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高中数学 1.4数列在日常经济生活中的应用2学案 北师大版必修5

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§4 数列在日常经济生活中的应用思路方法技巧命题方向 单利计算问题［例1］ 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和=每期存入金额×［存期+21存期×(存期+1)×利率］. (1)试解释这个本利公式.(2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月应存入多少金额？［分析］ 存款储蓄是单利计息，若存入金额为A ，月利率为P ，则n 个月后的利息是nAP . ［解析］ (1)设每期存入金额A ，每期利率P ，存入期数为n ，则各期利息之和为AP +2AP +3AP +…+nAP =21n (n +1)AP . 连同本金，就得：本利和=nA +21n (n +1)AP =A ［n +21n (n +1)P ］. (2)当A =100,P =5.1‰,n =12时，本利和=100×（12+21×12×13×5.1‰）=1239.78(元). (3)将(1)中公式变形得A =p n n n )1(21++本利和=‰1.5131221122000⨯⨯⨯+≈161.32(元). 即每月应存入161.32元.［说明］ 单利的计算问题，是等差数列模型的应用.变式应用1 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(2)若“教育储蓄”存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？（精确到1元）［解析］ （1）设王先生每月存入A 元，则有A (1+2.7‰)+A (1+2×2.7‰)+…+A (1+36×2.7‰)=20000,利用等差数列前n 项和公式， 得A （36+36×2.7‰+23536⨯×2.7‰）=20000, 解得A ≈529元.（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入3620000≈555（元），这样，3年后的本息和为：555(1+2.7‰)+555(1+2×2.7‰)+…+555(1+36×2.7‰)=555（36+36×2.7‰+23536⨯×2.7‰）≈20978（元）.命题方向 复利计算问题［例2］ 某人参加工作后，计划参加养老保险.若第一年年末存入p 元，第二年年末存入2p 元，…，第n 年年末存入np 元，年利率为k .问第n +1年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？［分析］ 分期存款，应利用“本利和本金×(1+利率)”分段计算.第1年年末存入的p 元，到第n +1年年初，逐年获得的本利和构成公比为1+k 的等比数列，即第一年的本利和为p (1+k ) n-1；同理，第2年年末存入2p 元，…第n 年年末存入np 元的本利和依次为2p (1+k ) n-2,…,np .［解析］ 设此人第n +1年年初一次性获得养老金为S n 元，则S n =p (1+k ) n-1+2p (1+k ) n-2+…+(n -1)p (1+k ) 1+np, ①把等式两边同时乘以1+k ,得(1+k )S n =p (1+k ) n +2p (1+k ) n-1+…+(n -1)p (1+k ) 2+np (1+k ).②②-①，得kS n =p (1+k ) n +p (1+k ) n-1+…+p (1+k )-np =k k k p n ］［1)1()1(-++-np . 所以S n =211)1()1(k k n k p n ］［-+-++. 故第n +1年年初他可一次性获得养老金为211)1()1(kk n k p n -+-++［元. ［说明］ “复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金.求所有n 次的本利和，就转化为求等比数列的前n 项和.复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现.复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用.变式应用2 某家庭打算在2017年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2011年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到2017年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利率2.50％并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税）［解析］ 设每年年初应存入x 万元，那么2011～2017年年底本利和依次为：a 1=1.025x ,a 2=(1.025+1.0252)x ,a 3=(1.025+1.0252+1.0253)x ,…a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x .若这笔款到2017年年底连本带利共有40万元，则有a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x =40,运用等比数列的前n 项和公式，化简得x =)025.11(025.1)025.11(407-⨯-⨯≈5.171(万元)， 所以每年年初大约应存入5.171万元.命题方向 数列在分期付款中的应用［例3］ 小陆计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到1元）［分析］ 本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算.10万元在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10元.［解析］ 设每年还款x 元，则第1次偿还x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)9;第2次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)8;第10次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x 元，于是有105(1+4%)10=x (1+4%)9+x (1+4%)8+x (1+4%)7+…+x .由等比数列求和公式，得105×1.0410=104.1104.110--·x , 1.0410=(1+0.04) 10≈1.4802. ∴x ≈4802.004.04802.1105⨯⨯≈12330. 答：每年约应还12330元.［说明］ 解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和. 变式应用3 某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需40万元，建新厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训需15万元，流动资金需40万元，该厂现有资金125万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？（精确到0.1万元）［解析］ 因扩大生产急需的资金共有40+100+60+15+40=255（万元）.已知筹集到资金为125+0.4×30+0.1×180=155(万元)，资金缺口为255-155=100（万元）.设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一共还清本金和利息共计100（1+9%）5万元.第一次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)2万元；第四次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)万元；第五次还款（无利息）为x 万元.由题意得x+x (1+9%)+x (1+9%)2+x (1+9%)3+x (1+9%)4=100×(1+9%)5.即109.1)19.10(5--x =100×1.095,所以x ≈25.7.故该厂每年还款25.7万元.探索延拓创新命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用［例4］ 甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示.甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡. 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答：（1）第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数；（2）到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.（3）哪一年的规模最大？请说明理由.［分析］ 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个）.［解析］ （1）由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是S 2=26×1.2=31.2(万只).(2)第1年总共出产鸡的只数是S 1=30×1=30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是S 6=2×10=20(万只)，由此得出S 6<S 1,这说明规模缩小了.(3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为a n =1+(n -1)×0.2=0.2n +0.8(1≤n ≤6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为b n =30-4(n -1)=-4n +34(1≤n ≤6).第n 年出产的鸡的只数满足的数列为S n =a n b n =52 (-2n 2+9n +68)=- 54（n -49）+4125 (1≤n ≤6). 因为n ∈N +,故当n =2时，S n 最大，即第2年规模最大.［说明］ 依此图像建立等差数列模型，问题就能得到解决.每年的总出产量则要与二次函数联系，n 为正整数不能忽略，利用数列与函数的关系解决，是本类问题的特色.名师辨误做答［例5］ 某工厂去年的产值为138万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长10%，从今年起计算，第5年这个工厂的产值是多少元？（精确到万元）［误解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }.其中a 1=138,q =1+10%=1.1,n =5.∴a 5=a 1q 4=138×1.14≈202(万元).［辨析］ 138万元是去年的产值，从今年算起，则a 1=138×1.1，由于首项弄错而造成错误. ［正解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }.其中a 1=138×1.1,∴a 5=a 1q 4=138×1.1×1.14=138×1.15≈222(万元).。

