高一数学幂函数的图象及性质

1 3.3幂函数
一、幂函数定义及解析式特点
1.定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。

2.解析式特点：①系数为1；②底为自变量；③指数为常数。

3.幂函数的指数除了可以取整数外，还可以取其他实数。

二、幂函数的图象
1.幂函数主要以11,2,3,,12
α=-为代表，来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的大致图象和图象的性质。

2.同一坐标系中画出1232
,,,y x y x y x y x ====和1y x -=的图象，如下图：
三、幂函数图象特点
1.根据幂函数y x α=的图象可得到以下结论： （1）幂函数在()0,+∞都有定义，且都过()1,1点，不一定过()0,0点。

（2）幂函数都过第一象限，不过第四象限；
（3）当0α>时，在第一象限都是增函数；当0α<时在第一象限都是减函数。

2.（1）当0α<时，幂函数在第一象限是减函数，且和1y x
=在第一象限的图象 大致相同；
（2）当0α>时，函数在第一象限是增函数，且在第一象限的大致图象的特点 可细分为两种情况：
①01α<<时,幂函数的图象在第一象限“趴着增”,且在()0,1内，图象在直 线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。

②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解3．3 幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x312y xy＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0] 上减在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点()33，，则该函数的解析式为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．y x =3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数()2()33m f x m m x =--在区间()0,∞+上是单调递增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1或4B ．4C ．-1D ．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数12y x =，2y x =，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．22±C ．2D ．2± 8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数23y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知 1.13a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是（ ） A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数12()f x x =，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3-B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,0-D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ） A ．1-，12-B ．1，3C ．2-D ．12，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数()()21f x m x =-，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 85y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)2，则f （4）的值是（ ） A ．64B ．42C ．24D ．1420．（2021·全国高一专题练习）函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数()3m f x x -=(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．322．（2021·全国）幂函数()f x 满足：对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，则(1)(0)(1)f f f -++=（ ）. A ．1-B ．0C ．1D ．223．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数()f x x =，若(1)(102)f a f a+<-，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5)B ．(5,)+∞C ．[1,3)-D ．(3,5)25．（2021·全国）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．IV,VII B ． IV,VIII C ． III, VIII D ． III, VII 【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1或227．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈ C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠28．（2021·全国高一课时练习）点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x n x x m =-+-的值域为（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎤⎣⎦D ．[]2,329．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y x =30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭31．（2021·全国高一课时练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ）A ．充分不必要件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a ，b 满足等式35a b =，给出下列五个关系式：①1b a <<；②1a b <<-；③01b a <<<；④10a b -<<<；⑤a b =，其中，可能成立的关系式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数()21m m y m x -=-为幂函数，则该函数为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义城上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()2121x f x x -=+B ．()3f x x =-C ．()f x x =-D ．()22,0,,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()5f =______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数()f x 过定点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且满足()()2150f a f ++->，则a 的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式()()1133312a a -<+的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知112,1,,1,,2,322k ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()kf x x =为奇函数，且在()0,∞+上单调递减，则k =______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()21212223m f x m m xn -=+-+-是幂函数，求2m n -的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数()()1222mf x m m x =--在()0,∞+上单调递减．（1）求实数m 的值．（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，求a 的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数()()()22322k k f x m m x k -=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围： （3）若实数()*,,a b a b ∈R 满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值.【答案详解】1．C 【详解】由幂函数的定义得m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，m 2-m -2=-2，函数为y =x -2，其图象不过原点，满足条件； 当m =2时，m 2-m -2=0，函数为y =x 0，其图象不过原点，满足条件. 综上所述，m =1或m =2. 故选：C. 2．D 【详解】设()f x x α=，依题意()13332f αα==⇒=，所以()f x x =. 故选：D 3．B 【详解】幂函数()2()33mf x m m x =--在(0,)+∞上是增函数则2331m m m ⎧--=⎨>⎩ ，解得4m = 故选：B 4．D【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，2332(0)f x x x ∴==≥，∴()f x 的值域是[)0,+∞. 故选：D. 5．A 【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y -==， 故选：A. 6．C 【详解】函数12y x x ==，其定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞； 函数2323y x x ==，20x ≥Q ，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C. 7．B 【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故选：B. 8．C 【详解】首先由分数指数幂运算公式可知()21233x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()()23y f x x ==，()()f x f x -=，且函数的定义域为R ，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，故排除AD ，因为2013<<，所以23y x =在第一象限的增加比较缓慢，故排除B ， 故选：C 9．A试题：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 10．A 【详解】由题意，构造函数 1.13,x y y x ==，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在(0,)+∞单调递增；由于0.9 1.10.9 1.133c a <∴<∴<；由于 1.1 1.13434a b <∴<∴<；综上：c a b << 故选：A 11．B由于幂函数223a a y x --=是奇函数，且在(0,)+∞是减函数，故2230a a --<，且223a a --是奇数，且a 是整数，13a -<<∴，a Z ∈，当0a =时，2233a a --=-，是奇数，； 当1a =时，2234a a --=-，不是奇数； 当2a =时，2233a a --=-，是奇数； 故0a =或2． 故答选：B 12．B 【详解】因为幂函数()12f x x =是增函数，且定义域为[)0,+∞，由()()132f a f a +<-得13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得213a -≤<.所以实数a 的取值范围是21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B 13．D 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 将点()3,3的坐标代入解析式得33α=，解得12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，14．