任意角的三角函数及基本公式
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第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式
(第课时)
任意角的三角函数⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧的函数关系与以及的函数关系
与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式
商数关系式
平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义
弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k
重点:1.任意角三角函数的定义;2.同角三角函数关系式;3.诱导公式。 难点:1.正确选用三角函数关系式和诱导公式;2.公式的理解和应用。 1.了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算;2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;3.掌握同角三角函数的基本关系式;4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。
任意角三角函数的意义,三角函数值的符号; 1.角的定义
⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的,射线旋转开始的位置叫做角的始边,旋转终止的位置叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点。
⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。
2.弧度制
⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。
注意:1sin 表示1弧度角的正弦,2sin 表示2弧度角的正弦,它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。
⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。
⑶ 设一个角的弧度数为α,则 r
l
=
α (l 为这角所对的弧长,r 为半径)。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的,这个对应是利用角的弧度制建立的。
⑸ 180
1π
=︒弧度,1弧度︒=)180
(
π
。
设扇形的弧长为l ,扇形面积为S ,圆心角大小为α弧度,半径为r , 则 αr l = ,α22
1
21r lr S == 。
3.角的集合表示 ⑴ 终边相同的角
设β表示所有终边与角α终边相同的角(始边也相同),则 αβ+︒•=360k (也可记为απβ+=k 2 Z k ∈)
。
⑵ 区域角
介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ︒+︒•<<︒+︒•3036060360k k α(也可记为
3
26
2π
παπ
π+
<<+
k k Z k ∈)。
⑶ 象限角
以角的顶点为原点,以其始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则角的终边落在第几象限,这个角就叫做第几象限的角。
例.已知x 在第二象限,问
2
x
在哪一象限? 解:∵ πππ
π+<<+
k x k 22
2 ,∴ 2
24
πππ
π+<<
+
k x k , 当k 为偶数时,
2x 在第一象限;当k 为奇数时,2
x
在第三象限。 点评:第一二象限角的半角在第一或第三象限,第三四象限角的半角在第二或第四象限,记住这一结论,可提高解题速度。
例.ABC ∆中,已知178cos =
A ,5
3
sin =B ,(A 、B 是锐角,)求C 角。 分析:A 、B 是锐角,故C 角可能是锐角,也可能是钝角。显然,如果想通过C sin 去求C 角是无法确定C 角是锐角还是钝角的。所以应该求C cos 。
解:1529.05
3
17554178)cos()](180cos[
cos ≈⨯+⨯-=+-=+-︒=B A B A C , 显然,C 角在第一象限,约为2181'︒ 。
点评:如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限,需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法,是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形,只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。
4.三角函数的定义及符号 ⑴三角函数定义
设角α终边上一点P 的坐标为(x ,y )P 与原点的距离为r (0>r ),那么下面的六个
比值:y
r x r y x x y r x r y 、、、、、 分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割,并且分别用符号表示为:
r y =αsin ,x y
=αtan ,ααcos 1sec =,
r x =
αcos ,y x
=αcot ,α
αsin 1csc =。
⑵ 各三角函数在各象限的符号如下图:
cot ,tan
符号记忆:“正弦一二为正”,“余弦一四为正”,“正切一三为正”。 注意:①由 αα2
cos 1sin -±= 求αsin 时,应该由α所在的象限来确定αsin 的符号。
②去掉α2
cos
的根号时,如果0cos <α,应写为 -αcos 。
⑶ 终边相同的同一三角函数的值相等。
即 )()2(ααπf k f =+ (J k ∈,)(x f 为三角函数)。 ⑷ 三角函数线(以第一象限角为例)
正弦线 余弦线 正切线 余切线 例.确定 ︒-︒16cos 15cos 的符号。
解:画出单位圆,用线段把 ︒15cos 和︒16cos 表示出来, 图中线段 ︒=15cos OA ,︒=16cos OB , 显然,︒>︒16cos 15cos , ∴ 016cos 15cos >︒-︒ 。