【2021高考数学压轴题】2、三招五法破解含参零点问题 (1)

1 / 212021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇 函数与导数专题02 “三招五法”，轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二．解题策略类型一 “第一招”带参讨论【例1】【2020·福建福州期末】已知函数()()2224x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点，则a =（ ） A ．12- B ．-2 C ．12D ．2【答案】B【解析】因为函数()()2224x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点，2 / 21等价于方程()2224x x x x a e e --+-=+有唯一解，等价于函数24y x x =-的图像与()22x x y a ee --+=+的图像只有一个交点.当0a =时，()224244y x x x =-=--≥-，此时有两个零点，矛盾；当0a >时，由于()22424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，且()22x x y a ee --+=+在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，所以函数24y x x =-的图像最低点为()2,4-，()22x x y a e e --+=+的图像的最低点为()2,2a ，由于204a >>-，故两函数图像有两个交点，矛盾，当0a <时，由于()22424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，且()22x x y a ee --+=+在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，所以函数24y x x =-的图像最低点为()2,4-，()22x x y a e e --+=+的图像的最高点为()2,2a ，若两函数只有一个交点，则24a =-，即2a =-.故选B 【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解． 【举一反三】【2020河北邯郸期末】已知函数()2x f x me x m --=有两个零点，则m 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(0,1)D ．1(0,)e【答案】A3 / 21【解析】由题知，()1x f x me '=-， 当0m时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减，函数()f x 不可能有两个零点，故0m 不成立；当0m >时，令()0f x '=，∴1x e m=，∴1x ln m = ∴函数()f x 在1(,)lnm -∞上单调递减，在1(,)ln m+∞上单调递增， ∴函数()f x 的最小值111()21()2min f lnm ln m ln m m m m m==--=+- 令()1()2g m ln m m =+-，其中0m >，∴121()2m g m m m-+'=-= ()g m ∴在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递增，∴11()()022max g m g ln ==<()0g m ∴<，()f x ∴的最小值1()0f lnm< 且x 趋向于-∞时，()f x 趋向于+∞；当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞∴此时()f x 有两个零点，符合题意，(0,)m ∴∈+∞故选A ．类型二 “第二招”数形结合【例2】【2020•河南一模】已知关于x 的方程2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，则当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．224(,)4e e ++∞C ．28(,2)eD ．224(2,)4e e +【答案】B【解析】函数2()2(2)x x x f x xe x e x xe '=+=+，由()0f x '>得(2)0x x +>，得0x >或2x <-，此时()f x 为增函数， 由()0f x '<得(2)0x x +<，得20x -<<，此时()f x 为减函数，4 / 21即当0x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(0)0f =， 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为24(2)f e -=， 当0x →，()0f x >，且()0f x →， 作出函数()f x 的图象如图： 设()t f x =，则当240t e <<时 方程()t f x =有3个根，当24t e =时 方程()t f x =有2个根，当0t =或24t e >时 方程()t f x =有1个根，则方程2[()]()10f x kf x -+=等价为210t kt -+=， 若2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根， 等价为210t kt -+=有两个不同的根， 当0t =，方程不成立，即0t ≠， 其中1240t e <<或224t e >， 设2()1h x t kt =-+，则满足2(0)100224()0h k kh e ⎧⎪=>⎪-⎪-=>⎨⎪⎪<⎪⎩，得222044()()10k k e e >⎧⎪⎨-+<⎪⎩，即222224()1444k e e k e e >⎧⎪⎪+⎨>=+⎪⎪⎩，即2244e k e >+，即实数k 的取值范围是224(,)4e e ++∞，故选B ．5 / 21【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点个数，等价于方程g (x )－h (x )＝0的解的个数，亦即g (x )＝h (x )的解的个数，进而转化为基本初等函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y =g (x ),y =h (x )的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y =a,y =g (x )的交点个数的图象的交点个数问题．交点的横坐标即零点. 【举一反三】【2020河北武邑直线一调】已知函数()xxf x e =，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(-∞，2)(2⋃，)+∞B ．1(1e -，)+∞ C ．1(1e -，1) D ．(1,)e【答案】C 【解析】由题意1()xx f x e -'=．当1x >时，1()0x x f x e -'=<，当1x <时，1()0xxf x e -'=>，6 / 21()f x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，)(x f 取极大值1e ．()f x 大致图象如下：假设2m =，令()t f x =．则2210t t ++=．解得1t =-，即()1f x =-． 根据()f x 图象，很明显此时只有一个解， 故2m =不符合题意，由此排除B 、D 选项； 假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =-，21t =-． 即()2f x =-，或()1f x =-．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解， 故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 故选C ．