二次函数系数判断典型试题

精品资料欢迎下载二次函数图像与系数关系一．选择题（共9小题）1．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）=，然后根据n=a+b+c=c=1．﹣﹣﹣﹣，﹣2a=n=a+b+c=≤≤2．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）=3．（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）＞4．（2012•沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）﹣﹣5．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）=，∴b=时，a b+c﹣﹣，则6．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（），结合图象与＞=18．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m （am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（）＞﹣判断符号；9．（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）=1b，则﹣b=1b，则﹣b，二．填空题（共1小题）10．（2013•柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是①③④（把正确的序号都填上）．，即﹣（2013•绵阳）二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．＞x﹣轴交点的横坐标分别为﹣b=x x，符合＞，。

学生做题前请先回答以下问题问题1：a，b，c符号与图象的关系：a的符号决定了抛物线的________，当_______时，开口________；当________时，开口________；c是抛物线与________交点的________；b的符号与a________，根据________可推导．问题2：a，b，c组合的符号判断的解题思路：①确定________符号及________的信息；②找特殊点的___________，获取等式或不等式；③________代入不等式，组合判断残缺式符号．（残缺型式子是指不同时含有a，b，c三个系数的式子，例如有时式子中只含有a，b时，我们就称之为残缺式或残缺型）二次函数a，b，c系数判断（一）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)；④；⑤．其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与系数的关系2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(-1，0)．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是( )A.1个B.4个C.3个D.2个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象3.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：abc组合的符号判断4.从如图所示的二次函数的图象中，得到下列几个结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．则正确的结论有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：abc符号判断5.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（）．其中正确的结论有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与系数的关系。

