相交线与平行线综合复习

第五章相交线与平行线专题（一）相交线1．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC＝80°，求∠BOD和∠AOE的度数．2．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．120°C．180°D．360°,(第2题图)),(第3题图))3．如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠BOE＝4∠BOD，∠AOE＝100°，则∠AOC 等于()A．30°B．20°C．15°D．10°4．如图，AB和CD相交于点O.(1)若∠1＋∠3＝50°，则∠3＝__ __；(2)若∠1∶∠2＝2∶3，则∠3＝__ __；(3)若∠2－∠3＝70°，则∠3＝__ __．5．如图，两条直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝30°，∠2＝___ _，∠3＝__ __．6．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O.(1)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；(2)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的邻补角；(3)若∠AOC＝40°，求∠BOD，∠BOC的度数．7．如图，一长方形纸片ABCD沿折痕EF对折，得到点D的对应点D′，点C的对应点C′，若∠BFE＝50°，试求∠BFC′的度数．8．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2＝8∶1，求∠AOC 的度数．第五章相交线与平行线专题（二）平行线的判定1．如图所示，直线a ，b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7.其中能说明a ∥b 的条件为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．如图所示，要得到DE ∥BC ，则需要的条件为( )A ．CD ⊥AB ，GF ⊥AB B ．∠4＋∠5＝180°C ．∠1＝∠3D ．∠2＝∠33．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a ∥b 的是( )A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠4C ．∠3＝∠4D ．∠1＋∠4＝180°4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB ∥DF 的是( )A ．∠A ＋∠2＝180°B ．∠3＝∠AC ．∠1＝∠4D ．∠1＝∠A5．)如图所示，下列判断不正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AE ∥BDB ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥EDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠5＝∠BDC ，∴AE ∥BD6．如图，能说明AB ∥DE 的有( )①∠1＝∠D ；②∠CFB ＋∠D ＝180°；③∠B ＝∠D ；④∠D ＝∠BFD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第1题图)(第2题图) (第5题图)(第6题图)7．如图，给出下面的推理：①因为∠B ＝∠BEF ，所以AB ∥EF ；②因为∠B ＝∠CDE ， 所以AB ∥CD ；③因为∠B ＋∠BDC ＝180°，所以AB ∥EF ；④因为AB ∥CD ，CD ∥EF ， 所以AB ∥EF.其中正确的推理是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9．如图，下列推理正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD B ．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠3＋∠4＝180°，∴AB ∥CD10．如图，已知直线EF 分别交CD ，AB 于点M ，N ，且∠EMD ＝65°，∠MNB ＝115°，则下列结论正确的是( )A ．AE ∥CFB ．AB ∥CDC ．∠A ＝∠D D ．∠E ＝∠F11．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则( )A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD ＝BC D ．AB ＝CD12．如图所示，AC ⊥BC ，垂足为C ，∠B ＝50°，∠ACD ＝40°，则AB 与CD 的位置关系是 AB ∥CD__.13．如图所示，下列条件中：(1)∠B ＋∠BCD ＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B ＝∠5.能判定AB ∥CD的条件有 ．(填序号),(第9题图)) ,(第10题图)) ,(第11题图)) ,(第12题图))14．(8分)如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°，直线AB，CD有何位置关系？说明理由．16．(10分)如图，已知直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？17．(12分)如图，AC⊥EC，B，C，D在同一直线上，∠A＝∠1，∠E＝∠2，直线AB与DE平行吗？试说明理由．第五章相交线与平行线专题（三）平行线的性质1．如图，直线m ∥n ，∠α为( )A ．70 B ．65° C ．50° D ．40°2．如图，AB ∥ED ，AG 平分∠BAC ，∠ECF ＝70°，则∠FAG 的度数是( )A ．155°B ．145°C ．110°D ．35°3．如图，已知AB ∥CD ，∠1＝130°，则∠2＝__ ．4．如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°，求∠C 的度数5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6． 6．一张长方形的纸条，按如图方式折叠一下，已知∠3＝120°，则∠1的度数为( )7．A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°8．9． ,(第1题图)) ,(第2题图)) ,(第5题图)) ,(第6题图))10．7．(4分)如图，∠1＝50°，∠2＝140°，∠C ＝50°，则∠B ＝____．9．某次考古发掘出的一个梯形残缺玉片如下图，工作人员从玉片上量得∠A ＝115°，∠D ＝100°，已知梯形的两底AD ∥BC ，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．10．如图所示，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，若∠C ＝50°， ∠BDE ＝60°，则∠CDB 的度数等于( )A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°11．如图所示，已知AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．2个12．如图所示，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，则∠B ＋∠D 的度数为____．13．如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1＝64°，则∠2＝___ _．(第10题图) (第11题图), ( 第 7 题图 )14．(12分)如图所示，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．15．(12分)如图，直线AD与AB，CD相交于A，D两点，EC，BF与AB，CD相交于点E，C，B，F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.小明在图上把两组相等角的信息标注出来后，略加分析，便发现CE∥BF，同桌的小慧说：“不光有这个发现，我还能得到∠A＝∠D呢？”小明再深入其中，很快也明白了小慧是怎么得到∠A＝∠D的了．你能帮助他们写出过程吗？16．(12分)如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上．(1)试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说明理由；(2)如果点P在A，B两点之间运动时，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？(3)如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系(点P和A，B不重合)．第五章相交线与平行线专题（四）平行线的性质与判定的综合运用1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OT ⊥AB 于点O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO ＝30°，则∠DOT 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．如图，AB ∥CD ，∠DFE ＝135°，则∠ABE 的度数是( )A ．30°B ．45C ．60°D ．90°3．如图，a ，b ，c 为三条直线，且a ⊥c ，b ⊥c ，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )A ．70°B ．90°C ．110°D ．80°4．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°5．(4分)如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°6．(4分)如图，已知直线a ∥b ，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )A ．100°B ．60°C ．40°D ．20°(第1题图)(第2题图) (第3题图)(第4题图)7．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板短直角边和含45°角 的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__．8．如图所示是一大门的栏杆，AE 为地面，BA ⊥AE 于点A ，CD ∥AE ，则∠ABC ＋∠BCD＝ _9．(8分)如图，直线AB ，CD 分别与直线AC 相交于点A ，C ，与直线BD 相交于点B ，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．10．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A ＝34°，∠DEC ＝90°，则∠D 的度数为() A ．17° B ．34° C ．56° D ．124°11．如图，已知AB ∥CD ，∠C ＝65°，∠E ＝30°，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°12．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，则∠BAD ＋∠ADE ＋∠DEF 等于( )A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°13．如图所示，∠A ＝60°，∠4＝45°，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则∠1＝___ _， ∠2＝__ __， ∠3＝__ _，∠B ＝__ _，∠C ＝___ _． (第5题图) (第6题图,(第10题图)) ,(第11题图)(第7题图) (第8题图)14．如图，直线l1∥l2∥l3，点A ，B ，C 分别在直线l1，l2，l3上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC ＝____．15．如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α＝__．16．(8分)如图，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3.请问：AD 平分∠BAC 吗？若平分，请说明理由．17．(10分)如图所示，CD ⊥AB ，垂足为D ，F 是BC 上任意一点，EF ⊥AB ，垂足为E ，且∠1＝∠2，∠3＝80°，求∠BCA 的度数．18．(12分)如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并(第12题图)(第13题图) ,(第14题图)),(第15题图)说明你的理由．第五章相交线与平行线专题（五）平行线的性质与判定变式训练【教材母题】(教材P36第8题(2)改编)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝108°，求∠4的度数．变式1.(2014·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为()A．25°B．45°C．35°D．30°变式2.(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°,(第1题图)),(第2题图))变式3.(2014·聊城)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为()A．53°B．55°C．57°D．60°变式4.(2014·遵义)如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝() A．30°B．35°C．36°D．40°,(第3题图)),(第4题图))变式5.如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，则这两个角的度数分别为__变式6.填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.变式7.如图所示，已知AD⊥BC于D，E是AB上一点，EF⊥BC于F，且∠1＝∠2，试判断∠B与∠CDG的大小关系，并说明理由．变式8.如图，AB∥CD，∠EAB＋∠FDC＝180°.求证：AE∥FD.变式9.如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2.求证：∠E＝∠F.变式10.若AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD与BC平行吗？为什么？变式11.如图，已知∠1＝∠2，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，EG平分∠AEC，试说明AB∥EF∥CD.变式12.(探究题)(1)如图①，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？(3)若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？(4)若将点E移至图③的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？(5)在图④中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？。

