2018年贵州省贵阳市高三适应性考试数学理科试卷(二)及答案
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贵阳市2018年高三适应性考试(二)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数Z 的共轭复数为Z ，且()25Z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数Z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设集合(){}(){},,,2x P x y y k Q x y y ====,己知P Q φ= ,那么k 的取值范围是（ ）A ．()-0∞，B ．()0+∞，C ．(]-0∞，D ．()1+∞，3.如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO=（ ）A ．1122a b +B ．1124a b +C ．1142a b +D ．1144a b +4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再贏两局才能得到冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A ．12B ．35 C.23 D ．345.已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则()2tan n α-=（ ）A．5 B．-5C.2．-26.已知m 和n 是两条不同的直线，α和ρ是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ．a β⊥ 且m a ⊥B ．αβ⊥且//m a C.m n ⊥且//n β D ．//m n 且n β⊥7.设实数,x y 满足约束条件1213x y x y x ≥⎧⎪⎨⎪≥+-⎩≥,则下列不等式恒成立的是（ ）A ．3x ≥B ．4y ≥ C.28x y +≥ D ．21x y -≥- 8.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()30f -=,则()0f x <的解集是（ ）A ．()()-303+∞ ，，B ．()()--03∞ ，3， C.()()--33+∞∞ ，， D ．()()-3003 ，，9.若函数()()0,06f x Asin x A πωω⎛⎫ ⎪>⎝⎭=->的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．14D10.元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =时，问一开始输入的x =（ ）A ．34B ．78 C.1516 D ．313211.已知二次函数()21f x ax bx =++的导函数为()()','00,()f x f f x >与x 轴恰有-个交点则使()()1'0f kf ≥恒成立的实数k 的取值范围为（ ） A ．2k ≤ B ．2k ≥ C.52k ≤ D ．52k ≥12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且25AE AC = ,双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（ ）A ．32B ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.72x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中，4x 的系数是____.(用数字作答)．14.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组x =.．15.设圆C 的圆心为双曲线()222102x y a a -=>的右焦点，且圆C 与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线:0l x =截得的弦长等于2,则a 的值为．16.在ABC ∆中，A B C 、、所对的边为 a b c 、、,2,3sinB sinA c ==,则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.Sn 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，且()21,n Sn a n n N *=+-∈. (I)求数列{}n a 的通项公式: (Ⅱ)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T 18.已知如图1所示，在边长为12的正方形11'AA A A ,中，111////BB CC AA ,且3AB =,14'BC AA =，分别交11,BB CC 于点P Q 、,将该正方形沿11,BB CC ,折叠，使得1'A A 与1AA 重合，构成如图2 所示的三棱柱111ABC A B C -,在该三棱柱底边AC 上有一点M ,满足()01AM kMC k =<<; 请在图2 中解决下列问题:(I)求证:当34k =时，BM //平面APQ ;(Ⅱ)若直线BM 与平面APQ 所成角的正弦值为15，求k 的值 19.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.(I)请将两家公司各一名推销员的日工资y (单位: 元) 分别表示为日销售件数n 的函数关系式;(II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。
若记甲公司该推销员的日工资为X ,乙公司该推销员的日工资为Y (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为原段,122,F F F 、也为抛物线22:4C y x =的焦点，点P 为12C C 、在第一象限的交点，且253PF =. (I)求椭圆1C 的方程;(II)延长2PF ,交椭圆1C 于点Q ,交抛物线2C 于点R ,求三角形1FQR 的面积. 21.己知函数() f x ax ln x =-.(a 是常数，且（0a >) (I) 求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当)=y f x （在1x =处取得极值时，若关于x 的方程()22f x x x b +=+在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.（Ⅲ）求证:当2,n n N *≥∈时2221111+1+......123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线:2l pcos θ=-,曲线C 上任意一点到极点O 的距离等于它到直线l 的距离.(I)求曲线C 的极坐标方程;(I)若P Q 、是曲线C 上两点，且OP OQ ⊥,求11+OP OQ的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =++-. (I)求()f x 的最小值m ;(II)若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=,求证:2223b c a a b c++≥.贵阳市2018年高三适应性考试(二)理科数学一、选择题1-5:ACBDA 6-10:DCBCB 11、12：AB 二、填空题三、解答题17.