数值分析

数值分析第一次作业

信计2 20121314044 王峥虹

一、实验内容：

1、已知函数在下列各点的值为：

38.064.081.092.098.0|0.18.06.04.02.0|

yx

试用4次牛顿插值多项式)(4xP及三次样条函数)(xS（自然边界条件）对数据进行插值，用图给出10,11,1,008.02.0,iixyxiii，，，)(4xP及)(xS。

分析：

先求4次插值多项式:

根据差分形式的牛顿差值公式： ))...(](,...,,[...))(](,,[)](,[)()(1010102100100nnnxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP

x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];

y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];

n=length(y);

z=zeros(n,n);

for i=1:n

z(i,1)=y(i);

end

for k=2:n

for l=k:n

z(l,k)=(z(l,k-1)-z(l-1,k-1))/(x(l)-x(l-k+1));

end

end

z

结果：

4次牛顿插值多项式为： )6.0)(4.0)(2.0(2083.0)4.0)(2.0(625.0)2.0(3.098.04xxxxxxP )8.0)(6.0)(4.0)(2.0(5208.0xxxx

再求三次样条插值函数：

由上面及已知的：



























075.65.475.30

200005.025.00005.025.00005.025.000002

43210

MMMMM

程序如下：

A=[2,0,0,0,0;0.5,2,0.5,0,0;0,0.5,2,0.5,0;0,0,0.5,2,0.5;0,0,0,0,2];

实验一 Lagrange(拉格朗日)插值法

实验内容：

已知函数)ln(x的数据如下表,分别用线性插值和二次Lagrange插值求)54.0ln(的近似值.

x 0.5 0.6 0.7

)(xf -0.693147 -0.510826 -0.356675

要求:(1)分别构造出符合上述内容的线性Lagrange插值多项式)(1xp与二次Lagrange插值多项式)(2xp；(2)分别计算出)54.0(1p与)54.0(2p的结果，并与精确值)54.0ln(=-0.616186作比较,将实验结果或结论部分填写到实验报告相应的栏目中.

实验目的：

1、学会构造线性与二次Lagrange插值基函数的思想与方法.

2、会用C或C++语言编写Lagrange插值算法的源程序,并上机调试运行结果.

#include

using namespace std;

void main()

{

double[3][2]={{0.5,-0.693147},{0.6,-0.510826},{0.7,-0.356675}};

double k= (a[1][1]-a[0][1])/(a[1][0]-a[0][0]); double x1= 0.54;

double p1,p2=0;

p1 = a[0][1]+k*(x1-a[0][0]);

cout<<"p1="<

double l[3]={1,1,1};

for(int i=0;i<3;i++)

{

for(int j=0;j<3;j++)

{

if(i!=j)

l[i]=l[i]*((x1-a[j][0])/(a[i][0]-a[j][0]));

}

}

for(i=0;i<3;i++)

{

p2=p2+l[i]*a[i][1];

}

cout<<"p2="<

实验内容：

利用复化梯形公式、变步长复化梯形公式(即逐次分半法)求函数24)(xxxf在区间1,0上定积分的近似值.

1 第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？（误差的计算）

5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）

6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

8 设101dxexeIxnn，求证：

（1）)2,1,0(11nnIInn

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

3 若),...1,0(njxj为互异节点，且有

)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl

试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）

数

值

分

析

大

作

业

班级：环境工程

姓名：杨 鑫（1631151223）

周春于（1631151227）

MATLAB在环境评价与规划中多项水质参数综合评价

的应用

我国环境保护行业目前使用的标准《环境影响评价技术导则———地面水环境》 (HJ/T2.3- 93)提出：对水体水质可采用单项水质参数评价或多项水质参数综合评价。标准中推荐了4种方法给我们用于水质环境评价:幂指数法、加权平均法、向量模法和算术平均法。但这4种方法的计算结果有时相差悬殊。往往我们在评价中为了客观地对水质作出综合评价,常需将4种指数的结果进行比较,这样做计算工作量又较大。因此把MATLAB应用于多项水质参数综合评价中十分必要，不仅可以大量节约时间,还可以提高精确度和可视化效果。下面我们以一个MATLAB应用于评价有机物处理项目为例

一原始数据整理

一个拟建项目的废水含挥发酚和各种无毒有机物以及CN、As、Cd和石油类污染物,经过处理达标排入一条河流,该河的功能为II类水体,上列污染物的本底浓度和受纳该项目废水后的预测浓度见表1。该河的其它水质参数在受纳废水后仍保持I类水质。以下分别用幂指数法、加权平均法和向量模法对该项目废水排放前、后的河流水质作评价,并比较三种方法的特点。

表1 河流本底浓度和项目排水后预测浓度 (mg/ L)

二多项水质参数综合评价M文件

function index1()

S1=[7.5 3 15 0.002 0.005 0.01 0.001 0.05]'; 水质参数本底浓度预测浓度水质参数本底浓度预测浓度

溶解氧6 3 CN 0.002 0.01

BOD5 3 8 总Cu 0.005 0.01

CODCr6 32 总Cd 0.0005 0.01