类型三 “第三招”分离参数7 / 21【例3】【2020安徽】已知方程23||02ln x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2(0,)2e【解析】由23||02ln x ax -+=，得23||2ax ln x =+，0x ≠，∴方程等价为23||2ln x a x+=，设23||2()ln x f x x +=，则函数()f x 是偶函数，当0x >时，232()lnx f x x+=，则24413()22(1)2()x lnx xx lnx x f x x x -+-+'==，由()0f x '>得2(1)0x lnx -+>，得10lnx +<，即1lnx <-，得10x e <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<得2(1)0x lnx -+<，得10lnx +>，即1lnx >-，得1x e >，此时函数单调递减， 即当0x >时，1x e =时，函数()f x 取得极大值21312()1()ln e f e e +=2231(1)22e e =-+=， 作出函数()f x 的图象如图所示，要使23||2ln x a x+=，有4个不同的交点，则满足202e a <<.【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；8 / 212.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题． 【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ． 7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ． 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图像有四个不同的交点．又做出该函数的图像如图所示，由图得，当时，直线与函数的图像有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b 的取值范围是故选D ．类型四 “三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点9 / 21x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)【答案】B 【解析】法一 单调性法：利用函数的单调性求解 由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a>0时，x ∈(－∞，0)，f′(x)>0；x ∈（0，2a ），f′(x)<0；x ∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x ∈（－∞，2a ），f′(x)<0；x ∈（2a，0），f′(x)>0；x ∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a ）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f （2a）>0，即a 2>4，解得a<－2. 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－21x ，作出y ＝3－21x的图象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－21t ，其中t <0，则切线方程为y －3－21t ＝32t (x －t )．又切线过原点，则有0－3－21t ＝32t(0－t )，解得t ＝－1(t ＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a <－2符合题意．法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解10 / 21令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x ≠0，令f (x )＝0，则331a x x ＝－，记331()g x x x ＝－，2'234333(1)()x g x x x x --=-+=，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.法五 特例法：巧取特例求解取a ＝3，则f (x )＝3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f (－1)<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除A 、C.11 / 21取a ＝－43，则f (x )＝－43x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f （32）<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除D ，故选B. 【指点迷津】1.本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】方法一：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x e e--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x e eee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，12 / 21设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a e e －－＋－＋＋＝有解， 即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解， 令1t x ＝－，则上式可化为2(10)t t t a e e －－＋＋＝，即21t t t a e e--+＝.令21t t t e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a e e x x ⇔－－＋＝＋＝－＋112x x e e ≥－－＋＋，当且仅当1x =时取“＝”．2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a e e a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．综上所述，12a ＝. 三．强化训练1．【2018年新课标I卷理】已知函数f(x)={e x，x≤0，lnx，x>0，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数f(x)的图像，y=e x在y轴右侧的去掉，再画出直线y=-x，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)=-x-a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足-a≤1，即a≥-1，故选C.2.【2020届河北“五个一名校联盟”二诊】已知函数()y f x=满足对任意的x R∈，总有(2)()f x f x+=，且当[0x∈，2]时，()1|1|f x x=--．若关于x的方程()log af x x=恰有三个不相等的实根，则实数a的取值范围为()A．[3，5]B．(3,5)C．[4，5]D．(3,6)13/ 2114 / 21【答案】B【解析】函数()y f x =满足对任意的x R ∈，总有(2)()f x f x +=，可知函数的周期为2， 当[0x ∈，2]时，()1|1|f x x =--，所以函数()y f x =的图象如图所示关于x 的方程()log a f x x =恰有三个不相等的实根，可知1a >，log a y x =必须夹在A 点的下方，B 点的上方，所以3151a alog log <⎧⎨>⎩，可得(3,5)a ∈，故选B ．3.【2020河北唐山期中】若存在两个正实数x ，y 使得等式(1)x lnx xlny ay +=-成立（其中lnx ，lny 是以e 为底的对数），则实数a 的取值范围是( ) A ．21(0,]e B ．1(0,]eC ．21(,]e -∞D ．1(,]3-∞【答案】C【解析】(1)x lnx xlny ay +=-可化为x x x a ln y y y =--，令xt y =，则0t >，()f t t tlnt =--， ()2f t lnt '=--，∴函数()f t 在区间21(0,)e 上单调递增，在区间21(,)e +∞ 上单调递减．即22221121()()f t f e e e e =-+=，则21(,]a e ∈-∞，故选C ． 4．