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高中数学北师大版必修5 1.4 教学设计 《数列在日常经济生活中的应用 》(北师大)

高中数学北师大版必修5 1.4 教学设计 《数列在日常经济生活中的应用 》(北师大)

《数列在日常经济生活中的应用》◆教材分析等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用。

例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。

著名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列。

这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识。

◆教学目标【知识与能力目标】通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用。

【过程与方法目标】通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用。

【情感态度价值观目标】通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心。

【教学重点】建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题。

【教学难点】在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型。

◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

◆教学过程一、导入部分一位中国老太太与一位美国老太太相遇。

美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足。

教师进一步指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁，花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们的生活。

但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，我们究竟选择什么样的方式好呢？二、研探新知，建构概念教材整理数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题。

1．三种常见的应用模型(1)零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。

高中数学 第1章 数列4数列在日常经济生活中的应用同步教学案 北师大版必修5

高中数学 第1章 数列4数列在日常经济生活中的应用同步教学案 北师大版必修5

§4 数列在日常经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，税率为q ，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________. (2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，税率为q ，则到第n 期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________． 2．分期付款问题贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.一、选择题 1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( ) A.53 B.103 C.56 D.1162．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)3．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.a γ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.a γ(1＋γ)5万元 4．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)能力提升 11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a 1代表的实际含义一定要弄清楚．§4 数列在日常经济生活中的应用答案知识梳理1．(1)nAp nApq nAp (1－q )＋A (2)12n (n ＋1)Ap 12n (n ＋1)Apq 12n (n ＋1)Ap (1－q )2.ar (1＋r )m (1＋r )m－1 作业设计1．A [设公差为d (d >0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d ， 则7(20－2d ＋20－d )＝20＋(20＋d )＋(20＋2d )，解得d ＝556，最小的一份为20－553＝53.]2．D [注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1．12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]3．B [设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.] 4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意得(1＋p )12[1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝1－(1＋p )121－(1＋p )(1＋x )，∴x ＝(1＋p )12－1.]5．C [由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2，∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52， ∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．]6．a (1＋b )57．7 260解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔， ∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)． 8.13[(1＋r )3－1] 解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]．9．解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，… 第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)． 即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， …第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)．即每期应还款176元． 10．解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6， ∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 11．C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＝130(－n 2＋15n －9)．a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5，6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a 1，a 2，a 3，…，a n . 则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N ＋)．即a n ＋1＝54a n －200.令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －x4，由x4＝200，∴x ＝800.∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N ＋)故数列{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.∴a 1－800＝250，∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N ＋)．由题意a n ≥4 000.∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16.两边取常用对数得n lg 54≥lg 16，即n (1－3lg 2)≥4lg 2.∵lg 2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，∴n ≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．。

数列在日常经济生活中的应用-北师大版必修5教案

数列在日常经济生活中的应用-北师大版必修5教案

数列在日常经济生活中的应用前言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中数列是一种最基本的数学工具。

