).Transposition(5).modulation6(6)..equivalence(7).adaptationc)The 7 categories operate on 3 levels:1.the lexicon2. 2.syntactic structures3. 3.the message 9context)4. 4.word order and thematic structure5. 5.connectors [cohesive links, discourse markers, deixis (pronouns anddemonstrative pronouns) and punctuation]d)2 possibilities:1.servitude (obligatory 4 and 5)2. 2.option (non-obligatory)2.Catford’s linguis tic approach (shifts)a.Distinction between: formal correspondence (a particular ST-TT pair) and textualequivalence (a pair of lgs).b.When the 2 concepts diverge, a translation shift occurs –a departure from formalcorrespondence in the process of going from the SL to the TL. There are 2 kinds of shift:1. A level shift (sth is expressed by grammar in one lg and by lexis in another)2. A category shift:i.Structural shifts; ii.Class shifts (word category); iii.Unit/rank shifts (sentence, clause,group, word, morpheme);iv.Intra-system shifts (systems are similar, but not always corresponding).3. van Leuven-Zwart’s microlevel/macrolever translation shifts:a.The comparative model (a detailed comparison of ST and TT and classification of allthe microstructural shifts within sentences, clauses and phrases);b.The descriptive model (a macrostructural model, designed for the analysis oftranslated literature)Chapter 5: Functional theories of translation:K. Reiss’s text typesNord adds to 3 types of language function a fourth ‘phatic’ function, covering lg that establishes or maintains contact between parties involved in the communication (e.g. greetings).Holz-Manttari’s translational action model for non-literary translations with1.its roles and players:a The initiator;b b.The commissioner (contacts the translator);c.The ST producer;d.The TTproducer;e.The TT user;f.The TT receiver.2.Content:a Factual information; b.Overall communicative strategy.3.Form: a.Terminology; b.Cohesive elements.J. Vermeer’s skopos theory: knowing the purpose and the function of translation is crucial (adequacy over equivalence).Ch. Nord’s translation-oriented text analysis:1.2 kinds of translation: a.Documentary translation(a)reader knows that he’s reading a translation;(b)Instrumental translation (a reader doesn’t know that).2.3 aspects of functionalist approaches particularly useful in translator training:a)The importance of the translation commission;b)The role of ST analysis;c)The functional hierarchy of translation problemsChapter 6: Discourse and register approaches:Halliday’s model of language and discourse b ased on systemic functional grammar (lg=communication):Influence:House’s model of translation qu ality assessment:1.Scheme for analyzing and comparing original and translation texts:Translation: a.Overt;b.Covert.Baker’s text and pragmatic level analysis:1.Textual function2.Cohesion3.Pragmatics:a.Coherence (depends on receiver’s expectations and experience of theworld);b.Presupposition (what the speaker supposes a listener shouldknow);c.Implicature (what the speaker implies).Hatim and Mason’s semiotic level of context and discourse:Text elements:1.Stable (translated fairly literally);2.Dynamic (not).Chapter 7: Systems theories:脚注：1.What is being written about.2.Who is communicating and to whom.3.The form of communication e.g. writtenEven-Zohar’s polysystem theory: a literary work as apart of a literary system in the social, cultural, literary and historical framework. It’s important [for choosing the translation strategy] if translated literature has a primary or secondary position in given literature.Toury and descriptive translation studies (DTS):1.Situate the text within the target culture system, looking at its significance oracceptability;2. pare the ST and the TT for shifts, identifying relationships between ‘coupled pairs’of ST and TT segments, and attempting generalizations about the underlying concept of translation;3. 3.Draw implications for decision-making in future translating.Norms of translation behaviour can be reconstructed from:1.The examinations of texts;2. 2.The explicit statement made about norms by translators, publishers, reviewers and otherparticipants in the translation actNorms:1.Initial norm (general translator’s choice):a.Subjection to source culture norms adequate translation;b.Subjection to target culture norms acceptable translation.2.Preliminary norms:a.Translation policy (text selection);b.Directness of translation (ST TT; ST t2 TT).3.Operational norms (the presentation and linguistic matters of the TT):a.Matricial norms (completeness of TT);b.Textual-linguistic norms (TT linguistic material).‘Laws’ of translation:1.Of growing standardization (tending to TT common options);2.Of interference (ST options transferred to TT, negatively or positively).Chesterman’s translation norms:1.Product or expectancy norms;2. 2.Process or professional norms:a.The accountability norm (an ethical norm);b.The communication norm (a social norm);c.The‘relation’ norm (a linguistic norm).Other DTS models:1.Manipulation School (‘a continual interplay between theoretical models and practical casestudies’);mbert and van Gorp – the scheme for the comparison of the ST and TT literary systems andfor the description of relations within them:a.Preliminary data;b.Macro-level;c.Micro-level;d.Systemic context (data compared andnorms identified)Chapter 8 "Varieties of cultural studies" examines Lefevere (1992), who treats translation as "rewriting" and identifies ideological pressures on translated texts. This chapter also looks at the writing of Simon (1996) on gender in translation, and at postcolonial translation theories which stress the part that translation has played in the colonization process and the image of the colonized (cf. Bassnett and Trivedi 1999).Lefevere (1992) treats translation as "rewriting" and identifies ideological and poetological pressures on translated texts. Translation functions are controlled by the following factors:1.Professionals within the literary system;2.Patronage outside the literary system:a.The ideological component;b.The economic component;c.The status component.d.If a-c come from the same source – patronage is undifferentiated; if not – differentiated.3.The dominant poetics:a.Literary devices;b.The concept of the role of literature.Simon compares the status of translation throughout the centuries to that of women’s and presents pro-feminist methods in translation.Postcolonial translation theories:1.Spivak: ‘translationese’ eliminates the identity of politically less powerful individuals andcultures.2. 2.Spivak: compares the status of translation throughout the centuries to that of colonies.3.Power relations : trans lation as the colonizer’s device used against the colonized.4.S. Bassnett and H. Trivedi’s translational linked to transnatio nal (translation=battleground).Brazilian cannibalism: the colonizers and their lg are devoured, their life force invigorating the devourers, who transform it according to their needs.The Irish context: postcolonialism in Europe.Chapter 9: Translating the foreign:the (in)visibility of translation: A. Berman’s ‘negative analytic’ of translation that prevents the foreign coming thr ough. ‘Deforming tendencies’:1.Rationalization;2.Clarification;3.Expansion;4.Ennoblement;5.Qualitative impoverishment;6.Quantitative impoverishment;7.The destruction of rhythms;8.The destruction of underlying networks of signification;9.The destruction of linguistic patternings;10.The destruction of vernacular1 networks or their exoticization;11.The destruction of expressions and idioms;12.The effacement of the superimposition of languages.‘Positive analytic’ = literal translation.Venuti:1.The invisibility of the translator in contemporary Anglo-American culture.2. 2.Domestication (dominant in connection with the translator’s invisibility) –‘the authortowards the reader’.3. 3.Foreignization –‘the reader towards the writer’ – resistancy – minoritizing (desirable).4. 4.‘Call for action’ –‘visibility’ + ‘foreignization’.Chapter 10: Philosophical theories of translation:Steiner’s hermeneutic1 approach to translation as ‘the act of elicitation and appropriate transfer of meaning’. The parts of the hermeneutic moti on:1.Initiative trust;2. 2.Aggression (penetration);3. 3.Incorporation (embodiment);4. pensation (restitution)Ezra Pound’s energy of language: translation as a tool in the cultural struggle, and the revitalization of the past.W. Benjamin’s task of the translator: translation gives the original ‘continued life’; pure language = coexistence of SL and TL; literal rendering of the syntax.J. Derrida’s deconstruction: capturing the meaning? No stability in the signified-signifier (meaning-sign) relationship; the opposition between SL and TL.1.Letter=Judaism=justice;2.Spirit=Christianity=mercy.Chapter 11: Translation studies as an interdiscipline:M. Snell-Hornby’s integrated approach.Harvey’s combination of linguistic analysis and critical theory.。

