chap02-02答案

+a −a
(b)
ˆ 2 = ∫ ψ * ( x, t ) x 2 ψ ( x, t )dx x2 = x 2 nπ sin ( x + a )e +iE n t / h x 2 2a 2a 2 +a 2 nπ = sin ( x + a ) x 2 dx = ∫ − a 2a 2a =∫
+a −a
2 nπ sin ( x + a )e −iE n t / h dx 2a 2a 2 6 a (1 − 2 2 ) 3 n π
ψ ( − x ) = Cψ ( x )
(3.3.6)
由(3.3.6)再经 − x → x 反演，可得
ψ ( x ) = ψ (−(− x )) = Cψ (− x ) = C 2 ψ( x )
可见， C = 1 ，即有
2
(3.3.7)
C = ±1
当 C = +1 时， 当 C = −1 时，
ψ (− x ) = ψ( x ) ， ⇒ ψ ( x ) 具有偶宇称， ψ (− x ) = −ψ ( x ) ， ⇒ ψ ( x ) 具有奇宇称，
d 2 ψ 1 ( x ) 2m( E − V ) = ψ1 (x) − h2 dx 2 d 2 ψ 2 ( x ) 2m ( E − V ) = ψ 2 (x) dx 2 − h2
由于势场是非奇异的，因此(3.3.1)/(3.3.2)可得
（3.3.1）
（3.3.2）
′′( x ) ψ 1 ( x ) ψ1 = ′ (x) ψ 2 (x) ψ ′2
(c)
ˆ = ∫ ψ * ( x, t )p ˆ x ψ ( x, t )dx p= p =∫ 2 nπ ∂ 2 nπ sin ( x + a )e −iE n t / h dx sin ( x + a )e +iE n t / h (−ih ) −a ∂x 2a 2a 2a 2a − i 2h + a nπ nπ nπ = sin ( x + a ) cos ( x + a ) dx = 0 ∫ 2a −a 2a 2a 2a
| x |< a ，则粒子的基态波函数是 ⎩∞ | x |> a
ψ1 ( x, t ) =
πx −iE1t / h 2 h 2π2 cos e ，其宇称是偶宇称，相应的能量是 E 1 = ，粒子的 2a 2a 8ma 2 2 4πx −iE 4 t / h sin e ，其宇称是奇宇称，相应的能级是 2a 2a
三、证明题(共 35 分) 1．(20 分)对于教材中的一维无限深势阱(见教材第 26—28 页)，试证明处于ψn 态时，
ˆ ˆ = 0 ，(b) x = x (a)粒子的出现平均位置 x = x
2
2
=
a2 (n 2 π 2 − 6) 2 2 3n π
ˆ = 0 ，(d) p = p ˆ (c)粒子的平均动量是 p = p
当势场满足 U(− x ) = U( x ) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 （2 分） 四、计算题(每题 5 分，共计 35 分) 1．教材习题 2.3 一粒子在一维势场
⎧∞，x < 0 ⎪ U( x ) = ⎨0， 0 ≤ x ≤ a ⎪∞，x > a ⎩
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：由于势能和时间无关，此为定态问题（没有此话扣 1 分） ，定态 S 方程是
−
h2 d2 ψ( x ) + U( x )ψ( x ) = Eψ ( x ) 2m dx 2
(3.3.3)
将式中的 x以( − x ) 代换，得
−
h2 d2 ψ (− x ) + U(− x )ψ (− x ) = Eψ (− x ) 2m dx 2
(3.3.4)
利用 U(− x ) = U( x ) ，(3.3.4)可以写成
第三激发态波函数是 ψ 4 ( x , t ) =
E4 =
42 h 2 π2 ，粒子出现几率最大的位置是±3a/4,±a/4。假定在 t=0 时刻，粒子的状态 8ma 2
可以用波函数 ψ = C1 cos 态的几率是
πx 2πx 来描写(其中 C1 和 C2 是常数)，则粒子处于基 + C 2 sin 2a a
ψ 2 (a ) = ψ 3 (a )
由(4.1.7)可得 B = 0 ， 由(4.1.8)可得 A sin ka = 0
QA ≠ 0
∴ sin ka = 0
nπ x a
2
⇒
ka = nπ
(n = 1, 2, 3,L)
(4.1.11)(0.25 分）
∴ ψ 2 ( x ) = A sin
(4.1.12)(0.25 分）
⇒
⇒
′′( x )ψ 2 ( x ) − ψ ′2 ′ ( x )ψ 1 ( x ) = 0 ψ1
⇒
′ ( x )ψ 2 ( x ) − ψ ′2 ( x )ψ 1 ( x ) )′ = 0 (ψ1
