最新初高中数学衔接知识点专题(一)

【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。

初高中数学衔接知识点专题（一）数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ．[2][3]两[4]||(x a a >2[1][2][3][公式[公式[公式说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ； (4)= ． [2]平方根与算术平方根的概念：叫做a 的平方根，记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a4．分式[1]分式的意义式．当M ≠0时[2]繁分式 当式，如2m n pm n p+++说明：繁分式式的基本性质[3]分母（子）把分母（方法是分母和而分子有理化号的过程 【例题选讲】例1 解下列不例2 计算：（1）（2）（3）(a +例3 已知2x -例4 已知a +例5 计算(没（1）（3）例6 设x =1．公式法常用的乘法公[1]平方差公式[2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式3（1）x ∵2(x +∴2(x +（2由成12a a 2ax bx +多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法 例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab - 例 2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）2222428x xy y z ++-例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- (3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++ 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- ；(2) 22568x xy y +-解：说明：用较困难，具体若原常数为负凑”，先”凑例5 （拆项法(3) 32113x x -+★ 专【要点回顾】1．一元二次方一元二为： 由于可以用2b 24b ac -叫做一24b ac ∆=-对于一元二次方程[1]当Δ 0时[2]当Δ 0时[3]当Δ 0时2．一元二次方定理：如12x x +=说明：一现，所以通常特别地，对于二知x 1＋x 2＝所以，方程x 2＋px＝0的两根，所以，以两个数x 1，x 2【例题选讲】例1 已知关于x 的（1）方程 （3）方程例2 已知实数例3 若12,x x 是(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程244kx -40k ≠⎧，又12,x x ∴ 1(2x 但0k <要使12x x ★12．函数图象[1]一次函数： 称y 是x 的一次函数，记为：y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)特别的，[2] 正比的一条直线，而 ；当而 ．[3] 一次函数过点(0，b )且时，y 随x 的增[4]反比例函数象在第一、第时，图象在第二曲线是轴对称称中心是原点【例题选讲】例1 已知(2A (1) A 、B 关于对称．例2已知一次交于A 、B 两点例3如图，反(1)B n -，两点．（1）求反比例（2）根据图象★ 专题五二次函数y ＝a[1]当a坐标为增大而函数取最小值[2]当a标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．[2]二次函数的三种表示方式：（1（2①②例1指出当x例2例3 已知函数2,2y x x a=-≤≤，其中2a≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．★ 专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数2 (0)y ax bx c a=++≠的最值．二次函数2bxa=-处取得得最大值44aca-2．二次函数（第一步确定第二步配方3．求二次函数如：y ax=第一步：第二步：[1]若a>①对称②对称③对称[2] 若a>①对称②对称说明：取值范围相应【例题选讲】例1求下列函（1）22=xy例2当12x≤≤例3当0x≥时例4当t x t≤≤分析：由其范围的相对解：函数(1) 当对称轴(2) 当对称轴2min 1511322y =⨯--=-；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩例5当02x ≤≤时，求函数221y x ax =-+的最大值。

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点第一个衔接的知识点是函数。

初中数学中，我们学习了一元一次方程、一元二次方程等基本的代数知识，而高中数学中，我们学习了函数的定义、性质以及满足不等式的函数、函数的图像等。

函数的概念是高中数学的核心概念之一，初中数学中已经培养了学生对方程的理解和运用能力，为学习函数打下了基础。

第二个衔接的知识点是图形的变换。

初中数学中，我们学习了平移、旋转、翻转等图形的变换，而高中数学中，我们学习了函数的图像和坐标系的变化等。

这些内容都要求学生对图形的变换有深入的理解和熟练的运用能力，而初中数学中的图形变换知识就为学习高中数学中的图形变换知识提供了基础。

第三个衔接的知识点是三角函数。

初中数学中，我们学习了正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，而高中数学中，我们学习了三角函数的图像、三角函数的性质、三角函数的运用等。

初中数学中的三角函数知识为学习高中数学中的三角函数知识提供了基础，学生可以通过初中数学中的知识来了解高中数学中更加深入的三角函数。

第四个衔接的知识点是向量。

初中数学中，我们学习了向量的定义、相等、夹角等基本知识，而高中数学中，我们学习了向量的线性运算、点与向量的关系、向量与平面的关系等。

初中数学中的向量知识为学习高中数学中的向量知识提供了基础，学生可以通过初中数学中的知识来了解高中数学中更加深入的向量。

第五个衔接的知识点是概率统计。

初中数学中，我们学习了事件与概率、频数分布、抽样调查等基本知识，而高中数学中，我们学习了离散型随机变量、连续型随机变量、统计推断等。

初中数学中的概率统计知识为学习高中数学中的概率统计知识提供了基础，学生可以通过初中数学中的知识来了解高中数学中更加深入的概率统计。

这些是初中数学与高中数学之间衔接紧密的知识点。

学习这些知识点有助于学生更好地理解和运用高中数学知识，使学习更加连贯、顺利。

因此，在初中数学的学习中，要注重这些知识点的学习和巩固，为进入高中数学打下坚实基础。

初升高数学衔接班知识点总结1 教学资料—高一第一部分——初高中衔接知识点一．高中常见的代数式恒等变形知识点概述：1.在初中已经研究过以下一些乘法公式：1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2；2)平方和公式：1^2+2^2+3^2+。

+n^2=n(n+1)(n+2)/6；3)完全平方公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2.我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：1)立方和公式：(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3；2)立方差公式：(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3；3)三数和平方公式；4)两数和立方公式；5)两数差立方公式；6)常用公式。

2.因式分解a^2+b^2+c^2±ab±bc±ac=(a±b)^2+(b±c)^2+(a±c)^2/2因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x的二次三项式ax+bx+c=(a≠0)。

若关于x的方程ax+bx+c=(a≠0)的两个实数根是x1,x2，则ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。

经典精讲例1】1.已知x+y=1，则x+y+3xy的值为________.2.实数a,b满足a+b+3ab=1，则a+b=_________.例2】因式分解1.2.3.x^3-7x+6;a^3+3a^2+3a+2x^5-x^4+x^3-x^2+x-1二、XXX定理的应用知识点概述：1.一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax^2+bx+c=(a≠0)的两实根分别是x1,x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，这一关系也被称为XXX定理。

2.若x1和x2分别是一元二次方程ax^2+bx+c=(a≠0)的两个实根，则|x1-x2|=√(b^2-4ac)/|a|。