代数知识点

整式乘除

一、整式的乘法与除法

1、同底数幂的乘法：mnmnaaa（m,n都是正整数）即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；

2、幂的乘方：nmmnaa（m,n都是正整数）

即：幂的乘方，底数不变，指数相乘；

3、积的乘方：nnnabab（n是正整数）

即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘；

4、整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；

②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得

的积相加；

4、整式的除法：

（1）同底数幂的除法：mnmnaaa（a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n）即：同底数幂相除，底数不变，指数相减；

（2）规定：01(0)aa即：任何不等于0的数的0次幂都等于1；

（3）整式的除法：①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则把连同它的指数作为商的一个因式；

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加；

二、整式的乘方

（1）平方差公式：22ababab

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；

（2）完全平方公式：

222222()2()2abaabbabaabb

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；

（3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；

因式分解

一、知识点

（1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解

因式）；

（2）公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；

（3）因式分解的方法：

提公因式法：关键在于找出最大公因式

因式分解：

平方差公式：a² -b² =(a + b)(a - b)

公式法

完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab +b²

(a - b)² = a² + 2ab +b²

知识点一 分式及其运算

1、分式的概念及性质：

定义 示例剖析

分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫分子，B叫分母且0B． 例如211aax，

分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即0B． 使1x有意义的条件是0x

分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．

即当0A且0B时，0AB．

使11xx值为0的x值为1

2、约分：

（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．

【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．

3、最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。

【注意】约分时，一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式。

4、有理式：整式和分式统称为有理式。

5、分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为(0)AACCBBC或(0)AACCBBC，其中A，B，C均为整式。

6、通分及通分法则

（1）通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。

（2）通分法则

把两个或者几个分式通分：

①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）；

②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式。

7、 分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

8、分式的四则运算和化简：

（1）分式的加减法法则

①同分母分式：分母不变，分子相加减。

ababccc

②异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减。 acadbcadbcbdbdbdbd

注：分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。

【方法总结】

本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

（2）分式的乘除运算法则

①分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

acacbdbd

②分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置再后与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。

acadadbdbcbc

③分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

nnnnnnaaaaaaaabbbbbbbb个个个，即nnnaabb

【方法总结】

分式的乘除法：先把除法化为乘法运算，再把各分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最简分式或整式。

注意：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算。

（2）分式的混合运算法则

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。遇到括号，先算括号里面的。分式运算的结果要化成整式或最简分式。

9、分式的化简求值

先把分式化简，再把未知数对应的值代入化简后的式子求值。

注：在化简过程中要注意运算顺序，运算的结果要化成最简分式或整式。

【方法总结】 （1）先把分式化简成最简分式或整式，再代入求值，不能直接把值代入原分式中求解；

（2）代入求值时，不可缺少必要的步骤，一般模式为：“当……时，原式=……”。

知识点二 分式方程及其应用

1、 分式方程的概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

【注意】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据。

2、分式方程的一般解法：

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);

（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;

（3）验根（分式方程的检验方法）：将整式方程的根代入最简公分母：

如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；

如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解。

【注意】解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。

3、分式方程的特殊解法

换元法：是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

4、分式方程的增根：当最简公分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的

增根。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根。

5、分式方程无解

分式方程无解的情况：

（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解； （2）解出的整式方程的根是增根.

6、分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等。

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等。

（2） 列分式方程解应用题的一般步骤：

① 审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；

② 设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；

③ 找：找等量关系；

④ 列：列出方程；

⑤ 解：求出所列方程的解；

⑥ 验：双检验。①一验分式方程，检验是否是分式方程的解；②二验实际问题检验解是否符合题意；

⑦ 答：写出答案。