《实变函数》第四章 可测函数
- 格式：doc
- 大小：1.12 MB
- 文档页数：15
第1页（共15页） 第四章 可测函数（总授课时数 14学时）
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨
论其性质和结构.
§1 可测函数及其性质
教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质
教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好
的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.
本节难点 可测函数与简单函数的关系.
授课时数 4学时
——————————————————————————————
1可测函数定义
定义：设()fx是可测集E上的实函数(可取)，若[],faaRE可测，则称()fx是E上的可测函数.
2可测函数的性质
性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集
性质2 简单函数是可测函数
若1niiEE (iE可测且两两不交），()fx在每个iE上取常值ic，则称()fx是E上的简单函数；
1()()iniEifxcx 其中1()0iiEixExxEE
注：Dirichlet函数是简单函数
性质3 可测集E上的连续函数()fx必为可测函数
设()fx为E上有限实函数，称()fx在0xE处连续
00(,)((),)0,0,()xfxfOEO若使得
对比：设()fx为,ab上有限实函数，0()(,)fxxab在处连续
00lim()()xxfxfx若 第2页（共15页） 000,0,|||()()|xxfxfx即当时，有
00(,)((),)0,0,()xfxxOfxO即当时，有
00(,)((),)0,0,()xfxfOO即使得
()fx在0[,]xab处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
证明：任取xEfa, 则fxa,由连续性假设知，
对(),0,xfxa使得
(,)((),)()(,)xxfxfOEOa
即(,)[]xxfaOEE.令[](,)xfaxxEGO则G为开集，当然为可测集，
且另外
[][](,)(,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE
所以
[][](,)()xfafaxxEEOEGE，
故[]faEGE为可测集
性质4 R中的可测子集E上的单调函数()fx必为可测函数。
证明：不妨设f单调增，对任意aR令inf{|()}aIxfxa. 由f单调增知下面的集合为可测集
[][,){|()}(,){|()}aafaaaEIIxfxaEEIIxfxa当当
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设()fx是可测集E上的实函数，则()fx在E上可测
（即（1）[],faaRE可测）
[](2),faaRE可测
[](3),faaRE可测
[](4),faaRE可测 第3页（共15页） [](5),,,afbabRabE可测（充分性要求|()|fx）
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
[]11[]fanfanEE， [][][]1()faafanfnEEE，
[]11[]fanfanEE， [][][]afbfafbEEE
对前面等式的说明
[]1111[][]()fannfafannEEE，
1111[,)(,)([,))nnaaann
1111(,)[,)((,))nnaaann，
[]1111[][]()fannfafannEEE
⒋ 可测函数的性质
⑴ 可测函数关于子集、并集的性质
若()fx是E上的可测函数, 11,EEE可测，则()fx限制在1E上也是可测函数；
反之，若1nnEE , ()fx限制在nE上是可测函数，则fx在E上也是可测函数。
1[][]1[][]1fafafanfanEEEEE
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设()()fxgx ..ae（almost everywhere）于E，()fx在E上可测，
则()gx在E上也可测
若0fgmE,则称()()fxgx在E上几乎处处成立,记作()()fxgx ..ae于E.
证明：令12,fgfgEEEE，则10mE，从而()gx在1E上可测，
另外()fx在2E上可测，从而()gx在2E上也可测 ，进一步gx在12EEE上也可测.
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵ 可测函数类关于四则运算封闭 第4页（共15页） 若(),()fxgx是E上的可测函数,则()(),fxgx()(),fxgx()(),fxgx
()/()fxgx仍为E上的可测函数.
证明：只要证,fgafagaREE可测，任取fagxE，则fxagx
从而
,rQ使()(),fxragx即[][]()frgarrQxEE
从而
[][][]()fagfrgarrQEEE，
反之
[][][]()frgarfagrQEEE
也成立，从而[][][]()fagfrgarrQEEE可测
类似可证：设,fxgx是E上可测函数，则[]fgE为可测集.
若,fxgx是E上的可测函数,则fxgx仍为E上的可测函数.
证明：首先2fx在E上可测，因为对任意aR
2[][][]00fafafaEaEEEa
再利用2214fxgxfxgxfxgx即可
作业：若,fxgx是E上的可测函数,则fxgx, /fxgx为E上的可测函数
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
若nfx是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数.
()sup{()}()inf{()}nnxfxxfx
limsup()infsup{()}nmnnmnfxfx liminf()supinf{()}nmnmnnfxfx
[][][][]11nnafaafannEEEE
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明： 第5页（共15页） ()inf{()}nxfx，[][]1nafanEE
比较：
[]1111[][]fannfafannEEE
例：1R上的可微函数fx的导函数'fx是可测函数
证明：由于
1()()()()'()limlim1xonfxfxfxxfxnfxxn
从而'fx是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故'fx是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设nf是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.
证明：发散点全体为[limlim]nnnnEff；收敛点全体为[limlim]nnnnEff再利用limnnf和limnnf是可测函数即可
注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同
⒌ 可测函数与简单函数的关系
可测函数()fx总可表示成一列简单函数的极限
若()fx是E上的可测函数,则()fx总可表示成一列简单函数{()}nx的极限
()lim()nnfxx，而且还可办到12|()||()|xx
122[]0,1,2,,212[]()nkknnnkfknnfnxExnxE
注：当()fx是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
——————————————————————————————
作业：P98 3, 4, 6
练习题
1 任何点集E上的常值函数(),fxcxE是可测函数，对吗？
2 已知“若()fx在E上可测，则1,[]aREfa可测”，反之，若1,[]aREfa可第6页（共15页） 测，能断定()fx在E上可测吗？
3 从函数2()fx或()fx可测能否推出()fx在E上可测？
4 由()()fxgx可否推出()fx、()gx都可测？
5 能否断定“零集上任何函数均可测”？
§2 叶果洛夫定理
教学目的 1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）
等概念，弄清它们之间的区别与联系.
2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明.
教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容.
本节难点 叶果洛夫定理的证明.
授课时数 3学时
——————————————————————————————
在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛.
例：函数列(),1,2,nnfxxn在(0,1)上处处收敛到()0fx,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0 越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但去掉一小测度集合1,1,在留下的集合上一致收敛。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立.
引理：设mE，nf，f在E上几乎处处有限且可测，若..nffae于E，则0, 有[||]lim()0nffNnNmE
证明：由于*[||][||]1()nffnEEE为零测度集，故不妨令,nff在E上处处有限，
从而有：
1[][||]11..0()0nnknffffkNnNffaeEmEmE于
1[||]11()0()nkffNnNmEk
[||]1()0()nffNnNmE
从而当mE时，0有