【相交线与平行线】复习提高【知识树】要点归纳，理淸知识脉络!对顶角-对顶角相等类型一：平行线的性质与判定的综合应用例题1：如图所示，已知CB丄AB, CE平分ZBCD, DE平分ZCDA, Zl+Z2=90° •试说明：DA丄AB.【举一反三】如图所示，Z1和Z2互为补角，ZA=ZD,求证:相交线—两条直—线相交特殊情况两条直线被第三条直线所截邻补角-邻补角互补垂线段最短-点到直线的距离-同位角.内错角.同旁内角【方法规律聚焦】掌握学习方法，可以让你学习事半功倍哦!H类型二：折纸问题中的叠合法例题2：如图所示，是一张长方形纸条折成的形状，如果Zl=105° ,求Z2的度数。

【举一反三】如图把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G 点，D. C【数学思想方法】一、数形结合思想数量关系 =^n+Z2=180o => Z1=Z3 o Zl=Z2=90° Z1=Z2 o Z3=Z4 Z2+Z4=180°分别落在D ，的位置，若ZEFG=55°位置关系 邻补角 对顶角 Mba 〃b例：如图，DE丄AC, ZAGF=ZABC, Z1与Z2互补。

试说明BF丄AC。

练习：如图，AB〃CD, AE> DF分别平分ZBAD和ZADC。

试说明ZE与ZF的关系。

c二、转化思想例：请按下列要求操作图形并解答(本题中四个长方形的水平方向的边长均为a, 竖直方向的边长均为b):在图1中，将线段AJU向右平移1个单位到Bd 得到图形AAB战(即阴影部分)；⑴(2) (3) (4)在图2中，将折线AtA晶向右平移1个单位到得到封闭图形(即阴影部分).（1） 在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，从 而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影.（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：Sl — _______________ 9 S F ____________ f S F __________________ ；（3） 联想与探索：如图4,在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的.练习：1、一块长方形平地的长和宽分别为10米和6米，垂宜 于地边的两条道路的宽分别是2米和3米。