A 【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x x f x -==为奇函数，且()10f x x=≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3f x x =的定义域为R ，且()()33f x x x f x -=-=-=-，该函数为奇函数， 当0x ≥时，()30f x x =≥；当0x <时，()30f x x =<，则函数()f x 的值域为R ， 函数()3f x x =在()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件. 故选：A. 15．C 【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈， 所以2a =-. 故选：C 16．A因为函数()()21f x m x =-为幂函数，所以m -1=1，则m =2.故选：A. 17．A 【详解】由幂函数85y x =可知: 85y x =是定义域为R 的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x >1时,函数值增长的比较快. 故选：A 18．C 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误； 当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C. 19．D 【详解】幂函数()a f x x =的图象过点1(2,)2，122a ∴=，解得1a =-，1()f x x∴=， f ∴（4）14=， 故选：D . 20．B 【详解】因为()()()()121121211f x x x x x-=-+-=+--， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 21．B 【详解】因为()3m f x x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以m －3<0,所以m <3. 又因为m ∈N *，所以1m =或2.又因为()3m f x x -=是奇函数，所以m －3是奇数， 所以m ＝2. 故选：B. 22．B 【详解】设()a f x x =，由已知，函数()f x 的定义域为R ，∴0a >，又∵对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，即y 与x 一一对应，()f x 必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为0，故选：B. 23．C 【详解】A 选项，0.5y x =在[0)+∞，上是递增函数，0.50.523()()32<，错， B 选项，1y x -=在()0-∞，上是递减函数，1123()()35--->-，错， C 选项，37y x =在()0-∞，上是递增函数， 337721( 2.1)()10-=-，33775( 2.2)()11--=-，3377( 2.1)( 2.2)--<-，对，D 选项，43y x =在[0)+∞，上是递增函数， 443311()()22-=，443311()()23>，443311()()23->，错，故选：C ． 24．C 【详解】()f x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞单调递增，所以(1)(102)f a f a +<-可化为：1010201102a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：13x -≤<. 故a 的取值范围是[1,3)-. 故选：C 25．B【详解】对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<， 所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B 26．A 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ． 27．B 【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =， 故()32g x x x =-+-，[]2,3x ∈， ()()22()12321256g x x x x x =+--=+-+-， 因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈， 所以函数()g x n x x m =-+-的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.故选：B.29．C【详解】 解：由图知：①表示y x =，②表示y x =，③表示2y x =，④表示3y x =.故选：C.30．D【详解】由题意得：2331m m -+=，得1m =或2m =当1m =时，2()f x x =图象关于y 轴对称，不成立；当2m =时，3()f x x =是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故选：D31．C【详解】 由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--. 所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数3y x =和5y x =的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处1a b <<-；在（2）处10b a -<<<；在（3）处01a b <<<； 在（4）处1b a <<；在1a b ==或1a b ==-也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.34．CD【详解】对于A 选项，1y x =，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误． 对于C 选项，2y x =，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD35．BC【详解】由()21m m y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选：BC .36．BC【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-， 不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC37．ACD【详解】 因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D 正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-， ()f x 在定义域内是减函数； 对于A ：()2121x f x x -=+，()113f =，()13f -=，故不是奇函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：()3f x x =-是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C ：()f x x =-是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-， 所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数； 根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数， 所以是“理想函数”.故选：BCD.39．5【详解】设()f x x α=，则()12222f αα==⇒=， 所以()(),55f x x f ==. 故答案为：540．()22-，【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以182α=，即3122α-=，解得：13α=-，所以()13f x x -=， 因为()()()13f x x f x --=-=-，所以()13f x x -=为奇函数，且在()0-∞，和()0+∞，上单调递减， 所以()()2150f a f ++->可化为()()()2155f a f f +>--=， 可得215a +<，解得：22a -<<，所以a 的范围为()22-，， 故答案为：()22-，． 41．()4,-+∞【详解】 解：因为幂函数13y x =在R 上为增函数，()()1133312a a -<+， 所以312a a -<+，解得4a >-，所以不等式的解集为()4,-+∞，故答案为：()4,-+∞42．{}1,1,3-【详解】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤，又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称， 即函数为偶函数，故223m m --为偶数， 所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.43．1-【详解】由题意知，幂函数()k f x x =在(0)+∞，上单调递减， 则k 为负数，则k =-2，-1，12-，又由函数()k f x x =为奇函数，则k =-1，故答案为：-144．-6【详解】因为()()21212223m f x m m x n -=+-+-是幂函数，所以22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得3,3,2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以323262m n -=--⨯=-．45．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±. 解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++， 函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意； 当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得3b =±，不符题意， 综上所述，存在实数2b =±满足题意.46．（1）1m =-；（2）32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【详解】解：（1）()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-， 3m =时，()13f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，()1f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-；（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，则10320a a ->⎧⎨+<⎩或10320132a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩或10320132a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩，解得：32a <-或213a -<<，故a 的取值范围是32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 47．（1）2()f x x =；（2）(1,1)-；（3）2．【详解】（1）()f x 是幂函数，则2221m m -+=，1m =，又()f x 是偶函数，所以23(3)k k k k -=-是偶数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则230k k ->，03k <<，所以1k =或2． 所以2()f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在[0,)+∞上递增， (21)(2)f x f x -<-22(21)(2)212f x f x x x ⇔-<-⇔-<-11x ⇔-<<． 所以x 的范围是(1,1)-．（3）由（1）237a b +=，2(1)3(1)12a b +++=，0,0a b >>， []3213219(1)2(1)2(1)3(1)121112111211b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 19(1)4(1)12221211b a a b ⎛⎫++≥+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当9(1)4(1)11b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中的重要概念之一，在高一数学学习中也占据了重要的地位。