翻译基础知识一、翻译的分类1.按所涉及的两种代码的性质，可分为语内翻译（intralingual translation）、语际翻译（interlingualtranslation）、语符翻译（inersemiotic translation）。

2.按翻译主体的性质，可分为人工翻译、机器翻译（Machine Translation）两类。

3.按翻译的工具和成品形式，可分为口译和笔译。

4.按翻译的客体，亦即所译资料的性质，可分为文学翻译（literal translation）和实用翻译（pragmatictranslation）。

二、译家译论1.支谦：在三国时期，支谦的《法句经序》中提出了“因循本旨，不加文饰”的译经原则。

2.道安：晋、前秦时道安在《革卑婆沙序》中提出，“案本而传，不令有损言游字；时改倒句，余尽实录。

”道安涉及译论的佛经序文较多，最有名的是提出“五失本”、“三不易”之说。

其意思是，翻译佛经在五种情况下会失去本来面目，有三件事决定了译事是很不容易的，因此必须慎之又慎。

3.彦琮：北朝末年及隋初，彦琮著《辨证论》，它可以看作是我国第一篇翻译专论，他主张译经“宁贵朴而近理，不用巧而背源”。

可见他是坚持忠实第一并倾向于直译的。

4.玄奘：唐代僧人玄奘的指导原则是：“既须求真，又须喻俗”。

“求真”即追求准确，要力求“忠实原作”，这是一切认真负责的翻译工作者的共同理想。

同时必须“喻俗”，亦即使群众理解，这就是说要“通顺”。

玄奘在译经中成功地运用了补充法、省略法、变位法、分合法、译名假借法、代词还原法等等翻译技巧。

5.马建忠：清末，马建忠在其《马氏文通》中提出“善译”之说：“必先将所译者与所以译者两国之文字，深嗜笃好，字栉句比，以考彼此文字孳生之源，同异之故。

所有当相之实义，委曲推究，务审其声音之高下，析其字句之繁简，尽其文体之变态，及其义理精深奥折之所由然。

”6.林纾：林纾强调在翻译时译者应该投入自己的主观感情，译者须与原作者或作品中人物的心灵相交流。

R．Jacobson翻译的分类美国语言学家雅各布森从符号学的观点出发，曾明确地指出符号与意义之间的关系，他的那句名言“没有符号就没有意义”已被普遍接受。

他对翻译活动有着深刻的认识。

并基于他的符号学观。

将翻译活动分为语内翻译、语际翻译和符际翻译。

Intralingual Translation 语内翻译Interlingual Translation 语际翻译Intersemiotic Translation 符际翻译所谓语内翻译是指在同一语言中用一些语言符号解释另一些语言符号。

语际翻译是指两种语言之间的翻译，即用另一种语言的语符来解释一种语言的语符。

符际翻译。

是指通过非语言的符号系统解释语言符号，或用语言符号解释非语言符号，比如把语言符号用图画、手势、数学或音乐来表达。

雅可布逊(R．Jacobson)认为翻译有狭义、广义之分。

狭义翻译仅指语际翻译；广义翻译除语际翻译外，还包括语内翻译和符际翻译。

下面是雅可布逊对广义上的三种翻译的定义：1)语内翻译或复述是指在同一种语言中用不同的文字符号去解释某些文字符号。

(Intralingual translation or rewording is an interpretation of verbal signs by means of other signs of the same language．)2)语际翻译或严格意义上的翻译是指用另一种语言解释某种语言符号。

(Interlingual translation or translation proper is an interpretation of verbal signs by means of somc other language．)3)符际翻译或嬗变是指用非语言系统的符号解释某种语言符号。

(Intersemiotic translation or transmutation is an interpretation of verbal signs by means of signs of nonverbal systems．) (Jacobson 1959／2000：114) 简言之，语内翻译指在同一语言内部进行的翻译；语际翻译指发生在不同语言之间的翻译活动；符际翻译指不同符号之间进行的翻译。