精编版平行线与相交线知识点整理总复习平行线与相交线是几何学中重要的概念，它们在平面几何、解析几何以及立体几何中都有广泛的应用。

下面对平行线与相交线的相关知识点进行整理总复习。

一、平行线的定义与性质：1.定义：在平面上的两条直线，如果它们没有交点，就称为平行线。

2.平行线的判定方法：（1）同一条直线上的两条直线，如果与另一条直线平行，则它们互相平行。

（2）用直角板判定法：如果两直线上各取一点P和Q，再通过P、Q各画一条与给定直线垂直的直线，则这两条垂直线相交的点连同P、Q四点是否共线，如果共线，则给定直线与这两条垂直线平行；否则，不平行。

（3）用平行线定理判定：如果两直线上各取一点P和Q，并通过Q画一条与给定直线平行的线段，则通过P和平行线段的直线相交的点与P、Q、两直线上平行线段的两个端点是否共线，如果共线，则给定直线与平行线段平行；否则，不平行。

3.平行线性质：（1）平行线具有等斜率。

（2）平行线的判定是对称的，即如果直线l与直线m平行，那么直线m与直线l也平行。

（3）平行线的传递性。

（4）平行线的交线和倾斜度。

（5）两个平行线与同一直线的交线上的对应角相等。

（6）两个平行线分别与同一直线的两条截线上的对应角相等。

二、相交线与交角的定义与性质：1.定义：在平面上的两条直线如果有一个交点，就称为相交线。

2.存在且唯一：平面上任意两条不平行的直线都有一个且仅有一个交点。

如果两条直线有两个或多个交点，则它们必定重合。

3.交角的定义：两条相交线之间的夹角。

三、平行线与相交线的相关知识点：1.平行线的判定与构造：可以通过几何推理来判定两条直线是否平行，也可以通过构造垂直线段或平行线段等方法来构造平行线。

2.平行线于直线的夹角：直线与平行线的夹角为0度。

3.平行线与截线的夹角：一条直线与平行线的截线上的各个角的和等于180度。

4.形成平行线的条件：如果两个直线分别与一条第三条直线相交，在交点两侧所夹的内角或外角相等，则这两个直线平行。

一、选择题1．下列定理中，没有逆定理的是（）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等D解析：D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．2．下列命题：①相等的角是对顶角；②同角的余角相等；③垂直于同一条直线的两直线互相平行；④在同一平面内，如果两条直线不平行，它们一定相交；⑤同位角相等；⑥如果直线a∥b，b⊥c，那么a⊥c，其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．以上都不对B解析：B【分析】利用对顶角的定义、余角的定义、两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；②同角的余角相等，正确，为真命题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故错误，是假命题；④在同一平面内，如果两条直线不平行，它们一定相交，正确，为真命题；⑤两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；⑥如果直线a ∥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ，正确，为真命题，故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、余角的定义、两直线的位置关系等知识，属于基础题，难度不大．3．如图：//AB DE ，50B ∠=︒，110D ∠=︒，BCD ∠的度数为（ ）A ．160︒B ．115︒C ．110︒D ．120︒D解析：D【分析】 如图（见解析），利用平行线的判定与性质、角的和差即可得．【详解】如图，过点C 作//CF AB ，//AB DE ，////AB DE CF ∴，,180BCF B DCF D ∴∠=∠∠+∠=︒，50,110B D ∠=︒∠=︒，50,18070BCF DCF D ∴∠=︒∠=︒-∠=︒，120BCD BCF DCF ∴∠=∠+∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 4．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°D解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．5．在同一平面内，有3条直线a，b，c，其中直线a与直线b相交，直线a与直线c平行，那么b与c的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定B解析：B【分析】根据a∥c，a与b相交，可知c与b相交，如果c与b不相交，则c与b平行，故b与a 平行，与题目中的b与a相交矛盾，从而可以解答本题．【详解】解：假设b∥c，∵a∥c，∴a∥b，而已知a与b相交于点O，故假设b∥c不成立，故b与c相交，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．如图，下列说法错误的是( )A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c C解析：C【解析】试题分析：根据平行线的判定进行判断即可．解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B 、若∠1=∠2，则a ∥c ，利用了内错角相等，两直线平行，正确；C 、∠3=∠2，不能判断b ∥c ，错误；D 、若∠3+∠5=180°，则a ∥c ，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C ．考点：平行线的判定．8．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒B解析：B【分析】 根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。

平行线与相交线期末考试总复习考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是______10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系大小关系对顶角∠1的两边与∠2的两边邻补角∠3与∠4有一条边公共，另一边注意点：⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有：（2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有 ；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有 ；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有 个，而对顶角只有 个。

(4) 两直线相交形成的四个角中，共有 组邻补角， 组对顶角。

2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：记作： 垂足为⑵垂线性质1：⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：3、垂线的画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别： 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

⑵两点间距离与点到直线的距离 区别： 联系：都是线段的长度；1 2 4 3 A B C DO⑶线段与距离 区别6、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

7、两条直线的位置关系，两条直线的位置关系只有两种：8、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过 一点， 一条直线与这条直线平行9、平行公理的推论：如果 那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。