掌握幂函数的知识点对于高中数学学习的深入理解和解题能力的提升都具有重要意义。

本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，并提供相关示例和解题思路，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、幂函数的定义和基本性质1. 定义：幂函数是指形如y = x^a（其中a表示常数）的函数，这里x是自变量，y是因变量。

幂函数中，指数a可以是正数、负数或零。

2. 基本性质：- 当a>0时，函数是增函数；- 当a<0时，函数是减函数；- 当a=0时，函数是常数函数；- 当x>1时，函数值增大较快；当0<x<1时，函数值减小较快；- 函数图像关于y轴对称（当指数为偶数）或者关于原点对称（当指数为奇数）。

二、幂函数的图像和特殊情况1. 幂函数的图像：不同指数a对应的幂函数图像有所不同，可以通过绘制函数图像来直观地理解幂函数的特点。

2. 特殊情况：- 当a>1时，可以看到幂函数的图像在原点处有一个变化方向的拐点；- 当0<a<1时，幂函数的图像在原点处有一个极值点，对称轴为y 轴；- 当a=1时，幂函数为y=x，即一次函数；- 当a=0时，幂函数为y=1，即常数函数；- 当a<0时，幂函数的图像会经过y轴正半轴和负半轴两个点，形状类似于倒置的U型。

三、幂函数的图像变换和平移1. 横向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整指数a的大小来实现横向的压缩和拉伸。

当a>1时，图像会被压缩；当0<a<1时，图像会被拉伸。

2. 纵向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整函数的整体乘积常数k来实现纵向的压缩和拉伸。

当k>1时，图像会被压缩；当0<k<1时，图像会被拉伸。

3. 平移操作：幂函数图像可以通过横向和纵向平移来实现整体位置的调整。

横向平移可以通过修改自变量x的值来实现；纵向平移可以通过修改常数项b来实现。

数学高一上册知识点幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，在高一上册的数学学习中，幂函数的概念和性质需要我们深入理解和掌握。