NMP-内射环陈平;宋贤梅【摘要】A ring R is called right NMP- injective if every monomorphism from a principal right ideal to R can extend to an endomorphism of R. Left NMP- injective rings are defined analogusly. In this paper, we first introduce and characterize right NMP- injective rings, which are proper generalization of right MP- injective rings. Next, some properties of right NMP- injective rings are discussed. We extend some known results of MP- injective rings and nil- injective rings.%环R称为右NMP-内射环,如果对于每个由R的幂零元生成的主右理想到R的单同态都能扩充到R的一个自同态.左NMP-内射环可类似定义.本文我们首先引入并且刻画了NMP-内射环,说明了它是MP-内射环的真推广.然后研究了NMP-内射环的一些性质,推广了MP-内射环和nil-内射环的一些已有结论.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(036)001【总页数】4页(P18-20,29)【关键词】NMP-内射环;n-正则环;NPP环【作者】陈平;宋贤梅【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O153.31 预备知识环的内射性一直是环论中重要的研究课题之一.国内外众多数学工作者对内射环及其推广进行了各种形式的研究([1]-[3]).P-内射环是由Nicholso和Yousif引入和研究的.环R称为右P-内射的[1],如果任意一个R的主右理想到R的同态均能扩充到R的自同态.将P-内射概念中任意R的主右理想到R的同态削弱至R的主右理想到R的单同态的话,就是所谓的MP-内射环.环R称为右MP-内射的[3],如果任意一个R的主右理想到R的单同态均能扩充到R的自同态.将条件中R的主右理想削弱至R中幂零元生成的主右理想就是文[2]引入的另一种P-内射环的推广形式nil-内射环.环R称为右nil-内射的[2],如果任意R中幂零元生成的主右理想到 R的同态均能扩充到R的自同态.本文受文[2],[3]的启发,引入NMP-内射环,主要研究NMP-内射环的一些性质,并且对NMP-内射环进行一些刻画.下面回忆一些基本概念和符号.(1)环R称为n-正则环[2],如果对于每个a∈N(R),存在b∈R,使得a=aba.(2)环R称为右NPP环[2],如果对于每个a∈N(R),aR是投射的右R-模.(3)环R称为NI环[2],如果N(R)构成R的一个理想.(4)环R称为2-素环[4],如果 N(R)=P(R).(5)环R称为约化环[5],如果R中不含非零的幂零元.(6)环R称为ZC环[6],如果对于任意的a,b∈R,ab=0,则有ba=0.(7)环R称为ZI环[7],如果对任意的ab=0,则有aRb=0.(8)环R称为拟ZI环[8],如果对于任意的a,b∈R,存在正整数n使得an≠0,且anRbn≠0.本文中 R表示有单位元的结合环,环 R上的模都是单式模,N(R),C(R),P(R),J(R)和Zl(R)(Zr(R))分别表示R中所有幂零元集合,R的中心,R的所有素理想的交,R的Jacobson根,和R的左(右)奇异理想.若Zr(R)=0(Zl(R)=0)称环 R为右(左)非奇异的.任意的a∈ R,r(a)和 l(a)分别表示a的右零化子和左零化子.2 NMP-内射环定义2.1 设R是环,M是右R-模.M称为右NMP-内射模,如果对任意的a∈N(R),任意的右R-单同态f:aR →M 能扩充到R→M.若RR是NMP-内射的,则称R是右NMP-内射环.类似可以定义左NMP-内射环.由定义可以看出,右P-内射环,右MP-内射环,右nil-内射环均是右NMP-内射环.但是右NMP-内射环未必是右 MP-内射的.事实上,取整数环Z,它是nil-内射环[2],从而是NMP-内射环;文[3]说明它不是MP-内射的.本文首先给出右NMP-内射环的等价刻画.定理2.2 下列条件等价:(1)R是右NMP-内射环;(2)对于每个a∈N(R),b∈R,由r(a)=r(b)能推出Rb⊆Ra.证明 (1)⇒(2)若r(a)=r(b),则f:aR →bR;ar|→br是单同态,由于R是右NMP-内射环,于是存在c∈R使得f=c,因此b=ca,所以 Rb⊆Ra.(2)⇒(1)任意的a∈ N(R),f:aR →R是任一单同态,则 r(a)=r(f(a)).从而f(a)∈ Ra,即存在某个c∈ R,使得 f(a)=ca.故 R是右NMP-内射环.推论2.3 设Ri,i∈I(I为指标集)是环是右NMP-内射的当且仅当对任意的i∈ I,Ri是右NMP-内射的.证明设是右NMP-内射的,任意的ai∈ N(Ri),bi∈ R,且 r(ai)=r(bi).记a=τi(ai),b=τi(bi),其中(第i个),0,…)为嵌入映射.则a∈ N(R),b ∈ R,且 r(a)=r(b),因为R是右NMP-内射的,由定理2.2得Rb⊆Ra,故Ribi⊆Riai,所以对每个i∈ I,Ri是NMP-内射的.反之,对于任意的a=(ai)i∈I ∈ N(R),b=(bi)i∈I ∈ R,若 r(a)=r(b),有 r(ai)=r(bi),对于任意的 i.又 Ri是NMP-内射的,故 Ribi⊆Riai,所以 Rb ⊆Ra.故 R 是NMP-内射的. 命题2.4 若R是右NMP-内射环,则对于任意的e2=e∈R,eRe是右NMP-内射环.证明由环R的pierce分解,对于e2=e∈ R,有R=eRe+eR(1-e)+(1-e)Re+(1-e)R(1-e).注意到R是右NMP-内射的,于是由推论2.3可以得到eRe是右NMP-内射环.由命题2.4可知,当 R是右MP-内射环,则eRe是MP-内射环,其中e是幂等元.因此文[3]中命题2.5条件ReR=R是多余的.利用定理2.2,可以得到右NMP-内射环R 中的幂零元与任意元之间有一定的对称关系.定理2.5 设R是右NMP-内射环,a∈N(R)⊆C(R),且b∈R,则下列结论成立:(1)若aR可以嵌入到bR,则Ra是Rb的像.(2)若aR ≅bR,则Ra≅Rb.证明 (1)由条件知有嵌入映射λ:aR→bR是单的,由于R是右NMP-内射的,于是存在c∈R使得λ(a)=ca,对任意a ∈ R.若 xb=0,则 xbR=0,而xca=xλ(a)∈ xbR=0.于是可以定义φ:Rb →Ra使得φ(xb)=xca,易知φ是左R-模同态.由于λ是单同态,故r(a)=r(ca).注意到a∈ N(R)⊆C(R),因此ca∈ N(R),故Ra⊆Rca.所以Ra=Rca,即φ为满同态.(2)若λ:aR →bR 为同构,由(1)φ:Rb →Ra为满同态,则下证φ单.事实上,若 xca=0,则xcaR=xλ(aR)=0,从而 xbR=0.即 xb=0,所以φ单 .故φ同构.很显然地,n-正则环一定是右NPP环,但右NPP环不一定是n-正则环.于是考虑在什么条件下这两种环等价,得到定理2.6.定理2.6 下列条件等价:(1)R是一个n-正则环;(2)每个右R-模都是NMP-内射的.(3)每个循环右R-模都是NMP-内射的.(4)R是右NPP且右NMP-内射的.证明 (1)⇒(2)设M是右R-模,f:aR→M是任意右R-模单同态,其中a∈N(R).于是存在b∈R 使得a=aba.令 e=ab,c=f(e),则 e2=abab=ab=e且a=ea,故f(ar)=f(ear)=f(e)ar=car,因此MR是右NMP-内射的.(2)⇒(3)显然.(3)⇒(4)仅需证R是右NPP环.任意的a∈ N(R),则aRR是右NMP-内射的.记I:aRR→aRR是恒等同态,则有I=c◦,c∈ aR.所以a=I(a)=ca ∈ aRa,令c=ab,b ∈ R,则 c2=cab=ab=c,所以aR=cR是投射右R-模,从而R是右NPP环.(4)⇒(1)对每个a∈N(R),由于R是右NPP环,则aR是投射的.故存在e2=e∈R,使得r(a)=eR=r(1-e).注意到 R是右NMP-内射的,由定理2.2知1-e∈ Ra,即存在c∈ R使得1-c=ca.故a=a(1-e)=aca,即 R是n-正则的.定理2.7 若R是右NPP环,则每个右NMP-内射模的同态像是右NMP-内射的.证明设f:Q →W是右R-模满同态且QR是右NMP-内射模,下证WR是右NMP-内射模.g:aR→W 是任一单同态,其中a∈N(R).由于aRR是投射的,于是存在右R-模同态h:aR→Q使得fh=g.而g是单同态,故h是单同态.注意到Q是右NMP-内射的,因此存在γ:R→Q使得γ i=h,其中i:aR→R是包含映射.记σ=fγ:R →W,则有σ i=fγ i=fh=g,所以 WR是右NMP-内射的.最后,本文讨论在右NMP-内射环的条件下,约化环,ZC环,右非奇异环以及2-素环之间的联系.命题2.8 设R是右NMP-内射环,则P(R)⊆Zr(R).证明反证法.如若不然,存在b∈P(R)但b∉Zr(R).于是存在一个非零右理想I使得I∩r(b)=0.故有0≠c∈I使得bc≠0.定义f:bcR →R;bcr|→cr.易知f是定义良好的单同态.由于bc∈P(R)⊆N(R),R是右NMP-内射环.于是存在u∈ R使得c=f(bc)=ubc,即(1-ub)c=0.而b∈P(R)⊆J(R),故 1-ub可逆,从而 c=0,矛盾.所以P(R)⊆Zr(R).引理2.9 设R是NMP-内射环,且满足下列条件之一,则 N(R)⊆Zr(R).(1)R是NI环.(2)R是2-素环.证明 (1)类似命题2.8的证明.(2)由(1)即得.定理2.10 设R是NMP-内射环,下列结论等价:(a)R是约化环.(b)R是ZC右非奇异环.(c)R是ZI右非奇异环.(d)R是拟ZI右非奇异环.(e)R是右非奇异2-素环.证明由于 ZC环是ZI环,ZI环是拟ZI环,且在文[9]证明了拟 ZI是 2-素环,所以(a)⇒(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e)是显然的.下证(e)⇒(a).事实上,由于 R 是2-素环,由引理2.9知 N(R)⊆Zr(R).而 R是右非奇异的,因此 N(R)=0,即R约化.参考文献:[1] NICHOLSON W K,YOUSIF M F.Principally injective rings[J].J Algebra,1995,174:77-93.[2] WEI J C,CHEN J H.Nil-injective rings[J].International Electronic J Algebra,2007,(2):1-21.[3] ZHU ZHanmin.MP-injective rings and MGP-injective rings[J].India J Pure Appl Math,2010,41(5):627-645.[4] HIRANO Y.Some studies on strongly-regular rings[J].Math J Okayam University,1978,20:141-149.[5] REGE M B.On Von Neumann regular rings and SF-rings[J].Math Japanica,1986,31(6):927-936.[6] KIM N K,NAM S B,KIM J K.On simple singular GP-injectivemodules[J].Comm Algebra,1999,27(5):2087-2096.[7] HIRANO Y,TOMINAGA H.Regular rings,V-rings and their generalization[J].Hiroshima Math J,1979,9:137-149.[8] 李小龙,吴俊.拟ZI-环的强正则性[J].安徽师范大学学报:自然科学版,2011,34(1):20-22.[9] 李小龙.ZI-环的推广及应用[D].芜湖:安徽师范大学数学计算机科学学院,2011.。