平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。

若两条直线平行，则可表示为l，m。

平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。

2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。

这一性质被称为垂直平行线定理。

3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。

4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。

二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。

2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。

3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。

4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。

三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。

相交线两两相交于一点，称之为交点。

相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。

2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。

3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。

四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。

2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。

3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。

4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。

五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。

2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。

3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。

4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。

在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。

七年级数学（下）《相交线与平行线》复习测试题一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图，直线AB、CD相交于点O，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，属于对顶角的是( )A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠3和∠4D.∠2和∠42.如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )A.∠1B.∠2C.∠4D.∠53.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，图中∠1与∠2的关系是( )A.∠1+∠2=180°B.∠1+∠2=90°C.∠1=∠2D.无法确定4.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是( )A.80°B.100°C.110°D.120°5.在下列图形中，哪组图形中的右图是由左图平移得到的？( )6.命题：①对顶角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.平面内三条直线的交点个数可能有( )A.1个或3个B.2个或3个C.1个或2个或3个D.0个或1个或2个或3个8.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )9.如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B.已知∠1=35°,则∠2的度数为( )A.165°B.155°C.145°D.135°10.如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠5=∠BD.∠B+∠BDC=180°二、填空题(每小题4分，共20分)11.将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果……那么……”的形式是____________________.12.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的度数之比是2∶7，那么这两个角的度数分别是__________.13.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥ＣＤ于点Ｃ，若∠BOD=38°，则∠A等于__________.14.如图，BC⊥AE，垂足为点C，过C作CD∥AB.若∠ECD=48°，则∠B=__________.15.如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=__________度.三、解答题(共50分)16.(7分)如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2.试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由.解：BE∥CF.理由：∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知)，∴∠__________=∠__________=90°(垂直的定义).∵∠1=∠2(已知)，∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠EBC=∠BCF.∴BE∥CF(____________________).17.(9分)如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点.(1)过点P画AB的垂线段PE；(2)过点P画CD的垂线，与AB相交于F点；(3)说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？18.(10分)如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC.(1)若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数；(2)若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD=13∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数.19.(12分)如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.(1)AE与FC平行吗?说明理由;(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么？20.(12分)如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请从你所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：(1)____________________；(2)____________________；(3)____________________；(4)____________________.选择结论：____________________，说明理由.参考答案变式练习1.C2.∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°.∵∠BOE∶∠EOD=2∶3，∴∠BOE=223×70°=28°.∴∠AOE=180°-28°=152°.3.C4.121°5.C6.8 复习测试1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.D8.B9.C 10.A11.如果两直线平行，那么同位角相等12.40°，140°13.52°14.42°15.8016.ABC BCD 内错角相等，两直线平行17.（1）（2）图略；（3）PE＜PO＜FO，依据是垂线段最短.18.(1)∵OD平分∠AOC，∠AOC=60°,∴∠AOD=12×∠AOC=30°，∠BOC=180°-∠AOC=120°.(2)∵∠AOD和∠DOE互余，∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°.∵∠AOD=13∠AOE，∴∠AOD=13×90°=30°.∴∠AOC=2∠AOD=60°.∴∠COE=90°-∠AOC=30°.19.(1)AE∥FC.理由：∵∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°, ∴∠1=∠CDB.∴AE∥FC.(2)AD∥BC.理由：∵AE∥CF,∴∠C=∠CBE.又∠A=∠C,∴∠A=∠CBE.∴AD∥BC.(3)BC平分∠DBE.理由：∵DA平分∠BDF,∴∠FDA=∠ADB.∵AE∥CF,AD∥BC,∴∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD.∴∠CBE=∠CBD.∴BC平分∠DBE.20.(1)∠PAB+∠APC+∠PCD=360°(2)∠APC=∠PAB+∠PCD(3)∠APC=∠PCD-∠PAB(4)∠APC=∠PAB-∠PCD(1)过P点作EF∥AB，∴EF∥CD，∠PAB+∠APF=180°.∴∠PCD+∠CPF=180°.∴∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.。

第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O.2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 .4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°.5.1.2垂线（详见课本第3-5页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 .2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6-7页） 1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内 错角是“Z ”型③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角图形补全. 如上图6 5.2.1平行线（详见课本第11-12页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵（通常把 的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：AB CD 14321A BC DO 图2 OD CB A 图1 图521OC B A图3图4 E3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图7所示，直线AB 与直线CD 平行，记作AB ∥CD ，读作AB 平行于CD .4、平行线的画法：5、平行线的基本性质 （1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 .（2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 .如上图8所示 5.2.2平行线的判定（详见课本第12-14页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角 ，两直线 .（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角 ，两直线 .（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角 ，两直线 .（4）平行线的概念：同一平面内，如果两条直线没有交点（不 ），那么两直线平行.（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 .（平行于同一条直线的两条直线也 ） （6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线， 那么这两条直线 .（垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1平行线的性质（详见课本第18-19页） 1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简记：两直线 ，同位角 . （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简记：两直线 ，内错角 .（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简记：两直线 ，同旁内角 . 2、两条平行线的距离如图10，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ， 则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离. 3．平行线的性质与判定是互逆的关系: ○1两直线平行 同位角相等；○2两直线平行 内错角相等； ○3两直线平行 同旁内角互补.5.3.2命题、定理（详见课本第20页） 1、命题的概念： 一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成. （1）题设是 事项； （2）结论是由已知事项 的事项.3、命题的表述句式：命题常写成“ ……， ……”的形式. 具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 . 5.4平移（详见课本第28-29页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换.2、平移的特征：①大小： ； ②形状： ； ③位置： ； ④对应点的连线： 且 . （1的形状与大小都没有发生变化. （2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.图7 D C BA a b c 图8A EG B C F H D图10 性质判定性质性质判定判定图12A B C DEF1 2 34自我检测1.如果两个角是互为邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )2.同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( )4.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( )5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( )6.如右下图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________． 7.设a 、b 、c 为同一平面上三条不同直线，a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； b) 若,ab bc ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； c)若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．8.如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．9.如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．10.如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ） 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ） ∴∠E ＝∠____（ ） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．11.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．12.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （ ） 又∵∠1＝∠2， （ ）∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， （ ） 即 ∠MEP ＝_______∴EP ∥_____．（ ）13.已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小； ⑵∠P AG 的大小.14.如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.15.已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。