′ ( x )ψ 2 ( x ) − ψ ′2 ( x )ψ 1 ( x ) = C ψ1
利用束缚态条件，即ψ1(±∞)=0 和ψ2(±∞)=0，则有 C=0，于是有
，该波函数不是定态，因为ψ不满足定态 S 方程；该波函数的
C1
2
2 2
C1 + C 2
宇称是非奇非偶，粒子的能量平均值是 子状态的波函数是 ψ = C1 cos
C1 E 1 + C 2 E 4 C1 + C 2
2 2
2
2
；经过一段时间 t 后，描写粒
πx −iE1t / h 2πx − iE 4 t / h + C2 sin e ，粒子处于基态的几率是 e a 2a
+a
2． (10 分)利用厄密多项式的递推关系(见教材第 31 页 2.7.12 和 2.7.13 式)， 证明一维线性谐振 子的波函数满足下列递推关系(说明：这些关系需要熟练掌握) (a) xψ n ( x) =
⎤ 1⎡ n n +1 ψ n +1 ( x)⎥ ⎢ ψ n −1 ( x) + α⎣ 2 2 ⎦
2
其解为 ψ 2 ( x ) = A sin kx + B cos kx
(4.1.6)(0.25 分）
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
ψ 2 ( 0) = ψ 1 ( 0)
(4.1.7)(0.25 分） (4.1.8)(0.25 分） (4.1.9)(0.25 分） (4.1.10)(0.25 分）
+a
(d)
ˆ 2 = ∫ ψ * ( x, t )p ˆ2 p2 = p x ψ ( x , t )dx 2 nπ 2 nπ ∂2 sin ( x + a )e +iE n t / h (−h 2 2 ) sin ( x + a )e −iE n t / h dx −a 2a 2a 2a 2a ∂x 2 2 2 2 2h + a⎛ nπ ⎞ 2 2 nπ h n π ( x + a )dx = = ⎜ ⎟ sin ∫ − a 2a 2a 4a 2 ⎝ 2a ⎠ =∫
(b)
⎡ n ⎤ d n +1 ψ n ( x) = α ⎢ ψ n −1 ( x) − ψ n +1 ( x)⎥ dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 ⎦ ⎣ 2
证明略 3．教材第 45 页习题 2.6 (5 分，提示：首先证明一维势场中的束缚定态是非简并的，再证 明体系所处的势场在空间反演变化下不变时，则该定态波函数具有确切的宇称) 证明(a)一维非奇异势场中的束缚定态是非简并的 假定一维非奇异势场中的束缚定态是简并的，例如对应能级 E 存在两个波函数ψ1 和ψ2，即
a
由归一化条件
∫
∞
ψ ( x ) dx = 1 ，得 A 2 ∫ sin 2
0
nπ xdx = 1 ，可得 a
A=
2 a
即 ψ 2 (x) =
2 nπ sin x a a
(4.1.13)(0.25 分）
Qk2 =
2mE h2
⇒ En =
π2h 2 2 n 2ma 2
(n = 1,2,3,L)
(4.1.14)(0.25 分）
−
h2 d2 ψ(− x ) + U( x )ψ(− x ) = Eψ(− x ) 2m dx 2
(3.3.5)
比较(3.3.3)和(3.3.5)可知， ψ (− x )和ψ ( x ) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函 数。由于它们描写的是同一个状态，因此 ψ (− x )和ψ ( x ) 之间只能相差一个常数 C。
2
2
=
h 2n 2π 2 4a 2
证明：(a) ψ n ( x , t ) =
2 nπ sin ( x + a )e −iE n t / h 2a 2a
ˆ = ∫ ψ * ( x, t ) xψ ( x, t )dx x= x nπ 2 nπ 2 sin ( x + a )e +iE n t / h x sin ( x + a )e −iE n t / h dx 2a 2a 2a 2a + a 2 nπ sin 2 = ( x + a ) x dx = 0 ∫ − a 2a 2a =∫
h2 d2 − ψ( x ) + U( x )ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2m dx 2
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x<0
−
h2 d2 ψ 1 ( x ) + U( x )ψ 1 ( x ) = Eψ 1 ( x ) 2m dx 2 h2 d2 ψ 2 ( x ) = Eψ 2 ( x ) 2m dx 2