二次函数图像与系数关系70题1．（2020·湖南茶陵·初三零模）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，直线x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c ＜0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1），（32，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++交于A 、B 两点，则2()y ax b k x c =+-+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a +b ＝0；②4a ﹣2b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2．其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx＋2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C． D．5．（2020·福建省连江第三中学初三月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a＋b＜0；②a﹣b＋c＜0；③c＞0；④a＋b＞0．其中正确的结论有（）A．仅①②③B．仅②③④C．仅①②④D．①②③④6．（2020·辽宁新宾·初三其他）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝()()a b c a b cx++-+在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．7．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数kyx=-与二次函数2y kx k=-(0)k≠在同一直角坐标系的图像可能是（）A．B．C．D．8．（2020·兰西县红星乡第一中学校初二月考）在同一直角坐标系中，函数y mx m=+和函数222y mx x=-++(m是常数，且0m≠)的图象可能是( )A．B．C．D．9．（2020·福建省福州第十九中学初三其他）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣12；④方程x2﹣2x+1c＝0有实数根，结论正确的个数（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020·内蒙古海勃湾·初三期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．（2020·湖北武汉·初三月考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若点(4,0)B ，则下列结论中：①0abc >；②40a b +>；③()11,M x y 与()22,N x y 是抛物线上两点，若120x x <<，则12y y >；④若抛物线的对称轴是直线3x =，m 为任意实数，则(3)(3)(3)a m m b m -+-；⑤若3AB ≥，则430b c +>，正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．（2020·陕西师大附中初三一模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2＋k （a ≠0）经过A （m ﹣4，0），B （m ﹣2，3），C （4﹣m ，3）三点，其中m ＜3，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0B ．h ＜0C ．k ≥3D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 13．（2019·四川邛崃·初三三模）如图，是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④a ﹣2b +c ＞0．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③④14．（2019·陕西渭滨·初三二模）如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②a+b+c ＞0；③方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3； ④b 2﹣4ac ＞0；⑤当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；正确的说法有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个15．（2020·长沙市长郡梅溪湖中学初二期末）二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b ＝0；②若m 为任意实数，则a+b≥am 2+bm ；③a ﹣b+c ＞0；④3a+c ＜0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2020·四川阿坝·初三期末）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中:①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=③ 0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 的增大而增大；⑤20a b -=；⑥240b ac ->，正确的说法有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·湖南雨花·初二期末）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b ，④4ac﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2020·湖南雨花·初二期末）同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝ax +a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学初三一模）已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中 y 与 x 的部分对应值如表：下列结论正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4a ＋2b ＋c ＞0C ．若 x ＜－1 或 x ＞3 时，y ＞0D ．方程 ax 2＋bx ＋c ＝5 的解为 x 1＝－2，x 2＝3 20．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，则下列结论正确的是（ ）①0b <；②240b ac ->；③a c b +<；④0c >A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④21．（2020·甘肃肃州·初三期末）已知二次函数y=2ax bx c ++（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）（1）abc ＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c ＜0（4）b 2-4ac ＜0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，现有结论：①abc ＞0 ②9a ﹣3b +c ＝0 ③b ＝﹣2a ④﹣1）b +c ＜0，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个23．（2020·湖南天心·长郡中学初二期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c -+<D ．240b ac -<24．（2020·全国初三课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b （ab ≠0）的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．25．（2020·陕西旬阳·初三期末）已知二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．（2019·无锡市南长实验中学初三月考）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．27．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，则下列说法：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④0>；⑤420a b c -+<，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．428．（2020·全国初三课时练习）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个29．（2020·云南昆明三中初二期末）下列图像中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象时（ ）A ．B ．C ．D ．30．（2021·全国初三专题练习）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．31．（2020·全国初三单元测试）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．若点A 坐标为(4,0)-，对称轴为直线1x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．二次函数的最大值为a b c -+B ．0a b c ++>C ．240b ac ->D ．20a b +=32．（2020·甘肃兰州·中考真题）如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤33．（2019·四川雁江·初三其他）如图中实线所示，函数y=|a （x ﹣1）2﹣1|的图象经过原点，小明同学研究得出下面结论：①a=1；②若函数y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围一定是x ＜0；③若方程|a （x ﹣1）2﹣1|=k 有两个实数解，则k 的取值范围是k ＞1；④若M （m 1，n ），N （m 2，n ），P （m 3，n ），Q （m 4，n ）（n ＞0）是上述函数图象的四个不同点，且m 1＜m 2＜m 3＜m 4，则有m 2+m 3﹣m 1=m 4．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个34．（2020·安徽初三其他）如图，已知函数y ＝﹣3x 与y ＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2+bx +3x＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝1 C．x＝﹣3 D．无解35．（2020·广东福田·深圳实验学校初三三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个36．（2020·黑龙江甘南·初三期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．37．（2020·山西浑源·初三期末）在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x= -1．则下列结论正确的是（）A ．ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．a －b ＋c ＜0D ．当-3＜x ＜1时，y ＞038．（2020·四川广安二中初三期末）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac －b 2＜0；②2a －b ＝0；③a ＋b ＋c ＜0；④点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在抛物线上，若x 1＜x 2，则y 1＜y 2 .正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．439．（2020·福建闽侯·初三一模）抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y ＝ax+c （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．40．（2020·宁夏金凤·初三其他）已知二次函数214y x bx c =-++的图象如下，则一次函数124y x b =--与反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．41．（2020·安徽铜陵·）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()4,0A ，其部分图象如图所示．下列叙述中：①24b ac <；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；③20a b +=；④0a b c ++<；⑤当04x <<时，y 随x 增大而增大．正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．142．（2020·全国初三课时练习）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等．．的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④ 43．（2020·全国初三课时练习）如图是抛物线()210y ax bx c a =++≠图象的一部分，抛物线的顶点坐标()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线()20y mx n m =+≠与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-；⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．244．（2020·广东初三一模）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()5,0A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0c >；②抛物线与轴的另一个交点坐标为()3,0；③40a b -=；④若()13,M y -与21,2N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y <．