1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠ 1 的两边与∠2 的两边1 2邻补角∠ 3 与∠ 4 有一43 条边公共，另一边注意点：⑴两直线相交形成的 4 个角的位置关系有：（ 2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有；反之如果∠α+∠β =180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有个，而对顶角只有个。

(4) 两直线相交形成的四个角中，共有组邻补角，组对顶角。

2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：C如图所示：记作：垂足为A O BD⑵垂线性质1：⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：3、垂线的画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。

5、如何理解“垂线” 、“垂线段”、“两点间距离” 、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴ 垂线与垂线段区别：联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

⑵ 两点间距离与点到直线的距离区别：⑶ 线段与距离区别6、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b互相平行，记作 a ∥b。

7、两条直线的位置关系，两条直线的位置关系只有两种：8、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过一点，一条直线与这条直线平行9、平行公理的推论：如果那么这两条直线也互相平行a如左图所示，∵ b ∥a，c∥ab ∴ b ∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

第二章 相交线与平行线考点一、余角与补角：1、 如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．2、 如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角． 典型例题：例１：如图所示，点A 、O 、B 在一条直线上，OC 垂直于AB 垂足是O ，若∠1＝∠2，则图互余、互补的角有哪些？3、性质：（1）同角或等角的余角相等；（2）同角或等角的补角相等。

例2：如图CD 垂直于AB ，且∠1＝∠2. (1) 求∠DCF 与∠DCE 有什么关系,为什么? (2) 求∠BCF 与∠DCE 有什么关系,为什么?3、 两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角的性质：对顶角相等。

例3：下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）12121212A ．0B ．1C ．2D ．3 例4：已知一个角的余角比它的补角的135还少4°求这个角。

例5：如图所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOF ＝3∠FOB ，∠AOC=90°,求∠EOC 的度数。

技巧总结：要注意什么是互补，什么是互余；同角的余角和补角相等；对应的课堂练习：一、填空题1.如图1，直线l1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图22.如图2，直线AB与CD相交于O点，且∠AOD=90°，则∠AOC=_________=_________ =_________=_________.3.如图3，若AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD=________.图3 图44.如图4，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________________________________________∠2与∠3:______________________________________________________∠2与∠4:______________________________________________________∠1与∠4:______________________________________________________三、选择题1.两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（）A.1对B.2对C.3对D.4对2.下面说法正确的个数为（）①对顶角相等②相等的角是对顶角③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个3.若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（ ） A.40°B.130°C.50°D.140°4.如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）一、判断题1.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（ ）2.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（ ）3.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（ ）4.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（ ）5.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（ ） 四、解答题1.如图，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数.考点二、探索直线平行的条件同位角的特征：（１）在被截两直线的同旁；（２）在截线的两旁 内错角的特征：（１）在被截两直线之间；（２）在截线的两旁 同旁内角的特征：（１）在被截两直线之间；（２）在截线的同旁 例1：如图，写出图中的同位角、内错角和同旁内角。

