函数的周期 (1)

1 专题05 函数的周期性和对称性形影不离

【高考地位】

函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

类型一 函数的周期性的判定及应用

万能模板 内 容

使用场景 几类特殊函数类型

解题模板 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形；

第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；

（1）若函数)(xf满足)()(axfaxf，则函数)(xf的周期为a2；

（2）若函数)(xf满足)()(xfaxf或)(1)(xfaxf或)(1)(xfaxf，则函数)(xf 的周期为a2；

第三步 运用函数的周期性求解实际问题.

例1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上 则（ ） A. B. C. D.

【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数fx，任意xyR，，满足22fxyfxyfxfy，且1220ff，，则1290fff的值为（ ）

A．2 B．0 C．2 D．4

【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R上的函数()fx满足1(1)()3fxfx，且当[0,1)x时，()1|21|fxx.若对[,)xm，都有2()81fx，则m的取值范围是（ ） 2 A．10,3 B．11,3

C．13,3 D．143

【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数fx的定义域为1221R,,R,2xxxx，都有120fxfx，且11f，则下列结论正确的是（ ）

函数奇偶性、周期性、对称性（一）

函数的奇偶性、周期性、对称性

一、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足

① f (x) f (x) 函数 f (x) 为偶函数；

② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数 f (x) 为奇函数.

2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像

关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于 y 轴对称，该函数为偶函数.

3．函数奇偶性的性质

①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f (x) 0 ， x

D ，其中定义域 D 是

关于原点对称的非空数集.

②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在

区间 [a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b,

a] 上也是单调递增（减）；

③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相

反.即偶函数 f (x) 在

区间 [a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b,

a] 上也是单调递减（增）；

④任意定义在 R 上的函数 f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即

f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .

2 2

二、函数的周期性

1．函数的周期性定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数

T ，使得定义域内的每一

个 个 x 值，都满足 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这 个函数的周期，应注意 nT （ n Z 且 n

高中数学

高中数学第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性

课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．

识记强化

1．周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(2)y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y＝Asin(wx＋φ)，x∈R及y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数且

A≠0，ω>0)的周期为T＝.2πω3．y＝sinx，x∈R是奇函数，y＝cosx，x∈R是偶函数；sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx.4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．

课时作业

一、选择题1．下列说法中正确的是( )

A．当x＝时，sin≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期π2(x＋π6)π6

B．当x＝时，sin＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期5π12(x＋π6)π6C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期

D．因为cos＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期(π2－x)π2答案：A解析：T是f(x)的周期，对应f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立．2．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )

A. B．3ππ3C. D.2π33π2答案：C

解析：该函数的最小正周期T＝＝.2πω2π3

3．函数y＝cos的最小正周期是( )(π4－x3)

A．π B．6πC．4π D．8π答案：B高中数学

高中数学解析：最小正周期公式T＝＝＝6π.2π|ω|2π

高中数学一轮复习之函数的周期性

第8节 函数的周期性

【基础知识】

1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．关于函数周期性常用的结论

(1)若满足()fxafx＋＝－，则(2)[()]()fxafxaafxafx＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a是函数的一个周期(0a)；

(2)若满足1()()fxafx＋＝，则(2)[()]fxafxaa＋＝＋＋＝ 1()fxa＝()fx，所以2a是函数的一个周期(0a)；

(3)若函数满足1()()fxafx＝-，同理可得2a是函数的一个周期(0a).

（4）如果)(xfy是R上的周期函数，且一个周期为T，那么))(()(ZnxfnTxf．

（5）函数图像关于bxax,轴对称)(2baT．

（6）函数图像关于0,,0,ba中心对称)(2baT．

（7）函数图像关于ax轴对称，关于0,b中心对称)(4baT．

【规律技巧】

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝2π|ω|计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 高中数学一轮复习之函数的周期性 4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．