高中数学：第1章 解三角形 §1.1-§1.1.2

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DOC版. 1.1.2 余弦定理

课时过关·能力提升

1已知在△ABC中,a∶b∶c=1∶1∶√3,则cos

C的值为( )

A.23 B.-23 C.12 D.-12

答案D

2在△ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

解析由2cosBsinA=sinC,得𝑎2+𝑎2-𝑎2𝑎𝑎·a=c,

所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.

答案C

3已知在△ABC中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC上的高是( )

A.3√22 B.3√32 C.32 D.3√3

解析由余弦定理,得

cosA=𝑎𝑎2+𝑎𝑎2-𝑎𝑎22𝑎𝑎·𝑎𝑎=9+16-132×3×4=12.

∴sinA=√32.

∴S△ABC=12AB·AC·sinA

=12×3×4×√32=3√3.

设边AC上的高为h,

则S△ABC=12AC·h=12×4×h=3√3.

∴h=3√32.

答案B

4已知在△ABC中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin∠BAC=( )

A.√1010 B.√105 C.3√1010 D.√55 ..

DOC版. 解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理𝑎𝑎sin∠𝑎𝑎𝑎=𝑎𝑎sin∠𝑎𝑎𝑎,即√5√22=3sin∠𝑎𝑎𝑎,所以sin∠BAC=3√1010.

答案C

5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是

三角形.

解析因为∠B=60°,b2=ac,

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,

得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.

又∠B=60°,

所以△ABC是等边三角形.

高

一

数

学

教

案

(必修五)

重庆铁路中学陈昭旭

数学5 第一章解三角形

课题:§1．1．1正弦定理

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B

Ⅱ.讲授新课

[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc, A

则sinsinsinabccABC b c

教学设计表

学科 数学 授课年级 九年级 学校 教师姓名

章节名称 28.2解直角三角形1 计划学时 1学时

学习内容分析 本节在归纳了直角三角形中边角关系的基础上，给出了直角三角形的解法，它既是前面所学知识的运用，另外由于解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，因而正确理解直角三角形的边角关系并运用它们解直角三角形既是本节课的教学重点也是教学难点。本节的学习还蕴含着深刻的数学思想方法（转化化归），教学中有针对性地对学生进行这方面渗透，有利用学生数学思维能力的提高。

学习者分析 九年级学生有一定的推理和分析能力。学生已经学习了二次根式的运算， 一元二次方程的解法，全等三角形，相似三角形等相关知识，特别是前面锐角三角函数知识的运用，这些都为解直角三角形的应用的学习打下了一定的基础。这节课里，学生将实际问题抽象为数学问题的能力，“数形转化”的能力，以及实数运算的能力还需要进一步提高。

教学目标 课程标准：新课标要求，学生会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

知识与技能：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

情感、态度与价值观：

培养学生合作意识和严谨的科学态度，渗透转化化归的数学思想。

教学重点及解决措施 教学重点：直角三角形的解法 教学难点及解决措施 教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用

教学设计思路 学生在以前的学习中，已经知道了勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，用锐角三角函数解直角三角形渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯，使学生感受数学源于生活、用于生活的思想，体验数学知识的应用价值。

依据的理论 坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，根据学生的心理发展规律，采用学生参与程度高的学导式讨论教学法。

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．

2、正弦定理的变形公式：

①2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；

③::sin:sin:sinabcC；

④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．

3、三角形面积公式：

111sinsinsin222CSbcabCac．

4、余弦定理：

在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，

2222coscababC． 5、余弦定理的推论：

222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．

6、简单的判断三角形

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若222abc，则90C；

②若222abc，则90C；

③若222abc，则90C．

7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：

（1）两类正弦定理解三角形的问题：

第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

第1、已知三边求三角.

第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

8．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。