专题01相交线与平行线全章复习攻略（考点清单，5个概念2个判定2个性质2种方法2种思想专练）5个概念【考点题型一】相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．【例1】（2023春•澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有()A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据相交线的性质可得答案．【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，故选：A．【点评】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M．”【变式1-1】（2023秋•路北区期末）根据语句“直线1画出的图形是()A．B．C．D．l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M进行判断，即可得出结论．【分析】根据直线1l不经过点M，故本选项不合题意；【解答】解：A．直线2B．点M在直线l上，故本选项不合题意；1C．点M在直线l上，故本选项不合题意；1D．直线l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M，故本选项符合题意；1故选：D．【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．【变式1-2】（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为()A．0个或1个B．1个或2个C ．2个或3个D ．0个或1个或2个或3个【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：①三条直线互相平行，有0个交点；②一条直线与两平行线相交，有2个交点；③三条直线都不平行，有1个或3个交点；所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D ．【点评】考查了相交线，本题要注意列举出所有可能的情况．【变式1-3】（2023春•秦都区期末）如图，直线CD 与EF 交于点O ，OC 平分AOF ∠，若40AOE ∠=︒，求DOE ∠的度数．【分析】先根据平角定义可得140AOF ∠=︒，从而利用角平分线的定义可得1702COF AOF ∠=∠=︒，然后利用对顶角相等可得70DOE COF ∠=∠=︒，即可解答．【解答】解：40AOE ∠=︒ ，180140AOF AOE ∴∠=︒-∠=︒，OC 平分AOF ∠，1702COF AOF ∴∠=∠=︒，70DOE COF ∴∠=∠=︒，DOE ∴∠的度数为70︒．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【考点题型二】“三线八角”（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【例2】（2023春•黄石港区期末）如图，图中1∠是同位角的是()∠与2A．（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）【分析】根据同位角的定义作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，1∠不是同位角，因为这两个角的边∠与2∠是同位角；图（3）中，1∠与2所在的直线没有一条公共边．故选：C．【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．【变式2-1】．（2023秋•同安区期末）如图，1∠的位置关系是()∠和4A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．【解答】解：1∠和4∠的位置关系是同位角．故选：B．【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．【变式2-2】（2023秋•思明区校级期末）如图所示，B∠与3∠是一对()A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【分析】根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．【解答】解：B∠与3∠是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角，故选：C．【点评】本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．【变式2-3】（2023春•清远期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是()A．1∠和4∠B．3∠和5∠C．2∠和3∠D．1∠和3∠【分析】根据对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、1∠属于同位角，故A不符合题意；∠与4B、3∠与5∠属于对顶角，故B不符合题意；C、2∠与3∠属于内错角，故C不符合题意；D、1∠与3∠属于同旁内角，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【考点题型三】平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．【例3】（2023春•敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和两种位置关系．【分析】根据两直线的位置关系解答即可．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．【变式3-1】（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对【分析】根据直线的位置关系解答．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．【变式3-2】（2023春•东昌府区校级月考）下列语句正确的有()个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使//c bc a，且//④若直线//c a．b c，则//a b，//A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使//a b时才能画出，故说法错误；c b，只有//c a，且//④若直线//c a，说法正确；a b，//b c，则//故选：D．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-3】（2023春•双牌县期末）下列说法正确的有（填序号）:．①同位角相等；②一条直线有无数条平行线；③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；④在同一平面内，如果//a c；a b，//b c，则//⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；②一条直线有无数条平行线，正确；③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；④在同一平面内，如果//a c，符合平行公理，正确；b c，则//a b，//⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，故答案为：②④．【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．【考点题型四】平移概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形图形的这种移动,叫做平移要素：一是平移的方向,二是平移的距离性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等注意：“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一条边【例4】．（2023春•南山区期末）如图，将直角ABC∆的位置，连结BE，若∆沿边AC的方向平移到DEF6CD =，14AF =，则BE 的长为()A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】根据平移的性质得到BE AD =，DF AC =，结合图形计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，BE AD =，DF AC =，则DF DC AC DC -=-，即CF AD =，11()(146)422AD AF CD ∴=-=-=，4BE ∴=，故选：A ．【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式4-1】．（2023春•鼎城区期末）如图，在三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，将三角形ABC 沿BC 方向平移得到三角形DEF ，其中7AB =，3BE =，2DM =，则阴影部分的面积是()A ．15B ．18C ．21D ．不确定【分析】根据平移的性质得出3AD BE CF ===，再根据ADM ACFD S S S ∆=-阴影部分平行四边形进行计算即可．【解答】解：如图，连接AD ，由平移的性质可知，3AD BE CF ===，ADMACFD S S S ∆∴=-阴影部分平行四边形137232=⨯-⨯⨯18=，故选：B ．