2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(十二)数学

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（二十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值 C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增 D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围. 21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 临界值表：P (K 2≥k 0)0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C. ∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )， 解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析 因为数列{a n }是正项等比数列， a 2a 8＝a 25＝16a 5， 所以a 5＝16， 又a 3＋a 5＝20， 所以a 3＝4， 所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝112⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7.答案 C解析 因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6. 设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ， 因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等， 易知点O 为四面体MACD 外接球的球心， 所以OC ＝⎝⎛⎭⎫622＋⎝⎛⎭⎫222＝10，所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析 设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23， 解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14， 故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ， 则AC →＝⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a 2＋⎝⎛⎭⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝⎛⎭⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析 在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合； 在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合； 在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合； 在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析 对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确； 对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析 由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)， 所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析 函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ， 设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)， 由于在公共点处有共同的切线， ∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e 2.四、解答题17.(1)证明 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n ＝2； 即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2， 所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ， 所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2， 即12×3c 22×13＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6， 所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)， 设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)， 设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0， 取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0). 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23， 所以a ＝1.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33， 所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)， 所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)， 可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1， 所以|EF |2＝4⎝⎛⎭⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1， 所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1 ＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23，因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝⎛⎦⎤1633，163， 综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎡⎦⎤1633，163. 21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内.设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73， 所以ξ的期望为73. 22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ， 当a ≥0时，f ′(x )>0， 则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3； 由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0， 从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0， 即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3， 设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3， 由g ′(x )<0得x <ln 3， 由g ′(x )>0得x >ln 3， 故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。

