单元质量评估(二)_1

部编版九年级语文上册第二单元学情评估同学们：经过初中的语文学习，你们一定明白语文是在听说读写思的过程中，边学习边收获，现在就请大家带着这份收获，来回顾语文学习吧！任务群一同学们，下面你们将进入“积累与运用”模块。

语文学习如滴水汇海，似积土成山，从字词句到美文名著，都有着丰富的内涵。

现在开启你们的智慧之旅吧！一、积累与运用(共19分)1.阅读下面的语段，回答问题。

(4分)汉字，是中华文化的瑰．宝；书法，是我国传统文化宝库中一颗璀càn的明珠。

书法是展现汉字之形的艺术，汉字因为书法艺术的进步而更靓丽。

书法艺术，因为汉字形体的新颖变化而熠．熠生辉；汉字，因为书法艺术的xuàn丽而让人刻骨铭心。

现在虽是一个崭新的世纪，但我们中华民族不会遗忘书法这门艺术。

(1)依次给语段中加点的字注音，全都正确的一项是( )(2分)A．guīyùB．guǐyìC．guīyìD．guǐyù(2)根据语境，写出下面词语中拼音所对应的汉字。

(2分)璀càn( ) xuàn( )丽2．古诗文默写。

(8分)在古代诗歌中，诗人常引“山”入诗，抒发情感。

见南山，陶渊明借“山气日夕佳，__________________”[《饮酒》(其五)]表现闲适恬淡的心境；望泰山，杜甫用“__________________，__________________”(《望岳》)表现登上高峰的决心；登飞来峰，王安石用“__________________，自缘身在最高层”(《登飞来峰》)表现不畏奸邪的气概。

写到巴山时，刘禹锡用“________________，________________”(《酬乐天扬州初逢席上见赠》)表现遭受贬谪的激愤和悲凉；李商隐用“__________________，________________”(《夜雨寄北》)抒发对未来重聚的期盼。

3．名著阅读。

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单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是( )A.k>3B.2<k<3C.k=2D.0<k<2【解析】选C. k>0,=,所以k=2.2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为( )A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.又e==,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为+=1.【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为-=1,将y=x-1代入-=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=,则==-.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )A.1B.a2C.b2D. c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|∈,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= ( )A.1B.C.2D.3【解析】选 C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是( )A. B.2C.6D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于( )A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.由消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x【解析】选A.由题意得解得所以a==,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=±x.10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以两式相减得,=,即=,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,又因为k==,所以=,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为+=1.12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,因为AF⊥AM,所以k AF·k AM=-1,即×=-1,所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,因为|MF|=5,所以5=,所以=9.所以-=3或-=-3,所以9p2-36p-64=0,①或9p2+36p-64=0,②由①得p=-(舍),p=.由②得p=,p=-,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则= .【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以m+n=1 ①m+n=1 ②又因为=-1,所以①-②得:m=n·,因为==,所以m=n,所以=.答案:14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故1-m≤0,所以m≥1.又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.答案:m≥1且m≠5【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为x P=2a<c,所以-=1,化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,所以e=2+.答案:2+【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,因为e=,0<e<1,所以≤e<1.16.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为点在抛物线上,所以6=2p×,所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又点在双曲线上,所以-=1,由解得a2=,b2=.所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即m=9-b,①又因为点P在椭圆、双曲线上,所以y2=m,②y2=.③解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y,整理得3x2-24x+36+λ=0.由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|=|x1-x2|=·=·=,于是=,解得λ=4(与λ<12符合).故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)△PF1F2的面积.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以·=-1,即·=-1,解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e===.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为=m,=n,所以m=,n=,所以m+n=,又2x1x2-2(x1+x2)==-,4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,所以m+n=10.22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. 因为c==,所以离心率e==.(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.所以M,N.所以|AN|=2+,|BM|=+1.所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|==××==.因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得S ===2.因此,四边形ABNM的面积为定值2.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

单元质量评估（二）(120分钟150分)一、基础积累(15分，每小题3分)1.下列加点词的解释，不正确的一项是( )A.女也不爽．，士贰其行爽：豪爽B.长余佩之陆离．．陆离：修长的样子C.始适．还家门适：出嫁D.多谢．后世人谢：告诉2.下列各组句子中加点的虚词，意义和用法都相同的一项是( )错误!未找到引用源。

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3.与“东西植松柏，左右种梧桐”所用修辞手法不同的一项是( )A.烟笼寒水月笼沙B.秦时明月汉时关C.不以物喜，不以己悲D.孔雀东南飞，五里一徘徊4.下列诗句涉及我国传统节日，诗句与节日对应恰当的一项是( )①莫将边地比京都，八月严霜草已枯。

今日登高樽酒里，不知能有菊花无。

②香帐簇成排窈窕，金针穿罢拜婵娟。

铜壶漏报天将晓，惆怅佳期又一年。

③未泯生前恨，而追没后踪。

沅湘碧潭水，应自照千峰。

④火树银花合，星桥铁锁开。

暗尘随马去，明月逐人来。

A.①中秋②除夕③端午④元宵B.①中秋②元宵③重阳④七夕C.①重阳②七夕③端午④元宵D.①重阳②除夕③元宵④中秋5.依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是( )一如胡应麟所说“‘独钓寒江雪’，五字极闹”，这个“闹”字很刁，一下子点化了柳宗元《江雪》一诗中的昂扬活力。