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的前提．【变式4-2】．（2022秋•临淄区期末）如图，4AB cm =，5BC cm =，2AC cm =，将ABC ∆沿BC 方向平移a (05)cm a <<，得到DEF ∆，连接AD ，则阴影部分的周长为cm ．【分析】根据平移的性质得到4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，根据周长公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知：4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，(5)EC a cm ∴=-，∴阴影部分的周长(5)2411()AD EC AC DE a a cm =+++=+-++=，故答案为：11．【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【变式4-3】．（2023春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别是(4,2)A ，(1,0)B ，(5,3)C -，三角形ABC 中任意一点0(P x ，0)y ，经平移后对应点为0(6P x '-，02)y +，将三角形ABC 作同样的平移得到三角形A B C '''，点A ，B ，C 的对应点分别为A '，B '，C '．（1）点A '的坐标为，点B '的坐标为；（2）①画出三角形A B C '''；②写出三角形A B C '''的面积；（3）过点A '作//A D y '轴，交B C ''于点D ，则点D 的坐标为．【分析】（1）由点P 的对应点P '坐标知，需将三角形向左平移6个单位、向上平移2个单位，据此可得；（2）①根据平移规律求出C '点的坐标，根据A '，B '，C '点的坐标即可画出三角形A B C '''；②利用割补法求解可得答案；（3）设(2,)D m -，利用面积法求解．【解答】解：（1）点A '的坐标为(46,22)-+，点B '的坐标为(16,02)-+，即(2,4)A -，(5,2)B -；故答案为：(2,4)-，(5,2)-；（2）①如图，△A B C '''即为所求；②△A B C '''的面积11117545123342222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（3）设(2,)D m -，则有171(4)422m =⨯-⨯，解得14m =-，1(2,4D ∴--，故答案为：1(2,)4--．【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．【考点题型五】命题1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【例5】（2023春•大竹县校级期末）下列说法正确的是()A．同位角相等B．对顶角相等C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等【分析】根据平行线的性质对A、C、D进行判断；根据对顶角的性质对B进行判断．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；B、对顶角相等，所以B选项正确；C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以C选项错误；D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【变式5-1】（2023春•汝南县期末）发现：如图，AOBPC OB交OA于点C，画∠内有一点P：过点P画//∠的数量关系；∠与CPD//PD OA交OB于点D；根据所画图形试说明：O验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：PC OB//∴∠=ACP()OPD OA//∴∠=∠∴∠=O CPDCPD探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到B D∠与D∠的数量关系，∠≠∠，根据乙同学的作图，试判断此时B并说明理由．归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角．【分析】验证：利用平行线的性质和等量代换进行填空即可；探究：结合图1和图2，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：验证：如图，，PC OB//∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），O ACP，PD OA//∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），CPD ACP∴∠=∠．O CPD故答案为：ACP∠；∠；两直线平行，同位角相等；ACP探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：如图1，，DF BC//∴∠=∠．D CGE，DE BA//∴∠=∠，B CGE∴∠=∠．D B∴两边分别平行的两个角相等；如图2，DF BC，//∴∠=∠．D DGB，//DE BA∴∠+∠=︒，B DGB180∴∠+∠=︒．D B180∴两边分别平行的两个角互补，综上，两边分别平行的两个角相等或互补．故答案为：相等或互补．【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，分类讨论是思想方法，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式5-2】．（2023春•盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．（1）如图，//∠=∠，EF CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得BEF CDG并给出证明过程．小丽添加的条件：180∠+∠=︒．B BDG请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．证明：//（已知）EF CDBEF∴∠=BCD∠()∠+∠=︒（已知）B BDG180∴()BC//∴∠=()CDG∴∠=∠（等量代换）BEF CDG（2）拓展：如图，请你从三个选项①//∠，③B BCD∠=∠中任选出两个作为条DG BC，②DG平分ADC件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．①条件：，结论：（填序号）．②证明：．【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．【解答】（1）证明：//EF CD （已知），BEF BCD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），180B BDG ∠+∠=︒ （已知），//BC DG ∴（同旁内角互补，两直线平行），CDG BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），BEF CDG ∴∠=∠（等量代换）；（2）①条件：//DG BC ，B BCD ∠=∠（答案不唯一），结论：DG 平分ADC ∠，②证明：//DG BC ，ADG B ∴∠=∠，CDG BCD ∠=∠，B BCD ∠=∠ ，ADG CDG ∴∠=∠，即DG 平分ADC ∠．故答案为：（1）BCD ∠；两直线平行，同位角相等；DG ；同旁内角互补，两直线平行；BCD ∠；两直线平行，内错角相等；（2）①、①③；②，//DG BC ，ADG B ∴∠=∠，CDG BCD ∠=∠，B BCD ∠=∠ ，ADG CDG ∴∠=∠，即DG 平分ADC ∠．【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式5-3】．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知ABC ∠，画一个角DEF ∠，使//DE AB ，//EF BC ，且DE 交BC 于点P ．ABC ∠与DEF ∠有怎样的数量关系？（1）我们发现ABC ∠与DEF ∠有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中ABC ∠与DEF ∠数量关系为；图2中ABC ∠与DEF ∠数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）:．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30︒，请直接写出这两个角的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．（2）设两个角分别为x 和230x -︒，由题意230x x =-︒或230180x x +-︒=︒，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，180ABC DEF ∠+∠=︒．如图2中，ABC DEF ∠=∠，故答案为：180ABC DEF ∠+∠=︒，ABC DEF ∠=∠．理由：如图1中，//BC EF ，DPB DEF ∴∠=∠，//AB DE ，180ABC DPB ∴∠+∠=︒，180ABC DEF ∴∠+∠=︒．如图2中，//BC EF ，DPC DEF ∴∠=∠，//AB DE ，ABC DPC ∴∠=∠，ABC DEF ∴∠=∠．