广义局部环的性质陈静;陈旻霞;魏俊潮【摘要】局部环是重要的环类,在同调代数,环论等研究中发挥了重要的作用.为推广局部环的性质,给出广义局部环的概念,研究广义局部环的相关性质,证明环R为广义局部环的一些充分条件和充要条件.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)003【总页数】5页(P7-11)【关键词】广义局部环;左quasi-duo环;约化环;weakly-abel环;左MC2环【作者】陈静;陈旻霞;魏俊潮【作者单位】扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;扬州市职业大学数学科学学院,江苏扬州225009;扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;扬州市职业大学数学科学学院,江苏扬州225009;扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002【正文语种】中文【中图分类】O153;O1541 引言局部环起源于1946年，Cohen在文献[1]中研究了局部环的结构与性质，由于局部环的Jacobson根是极大单侧理想，从而局部环在同调代数的维数理论[2]、正则环的局部化理论[3]及交换代数的局部分式环[4]的研究中发挥了重要作用.本文的主要目的是推广局部环的一些性质.本文中，R表示有单位元的结合环，用N(R)，E(R)，J(R)分别表示R的全体幂零元集合、幂等元集合和Jacobson根.用表示环R上的二阶上三角矩阵环.若R只有一个极大左理想，则称R是局部环[5].有不少学者对局部环都进行了深入的研究[6-7].众所周知局部环R具有一个重要的性质：对任意x，y∈R，若xy∈J(R)有yx∈J(R).这启发我们考虑具有上述性质的环的环性质，称具有这种性质的环为广义局部环.显然局部环和交换环都是广义局部环.但反之都不成立，例如，设F为一个域，则R不是局部环，也不是交换环.由于则易见R为广义局部环.因此广义局部环是局部环和交换环的真正推广.本文主要目的是研究广义局部环的一些性质与刻画，推广局部环的若干性质.我们需要下面的概念：设R为一个环，若R的每个极大左理想都是R的理想，则称R为左quasi-duo环[8].根据文献[9]，一个环R称为weakly-abel环，若对每个e∈E(R)，有eR(1-e)⊆J(R).设R是一个环，a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，b=bab，ab=ba，则称a是R的群可逆元，b称为a的群逆元.若b存在，则是唯一的，通常记为a#.设R是一个环，*：R→R为一个双射，满足条件：(a*)*=a，(a+b)*=a*+b*，(ab)*=b*a*，则称R为一个*-环.*-环R的一个元素a称为{1，3-}正则元[10]，若存在x∈R，使得a=axa且(ax)*=ax； a称为核可逆元，若存在x∈R，使得a=axa，aR=xR且Rx=Ra*.2 主要结果命题1 左quasi-duo环R为广义局部环.证设R为左quasi-duo环，任取x，y∈R，满足xy∈J(R)，若yx∉J(R)，则存在R的极大左理想M，使得yx∉M，从而Ryx+M=R.设a∈R，m∈M，使得ayx+m=1.因此y=1·y=(ayx+m)y=ayxy+my，因为xy∈J(R)，所以xy∈M，从而ayxy∈M.因为R为左quasi-duo环，所以M 为R的理想，故my∈M，ayxy+my∈M，即y∈M，这样yx∈M，矛盾.因此yx∈J(R)，故R为广义局部环.由于强正则环是左quasi-duo环，因此由命题1知，强正则环是广义局部环.引理2 设R是广义局部环，则R是weakly-abel环.证任取e∈E(R)，显然对每个x∈R，有(ex(1-e))e∈J(R).由于R是广义局部环，所以ex(1-e)=e(ex(1-e))∈J(R)，因此eR(1-e)⊆J(R)，即R为weakly-abel环. 文献[9]256证明: weakly-abel的正则环是强正则环，因此得到下面的推论.推论3 设R是一个环，则下列条件等价：(i) R是强正则环；(ii) R是广义局部的正则环.引理4 设R为广义局部环，e∈E(R)，则eRe是广义局部环.证任取a，b∈eRe，满足ab∈J(eRe)，由于J(eRe)=eJ(R)e⊆J(R)，从而ab∈J(R). 由于R为广义局部环，则ba∈J(R)，又ba∈eRe，所以ba∈J(R)∩eRe=J(eRe)，因此，eRe为广义局部环.定理5 设R是一个环，e∈E(R)，则R是广义局部环当且仅当(1-e)R(1-e)，eRe 都是广义局部环且R是weakly-abel环.证由引理2和引理4知必要性是显然的.下证充分性：设x，y∈R，满足xy∈J(R)，则exye∈eJ(R)e=J(eRe).由于R是weakly-abel环，所以ex(1-e)ye，ey(1-e)xe∈J(R)，从而ex(1-e)ye，ey(1-e)xe∈eJ(R)e=J(eRe)，所以exeye=exye-ex(1-e)ye∈J(eRe).由于eRe都是广义局部环，所以eyexe∈J(eRe)⊆J(R)，故eyxe=ey(1-e)xe+eyexe∈J(R)，类似可证(1-e)yx(1-e)∈J(R)，因此yx=eyxe+eyx(1-e)+(1-e)yxe+(1-e)yx(1-e)∈J(R)，故R是广义局部环.由文献[9]255知，weakly-abel环是直接有限环，从而定理5给出了下面的推论. 推论6 广义局部环是直接有限环.引理7 R为weakly-abel环当且仅当T2(R)是weakly-abel环.证设R为weakly-abel环且则e1，e3∈E(R)，且e2=e1e2+e2e3.由于R为weakly-abel环，所以e1R(1-e1)，e3R(1-e3)⊆J(R)，因此ET2(R)(1-E)⊆⊆故T2(R)是weakly-abel环.反之，设T2(R)是weakly-abel环，设e∈E(R)，取则E∈E(T2(R))，由于T2(R)是weakly-abel环，所以ET2(R)(1-E)⊆J(T2(R))，即⊆因此eR(1-e)⊆J(R)，故R为weakly-abel环.由于域上的二阶全矩阵环是正则环但不是强正则环，故由推论3知，域上的二阶全矩阵环不是广义局部环，由文献[9]256知也不是weakly-abel环.定理8 R为广义局部环当且仅当T2(R)是广义局部环.证设T2(R)是广义局部环，取由引理4知ET2(R)E是广义局部环.由于≅R，从而R为广义局部环.反之，设R为广义局部环，则由引理2，R为weakly-abel环，由引理7知，T2(R)是weakly-abel环，选取则≅R ≅从而ET2(R)E和(1-E)T2(R)(1-E)都是广义局部环，由定理5知，T2(R)是广义局部环.推论9 R为广义局部环当且仅当Tn(R)为广义局部环(n≥2).证必要性(对n用数学归纳法)：当n=2时，由定理8知T2(R)为广义局部环.现设n>2且假设Tn-1(R)为广义局部环，取满足其中a，x∈R，α，β∈Rn-1，A1，B1∈Tn-1(R)，从而ax∈J(R)，A1B1∈J(Tn-1(R))，由归纳假设知，Tn-1(R)为广义局部环，所以B1A1∈J(Tn-1(R))，由于R 为广义局部环，所以xa∈J(R)，所以从而Tn(R)为广义局部环.因此，对于一切n≥2，Tn(R)为广义局部环.充分性：设Tn(R)为广义局部环，取则ETn(R)E≅R.由引理4知，R为广义局部环.设R是一个环，记则按照通常的矩阵加法和矩阵乘法，ST3(R)成为一个环，单位元为显然是一个环同构.故由定理8有下面的推论.推论10 R为广义局部环当且仅当ST3(R)是广义局部环.定理11 设R是一个环，则下列条件等价：(i) R是广义局部环；(ii) 对任意a，b∈R，ab∈J(R)时，有bRa⊆J(R)；(iii) 对任意a，b∈R，ab∈J(R)时，有aRb⊆J(R).证(i)⟹(ii)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，则对每个x∈R，有abx∈J(R).由于R是广义局部环，则bxa∈J(R)，因此bRa⊆J(R).(ii) ⟹(iii)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，由(ii)知，bRa⊆J(R)，从而ba∈J(R)，再由(ii)知aRb⊆J(R).(iii) ⟹(i)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，则(ba)(ba)=b(ab)b∈J(R)，由(iii)知(ba)R(ba)⊆J(R)，所以对每个x∈R，1-(bax)2是R的可逆元，从而1-bax是R 的可逆元，因此ba∈J(R)，故R是广义局部环.推论12 R是广义局部环当且仅当对每个x∈R，x2∈J(R)时有x∈J(R).证这是定理11的直接推论.根据文献[11]，一个环R称为J-约化的，若对每个a∈R，an=0时有a∈J(R)，其中n是某个正整数.因此推论12给出了下面的推论.推论13 广义局部环是J-约化环.称环R的一个幂等元e是左半中心元[12]，若(1-e)Re=0.根据文献[13]，环R的一个幂等元e称为左极小幂等元，若Re是R的极小左理想.用MEl(R)表示R的全体左极小幂等元的集合.一个环R称为左极小abel环[14-15]，若或者MEl(R)是空集，或者MEl(R)中的每个元素都是左半中心元.定理14 广义局部环是左极小abel环.证设R是广义局部环且e∈MEl(R)，则(1-e)e∈J(R).由于R是广义局部环，所以由定理11知(1-e)Re⊆J(R).若(1-e)Re≠0，则R(1-e)Re=Re，这样e∈J(R)，矛盾.因此(1-e)Re=0，故R是左极小abel环.一个环R称为左MC2环[16-17]，若对每个a∈R，e∈MEl(R)，aRe=0时有eRa=0.定理15 设R是左MC2的广义局部环，若每个奇异单左R-模是YJ-内射模，则R是约化环.证设a∈R，满足a2=0.若a≠0，则有R的极大左理想M，使得a∈l(a)⊆M，若M不是本质左理想，则M=l(e)，其中e∈MEl(R)，故ae=0.由于R是广义局部环，由定理11知，aRe⊆J(R).若aRe≠0，则Re=RaRe⊆J(R)，矛盾，因此aRe=0.由于R是左MC2环，则eRa=0，e∈l(a)⊆M=l(e)，矛盾.因此M是本质左理想，从而R/M是奇异单左R-模，从而R/M是YJ-内射R-模.作ρ：Ra→R/M满足ρ(ra)=r+M，则ρ是左R-同态.故存在c∈R，使得1-ac∈M.由于a2=0且R是广义局部环，由推论13知，a∈J(R)，故1-ac是R的可逆元，矛盾.