2018年北京市房山区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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2018年北京市房山区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{y|y＝2x+1，x∈M}，则集合M∩N
等于（ ）
A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，
2}
2．（5分）已知x，y
满足约束条件，那么x+3y的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．（5分）下列函数中，与函数y＝x3的单调性和奇偶性相同的函数是（ ）
A．y＝ B．y＝lnx C．y＝tanx D．y＝ex﹣e﹣x
4．（5分）阶乘（factorial）是基斯顿•卡曼于1808年发明的运算符号，n的阶乘
n!＝1×2×3×…×n．例如：2!＝1×2，3!＝1×2×3．执行如图所示的程序
框图．则输出n!的值是（ ）
A．2 B．6 C．24 D．120
5．（5分）圆x2+y2＝4被直线y＝﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，
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则b的值（ ）
A．±2 B． C．2 D．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为（
）
A．8 B．2 C．2 D．2
7．（5分）“a＞2”是“函数f（x）＝log
ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）
＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为2个的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的
数为2．第二位同学首次报出的数也为2，之后每位同学所报出的数都是前两
位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手
一次，当第27个数被报出时，五位同学拍手的总次数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）抛物线x2＝4y的焦点到双曲线x
2的渐近线的距离为 ．
10．（5分）如果复数（2+i）（1﹣mi）（其中i是虚数单位）是实数，则实数m＝ ．
11．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞1，则￢p为 ．
12．（5分）已知||＝1，||＝2，且与
的夹角为，则|﹣2|＝ ．
13．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①周期为π；②值域为[0，1]；
③f（x）﹣f（﹣x）＝0．试写出一个满足条件的函数解析式f（x）＝ ．
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14．（5分）设函数f（x
）＝则
①f（）＝ ；
②若f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知数列{a
n}是等差数列，a
3+a
8＝37，a
7＝23．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n＝a
n+2n，求数列{b
n}的前n项和S
n．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB
＝0．
（1）求角B的值；
（2）若b＝，a+c＝5，求△ABC的面积．
17．（14分）2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质
量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府
对治理雾霾采取了有效措施，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或
煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解
农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进
行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间（0，5]
内，将数据按区间列表如下：
分组 频数 频率
（0，1] 14 0.14
（1，2] x m
（2，3] 55 0.55
（3，4] 4 0.04
（4，5] 2 0.02
合计 100 1
（Ⅰ）求表中x，m的值；
（Ⅱ）若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用
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气量；
（Ⅲ）从用气量高于3千立方米的用户中任选2户，进行燃气使用的满意度调查，
求这2户用气量处于不同区间的概率．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三
角形，PD＝CD＝，PC＝2，
BCAD，CD⊥AD．
（Ⅰ）若E为PD中点，求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（13分）已知椭圆C
：过点（0，﹣1）
，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，l与椭圆C交于M，N两点，
若线段MN的垂直平分线交x轴于点P，求证：|MN|＝2．
20．（13分）已知函数f（x）＝（2x+1）lnx
﹣﹣2x，l为曲线C：y＝f（x）
在点（1，f（1））处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）＝f′（x）+x﹣a，若关于x的不等式g（x）＜0有解，求实数a
的取值范围．
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2018年北京市房山区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{y|y＝2x+1，x∈M}，则集合M∩N
等于（ ）
A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，
2}
【解答】解：集合M＝{﹣1，0，1，2}，
N＝{y|y＝2x+1，x∈M}＝{﹣1，1，3，5}，
所以M∩N＝{﹣1，1}．
故选：A．
2．（5分）已知x，y
满足约束条件，那么x+3y的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解：作出x，y
满足约束条件表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z＝x+3y，将直线进行平
移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z
最大值＝1+2×3＝7．
故选：C．
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3．（5分）下列函数中，与函数y＝x3的单调性和奇偶性相同的函数是（ ）
A．y＝ B．y＝lnx C．y＝tanx D．y＝ex﹣e﹣x
【解答】解：根据题意，函数y＝x3为奇函数，在R上增函数，据此分析选项：
对于A，y＝，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称，为非奇非偶函数，不
符合题意；
对于B，y＝lnx，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，为非奇非偶函数，不
符合题意；
对于C，y＝tanx，为正切函数，是奇函数但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，y＝ex﹣e﹣x，f（﹣x）＝ex﹣e﹣x＝﹣（e﹣x﹣ex）＝﹣f（x），f（x）为奇函
数，且f′（x）＝ex+e﹣x≥2，为增函数，符合题意；
故选：D．
4．（5分）阶乘（factorial）是基斯顿•卡曼于1808年发明的运算符号，n的阶乘
n!＝1×2×3×…×n．例如：2!＝1×2，3!＝1×2×3．执行如图所示的程序
框图．则输出n!的值是（ ）
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A．2 B．6 C．24 D．120
【解答】解：当k＝1时，满足进行循环的条件，n＝2，k＝2；
当k＝2时，满足进行循环的条件，n＝3，k＝3；
当k＝3时，满足进行循环的条件，n＝4，k＝4；
当k＝4时，满足进行循环的条件，n＝5，k＝5；
当k＝5时，不满足进行循环的条件，
故输出的n!＝5!＝120，
故选：D．
5．（5分）圆x2+y2＝4被直线y＝﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，
则b的值（ ）
A．±2 B． C．2 D．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
若圆x2+y2＝4被直线y＝﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，
则圆心到直线的距离d
＝＝1
，即＝1，
解可得b＝±2，
故选：A．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视
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图，则该多面体的表面积为（
）
A．8 B．2 C．2 D．2
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为2的一部分，A
﹣BCD，
三棱锥的表面积为：＝2．
故选：D．
7．（5分）“a＞2”是“函数f（x）＝log
ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）
＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为2个的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，当a＞2时，函数f（x）＝log
ax（a＞0，且a≠1）的图
象与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象如图，
有2个交点，
则“a＞2”是“函数f（x）＝log
ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）＝x2
﹣4x+4的图象的交点个数为2个”的充分条件，
反之：若“函数f（x）＝log
ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）＝x2﹣4x+4
的图象的交点个数为2个”，
则函数f（x）＝log
ax为增函数，则a＞1，
