大学物理质点运动定律例子
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T ( L) = Man = Mω 2 L
K
K
T (r ) dm T(r + Δr)
K
T(L) K an
ω
O M
v 2 = 2 gx − k x 2 m
v = 2gx − k x2 m
a= g− k x m
k
T =kx m
mg
m
A0
x
v = 2gx − k x2 m
讨论：
2gx − k x2 ≥ 0 m
x ≤ 2mg k
a= g− k x m
k A
m 0
x
例：一根不可伸长的轻绳，跨过固定在O点的光滑轻滑轮，两端
速度和速度。
解： 以 A为研究对象
k
mg −T = mg − kx = ma
a= g− k x m
T = kx m
mg
A m0
xm x
a = dv = dv dx = v dv
dt dx dt
dx
vdv = adx = ( g − k x)dx m
∫ ∫ v vdv =
x
(g −
k
x )dx
0
0
m
g
方向： tan β = a y = (1 + m ) tanθ
ax
M
例：一匀质细绳， 质量为 m，长度为 L , 一端固定在 O 点，另一端有一质量为 M 的小球。当小球在光滑平面上
以角速度ω 绕 O点旋转时，求绳中各点的张力。
(A) 绳中各处的张力相等； (B) 越靠近固定端，张力越大，O处张力大于M点的张力； (C)越远离固定端，张力越大， O处张力小于M点的张力。
θ
T
la
θ
Ft
=
mg
sin
θ
=
m
dv dt
a
mg
Ft
=
mg
sin
θ
=
m
dv dt
Fn
=
T
−
mg cosθ
=
m
v2 lb
gsinθ = dv = dv ds = v dv dt ds dt ds
O
lb b
θT s
vdv = g sinθ ds= g sinθ (−lbdθ )
v
θ
∫ vdv = ∫ g sinθ (−lbdθ )
各系一个小球。a 球放在地面上，b 球被拉到水平位置，且绳刚
好伸直，然后将 b 球自静止释放。设两球质量相同，求 ：(1) b
球下摆到与竖直线成 θ 角时的速率 v ( a 未离开地面)。
(2)θ 为多大时 a 刚好离开地面？
解： 以 b 球为研究对象
O
lb b
Fn
=
T
−
mg
cos θ
=
m
v2 lb
ω
O
M
解：设绳中张力为 T (r) . 以 距O为r 处的小质元为研究对象
T(r)
− T (r
+
dr )
=
−
dT
=
(dm) an
=
m (
L
dr
)ω 2
r
dT = − m ω 2rdr
L
T(r) dr T(r)+dT
∫ ∫ T ( L ) dT
=
L
−
m ω 2rdr
T (r)
rL
T(L) −T(r) = − mω 2 (L2 − r2)
2L
dm
ω
Or M
T(L) −T(r) = − mω2 (L2 − r2)
2L
T(r) = Mω2L+ mω2 (L2 − r2)
2L
讨 1. T(r) 随 r 的增大而减小 论 2. 撤掉小球，T（L ) = 0
T(r) = mω2 (L2 − r2)
2L 3. 忽略绳子质量 m = 0
T = Mω 2 L
N′
a0
θ
N Mg
y
a0
M
m
θN
θ
mg
a′
θ
x
O
N sin θ = m ax
N cos θ − mg = m ay
N sin θ = M a0
K a
=
aK′
+
K a0
ax = a′ cosθ − a0
a y = −a′ sinθ
① ②
y
a0
mθ N θ a′
M mg θ
③O
x
β
④
⑤
a a0 a’
木块对楔块的加速度
a′ =
(M + m)sinθ M + m sin2 θ
g
方向：沿斜面向下。
楔块的加速度
a0 =
m sin θ cos θ M + m sin 2 θ
g
方向：沿 x 轴负向。
木块对地面的加速度
大小： a =
ax2 + a2y = sinθ
M2 + m(2M + m)sin2 θ
M + msin2 θ
3
θ = cos−1 1
3
NT
a mg
O
lb b
θ
T
s
ห้องสมุดไป่ตู้
la
θ
a
mg
例：光滑地面上放置一质量为 M、底角为θ 的楔块。楔块斜边
光滑，其上放置一质量为 m 的木块。求：木块沿斜面下滑时
对地和对楔块的加速度。
解：对 m: x: N sin θ = m ax
对M:
y: N cos θ − mg = m ay N sin θ = M a0
0
π
2
v = 2glb cosθ
la
θ
mg
a
s
=
lb
(
π 2
−
θ
)
ds = −lbdθ
(2) θ =? 时 a 刚好离开地面
对b T − mg cos θ = m v 2
lb T = mg 时，a 刚好离开地面
mg − mg cosθ = m v2 = m 2lb g cosθ
lb
lb
cosθ = 1
1.2.3 牛顿运动定律的应用
解题步骤 一、选定对象，隔离物体 二、受力分析，画示力图 三、分析运动 四、选坐标系，列方程, 求解未知量 五、检验与讨论
例：物体 A，质量为 m，通过不可伸长的轻绳，跨过光滑的轻
定滑轮与弹性系数为k 的水平轻弹簧相联。当弹簧为自然伸长
时，将 A 从静止释放。求: 下落过程中，A落下 x 距离时的加