所谓的枯寂，不过是一种表象。

________，________，________。

或许，________，________；________，________。

那片苍茫的空阔，并非一无所有，而是如国画中留出的空白，意味深远。

①诱人的芭蕉正在雪天里挺立②只有雪野的空旷③君不见，恍若轻绸的溪泉正在冰雪下面漾动④才能凸显生命的充实⑤方能反衬人心的温热⑥只有雪天的凄冷⑦江上小舟，亦正在无声中悠然地前行A.①⑦③②④⑥⑤B.③①⑦②④⑥⑤C.①⑦③⑥⑤②④D.③①⑦⑥⑤②④二、阅读鉴赏(60分)(一)阅读下面这首宋诗，完成6、7题。

(11分)野泊对月有感①周莘可怜江月乱中明，应识逋逃②病客情。

第三章 单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB→＋12(BD →＋BC→)＝( ) A.AG → B.CG → C.BC →D.12BC →解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.答案：A4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝a ＋b ·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.答案：C6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13 B.13，13，16 C.13，16，13D.16，13，13解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 答案：D7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×－2＋2×2＋－1×135＝55. 答案：A8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN→|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →， MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN →＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1A →＋13AD →＋13A 1B 1→＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面． 又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )A.104B.66C.62 D.102解析：设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值sin θ＝|AC 1→·n ||AC1→|·|n |＝322×1＝64，得cos θ＝1－sin 2θ＝104.答案：A11．如图，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33 C ．－77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，故选C.答案：C12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23B.66C.33D.63解析：以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)，∴BE →＝(0,2,1)，BD→＝(3,3,0)． 设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BE →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z .令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.又平面ABE 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB→－13AC →＋34AD →. 答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．故cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C→|A 1B →||B 1C →|＝925.答案：92515．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点一定在平面________内．解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→， 即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内． 答案：A 1BCD 116．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值等于________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos∠CHO＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM →＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →； (2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →. (2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→ ＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．(12分)在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点．(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值； (2)作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)， ∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010.故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010.。

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单元质量评估(二)第3章(90分钟100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。

每小题至少一个答案正确,选不全得2分)1.下列叙述错误的是( )A.古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重,下落得越快B.伽利略发现亚里士多德的观点有自相矛盾的地方C.伽利略认为,如果没有空气阻力,重物与轻物应该下落得同样快D.伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动2.下列说法正确的是( )A.若物体的加速度均匀增加,则物体做匀加速直线运动B.若物体的加速度均匀减小,则物体做匀减速直线运动C.若物体加速度与其速度方向相反,则物体做匀减速直线运动D.若物体在任意的相等时间间隔内位移相等,则物体做匀速直线运动3.(2013·常州高一检测)某人欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机停止运动前在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行的距离为s,从着陆到停下来所用的时间为t,则飞机着陆时的速度为( )A. B. C. D.到之间的某个值4.(2011·重庆高考)某人估测一竖直枯井深度,从井口静止释放一石头并开始计时,经2 s听到石头落地声,由此可知井深约为(不计声音传播时间,重力加速度g 取10 m/s2) ( )A.10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m5.(2013·湛江高一检测)物体由静止开始以恒定的加速度a向东运动时间t后,加速度变为向西,大小不变,再经过时间t时,物体的运动情况是( )A.物体位于出发点以东,速度为零B.物体位于出发点以东,继续向东运动C.物体回到出发点,速度为零D.物体回到出发点,运动方向向西6.(2013·长春高一检测)下列给出的四组(每组两个图像)图像中,能够反映同一直线运动的是( )7.一辆汽车以12m/s的速度行驶,遇到紧急情况,司机采取制动措施,使汽车做匀减速直线运动,若制动后汽车加速度的大小为6m/s2,则( )A.经3 s,汽车的速度大小为6 m/sB.经3 s,汽车的位移大小为9 mC.经3 s,汽车的速度大小为2 m/sD.经3 s,汽车的位移大小为12 m8.(2011·安徽高考)一物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δx所用的时间为t1,紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2。

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单元质量评估(二)第二单元（45分钟100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.世人对战国时期秦国人有着“薄恩礼，好生分”的印象，造成这一印象的主要原因是商鞅变法采取了（）A.奖励军功B.奖励耕织C.焚烧诗书D.什伍连坐和告奸制度2.钱穆认为“春秋到战国，世袭特权推翻，制约经济解放，凝固的定型消失了，许多新的力量都在潜滋暗长，都在迈步向前”。

许多“潜滋暗长”的新力量包括（）①土地私有制开始确立②小农经济产生并发展③各种思想交相辉映④中央集权制度确立A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③3.（2013·武汉模拟）战国初期，魏国李悝首倡“尽地力之教”，实施平抑米价的平籴法，以免谷贱伤农；同时制定《法经》六篇，以为“王者之政，莫急于盗贼”，故以盗法为《法经》首篇。

材料反映的主要社会问题是（）A.私有制开始确立，盗贼现象普遍B.小农经济脆弱，农民破产沦为盗贼C.商人不满平籴法，转而沦为盗贼D.重农抑商政策，导致礼乐制度崩溃4.（2013·济南高二检测）下列各项描述的是公元前345年生活在关中地区的一个人发迹的故事，其中符合历史事实的是（）①这一年，他在一次战争中立功，得到100亩地的赏赐②第二年，他辛勤耕种，喜获丰收，政府免除了他的徭役③第三年，他又买了几十亩地，成了大地主④几年后，他卖掉土地去经商，同样得到政府的奖励A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④5.（2012·北京模拟）史书记载，“始秦戎翟之教，父子无别，同室而居”。

后来“商君遗礼谊，弃仁恩，并心于进取。

行之二岁，秦俗日败。

故秦人家富子壮则出分，家贫子壮则出赘”。

这种变化（）A.有利于秦国推行残酷的连坐法B.加快了小农经济在秦国确立的进程C.瓦解了旧的血缘宗法制度D.大大增强了秦军的战斗力6.《资治通鉴》记载道：“秦被甲百万。