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和230x-︒，由题意230+-︒=︒，x xx x=-︒或230180解得30x=︒或70x=︒，∴这两个角的度数为30︒，30︒或70︒和110︒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2个判定【考查题型六】垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．【例6】（2023春•澄迈县期末）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是()A．B．C．D．【分析】根据垂线段的定义及题意逐个图进行判断即可得出正确结论．【解答】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误；B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误；C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确；D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误．故选：C．【点评】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023春•孟村县期末）已知，如图所示，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过O 点的一条直线，则α∠与β∠的关系一定成立的是()A ．相等B ．互余C ．互补D ．互为对顶角【分析】根据图形可看出，β∠的对顶角COE ∠与α∠互余，那么α∠与β∠就互余．【解答】解：图中，COE β∠=∠（对顶角相等），又AB CD ⊥ ，90COE α∴∠+∠=︒，90αβ∴∠+∠=︒，∴两角互余．故选：B ．【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．【变式6-2】．（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CD ⊥．（1）如图中与COE ∠互补的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）若15AOD EOF ∠=∠，求AOD ∠的度数．【分析】（1）根据互补的两个角的和等于180︒，结合图形找出与COE ∠的和等于180︒的角即可；（2）设AOd x ∠=，可以得到5EOF x ∠=，然后列式求解即可．【解答】解：（1）180COE EOD ∠+∠=︒ ，EOD ∴∠与COE ∠互补；90COE BOC ∠+∠=︒ ，90BOC BOF ∠+∠=︒，COE BOF ∴∠=∠，180BOF AOF ∠+∠=︒ ，180COE AOF ∴∠+∠=︒，AOF ∴∠与COE ∠互补；综上：EOD ∠和AOF ∠与COE ∠互补．故答案为：EOD ∠，AOF ∠．（2）设AOD x ∠=，则5EOF x ∠=，90EOC x ∠=︒-，AOD BOC ∠=∠ （对顶角相等），90905EOF EOC COF x x ∴∠=∠+∠=︒+︒-=，即6180x =︒，解得：30x =︒．30AOD ∴∠=︒．【点评】本题考查了补角的和等于180︒的性质，以及对顶角相等，周角等于360︒的性质，结合图形找出各角的关系是解题的关键．【变式6-3】．（2023春•红山区期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，EO CD ⊥于点O ，OF 平分AOD ∠，且50BOE ∠=︒，求COF ∠的度数．【分析】依据垂线以及邻补角，即可得到AOC ∠的度数，再根据角平分线即可得出AOF ∠的度数，进而得出COF ∠的度数．【解答】解：EO CD ⊥ ，50BOE ∠=︒，90DOE ∴∠=︒．180905040AOC ∴∠=︒-︒-︒=︒，140AOD BOC ∠=∠=︒．又OF 平分AOD ∠，1702AOF AOD ∴∠=∠=︒．4070110COF AOC AOF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差关系的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【考查题型七】平行线判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【例7】（2023春•西乡塘区期末）如图，下列条件中，能判断//AB CD的是()A．12∠=∠B．34∠=∠C．180∠=∠DAB ABC∠+∠=︒D．B D【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．【解答】解：12，∠=∠∴，AB CD//故①选项符合题意；，34∠=∠∴，//AD BC故②选项不符合题意；，180∠+∠=︒DAB ABC∴，AD BC//故③选项不符合题意；∠=∠，不能判定//B DAB CD，故④选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．【变式7-1】．（2023春•高新区校级期末）如图，ABC ADC ∠=∠，BF ，DE 分别是ABC ∠，ADC ∠的角平分线，12∠=∠，求证：//DC AB ．【分析】先利用角平分线定义得到132ADC ∠=∠，122ABC ∠=∠，而ABC ADC ∠=∠，则32∠=∠，加上12∠=∠，则13∠=∠，于是可根据平行线的判定得到//DC AB ．【解答】证明：BF ，DE 分别是ABC ∠，ADC ∠的角平分线，132ADC ∴∠=∠，122ABC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠ ，32∴∠=∠，12∠=∠ ，13∴∠=∠，//DC AB ∴．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式7-2】．（2023春•武胜县校级期末）完成下面的证明如图，BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，且90αβ∠+∠=︒，求证：//AB CD ．完成推理过程BE 平分ABD ∠（已知），2(ABD α∴∠=∠)．DE 平分BDC ∠（已知），2BDC β∴∠=∠()222()ABD BDC αβαβ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠()90αβ∠+∠=︒ （已知），180(ABD BDC ∴∠+∠=︒)．//(AB CD ∴)．【分析】首先根据角平分线的定义可得2ABD α∠=∠，2BDC β∠=∠，根据等量代换可得222()ABD BDC αβαβ∠+∠=∠+∠=∠+∠，进而得到180ABD BDC ∠+∠=︒，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【解答】证明：BE 平分ABD ∠（已知），2ABD α∴∠=∠（角平分线的定义）．DE 平分BDC ∠（已知），2BDC β∴∠=∠（角平分线的定义）222()ABD BDC αβαβ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠（等量代换）90αβ∠+∠=︒ （已知），180ABD BDC ∴∠+∠=︒（等量代换）．//AB CD ∴（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．【变式7-3】．（2023春•岳池县校级期末）如图，已知点E 、F 在直线AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，C EFG ∠=∠，CED GHD ∠=∠．（1）求证：//CE GF ；（2）试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若100EHF ∠=︒，30D ∠=︒，求AEM ∠的度数．【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证//CE GF ；（2）根据平行线的性质可得C FGD ∠=∠，根据等量关系可得FGD EFG ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得//AB CD ，再根据平行线的性质可得AED ∠与D ∠之间的数量关系；（3）根据对顶角相等可求DHG ∠，根据三角形外角的性质可求CGF ∠，根据平行线的性质可得C ∠，AEC ∠，再根据平角的定义可求AEM ∠的度数．【解答】（1）证明：CED GHD ∠=∠ ，//CE GF ∴；（2）解：//CE GF ，C FGD ∴∠=∠，C EFG ∠=∠ ，FGD EFG ∴∠=∠，//AB CD ∴，180AED D ∴∠+∠=︒；（3）100DHG EHF ∠=∠=︒ ，30D ∠=︒，10030130CGF ∴∠=︒+︒=︒，//CE GF ，18013050C ∴∠=︒-︒=︒，//AB CD ，50AEC ∴∠=︒，18050130AEM ∴∠=︒-︒=︒．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．2个性质【考查题型八】垂线段的性质（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．【例8】（2023秋•婺城区期末）如图，某污水处理厂要从A 处把处理过的水引入排水渠PQ ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB ．这种铺设方法蕴含的数学原理是()。