因此a=0，故R 是约化环.定理15中的左MC2的条件不能去掉，例如:由定理8知R是广义局部环，每个单左R-模是内射的，从而每个奇异单左R-模是YJ-内射的，但R不是左MC2环.定理16 设R为广义局部环，a∈R是正则元，则a是群可逆元.证由于a是正则元，则存在b∈R，使得a=aba.由于a(1-ba)=0∈J(R)且R为广义局部环，因此a-ba2=(1-ba)a∈J(R).记a-ba2=x∈J(R)，则a=aba=(ba2+x)ba=ba2+xba，从而(1-xb)a=ba2.由于x∈J(R)，所以1-xb是R的可逆元，于是a=(1-xb)-1ba2∈Ra2.同理可证a∈a2R，因此a是R的群可逆元.文献[18]定理2.6证明:一个元素a是核可逆元当且仅当a是群可逆元及{1，3-}可逆元.因此定理16给出了下面的推论.推论17 设R为广义局部环，a∈R是{1，3-}正则元，则a是核可逆元.[参考文献]【相关文献】[1] Cohen I S.On the structure and ideal theory of complete local rings[J]. 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JB∞-环孙晓青;田径;肖燕婷【摘要】研究了JB∞-环,即满足R/J(R)是QB∞-环,得到了很多JB∞-环的判定条件:R是JB∞-环当且仅当对任意满足条件aR+bR=R的a,b∈R,存在y∈R使得a +by∈R-1当且仅当对任意满足条件aR+bR=dR的a,6,d∈R,存在y∈R,u∈R∞-1使得a+ by=du.另外还讨论了替换环是JB∞-环的充分必要条件,这些结论对QB∞-环提供了一些研究基础.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2015(031)005【总页数】7页(P449-455)【关键词】QB∞-环;JB∞-环;替换环【作者】孙晓青;田径;肖燕婷【作者单位】西安理工大学数学系,陕西西安 710054;西安理工大学数学系,陕西西安 710054;西安理工大学数学系,陕西西安 710054【正文语种】中文【中图分类】O1531964年文献［1］中给出了具有稳定秩1的环的定义，如果对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得a+by∈U（R），那么称环R具有稳定秩1.这类环对研究代数K-理论有重要的意义，许多学者从不同的角度研究了这类环（见文献［2-4］）.Ara在文献［5］中提出了一类具有稳定秩条件的无限环-QB-环.受QB-环的启发，文献［6］研究了QB∞-环.令易得若对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得则称R是QB∞-环.QB∞-环的范围非常广泛，所有的QB-环都是QB∞-环，反之却不一定，如QB-环R上的2×2阶上三角矩阵的集合TM2（R）是QB∞-环，但不是QB-环（见文献［6］的例3.3），QB∞-环得到了广泛的研究［7-9］.环R是局部环，指的是满足条件R/J（R）是除环.环R是半完备环，指的是满足条件R/J（R）是artinian环且幂等元提升模J（R）.环R是半正则环，指的是满足条件R/J（R）是正则环且幂等元提升模J（R）.环R是JB-环，指的是满足条件R/J（R）是QB-环.由此可见，环R和R/J（R）之间既有区别又有密切关系.本文研究了JB∞-环，即满足R/J（R）是QB∞-环，得到了很多JB∞-环的判定条件，R是JB∞-环当且仅当对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得当且仅当对任意满足条件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，u∈R-1∞使得a+by=du，其中=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）◦（1-bu）｝.另外也讨论了替换环是JB∞-环的充分必要条件.该文中环是含单位元的结合环，理想是双边理想，模是指右模.令U（R）是R的可逆元的集合，J（R）是R的Jacobson 根.环R的元素a是正则元指的是：如果存在b∈R满足a=aba.如果存在m∈N使得（RxRyR）m⊆J（R），那么称x，y是J-伪正交的，记作x◦y.记=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）◦（1-bu）｝.类似于文献［6］的引理2.1可知，当且仅当存在v∈R满足（1-uv）◦（1-vu）且u≡uvu，v≡vuv（mod J （R））.如果R/J（R）是QB∞-环，那么称R是JB∞-环.下面是JB∞-环的若干判定条件.定理2.1设R是环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得（3）对任意满足条件Ra+Rb=R的a，b∈R，存在z∈R使得推论2.1设R是环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）对任意满足条件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，使得a+by=du；（3）对任意满足条件Ra+Rb=Rd的a，b，d∈R，存在z∈R ，使得a+zb=ud. 证明（1）⇒（2）设aR+bR=dR，则存在x，y，s，t∈R使得ax+by=d，a=ds，b=dt.因此dsx+dty=d.因为sx+ty+（1-sx-ty）=1，所以存在z∈R使得u：=s+tyz+（1-sx-ty）z∈由此du=ds+dtyz=a+byz.（2）⇒（1）由定理1.1易见.（1）⇔（3）类似于（1）⇔（2）的证明.由推论2.1知，如果R是JB∞-环，那么aR=bR暗示着存在使得a=bu.引理2.1设R是JB∞-环.若x=xyx，则存在使得x=xyu=uyx.证明假设x=xyx，令z=yxy，则有x=xzx，z=zxz.因为xz+（1-xz）=1，由定理1.1知，存在t∈R使得v：=x+（1-xz）t∈从而z=zvz.设u=（1-xz-vz）v（1-zx-zv），容易验证（1-xz-vz）2=1=（1-zx-zv）2，故有又因为所以x=xzu=x（yxy）u=xyu且x=uzx=u（yxy）x=uyx.文献［10］中指出环R的元素a，b，如果存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，那么称a和b是伪相似的，记作定理2.2设R是JB∞-环且a，b∈R.若则存在使得au=ub.证明由已知存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，根据引理2.1，存在使得x=xyu=uyx.易验证因此故au=xb=ub.推论2.2设R是JB∞-环且e，f是R的幂等元.若则存在使得eu=uf.证明由已知eR≌fR得存在a∈eRf，b∈fRe满足e=ab，f=ba.因此从而根据定理2.2，存在使得eu=uf.环R为替换环当且仅当对任意a∈R，存在幂等元e∈aR使得1-e∈（1-a）R.本节研究替换环是JB∞-环的充分必要条件.定理3.1设R是替换环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）R的每个正则元可以写成一个幂等元和一个里元素的乘积.推论3.1设R是替换环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）对任意正则元x∈R，存在使得x=xux；（3）对任意正则元x∈R，存在使得ux是幂等元.引理3.1设R是环.则下列条件等价：（1）x=xvx，其中（2）x=xyx=xyu，其中y∈R，（3）x=xyx=uyx，其中y∈R，定理3.2设R是替换环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）当x=xyx时，存在使得x=xyu；（3）当x=xyx时，存在使得x=uyx.推论3.2设R是替换环.则下列条件等价：（1）R是JB∞-环；（2）若则存在使得au=ub.（3）对幂等元e，f∈R，若则存在使得eu=uf.综上，因环R和R/J（R）之间既有区别又有密切关系.本文研究的JB∞-环对QB∞-环的研究有重要意义.得到了JB∞-环的判定条件，以及替换环是JB∞-环的充分必要条件，这些结论对QB∞-环提供了一些研究基础.【相关文献】［1］Vaserstein L N.Stable rank of rings and dimensionality of topological spaces［J］.Funct.Anal.Appl.，1971，5：102-110.［2］孙晓青.单位稳定秩1的环的扩张［J］.数学杂志，2013，33（6）：1064-1074.［3］孙晓青.具有拟稳定秩的环［J］.西安理工大学学报，2013，29（2）：188-191.［4］Zhang D，Ouyang B.Quasi-invertible regular elements and their applications［J］.Comm.Algebra，2013，41：617-626.［5］Ara P，Pedersen G K，Pereva F.An infinite analogue of rings with stable range one ［J］.J.Algebra，2000，230：608-655.［6］Chen H.On QB∞-Rings［J］.Comm.Algebra，2006，34：2057-2068.［7］Chen H.On exchange QB∞-Rings［J］.Algebra Colloquium，2007，14（4）：613-623.［8］Chen H.Elements in Exchange QB∞-rings［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2009，13（3）：1031-1042.［9］Sun X Q，Wang S P，Shen X Q.Quasi-unit regular and QB-rings［J］.Ukrainian Mathematical Journal，2012，64（3）：415-425.［10］Chen H.Pseudo-similarity in semigroups［J］.Semigroup Forum，2004，68：59-63. ［11］Tuganbaev A.Rings Close to Regular［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2002.。

