数学：《函数的单调性与导数》(人教a版选修)

(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数 f (x) ；
(3)不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f(x)的单调增区间；
(4)不等式组 x A
f
( x )
0
的解集为f(x)的单调减区间；
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20
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入 水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水 的高度h与时间t的函数关系图象。
y2x0
4
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图象是单调上升的.
y3x20(当 x0时 )
5
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在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
6
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f(x)0 , 则f (x)为增函数；
第三章 导数及其应用 y
3.3.1 函数的单调性与导数
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o
x
1
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
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2
图象是单调上升的. y10
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3
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在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
如果 f(x)0 , 则f (x)为减函数。
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f (x)
例1、 f(x)0 f (x) 0 f (x) 0

【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性．
【解析】∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，可解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，可解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间 (－1，1)上单调递减．
C．y＝12x
D．y＝1x
【答案】BCD
【解析】在 A 中，y＝log2x 在区间(0，＋∞)上为增函数；在 B 中，y＝－ x在区间(0，＋∞)上为减函数；在 C 中，y＝12x 在 区间(0，＋∞)上为减函数；在 D 中，y＝1x在区间(0，＋∞)上为 减函数．故选 BCD．
(202X年四川成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋ 2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是 ()
x＝1－xl2n
x .
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1,1－ln x＞0.
∴f′(x)＝1－xl2n x＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝
ln x
x
在区间
(0,2)上是单调递增函数．
利用导数证明一个函数在给定这时一般是先将函数的导 数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相 关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．
【解析】(1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．
令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，

当 a<0 时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋ ∞ )．
归纳升华 1．利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求出函数 f(x)的导数 f′(x)； (3)令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应 区间为 f(x)的单调递增区间； (4)令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的 相应区间为 f(x)的单调递减区间．
(1)由 x＞0，得函数定义域为(0，＋∞ )．
1 1 1 f′(x)＝2－ ，令 2－ ＞0 解得 x＞ ； x x 2 1 1 令 2－ ＜0，得 0＜x＜ . x 2 1 1 所以 f(x)的增区间是( ，＋∞)；减区间为(0， )． 2 2 a (2)f(x)＝x＋ 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， x
[变式训练] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； ex (2)f(x)＝ ； x－2
解： (1)由 x＞ 0，得函数定义域为 (0，＋∞)． 1 （ 2x－ 1）（ 2x＋ 1） f′(x)＝ 2x－ ＝ . x x 2 因为 x＞ 0，所以 2x＋ 1＞ 0，由 f′(x)＞ 0 得 x＞ ， 2 所以函数
由 f′(x)＜0 得 x＜3， 又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．
类型 2 与导数有关的函数图象问题 [典例 2] 已知 f′(x)是 f(x)的导函数， f′(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只 可能是( )
a ＋ b 解析：从 f′(x)的图象可以看出，在区间a， 内， 2 a ＋ b 导数递增；在区间 ，b内，导数递减．即函数 2

4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1] 上是增函数，求a的取值范围．
◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】 错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含 有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而 判断单调区间．
常数函数
利用导数求函数单调区间的基本步骤
1．确定函数f(x)的__•_定__义__域___． 2．求导数f′(x)． 3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时 ，f(x)在相应的区间上是__________；•增当函f′(数x)<0时，f(x)在相应 的区间上是__________．•减函数 4．结合定义域写出单调区间．
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示， 则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析： 由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区 间，故排除B，故选D. 答案： D
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
如果函数y＝f(x)的图象如图所示 ，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况 ，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依 次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A
1.利用导数符号判断单调性的方 法：
(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0， 解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)． 令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)．