在生活中，我们可以看到数列的应用，比如在经济学中，数列被广泛应用于分析和预测市场走势。

本文将讨论数列在日常经济生活中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用数列。

重点一：财务分析数列在财务分析中被广泛使用。

例如，人们可以使用等差数列来计算他们的银行账户余额。

如果一个人每个月存入相同金额的钱，则他/她的账户余额将形成一个等差数列。

通过使用数列的公式和时间价值，可以计算出银行账户的余额，帮助人们更好地管理他们的财务状况。

此外，在股票市场的分析和预测中也使用了数列，股票市场中的股票价格是一个会不断变化的数列。

通过找到股票价格中的模式和规律，可以根据数列的趋势预测股票的价格变化，从而使人们做出更好的投资决策。

重点二：生产和供应数列在生产和供应方面同样非常有用。

例如，供应商可以使用等比数列来确定价格的优惠程度。

通过确定价格的变化趋势，供应商可以调整商品的风险和利润水平。

此外，生产部门也可以使用数列来决定生产率的增长速度。

通过确定与公司生产率相关的因素并建立数列模型，生产部门可以更好地了解生产率变化的趋势和周期性，并进行相应的应对。

重点三：销售和营销数列在销售和营销过程中同样扮演着重要角色。

例如，销售人员可以使用等差数列来记录销售额和客户数量。

通过检查数字的模式和规律，销售人员可以预测未来销售和客户数量的变化情况，从而采取相关的策略和措施以维持或增加销售额和客户数量。

此外，营销部门还可以使用等比数列来确定不同市场中的客户数量和每个市场的市场份额。

这有助于营销部门更好地制定市场策略和推广计划。

总结综述以上，数列在日常经济生活中扮演着重要角色。

它可以帮助人们更好地了解和分析市场趋势，并进行决策。

通过建立数列模型和算法，人们可以更好地用数学工具解决实际问题。

高中数学必修五北师大版 4-数列在日常经济生活中的应用2 教案

高中数学必修五北师大版 4-数列在日常经济生活中的应用2 教案

§4 数列在日常经济生活中的应用（二）教材分析：本节课是等比数列的前n 项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n 项和公式,并学习了教材中P32的左侧的说明:有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。

教学目标：1． 体会“分期付款”日常生活中实际问题；2． 进一步巩固数列知识，熟悉分期付款中的情况；建立数学模型解决问题； 3． 培养学生的科学探索精神及应用意识；体验探索的过程；教学重点：抓住分期付款的本质分析问题；教学难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性； 教学过程： 一、导入新课：幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。

美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物,分期付款已深入我们生活.在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？（投影仪出示）有关分期付款的知识：⒈分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清；⒉分期付款中，一般规定每次付款额相同；每期付款的时间间隔相同;⒊分期付款中，每月按利息复利计算；(即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金)⒋分期付款中，贷款（或商品价值）与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期付款的总额高于一次性付款的总额；⒌分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和；即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等.（此为解题之关键）⒍分期付款的数学方法是等比数列求和. 二、讲授新课： 分期付款模型例：小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 设小华每期还款x 元,第k 个月末还款后的本利欠款数为Ak 元,则x A -+⨯=22)008.01(5000x x x A A --+⨯=-+=24224008.1)008.01(5000)008.01(x x x x A A ---+⨯=-+=246246008.1008.1)008.01(5000)008.01(…………x x A A )1008.1008.1008.1008.1008.1()008.01(5000)008.01(2468101221012+++++-+⨯=-+=由题意年底还清,所以012=A解得：8.880008.1008.1008.1008.1008.11008.1500010864212≈+++++⨯=x 答:小华每次付款的金额为880.8元.分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等. 解:设小华每期还款 x 元,则购买2个月后第1次付款x 元,此x 元到10个月后本利和为 10)008.01(+x 元 购买4个月后第2次付款x 元,此x 元到8个月后本利和为8)008.01(+x 元 同理,购买12个月后第6次付款x 元,此x 元当月的本利和为0)008.01(+x 元 又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:1208.015000⨯元12108642008.15000)008.1008.1008.1008.1008.11(⨯=+++++x8.880008.1008.1008.1008.1008.11008.1500010864212≈+++++⨯=x 元 思考交流：2台电脑售价为1万元.如果采取分期付款,在1年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%).假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑，除一次性付款外商家还提确.(老师巡视,对有困难的同学个别辅导,然后请最先结束的同学发言,老师板书) 方法1:分析:本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元.设每月应付x 元,则:1211201.解:设每期还款额为x 元,依题意有:1211201.11000001.101.101.1⨯=+⋅⋅⋅+++x x x x即1211201.110000)01.101.101.11(⨯=+⋅⋅⋅+++x ∴121201.11000001.1101.11⨯=--⨯x即49.88801.11)01.11(01.1100001212=--⨯⨯=x 方法2：P34页例3解法 三、随堂练习：由学生完成上表中“方案1”和“方案3”，熟练探究方法； 方案1:：x=1785.86元，付款总额12x=1721.16元； 方案2：x=888.49元，付款总额12x=10661.85元； 方案3：x=3607.62元，付款总额12x=10822.85元请同学们总结一下:分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m 个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p, 则x=?老师归纳数学模型:mnm m p p p a x )1(1])1(1[)1(+-+-+= 四、课堂小结：师生共同回顾思维过程,教师提醒.① 分期付款有哪些一般规定?列方程的依据是什么?② 请同学计算出分期付款的付款总额,它与10000元的差额是多少?为什么会有一个差额,你怎样理解这种现象的合理性?③分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前n 项和公式；数学思想：列方程解未知数。