单元质量评估(二)第二章 空间向量与立体几何(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a =(1，-2，1)，a +b =(-1,2,-1),则b等于( )(A)(2，-4，2) (B)(-2，4，-2) (C)(-2，0，-2) (D)(2，1，-3)2.如果向量AB AC BC、、满足AB AC BC =+ ,则( ) (A)AB AC BC =+ (B)AB AC BC =--(C)AC 与BC 同向 (D)AC 与BC同向3.已知空间四边形OABC 其对角线为OB 、AC,M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基底向量OA OB OC 、、表示向量OG，设OG xOA yOB zOC =++,则x,y,z 的值分别为( )(A)x=13,y=13,z=13 (B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=134.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA OB OC、、为空间的一个基底，则( ) (A)O 、A 、B 、C 四点不共线(B)O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 (C)O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 (D)O 、A 、B 、C 四点不共面5.O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是△ABC的( )(A)三个内角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条高的交点 (D)三条中线的交点6.已知a,b 是异面直线,A 、B ∈a,C 、D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2，CD=1.则a 与b 的夹角为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°7.a =(2，-1,2),b =(2,2,1),则以a ，b为邻边的平行四边形的面积为( )8.(2011·永嘉高二检测)在如图所示的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 的夹角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°9.已知AB =(1，5，-2)，BC =(3，1，z),若AB BC ⊥ ，BP =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC ，则BP等于( )(A)(337，157-，-3) (B)(407，157-，-3)(C)(407，157，-3) (D)(337，157，-3)10.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，且A 1M=AN=3a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 夹角的正弦值为( )(B)1212.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被 截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3， BE=1，则点C 到平面AEC 1F 的距离为( )11 (C)4 (D)11二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知向量p 关于基底{a b,c ，}的坐标为(3，2，-1)则p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标是 .14.(2011·海口高二检测)已知向量a b,c，两两夹角都是60°，其模都为1,则|a b 2c -+|等于 .15.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四 边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的 可能的情形).16.正方形ABCD 与ABEF 的边长都为a,若平面EAB 与平面ABC 夹角的大小为 30°，则EF 与平面ABCD 的距离为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如图，已知ABCD-A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA BC AB 23'++，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面 BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN AB AD AA =α+β+γ'，试求α、β、γ的值.18.(12分)(2011·哈尔滨高二检测)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. (1)确定点G 的位置;(2)求直线AC 1与平面EFG 夹角θ的大小.19.(12分)(2010·湖南高考)如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.20.(12分)(2011·杭州高二检测)如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示.(1)求异面直线AB与CD夹角的余弦值;(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，说明理由.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若平面B1DC与平面DCC1的夹角为60°，求AD的长.22.(14分)(2011·辽宁高考改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD∥QA,QA=AB=1PD.2(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值.答案解析1.【解析】选B.b (a b)a =+-=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).2.【解析】选D.∵AB AC BC =+，∴A 、B 、C 共线且点C 在AB 之间，即AC CB与同向.3.【解析】选D.MG 2GN =∴()OG OM 2ON OG -=-∴()()111OG OM 2ON OA OB OC 332=+=++ ［］=111OA OB OC 633++∴x=16,y=z=13.4.【解析】选D.由基底定义，OA OB OC、、三向量不共面，但选项A 、B 、C 三种情形都有可能使OA OB OC、、共面，只有选项D 才能使这三个向量不共面. 5.【解析】选C.∵OA OB OB OC =∴()OB OA OC 0-=即OB CA 0=，∴OB ⊥AC.同理OC ⊥AB ，OA ⊥BC∴O 为△ABC 的三条高的交点.6.【解析】选C.()2AB CD AC CD DB CD CD 1=++==∴cos 〈AB CD 〉=AB CD 11212AB CD ==⨯∴AB 与CD 的夹角为60°，即异面直线a,b 的夹角为60°.7.【解析】选D.|a |3|b |3,== ，四边形为菱形,|a b |a b |+=-=∴S=1|a b ||a b |2+-=8.【解析】选C.设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),M(12,1,0),N(0,1,12),∴AC =(-1,1,0),MN =(11,0,22-).设AC 与MN的夹角为θ, 则cos θ=1MN AC1.2MN AC== ∴θ=60°.9.【解析】选A.∵AB BC ⊥ ,∴AB BC 0352z ==+-, ∴z=4,又BP⊥面ABC.∴BP AB BP BC ⊥⊥ 且.∴()()15y x 15y 607,.40333x 1y 120x x 177⎧=-⎪-++=⎧⎪⎪∴⎨⎨-+-=⎪⎪⎩=-=⎪⎩， 10. 独具【解题提示】利用三角形法则进行向量间的相互表示，寻找MN与平面BB 1C 1C 内向量的线性关系.【解析】选B.∵1A M AN 3==, ∴1111A M A B,AN AC,33==∴11MN MA A A AN =++=1111A B A A AC 33-++=11111111A B A A A A AB BC 3333--+++=121A A AD 33+=11121B B B C ,33+∴111MN B B B C 、、共面. 又∵MN 面BB 1C 1C, ∴MN ∥平面BB 1C 1C.11.【解析】选C.方法一：如图，取BC 的中点M ， 连接OM 、AM. 则OM ⊥平面ABCD. ∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角. 令AB=2，则OM=1，∴. ∴sin ∠OAM=6. 方法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB=2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，∴AO=(-1，2，1).又1DD=(0，0，2)为平面ABCD 的法向量.设AO 与平面ABCD 的夹角为α,则sin α=|cos 〈1AO DD ，〉|=11|AO DD |6AO DD ==12.