2019-2020人教A版数学必修2第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

学

习

目 标 核 心 素 养

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．

2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．

3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．

2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.

1．倾斜角的相关概念

(1)两个前提：

①直线l与x轴相交；

②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；

③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

(2)作用：

①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；

②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

思考：下图中标的倾斜角α对不对？

[提示] 都不对．

2．斜率的概念及斜率公式

(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．

(2)记法：k＝tan α．

(3)斜率与倾斜角的对应关系．

图示

倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°

斜率

(范围) 0 (0，＋∞)

不存在 (－∞，0)

(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1．

思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

[提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.

1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )

A．45° B．135° C．0° D．无法计算

B [根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]

2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )

A．0° B．45° C．60° D．90°

A [∵k＝04＝0，∴θ ＝0°.]

3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )

A．5 B．8 C．132 D．7

C [由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]

4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )

A．33 B．3 C．1 D．22

A [由题意可知，k＝tan 30°＝33.]

直线的倾斜角

【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°

D [根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )

A．α B．180°－α

C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

故选D.]

直线的斜率

【例2】 (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为( )

A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)

C．(2，0) D．(0，－8)

(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )

A．(－1，0] B．[0，1]

C．[1，2] D．[0，2]

(1)B (2)D [(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝43－x或kAB＝4－y3，∴43－x＝4或4－y3＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．

(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]

解决斜率问题的方法

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．

(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．

(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．

2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．

(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．

(1)－5 (2)1 [(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.

(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]

直线倾斜角与斜率的综合

[探究问题]

1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？

[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2.

2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？

[提示] 当k＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角；

当k＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角；

当k＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.

【例3】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB

与PA的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围

[解] 如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.

(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

将本例变为： 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．

[解] 如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝3－23－（－4）＝17，kAC＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.

1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到

斜率的范围．

2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．

3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．

直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

垂直于x轴

α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°

k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0

k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

C [由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]

2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．

1±52 [依题意：kAB＝kAC，即a－02－1＝1－0a－1，

解得a＝1±52.]

3．经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)

(0°，90°] [当m＝1时，倾斜角α＝90°，当m>1时，tan α＝3－2m－1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]

4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．

[解] l2的斜率为6－38－5＝1，∴l2的倾斜角为45°，

由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.