二次函数顶点坐标公式

二次函数顶点坐标公式

本文是（）书信函频道为

大家整理的《二次函数顶点坐标公式》，

供大家学习参考。

二次函数顶点坐标公式

(一)

二次函数顶点坐标公式

二次函数作为中考的一个重要知识

点，通常会在选择题或者最后的大题出

现，一直也是老师同学们注重的一个知

识点，为了方便大家的学习，以下是为

大家整理提供的二次函数顶点坐标公

式、考点和二次函数常用公式：

考点：

1．会用描点法画出二次函数的图

象．

2．能利用图象或配方法确定抛物线

的开口方向及对称轴、顶点的位置．

3．会根据已知图象上三个点的坐标

求出二次函数的解析式．

二次函数顶点坐标公式(二)

二次函数顶点坐标公式推导

二次函数顶点坐标公式推导一般

式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)+k[抛物线的顶点P（h，

k）]对于二次函数y=ax+bx+c其顶点坐

标为 (-b/2a,(4ac-b)/4a)推导：

y=ax+bx+c y=a(x+bx/a+c/a)

y=a(x+bx/a+b/4a+c/a-b/4a)

y=a(x+b/2a)+c-b/4a

y=a(x+b/2a)+(4ac-b)/4a对称轴x=-b/2a

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b)/4a)

二次函数顶点坐标公式(三)

二次函数顶点坐标公式

一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常

数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)+k

[抛物线的顶点P（h，k）]

对于二次函数y=ax+bx+c

其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b)/4a)

交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于

与x轴有交点A（x₁ ，0）和 B（x₂，

0）的抛物线]

其中x1，2= -b±√b－4ac

注：在3种形式的互相转化中，有

如下关系:

______

h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b)/4a

与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b-4ac)/2a

二次函数顶点坐标公式(四)

二次函数的顶点坐标公式教学设计

二次函数的顶点坐标公式教学设计

教学目标：

1.知识：(1)自主探索y= ax2+bx+c（a

≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最

值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和

顶点坐标公式的必要性.

2.能力:（1）会应用配方法把二次函

数的一般式化为顶点式.

（2）会熟练运用配方法和公式法解

决有关二次函数的实际问题.

3.情感与价值观: (1)进一步体会从

简单到复杂，从一般到特殊的数学思想

方法.(2)体会数学与生活的密切联系，激

发学生学习的兴趣，发展学以致用的精

神.

教学重点:

运用二次函数的顶点坐标公式和对

称轴方程解决有关实际问题. 教学难点:

把实际问题转化为数学问题的过程

教学方法:引导探索发现法

教学过程:

一、 创设情境，引入新课

在前几节课，我们学习了二次函数

y=a（x-h）+k（a≠0）的图象及性质，而

我们第4节的课题是：y= ax+bx+c（a≠0），

（北师大版九年级数学下册），它们之间

又是什么关系？你能解决下列问题吗？

1．你能把y=a（x-h）2+k（a≠0）

化成y= ax2+bx+c（a≠0）的形式吗？（去

括号，合并同类项）反之你能把y=

ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x-h）222+k

（a≠0）的形式吗？

2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

的求根公式是什么？是如何得到的？

（复习配方法）

二、引导探索，学习新课

1．用配方法把y= ax2+bx+c化成y=a

（x-h）2+k（a≠0）的形式. y= ax2+bx+c

=a（x2+ x）+c（化二次项系数为1，

最好不要把常数项括到括号里） = a[x2+

x+（ ）2-（ ）2]+c.（配方）

=a（x+ ）2- +c=a（x+ ）2+ .（合并

同类项）

2.顶点坐标公式

22比较y=a（x+ ）+ 与y=a（x-h）

+k发现,此时h=- ，k= ；故y= ax2+bx+c

（a≠0）的顶点坐标公式是（- ， ），

对称轴方程：x=- ，最值公式：y= ；当

且仅当x=- 时，函数有最大或最小值y= .