【2019届同步单元双基双测AB 卷】函数f (x )的定义域为实数集R ,f (x )=15 / 21{(12)x-1,-1≤x <0log 2(x +1),0≤x <3,对于任意的x ∈R 都有f (x +2)=f (x -2),若在区间[-5,3]函数g (x )=f (x )-mx +m 恰有三个不同的零点, 则实数m 的取值范围是（ ） A ． (-12,-13) B ． [-12,-13] C ． (-12,-16) D ． [-12,-16)【答案】D【解析】∵f （x+2）=f （x ﹣2），∴f （x ）=f （x+4）， f （x ）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g （x ）=f （x ）﹣mx+m 恰有三个不同的零点， 则f （x ）和y=m （x ﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点， 画出函数函数f （x ）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC =﹣16，K BC =﹣12，结合图象得：m ∈[-12,16)， 故选：D5.【2020届重庆八中期末】已知函数2()log 1f x x =-，且关于x 的方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，若最小的实数解为-1，则+a b 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B16 / 21【解析】作出函数2()log 1f x x =-的图象，∵方程2[()]()20f x af x b ++=有个不同的实数解，∴如图所示，令，方程2[()]()20f x af x b ++=转化为：，则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为，由，∴方程：的两根是和，由韦达定理得：，，∴，故选B.6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数f(x)={|2x+1-1|,x ≤14-x,x >1 ,若互不相等的实数p,q,r 满足f(p)=f(q)=f(r),则2p +2q +2r 的取值范围是（ ） A ． (8,16) B ． (9,17) C ． (9,16) D ． (172,352)【答案】B 【解析】不妨设p <q <r ，f (x )的图像如图所示，令f (p )=f (q )=f (r )=m ，则|2p+1-1|=|2q+1-1|=4-r =m ，故2p+1-1=2q+1-1或17 / 212p+1-1=-2q+1+1且0<m <1，所以p =q （舎）或2p+1+2q+1=2即2p +2q =1且3<r <4，故2p +2+q2r =1+2r ∈(9,17)，故选B.7.【2020山西运城一中期末】对于任意的实数[1x ∈，]e ，总存在三个不同的实数[1y ∈-，5]，使得210y y xe ax lnx ---=成立，则实数a 的取值范围是()A ．24251(,]e e e - B ．4253[,)e eC ．(0，425]e D ．24253[,)e e e -【答案】B 【解析】210yyxeax lnx ---=可化为：2y y e lnxa e x=+，设2()(15)y y eg y y e =-，则(2)()y ey y g y e -'=，即函数()g y 在(1,0)-，(2,5)为减函数，在(0,2)为增函数，又2(1)g e -=，g （2）4e =，g （5）425e =， 设()([1,])lnxf x a x e x =+∈，所以21()lnx f x x -'=，即函数()f x 在[1，]e 为增函数， 所以1()af x a e+， 对于任意的实数[1x ∈，]e ，总存在三个不同的实数[1y ∈-，5]，使得210y y xe ax lnx ---=成立，即对于任意的实数[1x ∈，]e ，总存在三个不同的实数[1y ∈-，5]，使得2y y e lnxa e x=+成立， 即425[lnx a x e +∈，4)e对于任意的实数[1x ∈，]e 恒成立， 即42514a e a e e ⎧⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即4253a e e <，故选B ．18 / 218.【2020浙江绍兴期末】若关于x 的方程12x a a x---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[]1,1-【解析】原题等价于方程12x a a x--=±恰有三个不同的解, 设11(),()2,()2f x x a a g x h x x x=--=+=-,作出图像如下:则2,()=,x a x af x x x a-≥⎧⎨-<⎩是一个“V”型分段函数,其顶点(,)A a a -在直线y x =-上运动, 将y x =-分别与(),()g x h x 联立,可得直线y x =-与()g x 相切与点(1,1)B -,与()h x 相切与点(1,1)C -,因此,当且仅当点A 在线段BC 上运动时,()f x x a a =--与12y x=±有三个交点, 由图知实数a 的取值范围为[]1,1-. 9．【2020江西瑞金一中期末】已知函数21,0,()2,0,lnx x f x x x x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(0,)2e【解析】函数()()g x f x mx =-有三个零点，即函数()y f x =的图象与函数y mx =的图象有三个交点，19 / 21当0x >时，21(),()lnx lnxf x f x x x+-='=， 显然，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 递减，且f （1）1=，设直线y mx =与函数()(0)y f x x =>相切时的切点为0(P x ，0)y ，则00200001lnx y x x lnx yx -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时切线斜率为2e，作函数草图如下，由图象可知，要使函数()y f x =的图象与函数y mx =的图象有三个交点，则直线函数y mx =的图象应在x 轴与切线OP 之间，则斜率的取值范围为(0,)2e，即实数m 的取值范围是(0,)2e．10.【2020浙江西湖一中期末】已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，21,024()13(),224x x x f x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，若关于x 的方程27[()]()016a f x af x ++=，a R ∈有且仅有8个不同实20 / 21数根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】7(4，16)9【解析】当02x 时，214y x =-递减，当2x >时，13()24x y =--递增，由于函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，则()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递减，在(2,0)-和(2,)+∞上递增， 当0x =时，函数取得极大值0； 当2x =±时，取得极小值1-． 当02x 时，21[14y x =-∈-，0]．当2x >时，13()[124x y =--∈-，3)4-要使关于x 的方程27[()]()016af x af x ++=，a R ∈， 有且仅有8个不同实数根， 设()t f x =，则27016a t at ++=的两根均在3(1,)4--． 则有2704312471016937016416a a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪-<-<-⎪⎨⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎩，即为70432216995a a a a a ⎧><⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<⎪⎪⎪<⎩或，解得71649a <<． 即有实数a 的取值范围是7(4，16)9．21/ 21。