独具【解题提示】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(2，4，1)，C(0，4，0)， C 1(0，4，3) 设F(0，0，z),∵四边形AEC 1F 是平行四边形，∴1AF EC =∴(-2，0，z)=(-2,0,2) ∴z=2,即F(0，0，2)设1n 为平面AEC 1F 的法向量，显然1n 不垂直于平面ADF ，故可设1n=(x,y,1)由11n AE 00x 4y 10,2x 0y 20n AF 0⎧=⨯++=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+==⎩⎪⎩ ，得 即x 1,4y 10,12x 20y .4=⎧+=⎧⎪∴⎨⎨-+==-⎩⎪⎩又1CC =(0，0，3)，设1CC 与1n的夹角为α,则|cos α|=1111|CC n |CC |n |==∴C 到平面AEC 1F的距离1d CC |cos |33311=α=⨯= 故选D.13.【解析】设p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标为(x,y,z)，则z p 2xa yb c 2=-+∴3x 2x 32y 2,y 2.z z 212⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-=∴=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=-⎩⎩答案：(32，-2，-2)独具【误区警示】此处的坐标不是直角坐标，是在新的基底下的一种坐标形式.14.【解析】|a b 2c |-+==15.【解析】∵A 1C ⊥B 1D 1，∴111A C B D 0=∴()1AC AA BD 0.-=∴1AC BD AA BD 0-=又11AA BD AA BD 0⊥∴=，∴AC BD 0=∴AC ⊥BD.答案：AC ⊥BD(答案不唯一)16.【解析】如图，因为ABCD ，ABEF 均为正方形， 所以EF ∥平面ABCD ， 又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，所以∠EBC 就是平面EAB 与平面ABC 的夹角，所以∠EBC=30°， 因为AB ⊥平面EBC ，而AB Ü平面ABCD ， 所以面EBC ⊥面ABCD ，过E 作EG ⊥BC 于G ， 则EG ⊥面ABCD ，在Rt △EBG 中，EG=EBsin30°=12a. 答案：12a17.【解析】(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH=23DC ，连接AH ，则12AH AA BC AB.23='++AH如图所示. (2)MN MB BN =+=13DB BC 24+'=()13AB AD (AA AD)24-+'+=113AB AD AA 244++'. ∴113,,.244α=β=γ=18.独具【解题提示】(1)设出G 点坐标，利用AC 1⊥EG 求出G 的坐标，确定G 的位置.(2)先求平面EFG 的法向量，代入公式求θ.【解析】(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C 1(0,0,2),1AC=(0,-2,2),EF=(0,-1,0).设G(0,2,h),则EG=(-1,1,h). ∵11AC EG,EG AC 0.⊥∴=∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1，即G 是AA 1的中点.(2)设m=(x,y,z)是平面EFG 的一个法向量，则m FE,m EG ⊥⊥ .所以y 0x y z 0=⎧⎨-++=⎩,平面EFG 的一个法向量m=(1,0,1).∵sin θ=11|m AC |1,2|m |AC == ∴θ=6π,即AC 1与平面EFG 的夹角θ为6π. 19.【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以1AB AD AA ，，为单位正交 基底建立空间直角坐标系.(1)依题意，得B(1，0，0)，E(0，1，12)， A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE =(-1，1，12)，AD =(0，1，0)，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角为θ,则sin θ=|BE AD |12.33BE AD 12==⨯ 即直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0，0，1)，1BA =(-1，0，1)，BE =(-1，1，12)，设n=(x,y,z)是平面A 1BE 的一个法向量， 则由1n BA 0n BE 0==，，得x z 0,1x y z 02-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x=z,y=12z.取z=2，得n=(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点， 则F(t,1,1)(0≤t ≤1).又B 1(1，0，1)，所以1B F=(t-1,1,0),而B 1F 平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ()()11B F n 0t 1,1,0(212)02t 110t 2⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔ ，，F 为C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在点F(C 1D 1的中点)， 使B 1F ∥平面A 1BE.20.独具【解题提示】(1)转化为AB CD与的夹角，注意角的范围；(2)先确定F的位置，然后求|CF|.【解析】(1)取BD 的中点O ，连接AO ， 则AO ⊥平面CBD.以O 为原点建立空间直角坐标系，如图. A(0,0,1),B(1,0,0),AB=(1,0,-1),CD =(-2,- ,0),cos 〈AB,CD 〉=-4.所以所求异面直线AB 与CD 夹角的余弦值为4.(2)设CF CA =λ ,由(1)知CAAD=(-1,0,-1),BF BC CF =+=(-λ(1-λ),λ), BF CA 212(1)0BF AD 0⎧=λ--λ=⎪⎨=λ-λ=⎪⎩,解得λ=67,∴存在点F ，6CF CA 7==独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要方法是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力,但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能较为便捷地解题.21.【解析】(1)如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)， D(1，0，1).即11C B =(0,2,0),1DC =(-1,0,1),CD=(1,0,1). 由11CD C B=(1,0,1)·(0,2,0)=0+0+0=0,得CD ⊥C 1B 1;由1CD DC=(1,0,1)·(-1,0,1)=-1+0+1=0得CD ⊥DC 1; 又DC 1∩C 1B 1=C 1, ∴CD ⊥平面B 1C 1D. 又CD Ü平面B 1CD ， ∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)设AD=a ，则D 点坐标为(1，0，a)，CD=(1,0,a),1CB =(0,2,2),设平面B 1CD 的一个法向量为m=(x,y,z).则由1m CB 02y 2z 0,x az 0m CD 0⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩令z=-1. 得m =(a,1,-1),又平面C 1DC 的一个法向量为n=(0,1,0), 则由cos60°=|m n |12|m ||n |== ,即故独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力；但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能解题，以下是本题的传统解法. 【解析】(1)∵∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°, ∴B 1C 1⊥A 1C 1,又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1. 又∵CD Ü平面ACC 1A 1，∴B 1C 1⊥CD ① 由D 为中点可知，DC=DC 1∴DC 2+DC 12=2+2=4=CC 12，即CD ⊥DC 1 ②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ， 又CD Ü平面B 1CD ， 故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或其延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知∠B 1EC 1为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴∠B1EC 1=60°.由B 1C 1=2知，C 1设AD=x ，则∵△DC 1C 的面积S=11ACC A 11S 121,22=⨯⨯=∴11,23=解得22.【解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则DQ=(1，1，0)，DC =(0，0，1)， PQ=(1，-1，0)， 所以PQ DQ 0PQ DC 0==，，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，CB=(1，0，0)，BP=(-1，2，-1).设n=(x ，y ，z)是平面PBC 的法向量，则n CB 0n BP 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即x 0x 2y z 0=⎧⎨-+-=⎩， 因此可取n=(0，-1，-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则m BP 0m PQ 0⎧=⎪⎨=⎪⎩， 可取m =(1，1，1)，所以cos 〈m,n 〉=-5. 故平面QBP 与平面BPC夹角的余弦值为5.。