解:(I)由21n n S a n =+-①得211(1)1n n S a n ++=+-② ②-①得()22+1111n n n n n a S S a a n n ++=-=-++-整理得2 1n a n =+ (Ⅱ)由21n a n =+可知1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭则()121111111......235572123323n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18.(I)解: 在图(2)中，过M 作//MN CQ 交AQ 于N ，连接PN ，所以//MN PB ,∴MNPB 共面且平面MNPB 交平面APQ 于PN ,∵3347MN AM k CQ AC ===， 又 7, 3, 3CQ MN MN PB AB =∴=====, ∴四边形MNPB 为平行四边形，∴//BM PN ,PN ⊂平面APQ ,BM ⊄平面APQ ,∴BM //平面APQ ;(II)解:因为=3,=4AB BC ,所以=5AC ,从而222AC AB BC =+,即AB BC ⊥.由图1知，3,7PB AB QC ===,分別以1BA BC BB ，，为,,x y z 轴， 则()()()()3,0,0,0,4,0,0,0,3,047A C P Q ，，,()()()0,4,0,3,0,3, 3,4,7BC AP AQ ==-=-设平面APQ 的法向量为(),,n a b c =,所以00n AP n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得3303470a c abc -+=⎧⎨-++=⎩，令a l =，则1c =,1b =-，所以()1,1,1n =-由AM kMC =得M 的坐标为34,,011k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭∵直线BM 与平面APQ所成角的正弦值为15,解得14k =或94k = 19.解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80, y n n N =+∈.乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()()45,120,45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨>∈-⎩ (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为X122 124 126 128 130 P0.20.40.20.10.1记乙公司一名推销员的日工资为Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为X 120 128 144 160 P0.20.30.40.1∵125,136EX EY ==,所以仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司 20.解:(I)∵2F 也为抛物线22:4C y x =的焦点，∴1c =,由线段253PF =,得513p x +=,∴P 的坐标为23⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得2248193a b += 又221a b -=，联立可解得224,3a b -=,所以椭圆C 的方程为23143x y +=(Ⅱ)由(Ⅰ)知23p ⎛ ⎝⎭，所以直线2PF 方程为:)1y x =--,联立直线方程和椭圆方程可得2143364280,,11x x Q ⎛-+=∴ ⎝⎭∴141001133PQ =-=联立直线方程相抛物线方程可得261360x x -+=,∴1325+266PR == ∴251002563322QR =-=∵1F 到直线2PF ,∴三角形1FQR 21.解:(I)由已知比函数()f x 的定义域为()110,'ax x f x a x x->--=, 由()'0f x >得1x a>， 由()'0f x <,得10x a<<所以函数()f x 的减区间为10.a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为.1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(II)由题意，得()'101f a =∴=，, ∴由(I)知()f x x lnx =-,∴()22f x x x b +=+,即22x lnx x x b -+=+, ∴230x x lnx b -++=, 设()()230g x x x lnx b x =-++>则()()()22111231'23x x x x g x x x x x ---+=-+==当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表:x12112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1()12，2'()g x0 - 0 + ()g x 5ln 24b --2b- 2ln 2b -+∵方程()22f x x x b +=+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根， ∴102(1)0(2)0g g g ⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩，∴5ln 204202ln 20b b b ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩∴5ln 224b +≤<即5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当1a =时，()(1)f x f ≥即ln 1x x ≤-， ∴当1x >时，ln 1x x <-，令()2112,x n n N n *=+≥∈时， 222222111111ln 1+ln 1...ln 1 (2323)n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111......1112231n n n<+++=-<⨯⨯⨯+ 即222111ln 11+......1123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴22211111+......123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22.解:(Ⅰ)设点()M p θ，是曲线C 上任意一点，则 2cos ρρθ=+,即2=1cos ρθ- (II) 设()12,2P Q πρθρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，、,则112sin cos 2+22OP OQ θθ+-=≤. 23.解:(I)当1x <-时，()()()()21233,f x x x x =-+--=-∈+∞ 当12x -≤<时，()()()[)21243,6f x x x x =+--=+∈,当2x ≥时，()()()[)212=36,f x x x x =++-∈+∞ 综上，()f x 的最小值3m =(II) 证明: a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=, ∵222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22()a b c ≥=++ ( 当且仅当1a b c ===时，取“=”) ∴222b c a a b c a b c ++≥++，即2223b c a a b c++≥。