其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．445．（2020·北京八中初三月考）a≠0，函数y＝ax与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．46．（2020·山东菏泽·初三月考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个47．（2020·内蒙古扎鲁特旗·初三月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b +c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤ 48．（2020·全国初三课时练习）已知，二次函数y ＝ax 2+bx+c 满足以下三个条件：①2b a＞4c ，②a ﹣b+c ＜0，③b ＜c ，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．49．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．450．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0，②b ﹣2a ＜0，③b 2﹣4ac ＜0，④a ﹣b+c ＜0，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④51．（2020·全国初三课时练习）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个52．（2020·全国初三课时练习）已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③()a b m am b +>+（1m ≠的实数）；④22()a c b +<；⑤1a >，其中正确的是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个53．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c >+；③420a b c ++>；④23c b >；⑤()a b m am b +>+（1m ≠的实数）．其中正确结论的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③⑤54．（2020·广西南宁·三美学校初三学业考试）如图是抛物线()20y ax bx c a =++≠，其顶点为()1,n ，且与x轴的个交点在点()3,0和()4,0之间，则下列结论正确的个数是（ ）个①若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0k ，则21k -<<-；②c a n -=；③若x m <-时，y 随x 的增大而增大，则1m ≥-．A ．0B ．1C ．2D ．355．（2020·辽宁铁岭·初三月考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，其对称轴为直线1x =，下面结论中正确的是（ ）A ．0abc ＞B ．20a b -=C ．420a b c ++＜D ．930a b c ++=56．（2020·山东枣庄·初三其他）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =．下列结论：①0abc <；②30a c +>；③()220a c b +-<；④()a b m am b +≤+(m 为实数)．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个57．（2019·黑龙江铁锋·初三三模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则以下结论：①0abc >，②230b a +=，③0a b c -+<，④520a c +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个58．（2020·广东潮南·初三其他）平面直角坐标系中，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc <；②20c a +>；③930a b c -+=；④2a b am bm -≤+（m 为实数）；⑤240ac b -<．其中正确的结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．559．（2020·山东历下·初三三模）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ） ①对称轴为直线x ＝﹣1；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的解是x 1＝﹣3，x 2＝1；④不等式ax 2+bx+c ＞3的解为﹣2＜x ＜0．A ．4B ．3C ．2D ．160．（2020·全国初三课时练习）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤61．（2020·全国初三课时练习）在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．62．（2020·全国初三课时练习）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a ﹣b+c ＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是（ ）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤63．（2020·全国初三课时练习）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个64．（2020·湖北广水·初三期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（12，y1），点N（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣35＜a＜﹣25；⑤c-3a＞0其中正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个65．（2020·河南太康·初三期末）如图，抛物线y ＝2ax ＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＞0；③2a －b ＞0；④3a ＋c ＞0.其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个66．（2020·湖北广水·初三其他）二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤67．（2020·甘肃张掖·初三其他）小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面四条信息：①230a b +=；②24b ac -＜0；③0a b c -+>；④方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个68．（2020·湖北广水·初三其他）如图，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于()2,0A -和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论：①0a b c +<；②40a c +>；③12a =；④1acb +=； 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，交y 轴的正半轴于点C ，对称轴交抛物线于点D ，交x 轴与点E ，则下列结论：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+b>am 2+bm （m 为任意实数）；④一元二次方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根；⑤当△BCD为直角三角形时，a 的值有2个；⑥若点P 为对称轴上的动点，则PB PC -有最大值，．其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个70．（2020·内蒙古呼伦贝尔·初三二模）如图所示的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中错误的是（ ）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．9a+3b+c＝0参考答案1．C【解析】【分析】①根据直线x=-1是对称轴，确定b-2a 的值；②根据x=-2时，y ＞0确定4a-2b+c 的符号；③根据x=-4时，y=0，比较a-b+c 与-9a 的大小；④根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等判断即可．【详解】解：①∵直线x=-1是对称轴，∴-2b a=-1，即b-2a=0，①正确； ②x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0，②错误；∵x=-4时，y=0，∴16a-4b+c=0，又b=2a ，∴a-b+c=-9a ，③正确；④根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等，∴y 1＞y 2，④正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系．2．B【解析】【分析】根据题目所给的图像，首先判断1y kx =中k ＞0，其次判断22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0，再根据k 、b 、的符号判断2()y ax b k x c =+-+中b-k ＜0，又a ＜0，c ＜0可判断出图像．【详解】解：由题图像得1y kx =中k ＞0，22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴b -k ＜0，∴函数2()y ax b k x c =+-+对称轴x=2b k a --＜0，交x 轴于负半轴， ∴当12y y =时，即2kx ax bx c =++，移项得方程2()0ax b k x c +-+=，∵直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++有两个交点， ∴方程2()0ax b k x c +-+=有两个不等的解，即2()y ax b k x c =+-+与x 轴有两个交点，根据函数2()y ax b k x c =+-+对称轴交x 轴负半轴且函数图像与x 轴有两个交点， ∴可判断B 正确．故选：B【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k 、a 、b 、c 的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．3．B【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b a＝1，得2a+b ＝0，故①正确； 当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b+c ＜0，故②正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0），∴点A （3，0），∴当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3，故④错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．4．D【解析】【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．【详解】解：由一次函数解析式为：y=kx+2可知，图象应该与y 轴交于正半轴上，故A 、B 、C 错误；D 符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交y 轴的正半轴是解题关键． 5．D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：抛物线开口方向向下，则a ＜0，∵对称轴是直线x=2b a=1，则b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ＜0，故①正确；当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，故③正确；∵b=-2a ，∴a+b=a-2a=-a ，∵a ＜0，∴-a ＞0，∴a+b ＞0，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，掌握“数形结合”数学思想的应用．6．D【解析】【分析】根据二次函数开口方向，可以判断出a 的正负，根据对称轴的位置和a 的正负，可以判断出b 的正负，再根抛物线与y 轴的交点，可以判断出c 的正负，然后根据a 、b 、c 的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可.【详解】∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝﹣2b a＞0， ∴b ＜0，当x ＝﹣1时，a ﹣b +c ＞0，当x ＝1时，a ﹣b +c ＜0，∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图像与系数的关系，根据二次函数抛物线求出a 、b 、c 的正负是解决本题的管家.7．C【解析】【分析】先根据反比例函数图象确定k 的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可【详解】A 、由反比例函数图象知：k ＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y 轴交于负半轴，故此选项错误；B 、由反比例函数图象知：k ＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；C 、由反比例函数图象知：k ＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y 轴交于正半轴，故此选项正确；D 、由反比例函数图象知：k ＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误； 故选Ｃ．【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．8．D【解析】【分析】先根据一次函数图像确定m 的符号，在依据二次函数y=ax 2+bx+c 图像性质进行判断，当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下．