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单元质量评估(二)第二章 变化率与导数 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=f(x)=2x 2-4的图像上的一点(1，-2)及邻近一点(1+Δx ，-2+Δy)，则yx∆∆等于( ) (A)4 (B)4x (C)4+2Δx (D)4+(Δx)22.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t 3-5t 2,则t=2时，汽车的速度是( ) (A)14 (B)4 (C)10 (D)63.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f ′(x)=g ′(x),则f(x)与g(x)满足( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)-g(x)为常数函数 (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数 4.下列结论正确的个数为( )①1y ln2y 2='=，则;②2312y ,y x x='=-则;③y=2x ,则y ′=2x ln2; ④21y log x,y xln2='=则.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5.曲线y=x n 在x=2处的导数为12，则n 等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(2011·太原高二检测)已知函数f(x)=xsinx+cosx,则f ()2π'的值为( ) (A)2π (B)0 (C)-1 (D)17.已知函数y=f(x)=kcosx 的图像经过定点P(1)3π，，则函数图像上在点P 处的切线斜率为( )(A)1 (D)-1 8.函数51y (x )x=+的导数为( )(A)415(x )x + (B)42115(x )(1)x x +-(C)4115(x )(1)x x++(D)4115(x )(x )x x++9.(2011·山东高考)曲线y=x 3+11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)1510.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的导函数f ′(x)满足：f ′(0)＞0，若对任意实数x ，有f(x)≥0，则()()f 1f 0'的最小值为( )(A)52 (B)3 (C)32(D)211.若曲线y=x 3-x+1上动点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )(A)(0,)2π (B)3(,)4ππ (C)3(0,)(,)24ππ⋃π(D)30,),)24ππ⋃π［［ 12.已知函数()2ax f x x 3=+(a ≠0)，若存在x 0∈(0，1)，使f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞，2) (B)(2，+∞) (C)(0，2) (D)(1，2］二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数是_______. 14.(2011·西安高二检测) f ′(x)是函数()x 4f x x cos2x 3π-=+ 的导函数,则f ()4π'的值是_______.15.曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为__________. 16.设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)利用导数的定义求函数y =. 18.(12分)求下列函数的导数： (1)231y 2x 5x 1x=-++； (2)y=x 2cosx ； (3)2211y (x )(x )xx =--； (4)y=cos 2(x 2-1).19.(12分)(2011·哈师大附中高二检测)过点(1,1)作曲线y=x 3的切线l ,求直线l 方程.20.(12分)(2011·湖北高考)设函数f(x)=x 3+2ax 2+bx+a ，g(x)=x 2-3x+2,其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l . 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程.21.(12分)已知f(x)=sinx+cosx ，f 1(x)=f ′(x),f 2(x)=f ′1(x),…,f n (x)= f ′n-1(x)(n ∈N *,n ≥2),试计算f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x),并猜想f 2 010(x). 22.(12分)设函数()bf x ax x=-,曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案解析1.【解析】选C.()f (1x)f 1y x x+∆-∆=∆∆2222(1x)4214x4x 2x 42x.x+∆--⨯+=∆∆+∆==+∆∆ 2.【解析】选B.∵v=s ′(t)=6t 2-10t ∴当t=2时，v=6×4-10×2=4.3.【解析】选B.据题意f ′(x)=g ′(x),∴f ′(x)-g ′(x)=0,即［f(x)- g(x)］′=0,∴f(x)-g(x)为常数函数.4.【解析】选D.①(ln2)′=0,∴y ′=0;②()2321y ()x 2x x--'='='=-;③y ′=(2x )′=2x ln2;④()21y log x xln2'='= ②③④对，故3个正确，选D.5.【解析】选C.y ′=nx n-1,∵y ′|x=2=12, 即n ·2n-1=12,经检验n=3时符合题意，∴选C.6.【解析】选B.f ′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴f ()cos 0222πππ'==.7.独具【解题提示】解答本题可先根据函数的图像经过定点P(1)3π，求出k 的值，然后利用导数的几何意义即可求出P 处的切线斜率.【解析】选C.f ()kcos 1k 2.33ππ==∴=由题意，∴y=2cosx,∴y ′=-2sinx,∴切线斜率为2sin 3π-=.8.【解析】选B.令1u x x=+，则y=u 5，4u 44221y y u 5u (x )x1115u (1)5(x )(1).x x x∴'=''=+'=-=+-9.【解析】选C.∵y=x 3+11,∴y ′=3x 2, ∴当x=1时，y ′=3,∴曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 10.【解析】选D.由题意知,f ′(x)=2ax+b. 由f ′(0)＞0得b ＞0，又由f(x)≥0恒成立， 则()()2a 00b b 4ac 0f 1a b c a c 11 2.f 0b b ⎧≤⎨-≤⎩+++∴==+≥≥'＞，故＜11.【解析】选D.∵y=x 3-x+1,∴y ′=3x 2-1, 设切点为P(x 0,y 0),20k tan 3x 11,30,),0.24=α=-≥-ππα∈π∴≤α<≤α<π 则又［或 12.独具【解题提示】存在x 0∈(0，1)，使f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0成立，即方程f ′(x 0)-［f(x 0)］2=0在(0，1)上有解. 