本文将围绕幂函数的定义、图像特征、基本性质以及幂函数的应用方面展开讨论。

一、幂函数的定义对于任意的实数a（a>0且a≠1）和实数b（b是任意实数），幂函数可以表示为 y=a^b。

其中，a被称为底数，b被称为指数。

幂函数的定义域一般为实数集。

二、幂函数的图像特征1. 当底数a>1时，随着指数b的增大，幂函数的增长速度也增大；当指数b<0时，幂函数的函数值趋于0，且在x轴的正半轴上递减。

2. 当0<a<1时，随着指数b的增大，幂函数的增长速度减小；当指数b<0时，幂函数的函数值趋于∞，且在x轴的正半轴上递增。

3. 当a=-1时，幂函数的图像为下凸函数，并且在x轴的奇数倍根处与x轴相切；在x轴的偶数倍根处，幂函数与x轴相交。

4. 当a=-1且b是奇数时，幂函数的图像在整个定义域上均与x轴相交；当b是偶数时，幂函数的图像在负半轴与x轴相交，在整个定义域上与x轴相切。

5. 当a<0且a≠-1时，幂函数的图像与a>0时的情况相似，但在定义域内有对称性。

三、幂函数的基本性质1. 幂函数的奇偶性：当指数b为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数b为偶数时，幂函数关于原点对称。

2. 幂函数的单调性：当底数a>0且a≠1时，幂函数随着指数b的增大，在定义域内递增或递减；当底数a<0时，幂函数在定义域内具有单调性，方向由指数的奇偶性决定。

3. 幂函数的零点和极限：当指数b>0时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当指数b<0时，幂函数在x趋于0时函数值趋近于∞或者趋近于0。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有许多应用。