雅各布森翻译理论的解读与启示_对等1. 简介罗曼·雅各布森（Roman Jakobson），布拉格学派的创始人之一，著名的语言学家，布拉格学派最有影响的翻译理论家。

他1896生于莫斯科，先后任教于捷克斯洛伐克、丹麦、挪威和瑞典，原籍俄罗斯，1914年移居美国，后加入美国国籍。

1943-1970年先后任哥伦比亚大学、哈佛大学、麻省理工学院教授。

雅各布森是九个科学院的院士，获得25个荣誉博士学位。

他研究的范围极广，于1959年发表《论翻译的语言学问题》，从符号学和语言学角度，探讨了翻译与语言有关的基本问题。

2. 翻译理论思想概述雅各布森站在符号学和语言学立场上讨论了翻译问题，从四个方面进行了探讨。

他认为，所有语词都是确定的语言学或符号学事实，并将语言符号的翻译分为三类：语内翻译，语际翻译和符际翻译，这基本上对翻译的本质进行了概括，产生了极为深远的影响。

进而解释了语言符号的对等：语内翻译使用近义词或迂回表达法，语际翻译使用译语的完整信息取代原文信息，然后探讨了翻译可译性问题。

雅各布森是语言共性论者，认为现存语言都是可以表达的，并分别从词汇空缺和语法范畴空缺两方面进行分述。

最后对于语法范畴相当重要的翻译进行了详述，说明了其不可译性，但最后提出了“创造性移位”，给人予启迪。

3. 符号学语言学角度分述符号学及语言学贯穿于雅各布森的翻译思想当中。

皮尔斯对符号下的定义、符号的三元观，语言的本质范畴都体现于翻译的解释、翻译分类、语言内容与形式对等之间。

3.1. 从符号学角度看语言与翻译皮尔斯定义的符号是：一个符号是与第二个东西，即它的对象，相联系的任何事物，就一个质的方面以这种方式把第三个事物，即它的意义，和同一个对象联系起来。

