实变函数第四章答案
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实变函数第四章▉
▉
第4章 Lebesgue（习题及参考解答）
EEA
1．设是)(xf
上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有
()0
Afxdx=∫
，试证：=0， )(xf].[.Eea
}1
)(|{}0)(|{
1kxfxExfxE
k≥=≠∞
=∪k∀∈
证明 因为， ，而
}1
)(|{
kxfxE≥}1
)(|{}1
)(|{
kxfxE
kxfxE−≤≥=∪
，
由已知，有
111
{||()|}{|()}{|()}()()()
ExfxExfxExfx
kkkfxdxfxdxfxdx
≥≥≤−=+∫∫∫000=+
=.
又因为
1
1{|()}
{|()}111
0(){|()}
Exfx
Exfx
k
kfxdxdxmExfx
kkk
≥
≥0=≥=≥∫∫≥
并且
11
{|()}{|()}111
0(){|()
ExfxExfx
kkfxdxdxmExfx
kkk
≥−≥−⎛⎞
=≤−−≤
⎜⎟
⎝⎠∫∫}0−≤
所以，
0}1
)(|{}1
)(|{=−≤=≥
kxfxmE
kxfxmE
.
故,
0}1
)(|{}1
)(|{}1
|)(|{=−≤+≥=≥
kxfxmE
kxfxmE
kxfxmE
因此，
11
{|()0}[{|()|}
kmExfxmExfx
k∞
=≠=≥∪
111
{|()|}00
kkmExfx
k∞∞
==≤≥==∑∑
0)(=xf
.从而，，. ].[.Eea
1▉▉第四章习题参考解答
2. 设，fg
都是E
上的非负可测函数，并且对任意常数，都有 a
})(|{})(|{axgxmEaxfxmE≥=≥)()(xgxf=
，试证：，从而，
()
Efxdx=∫()
Egxdx∫
.
证明 我们证与fg
是同一个简单函数序列的极限函数. ∞
=1){
mmψ
对于及，令 m∀∈12,,1,0−=m
mk
}
21
)(
2|{
,
mmkmk
xfk
xEE+
≤≤=
})(|{
2,mxfxEE
m
mm≥=
并且再令，则是互不相交的可测集，并且
. 定义简单函数 kmE
,
kmm
kEEm
,2
1==∪
∑
==m
kmm
kE
mmxk
x2
0)(
2)(
,χψ
.
Ex∈)()(limxfx
m
m=
∞→ψ
. 下面证明：，
m∀∈
m
mmEx
2,0∈Ex∈∀
0+∞=)(
0xf
, 若. 事实上，，则，有
)()(
0∞→∞→=mmx
mψ)()(lim
00xfx
m
n=
∞→ψ
. 即, . 所以,
+∞<)(
0xf
若，则可取正整数，当)(
00xfm>
0mm≥∀
时, 有
}
21
)(
2|{})(0|{12
10
mmm
kk
xfk
xEmxfxExm+
<≤=<≤∈−
=∪
故，存在使得 )120(−≤≤m
mkk
}
21
)(
2|{
0
mmk
xfk
xEx+
<≤∈
mmk
xfk
21
)(
20+
<≤
. 因此, 即，
mm
kE
mmk
xk
xm
km2)(
2)(2
0,==∑
=χψ
.
故
000|()()|()()
mm0fxxfxxψψ−=−
011
()0
2222mmmmkkk
fx+
−<−=→
=
)()(lim
00xfx
m
n=
∞→ψ
. 从而，
2
实变函数第四章▉
▉
同理，对m∀∈
，定义简单函数列∑
==m
kmm
kEmmxk
x2
0)(
2)(
*
,χψ
，其中：
}
21
)(
2|{*
,
mmkmk
xgk
xEE+
<≤=
，. 12,,1,0−=m
mk
并且. })(|{*
,mxgxEE
km≥=
Ex∈)()(lim
0xgx
m
n=
∞→ψ
. ，同上一样，我们可以证明：
因，有a∀∈})(|{})(|{axgxmEaxfxmE≥=≥
，则， a∀∈
})(|{bxfaxmE<≤})(|{bxgaxmE<≤=
.
从而，，有 )120(−≤≤∀m
mkk
,1
{|()}
22mkmmkk
mEmExfx+
=≤<
*
,1
{|()}
22mkmmkk
mExgxmE+
=≤<=
并且.即，
，m
mmm
mmmEmxgxmEmxfxmEmE
2,*
2,})(|{})(|{=≥=≥=
Nm∈∀=)(x
mψ)(x
mϕ
.
)()(lim)(lim)(xgxxxf
m
mm
m===
∞→∞→ϕψ
. 因此，
⎪
⎩⎪
⎨⎧
=
为有理数，当为无理数，当
xxx
xxf
31
)(
3. 若，计算. ∫
1,0[)(dxxf
xxE|]1,0[{
0∈=
01]1,0[EE−=
为有理数}
，解 设，则
∫
]1,0[)(dxxf+=∫∫
1)()(
]1,0[Edxxfdxxf
∫∫∫+==
00111
EEEdx
xdx
xdx
x
010111
EEEdxdxdx
xxx==+∫∫∫
2]2[11
1
01
0
]1,0[====∫∫xdx
xdx
x.
3▉▉第四章习题参考解答
4. 设是中n
个可测集，若内每一点至少属于个
集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n
1,,
nEE]1,0[]1,0[
nq
1,,q
nEE
.
证明 令，其中：∑
==n
iExxf
i
1)()(χ
iEχ
为上的特征函数并且
，有 iE
]1,0[∈∀x
qxxfn
iE
i≥=∑
=1)()(χ
所以，. 又因为 qqdxdxxf=≥∫∫
]1,0]1,0[)(
1
[0,1][0,1]()()
in
E
iqfxdxxχ
=≤=∑
∫∫dx
1n.
111
0,1()()
iinnn
EEi
iii
EixdxxdxmEχχ
======
=∑∑∑∑
∫∫
nq
mE
i<
，则 如果每个
∑∑
===⋅=>n
in
iiq
nq
n
nq
mE
11
nq
mE
i≥
这与矛盾. 从而，存在∑
=≤n
iimEq
1(1)iin≤≤
. 使得
5. 设与都是fgE
上的可积函数，
试证明：22
gf+E
也是上可积
函数.
E
证明：（1）先证：设与都是)(xf)(xF0()fx≤
上的可测函数并且
EE()Fx≤
，若在].[.Eea)(xF
可积，则在)(xf
可积.
Nml∈∀,)()(0xFxf≤≤
，故 ].[.Eea
，因为事实上，
llxFxf)}({)}({0≤≤
.
因此，
+∞<≤≤≤∫∫∫
EEll
EldxxfdxxFdxxFdxxf
mm)()}({)}({)}({
，
其中：
mmSEE∩=
，}||||{∞<=xxS
m. 从而，是∞
=∫
1})}({{
ll
EdxxF
m
4