例如，金融领域的复利计算、物理学中的指数增长模型、生物学中的细胞分裂等等。

幂函数的特性使得它在描述和解决这些问题时具有较高的准确性和实用性。

2.3.2 幂函数的图象和性质一、幂函数的概念一般地,函数① 叫作幂函数,其中x 是自变量,α是常数.二、幂函数的图象和性质幂函数 y=x y=x 2y=x 3y=x 12y=x -1图象定义域 R RR [0,+∞)②值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇非奇非偶 奇 单调性 递增[0,+∞)上递增 (-∞,0)上递减递增递增(0,+∞)上递减 (-∞,0)上递减公共点都经过点③三、幂函数与指数函数的区别与联系函数 指数函数 幂函数 解析式 y=a x (a>0,且a≠1)y=x α(α≠0)相同点 等号右边都是幂的形式不同点幂函数的未知数是底数,而指数函数的未知数是指数;指数函数定义域为R,与a 无关,而幂函数y=x α的定义域随α的不同而不同一、幂值大小的比较方法 1.(2010安徽,7,5分,★★☆)设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a思路点拨 根据幂函数与指数函数的单调性直接判断. 2.(2014陕西西安模拟,★★☆)比较下列各组数的大小:(1)(23)34,(34)23;(2)0.712,0.63,0.98-1.思路点拨 借助幂函数与指数函数的性质或中间量比较大小.二、幂函数的综合应用3.(2011陕西,4,5分,★★☆)函数y=x 13的图象是( )思路点拨 幂函数的图象特征应从特殊点、定义域、奇偶性、单调性及图象的凸性入手.4.(2014上海期末,★★☆)函数f(x)={x 13+3,x ≤0,3x +1,x >0,若f(a)>2,则实数a 的取值范围是 .一、选择题1.下列函数中既是偶函数又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A.y=x 43 B.y=x 32C.y=x -2D.y=x -142.函数y=x -2在区间[12,2]上的最大值是( )A.14 B.-1 C.4 D.-43.函数y=x -12的图象大致是( )4.下列说法中正确的是( ) A.函数y=x 0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.幂函数的图象不可能出现在第四象限D.若幂函数y=x n 是奇函数,则y=x n 在定义域上是增函数 5.设函数y=x 3与y=(12)x -2的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.已知幂函数f(x)=x α,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是( ) A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0二、填空题7.比较大小(填“>”“<”或“=”): (1)(25)0.5(13)0.5;(2)(-π)3 (-3)3.8.已知幂函数f(x)=x n 满足3f(2)=f(4),则f(x)的表达式为 . 9.下列幂函数中是奇函数且在(0,+∞)上单调递增的是 .(填序号) ①y=x 2;②y=x;③y=x 12;④y=x 3;⑤y=x -1.10.函数y=(mx2+4x+2)-12+(x2-mx+1)的定义域是全体实数,则m的取值范围是.三、解答题11.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点A(12,√2).(1)求实数a的值;(2)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内的单调性.12.已知幂函数f(x)=x1m2+m(m∈N+).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数图象经过点(2,√2),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.一、选择题1.(2015四川资阳期末,★☆☆)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),则f(log216)=( )A.2B.√22C.√2 D.122.(2015四川凉山州期末,★☆☆)下列函数中在区间(0,+∞)上是减函数且在定义域上是奇函数的是( )A.f(x)=x 12 B.f(x)=x-1C.f(x)=x-2D.f(x)=x33.(2015四川雅安中学期末,★☆☆)已知幂函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则m的值为( )A.0,1,2B.0,2C.1,2D.14.(2014湖北孝感调研,★☆☆)函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m 的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或25.(2014广东惠州期末,★☆☆)函数y=x 43的图象是( )6.(2014重庆西南大学附中周考,★☆☆)下列关于函数f(x)=x-13的说法正确的是( )A.其图象关于原点对称B.其图象关于y轴对称C.其图象不具备对称性D.f(x)在定义域内单调递减二、填空题7.(2013山东青岛期中,★★☆)已知函数f(x)={2-x-1,x≤0,√x,x>0,则f(f(-2))= .知识清单①y=x α(α≠0) ②(-∞,0)∪(0,+∞) ③(1,1)链接高考1.A 由于幂函数y=x25在(0,+∞)上是增函数,且35>25,所以(35)25>(25)25,即a>c.由于指数函数y=(25)x在R 上是减函数,且25<35,所以(25)25>(25)35,即c>b. 综上可知,a>c>b. 2.解析 (1)因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数,且23<34,所以(23)34<(34)34.因为函数y=(34)x在R 上是减函数,且34>23,所以(34)34<(34)23,所以(23)34<(34)23.(2)因为函数y=x 12在[0,+∞)上是增函数,且1>0.7>0.6>0,所以1>0.712>0.612.因为函数y=0.6x 在R 上是减函数且12<3,所以0.612>0.63.又0.98-1>1,所以0.63<0.712<0.98-1.3.B 由幂函数y=x 13的性质知,图象过点(0,0),(1,1),故排除A,D.因为y=x α中0<α=13<1,所以图象在第一象限内上凸,排除C. 4.答案 (-1,+∞)解析 a>0时,f(a)=3a +1>2,∴3a >1, ∴a>0.a≤0时,f(a)=a 13+3>2,∴a 13>-1,∴a>(-1)3=-1,∴-1<a≤0. 综上,a>-1.基础过关一、选择题1.C 对于幂函数y=x α,如果它是偶函数,当α<0时,它在第一象限为减函数,在第二象限为增函数,则C 选项正确,故选C.2.C 函数y=x -2在区间[12,2]上为减函数,所以最大值为4,故选C.3.D 由幂函数的性质知函数y=x -12在第一象限为减函数,且它的定义域为{x|x>0}.故选D.4.C y=x 0的定义域为{x|x≠0},故y=x 0的图象不是一条直线,故A 错;y=1x 的图象不经过(0,0)点,故B 错;奇函数y=1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,故D 不正确.故只有C 项是正确的. 5.B 幂函数y=x 3在(0,+∞)上递增且过点(1,1),指数型函数y=(12)x -2在(-∞,+∞)上是减函数且过点(2,1),画出它们的图象,可知x 0∈(1,2).故选B.6.B 当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=x α的图象在y=x 的图象的下方,作出幂函数f(x)=x α在第一象限的图象.由图象可知α<1时满足题意,故选B. 二、填空题7.答案 (1)> (2)<解析 (1)因为幂函数y=x 0.5在区间[0,+∞)上是增函数,且25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)幂函数y=x 3在区间(-∞,+∞)上是增函数,且-π<-3,所以(-π)3<(-3)3. 8.答案 f(x)=x log 23解析 由题意知3×2n =4n ,∴3=2n , ∴n=log 23. 故f(x)=x log 23. 9.答案 ②④解析 由奇偶性的定义知y=x 2为偶函数,y=x 12=√x 既不是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知y=x -1在(0,+∞)上单调递减,易知②④满足题意,故填②④. 10.答案 m>2解析 要使y=(mx 2+4x+2)-12+(x 2-mx+1)的定义域是全体实数,则需mx 2+4x+2>0对一切实数都成立, 即{m >0,42-4m ×2<0.解得m>2. 故m 的取值范围是m>2. 三、解答题11.解析 (1)∵f(x)=x a 的图象经过点A (12,√2), ∴(12)a=√2, 即2-a=212,∴a=-12.(2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,由(1)知f(x)=x -12,则f(x 2)-f(x 1)=x 2-12-x 1-12=√x -√x =√x 1-√x 2√x x =12√x x ·(√x +√x ),∵x 2>x 1>0,∴x 1-x 2<0, 且√x 1x 2·(√x 1+√x 2)>0, 于是f(x 2)-f(x 1)<0, 即f(x 2)<f(x 1),∴f(x)在区间(0,+∞)内是减函数. 12.解析 (1)∵m 2+m=m(m+1),m∈N +, ∴m 与m+1中必定有一个为偶数, ∴m 2+m 为偶数, ∴函数f(x)=x1m 2+m(m∈N +)的定义域为[0,+∞).该函数在其定义域上为增函数. (2)∵函数f(x)的图象经过点(2,√2), ∴√2=21m 2+m,即212=21m 2+m,∴m 2+m=2,即m 2+m-2=0. ∴m=1或m=-2. 又∵m∈N +,∴m=1.∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴由f(2-a)>f(a-1)得 {2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a<32. 故m 的值为1,满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围为[1,32).三年模拟一、选择题1.A 设f(x)=x α,则2α=√2,∴α=12,∴f(x)=√x , f(log 216)=f(4)=√4=2,故选A.2.B A 中函数不是奇函数,C 中函数为偶函数,D 中函数是定义域上的增函数,只有B 适合.故选B.3.D 由函数在(0,+∞)上单调递减知:m2-2m-3<0,所以-1<m<3,而m∈Z,所以m=0,1,2,从而m2-2m-3相应的值分别为-3,-4,-3,而函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Ζ)为偶函数,所以m=1.故选D.4.B f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数⇒m2-m-1=1⇒m=-1或m=2,又因为f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.5.A y=x 43的定义域为R,且为偶函数.又α=43>1,故图象在第一象限下凸,故选A.6.A f(x)=x-13为奇函数,故图象关于原点对称.二、填空题7.答案√3解析f(-2)=4-1=3, f(f(-2))=f(3)=√3.。