2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）一．单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：∵B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：．故选：D．3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状解：∵1+3+3+5+5+7＝24，∴编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：C．4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120解：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．5．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学解：因为，，又25＜32，所以，又，，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C．7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为解：此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX'和YY'上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为θ，则P的坐标为（|PB|cosθ，|PA|sinθ），从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为．故选：B．8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042解：令y＝0，则有2f（0）+f（0）（f（x）+1）＝2（x﹣1），又f（0）＝﹣1，∴f（x）＝﹣2x﹣1．从而集合A中，可化为．即t（t+2x+1）＝2×62020＝22021×32020．∵t∈N*，x∈N*，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，…，22021×32020，共有2021个（t，x）．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个（t，x）．∴集合A中的元素个数共有2021×2＝4042（个）．故选：D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等解：由题中数据可知，（360+240+120）÷60＝360÷60+240÷60+120÷60＝6+4+2＝8，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误．无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确．故选：AD．10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c解：∵，由①﹣②得2b＝2a2+2，即b＝a2+1，∴b≥1，又，∴b＞a，而c﹣b＝4﹣4a+a2＝（a﹣2）2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a．故选：BD．11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，又B1C∩B1D1＝B，所以有AC1⊥面B1D1C，当F为A1C1中点时，CF⊂面B1D1C，∴AC1⊥CF，A正确；对于B，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥面AA1C1C，CA1⊂面AA1C1C，∴B1D1⊥CA1．若F与A1重合时，异面直线CF 与B1D1所成角为，B错误；对于C，当时，过F作FH⊥A1D1，垂足为H，则FH∥AB，．易证BA⊥面AA1D1D，从而由BA⊥AA1，BA⊥AH可得二面角F﹣AB﹣A1的平面角为∠A1AH．∴，C正确．对于D，点F与C1重合时，三棱锥C﹣BDF的外接球即正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，其直径．∴其表面积S＝4πR2＝3π，D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1解：易证e x≥ex，∴f（x）＝e x﹣ex≥0恒成立，所以C错误；令h（x）＝f（x）﹣ag（x）＝e x﹣ex﹣ax2+ax，若a＝1，则h（x）＝e x﹣ex﹣（x2﹣x），则x∈（0，1）时，﹣（x2﹣x）＞0，此时h（x）＞0恒成立，显然D错误，对于A、B，h（1）＝0，h'（x）＝e x﹣e﹣a（2x﹣1），h''（x）＝e x﹣2a，当a＜0时，h''（x）在（0，1）上恒为正，故h'（x）在（0，1）上单调递增，又因为h'（0）＝1﹣e+a＜0，h'（1）＝﹣a＞0，∴h'（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0），h'（x）＜0；x∈（x0，1），h'（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0，而h（0）＝1＞0，故h（x）在（0，x0）上存在唯一零点，故A、B正确；故选：AB．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．解：∵平面向量，，∴＝（1，5），∴||＝＝，故答案为：．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值n可取6，8，9，10，11中任意一个值．解：的展开式的通项为，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则，且．当n＝3时，r＝0；n＝4时，r＝4；n＝5时，r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时，r无解；n＝8时，r＝2，8；n＝9时，r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时，r＝2，8，n＝12时，r＝0，6，12．所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为3．解：设等比数列{a n}的公比为q，由得，，，解得，又a2＝2．∴a1＝4．易得数列{a n a n+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为．∴，从而有．∴n≤3．故n max＝3．故答案为：3．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为2﹣．解：由题意得∠AOF＝45°＝∠COF，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为M1，N1．设|OM|＝m，|ON|＝n，则，．，所以有mn＝m+n．又，有mn≥4．（当且仅当m＝n时等号成立）．Rt△OMN的内切圆半径，令t＝mn，t≥4，则，在[4，+∞）上单调递减．∴当t＝4时，r有最大值为．故答案为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．解：（1）设等比数列的首项为a1，公比为q＞0，由得，q＝2．所以．（2）b n＝log a a n＝（n﹣6）log a2．数列{b n}是首项为﹣5log a2，公差为log a2的等差数列．方法一：①当0＜a＜1时，log a2＜0，数列{b n}是首项为正的递减等差数列．由b n≥0，得n≤6，（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．②当a＞1时，log a2＞0，数列{b n}是首项为负的递增等差数列．由b n≤0，得n≤6，所以（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得．①当a＞1时，log a2＞0，此时（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．②当0＜a＜1时，log a2＜0，此时（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．解：（1）连结BD，如图所示：在△ABD中，由余弦定理得．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos C＝2﹣2cos C，所以，解得，所以用cos A表示cos C为cos C＝cos A﹣1．（2）因为，所以由（1）可得，C∈（0，π），所以，由CD＝BC，所以．△ABD中，由余弦定理得．由AB＝BD，所以△ABD为等腰三角形．所以，，计算．△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cos∠ADC＝．解得；所以应准备千米的管道．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC．BC ⊥CD，所以BC⊥平面PDC．又BC⊂平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC，故平面PDC∩平面PBC＝PC，故DE⊥平面PBC．由已知l⊂平面PBC，所以DE⊥l．（2）方法一：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，，D（0，﹣1，0），，C（0，1，0）．设平面PAD的法向量，因为，，，，所以，令，则，设平面PBC的法向量，∵，，，，，令z2＝1，则，因为，，所以．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EH⊥PF，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PF⊥DE，从而PF⊥平面DEH．所以PH⊥DH，故∠DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得，且，由（1）知△PCF为直角三角形，∠C为直角，从而，所以，故，所以．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则P（A）＝＝．（2）当P＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ2246P0.994（1﹣0.992）2．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX2＝850Eξ2＝1768次．若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ312P0.9941﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX3＝850×1.16≈986次．显然EX3＜EX2＜EX1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．解：（1）由题意可得，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y．（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y﹣2）2＝1，由已知可设l：y＝kx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2﹣8kx﹣16＝0，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有k≠0，方法一：由抛物线定义知，|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2．所以||AM|﹣|BN||＝|（|AF|﹣2）﹣（|BF|﹣2）|＝||AF|﹣|BF||＝|y1﹣y2|＝|（kx1+2）﹣（kx2+2）|＝＝，所以|AM|≠|BN|方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|＝|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x2＝0，因为x1+x2＝8k≠0，所以|AM|≠|BN|．②由（1）知抛物线方程为．所以．所以过点A的切线，即．同理可得，过点B的切线l2为．由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以．D（4k，﹣2）到l：y＝kx+2的距离，|AM|⋅|BN|＝（|AF|﹣2）（|BF|﹣2）＝[（y1+2）﹣2][（y2+2）﹣2]＝，从而＝．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．【解答】（1）解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+1），所以，易知f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0．则在（﹣1，0）上f'（x）＜0，在（0，+∞）上f'（x）＞0，从而f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna，所以，且a≥1．设g（x）＝f'（x），则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，即f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，由，得，设h（x）＝（x+1）e x h'（x）＝（x+2）e x＞0，则h（x）在[﹣1，+∞）上单调递增且h（﹣1）＝0．则当a∈[1，+∞）时，都恰有一个x0＞﹣1，使得，且当x∈（﹣1，x0）时f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f'（x）＞0，因此f（x）总有唯一的极小值点x0．所以，从而lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，极小值由lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，可得当a∈[1，+∞）时，﹣ln（x0+1）﹣x0≥0，即ln（x0+1）+x0≤0，ln（x0+1）+x0随x0增大而增大，易得x0∈（﹣1，0]．令t＝x0+1，则t∈（0，1]，设，φ（1）＝1，所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）＝1，从而φ（t）≥1．即f（x0）≥1．。

第 1 页 共 18 页 2021年湖南省高考数学模拟试卷本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2150,{|24}A x x x B x x =+-≤=-<<，则AB =（ ） A ．{|23}x x -<≤B ．{|54}x x -≤<C ．{|52}x x -≤≤-D ．{|34}x x ≤< 【答案】A【解析】先求出集合A ,再与集合B 取交集即可.【详解】因为{}2|2150{|53},{|24}A x x x x x B x x =+-≤=-≤≤=-<<,所以{|23}A B x x =-<≤.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集,考查不等式的解法,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i - 【答案】B。