【解析】选B.由于()()()2222a x 32ax f x x3+-'==+()()()()22222000022223a ax a x 3a ax f x f x 0x3x3---'-==++，于是［］，即222003a ax a x 0--=，因为a ≠0，所以()201a x 3+=.当 1+a=0时，方程()201a x 3+=无解；当1+a ≠0时，203x 1a=+， 因为x 0∈(0，1)，所以20x (01)∈，，即3011a+＜＜，解得a ＞2. 13.【解析】y ′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2, ∴当x=1时，y ′=4. 答案：414.【解析】∵()x 4f x (x cos2x 3)π-'=+'()x 4x 4x 4(x cos2x)(3)x cos2x x cos2x 3ln3cos2x x sin2x 23ln3,2f ()cos sin 2ln34442ln3.2π-π-π-='+'='+'+=-+ππππ∴'=-+π=-+答案:ln32π-+15.【解析】y ′=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3 当x=-1时切线的斜率最小，此时k 0=3 此时曲线上的点为(-1,-14)∴切线方程为y-(-14)=3(x+1)即3x-y-11=0. 答案：3x-y-11=016.【解析】∵y=e ax =(e a )x ,∴y ′=(e a )x ·lne a =ae ax , ∴y=e ax 在点(0,1)处的切线l 的斜率k=ae a ·0=a. 又∵l 与直线x+2y+1=0垂直, ∴1k ()12-=- ,∴a=k=2. 答案:217.【解析】因为y ∆==222=()x 0y x y f x limx ∆→∆=∆∆∴'===∆所以18.【解析】()2311y 2x 5x 1x ⎛⎫'=-++' ⎪⎝⎭()()()()23442x x 5x 134x 3x 54x 5.x--='-'+'+'=++=++ (2)y ′=(x 2cosx)′=(x 2)′cosx+x 2(cosx)′ =2xcosx-x 2sinx.()()()()()2233313224113y x x x x 11x x x x x x x x 133x 1.x x--⎛⎫⎛⎫'=--' ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=--+'⎪⎝⎭='-'-'+'=-+-方法一：［］222222232241111:y x x x x x x x x 11121x x 2x x x x x 133x 1.x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-'-+--'⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-方法二(4)y ′=2cos(x 2-1)［cos(x 2-1)］′ =2cos(x 2-1)［-sin(x 2-1)］·2x =-2xsin(2x 2-2).19.【解析】(1)若(1，1)为切点， ∵y ′=3x 2,∴k=3·12=3, ∴l 方程为:y-1=3(x-1),即3x-y-2=0,(2)若(1,1)不是切点,设切点为()300x ,x ,3200020000x 1k 3x ,x 12x x 10.1x 1()x ,2-==---=∴==-则切线斜率即舍或()20013x k 3x ,243y 1x 143x 4y 10.=-==∴-=--+=时，方程为，即l综上，直线l 的方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 独具【方法技巧】曲线切线的求法(1)求曲线的切线首先应判断该点是否在曲线上，以免出现不必要的错误. (2)求过某点的曲线的切线方程问题，不仅要看该点是否在曲线上，还要注意该点是否为切点，因为导数法求切线方程关键是求切线斜率，而求切线斜率的关键在于求切点的横坐标，而求切点横坐标常用斜率公式1212y y k x x -=-,由切点既在切线上又在曲线上等条件构造等量关系，解方程(组)求出. (3)审题时要注意以下几种说法的不同： ①求过点P(x 0,y 0)的曲线y=f(x)的切线方程， ②求曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线方程, ③求曲线y=f(x)在x=x 0处的切线方程. 其中②③知切点为(x 0,f(x 0)).20.独具【解题提示】解答本题的关键是根据两曲线在点(2，0)处有相同的切线，列出关于a ，b 的方程组，然后解方程组求出a ，b 的值，进而写出l 的方程.【解析】f ′(x)=3x 2+4ax+b,g ′(x)=2x-3.由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)=g(2)=0，f ′(2)=g ′(2)=1, 由此得88a 2b a 0a 2,.128a b 1b 5+++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以切线l 的方程为x-y-2=0.21.独具【解题提示】依次计算，f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)等，观察式子的特点，寻找规律，猜想出f 2 010(x).【解析】f 1(x)=f ′(x)=(sinx+cosx)′=cosx-sinx, f 2(x)=f ′1(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx, f 3(x)=f ′2(x)=(-sinx-cosx)′ =-cosx+sinx,f 4(x)=f ′3(x)=(-cosx+sinx)′ =sinx+cosx=f(x), ∴f n+4(x)=f n (x), 又∵2 010=4×502+2， ∴f 2 010(x)=f 2(x)=-sinx-cosx.22.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为7y x 34=-.()()21bx 2y .f x a ,2x b 12a a 122.b 7b 3a 443f x x .x=='=+⎧-=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩=-当时，又于是，解得故世纪金榜 圆您梦想- 11 - (2)设P(x 0,y 0)为曲线上任一点，由23y 1x '=+知曲线在点P(x 0,y 0)处的切线方程为 ()()0020002003y y 1x x ,x 33y x 1x x .x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 令x=0得06y x =-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令y=x 得y=x=2x 0从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P(x 0,y 0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为00162x 62x -=. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