高一数学知识点：幂函数知识点知识点总结高一数学知识点：幂函数知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。

幂函数的形式简单，但其中蕴含的性质和规律却丰富多样。

下面我们就来详细总结一下幂函数的相关知识。

一、幂函数的定义一般地，形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，叫做幂函数。

其中，＄x$是自变量，＄＼alpha$是常数。

需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$。

二、幂函数的图像幂函数的图像因指数$＼alpha$的不同而具有不同的特征。

当$＼alpha ＞ 0$时：若$＼alpha$为正整数，幂函数的图像在第一象限内单调递增。

例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为$y$轴。

若$＼alpha$为正分数，且分母为奇数，分子为偶数，幂函数的图像在第一象限内单调递增，且关于原点对称。

例如，＄y ＝x^｛＼frac{2}｛3}｝＄的图像在第一象限内类似于一个上凸的曲线。

若$＼alpha$为正分数，且分母为偶数，分子为奇数，幂函数的图像在第一象限内单调递增，且关于$y$轴对称。

例如，＄y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＄的图像是一个在第一象限内的半支抛物线。

当$＼alpha ＜ 0$时：幂函数的图像在第一象限内单调递减，且以坐标轴为渐近线。

例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是位于第一、三象限的双曲线。

三、幂函数的性质1、定义域当$＼alpha$为正整数时，定义域为$R$。

当$＼alpha$为正分数时，若分母为奇数，定义域为$R$；若分母为偶数，定义域为$0, ＋＼infty)＄。

当$＼alpha$为负整数时，定义域为$＼｛x|x ＼neq 0\｝＄。

当$＼alpha$为负分数时，定义域为$＼｛x|x ＞ 0\｝＄。

2、值域当$＼alpha ＞ 0$时，值域为$0, ＋＼infty)＄。

当$＼alpha ＜ 0$时，值域为$＼｛y|y ＼neq 0\｝＄。