对称轴为x=2b a -，与y 轴的交点坐标为（0，c ）． 【详解】解：A 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误；B 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，对称轴为x ＝2b a -＝212m m -=＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故B 选项错误；C 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＞0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误；D 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x ＝2b a -＝﹣212m m-= ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确； 故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m 的正负的确定，9．D【解析】【分析】①．函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝1，即可求解；②．新抛物线表达式为：y ＝ax 2+bx ＝ax 2﹣2ax ＝ax （x ﹣2），即可求解；③．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即220b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+<⎩，即可求解；④．∆＝4a 2﹣4a ＝4a （a ﹣1），而﹣1＜a ＜﹣12，故∆＞0，即可求解．【详解】解：①．函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝1，解得：b ＝﹣2a ；故①正确； ②．此抛物线向下移动c 个单位后，新抛物线表达式为：y ＝ax 2+bx ＝ax 2﹣2ax ＝ax （x ﹣2）， 则x ＝2时，y ＝0，故抛物线过点（2，0），故②正确；③．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即220b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+<⎩，解得：﹣1＜a ＜﹣12，故③正确； ④．∵c ＜0，∴x 2﹣2x +1c＝0变形为cx 2﹣2cx +1＝0， ∵∆＝4c 2﹣4c ＝4c （c ﹣1），而1＜c ＜2， ∴∆＞0，故方程x 2﹣2x +1c ＝0有实数根，故④正确； 故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数图象及性质,掌握二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．10．A【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；当x ＝﹣1时图象在x 轴上得到y ＝a ﹣b +c ＝0，即a +c ＝b ；对称轴为直线x ＝1，可得x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a +2b +c ＞0；利用对称轴x ＝﹣2b a＝1得到a ＝﹣12b ，而a ﹣b +c ＜0，则﹣12b ﹣b +c ＜0，所以2c ＜3b ；开口向下，当x ＝1，y 有最大值a +b +c ，得到a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞m （am +b ）（m ≠1）．【详解】解：开口向下，a ＜0；对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c ＞0，则abc ＜0，所以①不正确；当x ＝﹣1时图象在x 轴上，则y ＝a ﹣b +c ＝0，即a +c ＝b ，所以②不正确；对称轴为直线x ＝1，则x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a +2b +c ＞0，所以③正确； x ＝﹣2b a＝1，则a ＝﹣12b ，而a ﹣b +c ＝0，则﹣12b ﹣b +c ＝0，2c ＝3b ，所以④不正确； 开口向下，当x ＝1，y 有最大值a +b +c ；当x ＝m （m ≠1）时，y ＝am 2+bm +c ，则a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞m （am +b ）（m ≠1），所以⑤正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a -，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．11．B【解析】【分析】根据图像得出a ＜0，c ＜0，b ＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得22b a->，可判断②；再根据二次函数在y 轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出6b a =-，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A 的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=416b c +-，代入，可得4b+5c≥0，结合c 的符号可判断⑤.【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，c ＜0，02b a ->， ∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴正半轴，∴对称轴在直线x=2右侧，即22b a->， ∴42022b a b a a++=<，又a ＜0， ∴4a+b ＞0，故②正确；∵()11,M x y 与()22,N x y 是抛物线上两点，120x x <<，可得：抛物线2y ax bx c =++在02b x a<<-上，y 随x 的增大而增大， 在2b x a>-上，y 随x 的增大而减小， ∴12y y >不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x=3，则32b a-=，即6b a =-， 则(3)(3)(3)a m m b m -+--=()()()3363a m m a m -++-=()()336a m m -+-=()23a m -≤0，∴(3)(3)(3)a m m b m -+≤-，故④正确；∵AB≥3，则点A 的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=416b c+-，则416b cb c+++≥-，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.12．D【解析】【分析】利用对称性得到抛物线对称轴为直线x＝1，根据点的坐标确定开口向下，最大值大于3，根据二次函数的性质即可判断D正确．【详解】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝242m m-+-＝1，即a＜0，h＝1，∴k＞3，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是关键．13．C【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一进行判断即可【详解】解：∵x ＝1时，y ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，所以①正确；∵x ＝2b a＝－1，∴b ＝2a ，所以②错误； ∵点(1，0)关于直线x ＝－1对称的点的坐标为(－3，0)，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1，所以③正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∵a ＋b ＋c ＝0，b ＝2a ，∴c ＝－3a ，∴a －2b ＋c ＝－6a ，∵a ＞0，∴－6a ＜0∴a －2b ＋c ＜0，所以④错误．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.14．A【解析】【分析】由抛物线开口方向及与y 轴的交点位置可判断①；令y=1可判断②；由图像与x 轴的交点可判断③和④；由图像与x 轴的两个交点可求得对称轴，结合图像的开口方向，则可判断⑤；则可求得答案．【详解】抛物线开口方向、与y 轴的交点在x 轴的下方，∴00a c ><，，0ac <，故①正确；由图像可知当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故②不正确；由图像可知抛物线与x 轴交与(−1,0)和(3,0)两点，∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=,且240b ac ->，故③、④正确；抛物线与x 轴交与(−1,0)和(3,0)两点，∴抛物线对称轴为直线1312x -+==，且抛物线开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故⑤正确；综上可知正确的结论有4个，故选A.【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题关键是利用数形结合得出各项符号． 15．C【解析】根据抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，得到b ＝﹣2a ＞0，即2a+b ＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x ＝1时，函数有最大值a+b+c ，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x ＝﹣1时，y ＜0，所以a ﹣b+c ＜0，即可判断③；把b ＝﹣2a 代入a ﹣b+c ＜0可对④进行判断；把ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2先移项，再分解因式得到（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]＝0，而x 1≠x 2，则a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣b a ，然后把b ＝﹣2a 代入计算得到x 1+x 2＝2可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＞0，即2a+b ＝0，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴函数的最大值为a+b+c ，∴a+b+c≥am 2+bm+c ，即a+b≥am 2+bm ，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，所以③错误；∵b ＝﹣2a ，a ﹣b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，即3a+c ＜0，所以④正确；∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1﹣ax 22﹣bx 2＝0，∴a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+b （x 1﹣x 2）＝0，∴（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]＝0，而x 1≠x 2，∴a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣b a， ∵b ＝﹣2a ，∴x 1+x 2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与解析式系数关系，与方程和不等式关系是解题的关键．16．D【解析】【分析】根据抛物线开口向上得出a ＞0，根据抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上得出c ＜0，根据图象与x 轴的交点坐标得出方程ax 2+bx+c=0的根，把x=1代入y=ax 2+bx+c 求出a+b+c ＜0，根据抛物线的对称轴和图象得出当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，2a=-b ，根据图象和x 轴有两个交点得出b 2-4ac ＞0．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∴ac ＜0，∴①正确；∵图象与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax 2+bx+c 得：a+b+c ＜0，∴③错误；根据图象可知：当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确；∵-2b a=1， ∴2a=-b ，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．17．C【解析】【分析】【详解】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误； 根据对称轴可得：－2b a =－32，则b=3a ，根据a<0，b<0可得：a>b ；则③正确； 根据函数与x 轴有两个交点可得：2b －4ac>0，则④正确.故选C.【点睛】本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a ，b ，c 的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a ，b ，c 之间的关系是解题关键.18．D【解析】【分析】先根据一次函数的图象判断 , ,a b 的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.【详解】A.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0 ,两者矛盾,故A 错误;B ．由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,两者矛盾,故B 错误;C.由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0,两者矛盾,故C 错误;D.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得:a>0 ,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,故D 正确;故选:D.。