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单元质量评估(二)第二章算法初步(120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是( )①S=1+2+3+…+100；②S=1+2+3+…；③S=1+2+3+…+n(n≥2且n∈N)（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③2.已知一算法如下：第一步：min=a；第二步：如果b＜min，则min=b；第三步：如果c＜min，则min=c；第四步：输出min．如果a=3,b=6,c=2，则执行这个算法的结果是( )（A）min=3 （B）min=6 （C）min=2 （D）min3.下面的算法运行的结果是( )A=5B=3B=B+A A=A+B 输出A（A ）13 （B ）11 （C ）16 （D ）84.(2011·北京高考）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( ) （A ）-3 （B ）12（C ）13（D ）25.(2011·天津高考）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( )（A ）0.5 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.如图所示算法框图所进行的求和运算是( ) （A ）111124620+++⋯+（B ）11113519+++⋯+（C ）11112418+++⋯+（D ）231011112222+++⋯+7.若输入的x 为4，则执行下面的算法得到的结果是( ) 输入xIf x>3 Theny=x2+2*xElsey=2*x+5End If输出y（A）13 （B）16 （C）24 （D）23 8.下面的程序运行后的结果是( )S=1For i=1 to 11 Step 2S=S+iNext输出S（A）25 （B）36 （C）66 （D）23 9.下面的程序的功能是( )i=12S=1DoS=S*ii=i+2Loop While i>=16输出S（A）计算1+3+5+…+15的值（B）计算1×3×5×…×15的值（C）计算12×13×14×15×16的值（D）计算12×14×16的值10.（2011·温州模拟）下图是一个算法框图，当输入x的值为3时，输出y的，则“？”处的关系式是( )结果恰好是13（A）y=x3（B）y=3-x（C）y=3x（D）y=13x11.（2011·陕西高考）右图中，x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6,x2=9,p=8.5时，x3等于( )（A）11 （B）10（C）8 （D）712.读程序,对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )（A）程序不同,结果不同（B）程序不同，结果相同（C）程序相同,结果不同（D）程序相同，结果相同甲：乙：i=1 000S=0 S=0For i=1 To 1 000 DoS=S+i S=S+ii=i-1Next Loop While i＞=1输出S 输出S二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.下列程序运行后，a，b，c的值各为（1）_______，（2）________.（1）a=3 （2）a=3b=-5 b=-5c=8 c=8a=b a=bb=c b=c输出a，b，c c=a输出a，b，c14.（2011·杭州高一检测）以下程序运行后的输出结果是______.i=1Doi=i+2s=2*i+3Loop While i<8输出s15.(2011·湖南高考）若执行如图所示的框图，输入x1=1,x2=2,x3=3,x=2,则输出的数等于______.16.为了让学生更多地了解“亚运会”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻亚运的足迹，点燃激情的人生”的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计(如下表).在统计数据的分析中有一项计算的程序框图如图所示，则输出S的值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分）写出一个求解任意二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的算法.18.(12分）如图是一个算法的算法框图，求最后输出的W的值．19.（12分）（2011·苏州模拟）现欲求1111352n 1+++⋯+-的值(其中n 的值由键盘输入)，请画出程序框图，并设计出程序.20.(12分）下列语句是求S=2+3+4+…+99的一个程序，请回答问题： i=1 S=0 DoS=i+S i=i+1 Loop While i ＜99 输出S（1）语句中是否有错误？请加以改正； （2）把程序改成另一种类型的循环语句.21.（12分）到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，只画出流程图.22.（12分）已知函数y=x2+2x(x∈［-10,10］，x∈Z)，编写程序，求该函数的最大值．答案解析1.【解析】选B.因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解.2.【解析】选C.根据算法可知该算法的功能是求出输入的数据中的最小值，所以最后输出的结果是C.3.【解析】选A.由于先执行了B=B+A，得到了B=8，然后执行A=A+B，得到A=13.故选A.4.【解析】选D.循环操作4次时s的值分别为13，-12，-3，2,故选D.5.【解析】选C.第一次循环结果x=7;同理第二次循环得x=4;第三次循环的结果x=1;第四次循环：y=21=2.6.【解析】选A.当n=2时s=12，一直到n=18时，1111s24620=+++⋯+.7.【解析】选C.由于输入x=4可知满足条件语句中的条件，所以执行y=x2+2*x，得到结果是y=24，故选C.8.【解析】选B.根据程序的含义可知该程序是求S=1+3+5+7+9+11的值，故可知求得的结果为S=36.故选B.9.【解析】选D.根据程序可知i 的初始值是12，是按照i=i+2累加的，并且当i>=16时执行循环，所以该程序的功能是计算12×14×16的值.10.【解析】选C.根据算法框图和已知当x=3时，∵x ＞0，∴x=x-2,∴x=1， 又x=x-2,x=-1时，y=13,∴“?”代表3x ,故选C.11.独具【解题提示】先读懂如图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件|x 3-x 1|<|x 3-x 2|是否成立是解答本题的关键.【解析】选C.x 1=6,x 2=9，|x 1-x 2|=3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3;由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x 3-x 1|<|x 3-x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3-x 1|<|x 3-x 2|成立，即为“是”，此时x 2=x 3,所以13x x p 2+=,即36x 8.52+=,解得x 3=11>7.5,不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3-x 1|<|x 3-x 2|不成立，即为“否”，此时x 1=x 3,所以32x x p 2+=,即3x 98.52+=,解得x 3=8>7.5,符合题意，故选C.12.【解析】选B.甲的程序设计语言采用的是For 语句，表示的是：“计算1+2+3+…+999+1 000”；乙的程序设计语言采用的是Do Loop 语句，表示的是：“计算1 000+999+998+…+2+1”.所以甲、乙的程序不同，但结果相同.独具【误区警示】本题考查了For 语句和Do Loop 语句，比较容易出现的问题是分析不清楚二者之间的区别与联系，实际上在For 语句中必须知道初始值和终止值，而Do Loop 语句则不需要. 13.【解析】这里实际上是交换变量的值.（1）把b 的值-5赋给a （冲掉a 原来的值），把c 的值8赋给b （冲掉b 原来的值），c 的值不变.（2）把b 的值-5赋给a ，c 的值8赋给b ，又把a 现在的值-5赋给c. 答案:（1）a=-5，b=8，c=8, （2）a=-5，b=8，c=-5.14.独具【解题提示】解答本题的关键是理解循环语句中终止循环的条件是什么？执行了几次循环体，然后结合赋值语句写出相应的输出结果. 【解析】由循环语句知当i=3时，s=2×3+3=9； 当i=5时，s=2×5+3=13; 当i=7时，s=2×7+3=17; 当i=9时，s=2×9+3=21. 答案:2115.【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则2221222322S 33-+-+-==（）（）（）.答案: 2316.独具【解题提示】本题是比较综合的一道题目，在求解时要先分析题目含义，然后完成频率分布表，根据频率分布表的内容结合框图的功能进行求解. 【解析】本题综合考查统计及框图的相关知识与方法.可得①为8，②为0.44，③为6，④为0.12.由程序框图得S=G 1F 1+G 2F 2+G 3F 3+G 4F 4 =65×0.16+75×0.44+85×0.28+95×0.12=78.6. 答案:78.617.独具【解题提示】由二次函数的性质知，当a>0时，函数有最小值24ac b 4a-；当a<0时，函数有最大值24ac b 4a-.【解析】算法步骤用自然语言叙述如下： 计算m=24ac b 4a；若a>0，则函数最小值是m ；若a<0,则函数最大值是m. 18.【解析】根据算法框图的计算可知 第一次：T ＝1，S ＝12-0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32-1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52-8＝17. 此时满足S ≥10. 所以W=S+T=17+5＝22.19.【解析】由题意得算法框图如图示：程序如下： 输入n S=0i=0Doi=i＋1S=S+12*i1Loop While i<n输出S独具【方法技巧】循环语句的编写技巧利用循环语句写算法时，要分清步长、变量初值、终值，必须分清循环次数是否确定，若确定，两种语句均可使用，当循环次数不确定时用Do Loop语句.20.【解析】(1)错误有两处：第一处：语句i=1应改为i=2.第二处：语句Loop While i＜99，应改为Loop While i≤99(2)语句改成另一种循环类型语句应为：i=2S=0For i=2 To 99S=S+iNext输出S21.【解析】要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知1(0x100)y x0.01(100x 5 000), 50(5 000x 1 000 000).<≤⎧⎪=⨯<≤⎨⎪<≤⎩，流程图如下图所示．22.【解析】程序框图：程序如下：。

