函数的周期性

函数周期性公式大总结

函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。

一、正弦函数与余弦函数的周期性公式

正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。它们的周期性公式如下：

1. 正弦函数的周期性公式：

\[sin(x+2πn)=sin(x)\]

其中 \(n\) 为整数。这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

2. 余弦函数的周期性公式：

\[cos(x+2πn)=cos(x)\]

同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

二、指数函数的周期性公式

指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：

\[f(x)=a^x\]

其中 \(a\) 为常数，又称为底数。指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。

3. 指数函数的周期性公式：

\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]

其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

三、对数函数的周期性公式

对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：

\[f(x)=log_{a}(x)\]

其中 \(a\) 为底数。对数函数也可以借助模的概念引入周期性。

4. 对数函数的周期性公式：

\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]

其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

四、三角函数的周期性公式

1 函数的周期性

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.

幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.

正弦函数的周期性

动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.

同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期

设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .

按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx .

令ωx = x' 则有 sin （x' + ωL） = sin x'

因为sinx最小正周期是2π，所以有

π2π2LL

例如 sin2x的最小正周期为π2π2

sin2x的最小正周期为π421π2

3、正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性

对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.

它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是π2L.

如2π3sinxy的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是3π2.

于是，余弦函数2πsin2πsincosxxxy的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx 题根研究

2 后者周期变为)0(π2

一:有关周期性的讨论

在已知条件faxfbx或

fxafxb中,

1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如axbxab,说明fx()的图像具有对称性,其对称轴为2bax;

2等式两端的两自变量部分相减得常数,如xaxbab,说明 fx的图像具有周期性,其周期T=a+b;

设a为非零常数,若对于)(xf定义域内的任意x恒有下列条件之一成立

周期性规律 对称性规律

1)()(axfaxf aT2 1)()(xafxaf ax

2)()(axfxf aT 2)()(xbfxaf 2bax

3)()(xfaxf aT2 3 )()(xbfxaf 2bax

4)(1)(xfaxf aT2 4 )()(xbfxaf 中心点)0,2(ba

5)(1)(xfaxf aT2 5 )()(xafxaf 为对称中心点)0,(a

61)(1)()(xfxfaxf aT2

7 1()()1()fxfxafx aT2

8 1()()1()fxfxafx aT4

9 )(1)(1)(xfxfaxf aT4

10 )()()(axfaxfxf, 0a aT6 11 若函数)(xf同时关于直线ax, bx对称则函数)(xf的周期abT2

12 若函数)(xf同时关于点)0,(a, )0,(b对称,则函数)(xf的周期abT2

13 若函数)(xf同时关于直线ax 对称,又关于点)0,(b对称)0(b则函数)(xf的周期abT4

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页专题1函数的奇偶性，周期性，对称性

知识梳理【题型解读】

【知识储备】一．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都

有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称

奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都

有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称

二.关于函数对称性的结论扩充

1.若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔对定义域内任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)⇔对定义域内任意x都

有f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x＋a)是偶函数。

2．函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)

⇔y＝f(x＋a)是奇函数。

3．若函数y＝f(x)对定义域内任意x都有f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象的对称轴是x＝a＋b

2。

4．若函数y＝f(x)对定义域内任意x都有f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象的对称中心为

22abc

（，）

。

5．函数y＝f(|x－a|)的图象关于x＝a对称。

三．关于函数周期性的结论扩充

1.若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)。

2．若满足f(x＋a)＝1

fx，则f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝1

fx＋a＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)。

3．若函数满足f(x＋a)＝－1

fx，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0)。

4．如果y＝f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)＝f(x)(n∈Z)。

5．f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a。

分析：f(x)＋f(x＋a)＝k，f(x＋a)＋f(x＋2a)＝k，两式相减可得：f(x＋2a)＝f(x)。