二次函数经典测试题附答案一、选择题1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2ba->0， 又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，∴b＝−2，∴y＝－x2−2x＋3，∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a=m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ．【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．7．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．32-B ．3C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解． 【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形， ∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象.【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确； ②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0，∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.11．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4． 【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m-=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4．故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．13．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中，观察得出了下面五条信息：①$c0$，③$a-b+c>0$，④$b^2>4ac$，⑤$2a=-2b$，其中正确结论是（）．A。

①②④B。

②③④C。

③④⑤D。

①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴，则 $c0$；由对称轴在 $y$ 轴右侧，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，又 $a>0$，故$b0$，故②错误；③结合图像得出 $x=-1$ 时，对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方，故 $y>0$，即 $a-b+c>0$，故③正确；④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$，故④正确；⑤由图像可知：对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，则 $2a=-2b$，故⑤正确；故正确的有：③④⑤。

故选：C。

点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）图像如图所示，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b^2=2$；③当 $m\neq1$ 时，$a+b>am^2+bm$；④$a-b+c>0$；⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，且 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$。

其中正确的有（）A。

①②③B。

②④C。

②⑤D。

二次函数经典测试题含答案解析一、选择题1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.2．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.3．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )A ．5B ．52-C ．52D ．－5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③ab c=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；③对称轴：直线12b x a=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．【详解】解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故②错误；③∵对称轴：直线12b x a=-=-， ∴2b a =，∴24a b c a c +-=-，∵0a <，40a <， 0c >，0a <，∴240a b c a c +-=-<，故③错误；④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象. 【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．10．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：y=a （x 2-2x-3）=a （x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ，∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.13．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ． 【详解】解：214212y xxy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，11xy=⎧⎨=⎩，22772xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，72∶7=1∶2，∴A正确；小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；2142y x x=-21(4)82x=--+，则抛物线的对称轴为4x=，∴当4x>时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当7.5y=时，217.542x x=-，整理得28150x x-+=，解得，13x=，25x=，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．14．如图，已知将抛物线21y x=-沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a=++<沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<-【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x，∴x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2＜y1＜y3．故选:C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．17．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1x（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次函数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y=x是一次函数，符合题意；（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；（3）y=1x是反比例函数，不符合题意；（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B．【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．在函数2yx=，3y x=+，2y x=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )(A)b2－4ac>0 (B)a>0 (C)c>0 (D)b<0分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，故b<0：由抛物线与y轴交于负半轴，故c<0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2－4ac>0．所以本题答案是C．例2 函数y＝ax2＋bx＋c和y＝ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是( )分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“矛盾排除法”．对A中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b>0，c>0；在直线中，a>0，b>0，无矛盾，可为备选答案．对B中的图象分析可得：在抛物线中，a<0，b<0，c<0；在直线中，a>0，b＝0，有矛盾，故排除．对C中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b<0，c>0；在直线中，a<0，b>0，有矛盾，故排除．对D中的图象分析可得，在抛物线中，a<0，b>0，c<0；在直线中，a<0，b<0，有矛盾，故排除．所以本题答案是A．注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象我们可以对单独的a、b、c 与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号判断．但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？2．组合二看(1)三全看点在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．例3 已知二次函数（a≠0）的图象如图3所示，有下列4个结论：①2a＋b＝0；②b<a＋c；③4a＋2b＋c>0；④3a＋c>0．其中正确的结论有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 D ．4个分析 本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a－b ＋c>0，由f(－1)<0，知a －b ＋c<0，不符合；③中由f(2)>0，知4a ＋2b ＋c >0，符合要求．本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征，其中①少c ，可直接找对称轴，由对称轴方程为直线x ＝－2b a＝1，即2a ＋b ＝0，符合要求；而④少b ，显然是利用对称轴方程中b ＝－2a 这个关系式，将原来式子中的b 代换成了a ，我们可能根据“三全看点”中a 、b 间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a －b ＋c ，或为9a ＋3b ＋c ，再任取其一判断，可得3a ＋c<0，不符合．所以本题答案是B ．例4 如图4，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 2 <2，与y 轴相交于(0，－2)．下列结论：①2a ＋b>1；②3a ＋b>0；③a ＋b<2；④b 2＋8a>0；⑤a －b>2．其中正确结论的个数为( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个分析 本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0，－2）”，即c ＝－2．所以本题不少选项中的c 为－2所取代，如在③中要判断a＋b<2是否正确，就是要看a ＋b －2<0是否正确，即判断“a ＋b ＋c ”，所以可以取x ＝1得a ＋b ＋c>0，即a ＋b －2>0，故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a －b ＋c ”与“4a ＋2b ＋c ”，分别取x ＝－1与x ＝2，即知①⑤都是错误的．由④所给的“b 2＋8a>0”可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2－4ac>0即得④正确． 只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x ＝－2b a ，由“抛物线与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 1<2”可知“12<－2b a <32”，且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a ＋b>0”或“3a ＋b<0”，可得②错误．所以本题答案是A ．注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时，更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．例5 从如图5所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab>0；②a ＋b ＋c<0；③b ＋2c>0；④a －2b ＋4c>0；⑤a ＝32b ．你认为其中正确信息的个数有( )(A)2个 (B)3个(C)4个 (D)5个 分析 本题可用“取值法”判断．根据对称轴取（－43，0）、(13，0)两点，再任取与y 轴正半轴上的一个交点(0，1)，可求出 y ＝－94x 2－32x ＋1， 即得a ＝－94，b ＝－32，c ＝1． 把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的． 所以本题答案是D ．注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可，但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究． 例6 如图6所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0），顶点坐标为(1，n)，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）．有下列结论：①当x>3时，y<0；②3a ＋b>0；③－1≤a ≤－23；④83≤n ≤4．其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个分析 本题由对称可知抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)，故①是正确的．由对称轴为直线x ＝－2b a＝1，知b ＝－2a ，则3a ＋b ＝3a －2a ＝a<0，故②是错误的． 这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”．因为“抛物线与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0，2)，(0，3)与(－1，0)，(3，0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为y ＝－23(x －1)2＋83， 和y ＝－(x －1)2＋4， 所以可知－1≤a ≤－23，83≤n ≤4，即③④都是正确的． 所以本题答案是C ．上述方法有时计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握．。

