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函数的概念及定义域、值域基本知识点总结

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函数的概念及定义域、值域基本知识点总结

函数概念

1．映射的概念

设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质BA、fABABBAf:BA、fAxBABAxxfy),((2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；

（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；

（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．

上述三个对应是A到B的映射．

例2．若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个

例3．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（ ）

()A8个 ()B12个 ()C16个 ()D18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1），；

（2）， Axxfy),(xxA)(xfyxyAxxf)()(xfy2)(xxf33)(xxgxxxf)(;01,01)(xxxg（3），（n∈N*）；

（4），；

（5），

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数满足，求（三种方法）

例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为

题型2：求抽象函数解析式

例1．已知函数满足，求

函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.（08年湖北）函数的定义域为( )

A.;B.；C. ;D.

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域 1212)(nnxxf1212)()(nnxxgxxf)(1xxxxg2)(12)(2xxxf12)(2tttg)]([xgf)(xf)(xf564)12(2xxxf)(xf)11(xxf2211xx)(xf)(xfxxfxf3)1(2)()(xfx)(xf)4323ln(122xxxxx),2[)4,()1,0()0,4(]1,0()0,4[,)1,0()0,4[,例1．（2007·湖北）设，则的定义域为（ ）

A. ；B. ；C. ；D.

例2．已知函数的定义域为，求的定义域

例3．已知的定义域是，求函数的定义域

例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域

考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数，可变为解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

如函数就是利用函数和的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数的值域

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（－48）

（9）对勾函数法 像y=x+mx，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x [-1,0)(0,4],求值域 xxxf22lgxfxf224,00,44,11,42,11,24,22,4)(xfy][ba，)2(xfy)2(xfy][ba，)(xfy4cos2sin2xxy2)1(cos4cos2sin22xxxy)32(log221xxyuy21log322xxu22122xxxy]2133,2133[432xxy])2,1[(2224xxxy （2）如 44yxx，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）

（3）如 123yxx ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间

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函数的定义域和值域

函数的定义域和值域

第 1 页 共 24 页 函数的定义域、值域

一、知识回顾

第一部分：函数的定义域

1.函数的概念：

设集合A是一个非空的数集，对于A中的任意一个数x，按照确定的法则f，都有唯一的确定的数y与它对应，则这种关系叫做集合A上的一个函数，记作xfy，(Ax)其中x叫做自变量，自变量的取值范围（数集A）叫做这个函数的定义域.

如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作)(afy或axy，所有的函数值所构成的集合Axxfyy),(叫做这个函数的值域.

2.定义域的理解：

使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示.

3.区间表示法：设a，Rb，且ba.

满足bxa的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作ba,.

满足bxa的全体实数x的集合，叫做开区间，记作ba,.

满足bxa或bxa的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间，记作baba,,或.ba与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.

4.基本思想：使函数解析式有意义的x的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.

5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义.

（1）分式的分母不为零.

（2）偶次方根式的大于等于零.

（3）对数数函数的真数大于零.

（4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1.

（5）正切函数的角的终边不能在y轴上.

（6）零次幂的底数不能为零.

第 2 页 共 24 页 （7）分段函数：

①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

（8）复合函数定义域的求法：

①已知)(xfy的定义域是A，求xfy的定义域的方法为解不等式：Ax)(，求出x的取值范围.

小学数学函数知识点总结

小学数学函数知识点总结

小学数学函数知识点总结

函数是数学中非常重要的一个概念，它在小学阶段的数学学习中占据着重要地位。了解函数的定义、性质及其应用，对于解决数学问题和提高数学思维能力都具有重要作用。本文将对小学数学函数的知识点进行总结。

一、函数的定义

函数是一个集合之间的关系，它将某个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。在小学数学中，我们通常用代数式表示函数关系，如y

= f(x)。其中，x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数关系。函数关系可以用表格、图像以及公式等形式来表示。

二、函数的性质

1. 定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围。对于小学数学来说，通常要求函数的定义域是实数集或某个给定的数集。

2. 值域：函数的值域是指因变量的取值范围，也就是函数在定义域内实际能够取到的值。

3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内是否单调递增或单调递减。可以通过求导数或观察函数图像来确定函数的单调性。

4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系是否满足f(-x) = f(x)。如果满足，则函数为偶函数；如果不满足，则函数为奇函数。 5. 对称轴：对于偶函数来说，它存在对称轴，对称轴是y轴；对于奇函数来说，它不存在对称轴。

三、常见的函数类型

1. 线性函数：线性函数是函数关系y = kx + b，其中k和b分别是常数。线性函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和斜率大小，截距b决定了直线和y轴的交点位置。

2. 平方函数：平方函数是函数关系y = x²，其中x为任意实数。平方函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。平方函数的顶点为坐标原点(0, 0)，函数图像关于y轴对称。

3. 开方函数：开方函数是函数关系y = √x，其中x为非负实数。开方函数的图像是一个开口朝右上方的抛物线。

4. 绝对值函数：绝对值函数是函数关系y = |x|，其中x为任意实数。绝对值函数的图像是一条折线，以原点为转折点。

5. 倒数函数：倒数函数是函数关系y = 1/x，其中x不等于0。倒数函数的图像是一个以原点为中心、经过第一象限和第三象限的两个拱形曲线，两个拱形曲线分别趋近于0。

高中数学函数的定义域及值域

高中数学函数的定义域及值域

高中数学函数的定义域及值域1500字

函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。

为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。

首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。

1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。

2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。

3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。

4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。

除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。

在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。

高中数学函数知识点(详细)

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精品文档

. 第二章 函数

一．函数

1、函数的概念：

〔1〕定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=)(xf，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{)(xf| x∈A }叫做函数的值域．

〔2〕函数的三要素：定义域、值域、对应法那么

〔3〕相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2、定义域：

〔1〕定义域定义：函数)(xf的自变量x的取值范围。

〔2〕确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

〔3〕确定函数定义域的常见方法：

①假设)(xf是整式，那么定义域为全体实数

②假设)(xf是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数

例:求函数xy111的定义域。

③假设)(xf是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数

例1． 求函数 2143432xxxy的定义域。

例2． 求函数02112xxy的定义域。

④对数函数的真数必须大于零

⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1

⑥假设)(xf为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10xx

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

〔4〕求抽象函数〔复合函数〕的定义域

函数)(xf的定义域为[0,1]求)(2xf的定义域

函数)12(xf的定义域为[0,1〕求)31(xf的定义域

3、值域 :

〔1〕值域的定义：与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

〔2〕确定值域的原那么：先求定义域

〔3〕常见根本初等函数值域：