雅各布森正是站在皮尔斯（Peirce）符号学的角度，通过对比格兰特·罗素的观点——即只有熟悉词语的非语言特征，才能理解词的意思——从而指出词义是语言事实、符号事实。

语言符号赋予了词语的意思，没有符号就没有意义；有了符号，就有了符号所代表的意义。

强J-clean环的推广程瑶;刘少然;殷晓斌【摘要】作为强J-clean环的推广,本文引入强J#-clean环的概念,将强J-clean环的性质推广到强J#-clean环上.设R为环,主要得到了:(1)a,b∈R.若ab是强J#-clean元,则ba也是强J#-clean元;(2)a∈R是强J#-clean元当且仅当a是强clean元且a--a2∈J #(R);(3)f2=f∈R,a∈fRf是R中的强J#-clean元当且仅当a 是环fRf中的强J#-clean元.%As the generalization of strongly J-clean rings,in this article,we introduce the concept of strongly J #-clean rings and extend the properties of strongly J-clean rings to strongly J #-clean rings.Let R be a ring,we mainobtain:(1)Foranya,b ∈ R,ifabisstronglyJ#-cl ean,then so isba;(2) a ∈ R is stronglyJ#-clean if and only if a is strongly clean anda-a2 ∈ J#(R);(3) f ∈ R is an idempotent,thena ∈ fRf is strongly J #-clean in R if and only if a is strongly J #-clean in fRf.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)004【总页数】4页(P323-326)【关键词】强clean环;强J-clean环;强J#-clean环【作者】程瑶;刘少然;殷晓斌【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O153.3本文中的环均指有单位元的结合环.设是R环,J(R)，U(R)和Id(R)分别表示R的Jacobson根,可逆元之集和幂等元之集.N表示自然数集,Mn(R)表示R上的全体n 阶矩阵环,Tn(R)表示R上的n阶上三角矩阵环.a∈R,annl(a)(annr(a))表示a在R 中的左(右)零化子.表示集合{a∈R|a2∈J(R)}.称环R为局部环[1],若对任意a∈R,有a∈U(R)或1-α∈U(R).称环R为布尔环[2],若对任意a∈R,有a2=a.称环R为约化环[3],若对任意a∈R,a2=0,有a=0. W.K. Nicholson在文献[4]中首次提出强clean环的概念.称环R为强clean环[4]，若对任意a∈R,存在e∈Id(R)及u∈U(R),使得a=e+u且eu=ue. H.Y. Chen在文献[1]中引入强J-clean环的概念.称环R为强J-clean环[1],若对任意a∈R,存在e∈Id(R)及j∈J(R),使得a=e+j且ej=je.文中证明了强J-clean环是强clean的.董李青在文[5]中定义了强环.称环R为强环[5],若对任意a∈R,存在e∈Id(R)及使得a=e+j且ej=je,并验证得出强环仍然是强clean的.受上述研究的启发,考虑到Jacobson根在环论中的重要性,本文考虑环R的一个特殊子集J#(R),引入强J#-clean环的概念,并将强J-clean环的相关结果推广到强J#-clean环.设R为环,J#(R)表示集合{x∈R|∃n∈N，xn∈J(R)}.显然有J(R)⊆⊆J#(R).下例说明J(R)J#(R).例2.1 设Z2为整数集Z模2的剩余类环,环R为M2(Z2),则J(R)=0.于是存在∉同时存在∉(R).故J(R)J#(R).命题2.2 设R是一个交换环,则(R).证明：我们只需证明J#(R)⊆J(R).任取x∈J#(R),显然存在n∈N,xn∈J(R).对任意r∈R,我们有1-rnxn∈U(R).由于R是交换环,可得1-rx∈U(R),则x∈J(R).从而J#(R)⊆J(R).命题2.3 设R是一个局部环,则(R).证明：任意x∉J(R),由R是局部环可知,x∈U(R).于是任意n∈N，xn∈U(R).从而xn∉J(R),即x∉J#(R).故J#(R)=J(R).定义2.4 称a∈R是强J#-clean元,若存在e∈Id(R)和w∈J#(R),使得a=e+w且we=we.称环R是强J#-clean环,若R中每个元素都是强J#-clean元.强J-clean环,强环,强J#-clean环分别借助这三个集合来定义的, 这三个集合的关系决定了这三类clean环的关系.命题2.5 设R为环.a∈R是强J#-clean元当且仅当1-a∈R是强J#-clean元.证明：(必要性)由于a∈R是强J#-clean元，则存在e∈Id(R),w∈J#(R),使得a=e+w且ew=we.于是1-a=(1-e)+(-w).显然1-e∈Id(R),-w∈J#(R),进一步得到(1-e)(-w)=(-w)(1-e).故1-a∈R是强J#-clean元.(充分性)类似可证.在广义逆的研究中,Cline[6]公式说明了:若环R中元ab有Drazin逆,则ba也有Drazin逆.下面我们证明元素的强J#-clean性也有类似结论.定理2.6 设R为环,a,b∈R.若ab是强J#-clean元,则ba是强J#-clean元.证明：设ab是强J#-clean元,ab=e+(-w)是强J#-clean分解.由于w∈J#(R),即存在n∈N使得wn∈J(R).于是1-wn∈U(R),进而1-w∈U(R).令f=be(1-w)-1a,w′=ba-f=b[1-e(1-w)-1]a.下证ba=f+w′是强J#-clean分解.f2=be(1-w)-1abe(1-w)-1a =be(1-w)-1(e-w)e(1-w)-1a =be(1-w)-1(1-w)e(1-w)-1 =be(1-w)-1a.对任意k≥1，w′k+1=[b(1-e(1-w)-1)a]k+1 =b[1-e(1-w)-1][ab(1-e(1-w))]ka =b[1-e(1-w)-1][(e-w)(1-e(1-w)-1)]ka =b[1-e(1-w)-1][(e-w)-(e-w)e(1-w)-1]ka =b[1-e(1-w)-1][(e-w)-(1-w)e(1-w)-1]ka =b[1-e(1-w)-1][(e-w)-e]ka =(-1)kb[1-e(1-w)-1]wka.可得w′∈J#(R).易证f与w′可交换.因此ba是强J#-clean元.推论2.7 设R为环,a,b∈R.若1-ab是强J#-clean元,则1-ba是强J#-clean元.证明：由命题2.5知,1-ab是强J#-clean元,则ab是强J#-clean元.由定理2.6得出ba是强J#-clean元.再由命题2.5可知,1-ba是强J#-clean元.文献[1]中说明强J-clean环是包含于强clean环之中.下文说明强J#-clean环虽然是强J-clean环的推广,但仍包含于强clean环之中.命题2.8 每个强J#-clean元是强clean的.证明：任意∈R.若a是强J#-clean元,则存在e∈Id(R),w∈J#(R),使得a=e+w且ew=we.于是得到a=(1-e)+(2e-1+w).因为(2e-1)2=1,所以(2e-1+w)(2e-1-w)=1-w2.由于w∈J#(R),故存在n∈N,wn∈J(R).