专题01 二次函数图象与系数a 、b 、c 相关结论的判断问题一、单选题1．（2021·山东烟台招远市中考一模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【分析】 从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．【详解】∵从图象上看出,直线x =1与抛物线的交点位于第四象限，∴0a b c ++<，故①正确；∵从图象上看出,直线x = -1时，函数有最大值，y =a -b +c ，当x =0时，函数值为y =c =1，∴1a b c -+>，故②正确；∵-12b a=-＜0， ∴ab ＞0，∵c =1,∴0abc >，故③正确；∵0a b c ++<，b =2a ，∴30a c +<，故④正确；∵1a b c -+>，b =2a ，∴1c a ->，故⑤正确．故选D ．2．（2021·四川广安市中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -≥+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-， ∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．3．（2021·广东肇庆市九年级月考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<．其中结论正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】 观察抛物线与x 轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x =1，即可对③作出判断；观察图象当x =-2时，y >0，从而可对④作出判断；观察图象当x =3时，y <0，从而可对⑤作出判断．【详解】抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，即24b ac >，故①正确；抛物线开口向上，0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧，0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故②正确；12b a-=， 20a b ∴+=，故③错误；2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，即80a c +>，故④错误；根据抛物线的对称性可知，当3x =时，0y <，930a b c ∴++<，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a 的符号、看对称轴的位置可确定b 的符号、看抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，看抛物线与x 轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定2ax bx c ++的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．4．（2021·黑龙江牡丹江市中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c >0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12b a-=， ∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0， ∴ab c>0；故①正确； ∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a∴c =32b ， ∴-3＜32b ＜-2， ∴﹣2＜b 43<-，故②错误； ∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．5．（2021·湖北荆门中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】 解：抛物线开口向下0a ∴<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=⎧⎨++=⎩2am bm a b ∴+=+20am bm a b ∴+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-0am a b ∴++=,(1)am c a m b ∴=+=-0c ∴>110m ∴-<+<10m +<11022m +∴-<< 1022b a∴-<-< 10b a∴>> 0a b ∴<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am ∆=+--222(1)44a m a m a =+-+2244a b b a a a--=-⋅+ 22444b a ab a =+++24()4b a a b a =+++2440b ac a =-+>244ac b a ∴-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．6．（2021·四川达州市中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负 ②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系 ③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图象开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图象与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <00abc ∴>故①正确； ②122b x a =-=得=-a b 0a b ∴+=故②错误；③2y ax bx c =++经过()2,0420a b c ∴++=又由①得c <04230a b c ∴++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等∴ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b =-20a c ∴+=即12c a=- ∴ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确； ⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++ 0a > ∴ 函数有最小值1142a b c ++∴ 21142am bm c a b c ++≥++ 化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．7．（2021·广西福绵九年级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③80a c +>；④30a b +<，其中正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】该函数开口方向向上，则a ＞0，由对称轴可知，b ＝−2a ＜0，与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，再根据一些特殊点，比如x ＝1，x ＝−1，顶点等进行判断即可．【详解】 解：函数开口方向向上，0a ∴>，对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20b a ∴=-<， 抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确，由图象可知，当0x =时，0y c =<，由函数的对称性可知，2x =时，0y c =<，且当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误，当2x =-时，420y a b c =-+>，即80a c +>，故③正确，320a b a b a a +=++=>，故④错误，综上，正确的是①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．8．（2021·山东日照中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 ①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】 解：①抛物线图象开口向上，0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧，a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中a ，b ，c 与函数图象的关系．9．（2021·山东枣庄中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ≠）．正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】 先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】 解：抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c ∴<>， 抛物线的对称轴为122b x a =-=， 0b a ∴=->， 0abc ∴<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将=-a b 代入得：20b c -+=，则结论②正确； 抛物线的对称轴为12x =， 32x ∴=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ， 又当12x ≥时，y 随x 的增大而减小，且3522<， 12y y ∴>，则结论④错误； 由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+， 12m ≠， 214b c am bm c +>++∴， 即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．10．（2021·山东日照九年级月考）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =；⑤若(),m n m n <为方程()()3230a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由函数图象可得，0a <，0b <，0c >， 则0abc >，故①正确；122b a -=-，得a b =， 3x =-时，930y a bc =-+=，60a c ∴+=，6c a ∴=-，33630a c a a a ∴+=-=->，故②正确； 由图象可知，当12x <-时，y 随x 的增大而增大，当102x -<<时，y 随x 的增大而减小，故③错误；抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两个根为13x =-，22x =， 211()0a b c x x ∴+⋅+=的两个根为13x =-，22x =，∴一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =，故④正确；该函数与x 轴的两个交点为(3,0)-，(2,0)，∴该函数的解析式可以为(3)(2)y a x x =+-，当3y =-时，3(3)(2)a x x -=+-∴当3y =-对应的x 的值一个小于3-，一个大于2，∴若m ，()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，故⑤错误； 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．（2021·四川省宜宾市中考一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；93a c b +>；③8720a b c ++>；④若点()13,A y -、点21,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、点37,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该函数图象上，则132y y y <<；⑤若方程(1)(53a x x +-=-)的两根为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <-<<；⑥44a b b a+=-， 其中正确的结论有（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【分析】利用对称轴方程得到−2b a＝2，则b ＝−4a ，于是可对①进行判断；利用x ＝−3时，y ＜0可对②进行判断；利用图象过点（−1，0）得到a −b ＋c ＝0，把b ＝−4a 代入得到c ＝−5a ，则8a ＋7b ＋2c ＝−30a ，然后利用a ＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A 、B 、C 点到对称轴的距离的大小得到y 1＜y 2＜y 3．则可对④进行判断．