三、议一议

3．你能把y=2x+4x+3化成顶点式

吗？ y=2（x+1）+1的顶点到x轴的距离

是多少？到y轴的距离是多少？把y=2

（x+1）2+1的图象向右平行移动2个单

位长度，得到新抛物线的解析式是什

么？这两条抛物线的位置有什么关系？

原抛物线与新抛物线的最低点之间的距

离是多少？

设计说明:议一议的自主学习，旨在

为学习教材中的例题（下面的做一做）

做铺垫，该议一议具有抛砖引玉的启发

引导作用，相信必能收到水到渠成的过

渡效应。

四、做一做:

如图1所示为桥梁的两条钢缆具有

相同的抛物线形状.按照力中的直角坐标

系,左面的一条抛物线可以用

y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且两条

抛物线关于y轴对称.

(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是

多少?

(2) 两条钢缆是低点之间的距离是

多少?

(3) 你能写出图示中,右面钢缆的

表达式吗?

(4) 你是怎样计算的?与同伴进行

交流.

五.拓展延伸 22

1．你能分别写出抛物线y=2（x+1）

+1关于y轴和x轴对称的抛物线的表达

式吗?

一般结论：关于y轴对称，开口方

向不变(二次项系数不变)，只是顶点改变

为关于y轴对称即可；关于x轴对称，

开口方向相反(二次项系数改变为原二次

项系数的相反数)，顶点改变为关于x轴

对称.

2．将y=-x2+2x+5先向下平移1个单

位长度，再向左平移4个单位长度，平

移后的解析式是什么？

∵y=-x2+2x+5=-（x2-2x+1-1）+5=-

（x-1）2+6

∴该抛物线的顶点坐标为（1，6）

∴把点（1，6）先向下平移1个单

位，再向左平移4个单位长度后得到点

（-3，5），又由于是平行移动，所以二次

项系数不变，即a=-1，故所得抛物线的

解析式为y=-（x+3）2+5；亦即新抛物线

的解析式为：y=-（x-1+4）2+6-1=-（x+3）

2+5.

一般地，把y=a（x-h）2+k的图象先

向下平移k1个单位，再向左平移

h1个单位，得到新抛物线的解析式

为：y=a（x-h+h1）2+（k-k1）；把y=a

（x-h）2+k的图象先向上平移k1个

单位，再向右平移h1个单位，得到新抛

物线的解析式为：y=a（x-h-h1）2+

（k+k1），即如果是上移k1个单位，则

给顶点纵坐标加k1，如果是下移k1

个单位，则给顶点纵坐标减k1，如果是

2

左移h1个单位，则给顶点横坐标加

h1个单位，如果是右移h1个单位，则给

顶点横坐标减h1个单位.

二次函数顶点坐标公式(五)

二次函数顶点坐标公式

函数在数学中占有很大的比例，但

是函数的学习却很复杂。其考察的内容

有很多方面，开口方向、对称轴及坐标

公式都是考察的重点。下面小编为大家

整理了二次函数顶点坐标的相关公式，

希望能帮到大家。

一、基本简介

一般地，我们把形如

y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常

数，a≠0)的函数叫做二次函数，

其中a称为二次项系数，b为一次项系

数，c为常数项。x为自变量，y为因变

量。等号右边自变量的最高次数是2。

主要特点

变量不同于未知数，不能说二次函

数是指未知数的最高次数为二次的多项

式函数。未知数只是一个数(具体值未知，

但是只取一个值)，变量可在一定范围内

任意取值。 在方程中适用未知数的概

念(函数方程、微分方程中是未知函数，

但不论是未知数还是未知函数，一般都

表示一个数或函数

——也会遇到特

殊情况)，但是函数中的字母表示的是变

量，意义已经有所不同。从函数的定义

也可看出二者的差别.如同函数不等于函

数关系。

二次函数图像与X轴交点的情况

当△=b²-4ac;0时，函数图

像与x轴有两个交点。

当△=b²-4ac=0时，函数

图像与x轴只有一个交点。

当△=b²-4ac0时，函数图

像与x轴没有交点。

二、二次函数图像

在平面直角坐标系中作出二次函数

y=ax+bx+c的图像，可以看出，二次函

数的图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误，那么二次函数

图像将是由一般式平移得到的。

轴对称

二次函数图像是轴对称图形。对称

轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点

为二次函数图像的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像

的对称轴是y轴(即直线x=0)。

a,b同号，对称轴在y轴左侧.

a,b异号，对称轴在y轴右侧.【二次

函数顶点坐标公式】

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为

P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).

当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P

在x轴上。即可表示为顶点式

y=a(x-h)²+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b²)/4a。

开口方向和大小