对于任意的正整数m,由于故当2m+1≥n时,有1-w2m+1∈U(R).由此可得1-w2∈U(R).进而有a-(1-e)=2e-1+w∈U(R).因此a是强clean的.命题2.9 强J#-clean环是强clean环.由命题2.3可知，命题2.10 设R是局部环, 则R是强J#-clean环当且仅当R是强J-clean环.定理2.11 设R为环,a∈R.则a是强J#-clean元当且仅当a是强clean元且a-a2∈J#(R).证明：(必要性)令a=e+w为强J#-clean分解,由命题2.8可知a=(1-e)+(2e-1+w)是强clean分解.于是a2=e+2ew+w2,a-a2=(1-2e-w)w.因为ew=we,所以((1-2e-w)w)n=(1-2e-w)nwn∈J(R).故a-a2∈J#(R).(充分性)令a=e+u为R中的强clean分解且a-a2∈J#(R).于是a-a2=(1-2e-u)u.又因为eu=ue,则((1-2e-u)u)n=(1-2e-u)nun∈J(R).所以1-2e-u∈J#(R).因此a=(1-e)+(-1+2e+u)是强J#-clean元.推论2.12 设R为环,R是强J#-clean环当且仅当R是强clean环且对任意a∈R 有a-a2∈J#(R).推论2.13 设R是布尔环，则(1)R是约化的；(2)J(R)=0;(3)J(R)=J#(R)；(4)R是强J#-clean环.证明：(1)(2)(3)是显然的.下面只证明(4).由于R是布尔环，任意a∈R,a-a2=0∈J#(R).根据推论2.12知，R是强J#-clean环.命题2.14 若环R是强J#-clean环,则2∈J#(R).证明：由条件知,存在e∈Id(R)和w∈J#(R),使得2=e+w.由于存在n∈N使得wn∈J(R),则1-wn∈J(R),于是1-w∈U(R),所以1-e=w-1∈U(R).于是得到e=0.故2=w∈J#(R).命题2.15 设R为环,a∈R,u∈U(R).若a是强J#-clean元,则uau-1也是强J#-clean元.证明：若a∈R是强J#-clean元,则存在e∈Id(R)和w∈J#(R),使得a=e+w且ew=we.于是uau-1=ueu-1+uwu-1.易验证ueu-1uwu-1=uewu-1=uweu-1=uwu-1ueu-1，且(ueu-1)2=ueu-1∈Id(R),uwu-1∈J#(R).故uau-1也是强J#-clean元.由[1]知,强J-clean环的角环是强J-clean的,下面我们证明强J#-clean环的角环也是强J#-clean的.引理2.16 设R为环,a=e+w为强J#-clean分解,则annl(a)⊆annl(e),annr(a)⊆annr(e).证明:任意r∈annl(a),则ra=0.由条件知,a=e+w且we=ew,其中e∈Id(R),w∈J#(R).于是re=-rw,re=-rwe=-rew,从而re(1+w)=0.由于w∈J#(R),则存在n∈N使得wn∈J(R).取正整数m满足2m+1≥n,则w2m+1∈J(R).因此1+w2m+1∈U(R),1+w∈U(R).根据re(1+w)=0,可得re=0.因此r∈annl(e).故annl(a)⊆annl(e).类似可证annr(a)⊆annr(e).定理2.17 设R为环,f2=f∈R.a∈fRf在R中是强J#-clean元当且仅当a在fRf中是强J#-clean元.证明：(必要性)设(fef)2=fef.其中e∈Id(R),w∈J#(R),ew=we.注意到1-f∈annl(a)∩annr(a) ⊆annl(e)∩annr(e) =R(1-e)∩(1-e)R =(1-e)R(1-e),则ef=e=fe,进而(fef)2=fef.由于af=a=fa,且e+w=a=af=(e+w)f=e+wf,e+w=a=fa=f(e+w)=e+fw,因此wf=w=fw.于是对任意w∈J#(R),有fwf∈fJ#(R)f⊆J#(fRf),故a=fef+fwf.因此可得a∈fRf在fRf中是强J#-clean元.(充分性)假设a=e+w,e2=e∈fRf⊆R,w∈J#(fRf)且ew=we.显然w∈J#(fRf)⊆J#(R).故a∈fRf在R中是强J#-clean元.推论2.18 设R为环,e∈Id(R).若R是强J#-clean元,则eRe也是强J#-clean元. 推论2.19 设R为环,若存在m∈N，Tm(R)是强J#-clean环,则R是强J#-clean 环.证明:取e=diag(1,0,…,0)∈Tm(R).由推论2.18知,eTm(R)e是强J#-clean环.又因为R≅eTm(R)e,则R是强J#-clean环.任意a∈R,定义a的交换子和双交换子[7]分别为commR(a)={x∈R|ax=xa}，|xy=yx,∀y∈commR(a)}.在不引起混淆的前提下可简写为comm(a)和comm2(a).称环R为伪polar环[8],若对任意a∈R,存在p∈R,k≥1使得p2=p∈comm2(a),a+p∈U(R)且akp∈J(R).称环R为Abel环[9],若对任意a∈R,有e∈Id(R),使得ea=ae.命题2.20 设环R为Abel环.若R为强J#-clean环,则R为伪polar环.证明：任意a∈R,存在e∈Id(R),-w∈J#(R),使得a=e+(-w)且e(-w)=(-w)e.于是a=(1-e)+(2e-1-w).此时a+(1-e)=1-w.由w∈J#(R)知,存在n∈N使得wn∈J(R),即1-wn∈U(R),则a+(1-e)=1-w∈U(R).取正整数k≥n,则ak(1-e)=(e-w)k(1-e)=(-w)k(1-e)∈J(R),注意到1-e∈comm2(a).因此R为伪polar环.【相关文献】[1] HUANYIN Chen. On strongly J-clean rings[J]. Communications in Algebra, 2010,38(10)：3790-3804.[2] HAN J, NICHOLSON W K. Extensions of clean rings[J]. Commuications in Algebra, 2001,29(6):2589-2595.[3] KREMPA J. Some examples of reduced rings[J]. Algebra Colloquium, 1996，3(4):289-300.[4] NICHOLSON W K. Strongly clean rings and fitting's lemma[J]. Communications in Algebra, 1999,27(8):3583-3592.[5] 董李青.强环[J].杭州师范大学学报:自然科学版,2015,14(3):323-328.[6] CLINE RE. An application of representation for the generalized inverse of a matrix[M]. MRC Technical Report, 1965.[7] JIAN Cui, JIANLONG Chen. A class of quasipolar rings[J]. Communications in Algebra, 2012,40(12):4471-4482.[8] ZHILING Ying, JIANLONG Chen. On quasipolar rings[J]. Algebra Colloquium,2012,19(4):683-692.[9] CHIN AYM. Clean elements in abelian rings[J]. Mathematical Sciences, 2009,119(2):145-148.。