根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），所以方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断； 根据b ＝−4a ，可对⑥进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝−2b a＝2， ∴b ＝−4a ，即4a ＋b ＝0，所以①正确；∵x ＝−3时，y ＜0，∴9a −3b ＋c ＜0，即9a ＋c ＜3b ，所以②错误；∵抛物线经过点（−1，0），∴a −b ＋c ＝0，而b ＝−4a ，∴a ＋4a ＋c ＝0，则c ＝−5a ，∴8a ＋7b ＋2c ＝8a −28a −10a ＝−30a ，∵a ＜0，∴8a ＋7b ＋2c ＞0，所以③正确；∵点A （−3，y 1）到直线x ＝2的距离最大、点C （72，y 3）到直线x ＝2的距离最小，抛物线开口向下，∴y 1＜y 2＜y 3．所以④错误．∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（−1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），∴抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），∴方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，∴x 1＜−1＜5＜x 2；所以⑤正确；∵b ＝−4a ， ∴()()4145a b b a +=-+-=-，故⑥错误； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图象可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a -=-， 根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图象可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．二、填空题13．（2021·北京师大附中九年级月考）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．【答案】3【分析】根据二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．【详解】解：图象开口方向向上，所以0a >， 对称轴为12b a-=，20b a =-< 图象与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <∴0abc >，①错误；由图象可得，当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，∴30a c +<，②正确；图象与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，③正确；由图象可知，当2x =-时，0y >，又因为(2,)y -关于1x =对称的点为(4,)y∴当4x =时，0y >，即1640a b c ++>，④正确所以正确的个数为3故答案为3【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象确定出对应代数值的符号．14．（2021·湖北新洲九年级月考）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列判断中：①0abc >；②20a b -=；③240b ac ->；④420a b c ++>；其中判断正确的选项是____________．【答案】②③④【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b ＝2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对③进行判断； 利用当x =2时，y ＞0，可对④判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝−1， ∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b ＝2a ，∴20a b -=，所以②正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴Δ＝240b ac ->，所以③正确；∵当x =2时，y ＞0，∴420a b c ++>，所以④正确．故答案是：②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分；图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =-，给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确的是__________．（填序号）【答案】①④【分析】①由图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可以推出b 2﹣4ac ＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a ＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得到c ＞0，由对称轴为x ＝2b a -＝﹣1，可对②进行分析判断；③由x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，可对③进行分析判断；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，即可对④进行判断．【详解】①∵图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， 又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵对称轴为x ＝2b a-＝﹣1， ∴2a ＝b ，∴2a +b ＝4a ，a ≠0，故②错误；③∵x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，故③错误；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用．16．（2021·贵州黔东南中考真题）如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ≠的函数图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点坐标以及过特殊点时系数a 、b 、c 满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴的交点在正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-2b a＜1，又a ＜0，所以2a +b ＜0，故②正确； 当x =-2时，y =4a -b +c ＜0，故③错误；当x =m （1＜m ＜2）时，y =am 2+bm +c ＜2，所以am 2+bm ＜2-c ，故④正确；当x =-1时，y =a -b +c ＜0，当x =1时，y =a +b +c =2，所以-2b ＜-2，即b ＞1，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a 、b 、c 满足的关系是正确判断的前提．17．（2021·山东泰安中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点，∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．18．（2021·山东济宁中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x =，下面结论：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④方程()20y ax bx c a =++≠必有一个根大于1-且小于0．其中正确的是____（只填序号）．【答案】①②④．【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；∵-2b a=1， ∴b =-2a ，∴2a +b =0，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x =1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x =-1时，y =a -b +c ＜0，∴y =a +2a +c ＜0，∴3a +c ＜0，故③错误；故答案为：①②④．19．（2021·湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于两点()1,0x ，()2,0，其中101x <<，下列四个结论①0abc <；②20a c -<；③240a b c ++>；④44a b b a+<-，正确的序号是__________．【答案】①④【分析】根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y 轴的交点可判断①正确；根据图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0）和对称轴的位置可判断②错误；当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，结合对称轴可判断③错误；根据对称轴12b a-＞；可得2a +b ＜0，变形可判断④正确； 【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1， ∴2021222b a ++-＜＜，∴1322b a -＜＜， 当322b a -＜时，b ＞﹣3a ， ∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0，∴b ＝﹣2a 12-c ， ∴﹣2a 12-c ＞﹣3a ， ∴2a ﹣c ＞0，故②错误；③当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ， 给14a 12+b +c 乘以4，即可化为a +2b +4c ， ∵抛物线的对称轴在1322b a -＜＜， ∴x 12=关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间， 由图象可知在32和2之间y 为负值，2和52之间y 为正值， ∴a +2b +4c 与0的关系不能确定，故③错误； ④∵12b a-＞， ∴2a +b ＜0，∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0，4a 2+b 2＞﹣4ab ，∵a ＞0，b ＜0，∴ab ＜0， ∴2244a b ab+-＜， 即44a b b a+-＜， 故④正确．故答案：①④．20．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，下列四个结论：①0abc >；②20a c -<；③()()30a b a b -->；④若m ，n （m n <）为关于x 的方程()()1210a x x x +-+=的两个根，则32m n -<+<-．其中正确的结论是______（填写序号）．【答案】②④【分析】由题意可知，a ＜0，c ＜0，由对称轴可知得出b ＜0，故判断①；由当x ＝−2时，y ＝0和当x ＝−1时，y ＞0可以判断②；由当x ＝−1时，a −b ＋c ＞0和322b a --＞，可以判断③；y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a （x ＋2）（x −x 1）向上平移1个单位得到，对称轴不变，可以判断④．【详解】解：∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，∴抛物线的大致形状为∴a ＜0，对称轴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∴0abc ＜，故①错误；∵当2x =-时，0y =，即420a b c -+=①，当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞②，由①得：24b a c =+，把24b a c =+代入②×2得：2(4)+20a a c c -+＞，整理得：2a c -＜0，故②正确；当1x =-时，+a b c -＞0，∴0a b c --＞＞， 又∵322b a --＞， ∴30＜-a b ，∴()(3)0a b a b --＜，故③错误；∵1(2)()10a x x x +-+=，即y '为21(2)()y ax bx c a a x x =++=+-向上平移1个单位得到，∴12,m n x -＜＞， ∴3122m n +--＜＜， ∴32m n -+-＜＜，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；△决定抛物线与x 轴交点个数：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．。

二次函数经典测试题及解析一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大∵103132-<-<点13,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确． 故选B ．【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】 由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c， 故可得4,0a b c -==①因为0c ，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.5．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x 的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ）A ．010<x <4 B ．011<x <43 C ．011<x <32 D ．01<x <12 【答案】C【解析】【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围．【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ．【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．【详解】①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32 C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D【解析】 分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象. 【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度D ．向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．11．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A3B．﹣3C．﹣3D．﹣3【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B（﹣2,24b ba a），由△AOB为等边三角形，得到2b4a＝tan60°×（﹣2ba），即可求解；【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，∴c＝0，B（﹣2,24b ba a），∵△AOB为等边三角形，∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），∴b＝﹣23；故选B．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③13＜a＜23；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，∴-2＜c ＜-1∵-12b a=， ∴b=-2a ， ∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a ，∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a ，∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ；故④正确；故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．14．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQ St t =⋅⋅=，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】 本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．18．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）A．2 B．4 C．23D．43【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为3：3，故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝63，如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝3，PQ＝22PH HQ+＝39+＝23，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．20．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴, 故③错误；∵.∴B（-c，0）∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，∴， ac2-bc+c=0∴，ac-b+1=0，∴，故②正确；∴，b=ac+1∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。

二次函数有关a 、b 、c 练习题班级_________ 姓名_________一、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判定错误的是（ ）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b（1） （2） （3）二、（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A ．a ＜0B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞03、（2009年广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（2008四川 凉山州）已知二次函数21y ax bx =++的大致图象如图所示，那么函数y ax b =+的图象不通过（ ） A ．一象限B ．二象限C ．三象限D ．四象限（4） （5） （6）五、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个六、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观看得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你以为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7、（2008甘肃兰州）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（7） （8） （9）八、(2009年鄂州)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ， 4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、5九、（2009年黄石市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤10、（2008年陕西省）已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，）， 关于那个二次函数的图象有如下说法： ①图象的开口必然向上； ②图象的极点必然在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右边． 以上说法正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．31一、（2008湖北鄂州）小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观看得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你以为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1二、（2008湖北武汉）下列命题： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．13、（2009年深圳市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确信（11） （13）14、（2008山东 滨州）若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）＜y 2＜y 3 ＜y 1＜y 3 ＜y 1＜y 2 ＜y 3＜y 2 1五、（2008山东东营）若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<1六、(2008 湖北 天门)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论： ①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0，其中正确结论的个数为_________．（16） （17）17、(2008 青海)二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，则点2(4)bA b ac a--，在第 _________象限．1八、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=； ②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 1九、（2009年甘肃庆阳）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）（19）（20）20、(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点别离为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．2一、(2009年湖州)已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且通过点()()212y y -1，，， 试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）。