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阶段质量检测(二)/单元质量评估(二)第二章(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.F 1，F 2是定点，｜F 1F 2｜=7，动点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=7，则M 的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)线段 (D)圆2.椭圆2x 2+3y 2=6的长轴长是( )(C) (D)3.已知双曲线22x a-y 2=1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )(A)y= (B)y=±5x(C)y= (D)y=±3x4.设定点F 1(0，-3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)线段 (C)不存在 (D)椭圆或线段5.(易错题)设椭圆2222x y mn+=1、双曲线2222x y mn-=1、抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n＞0)的离心率分别为e 1,e 2,e 3,则( ) (A)e 1e 2＞e 3(B)e 1e 2＜e 3(C)e 1e 2=e 3(D)e 1e 2与e 3大小不确定6.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( ) (A)43(B)75(C)85(D)37．(2012·石家庄高二检测)设k ＜3,k ≠0，则二次曲线2x3k--2yk=1与22xy52+=1必有( )(A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点 (D)相同的离心率8.设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )(C)12+ (D)12+9.已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在抛物线x 2=y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 10.已知椭圆C 1：2222x y ab+=1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：22yx4-＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) (A)a 2=132(B)a 2=13(C)b 2=12(D)b 2=211.已知双曲线222x ya2-=1(a )的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( )(A)3(B)3(D)212.已知A 、B 为抛物线C ：y 2=4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA=-4FB，则直线AB 的斜率为( )(A)±23(B)±32(C)±34(D)±43二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为 . 14.(能力题)直线y=x+3与曲线2x x y94-=1的公共点的个数为 ．15.(2012·上海高二检测)以抛物线y 2=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是x 的双曲线方程为 .16.抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,则m 的范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±32x.18.(12分)(2012·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，-)，F2(0，，且离心率3.(1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B ，且线段AB 中点的横坐标为12-，求直线l 斜率的取值范围.19.(12分)已知动圆C 过定点F(0，1)，且与直线l 1:y=-1 相切，圆心C 的轨迹为E.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则｜PQ ｜的最大值为多少？20.(12分)设双曲线C ：2222x y ab-=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为e ，若右准线l 与两条渐近线相交于P ，Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线C 的离心率e 的值； (2)若双曲线C 被直线y=ax+b 截得弦长为22b e a，求双曲线C 的方程.21.(12分)设椭圆方程为22yx 4+=1，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A ，B ，O是坐标原点，点P满足O P =12(O A +OB)，点N的坐标为(12,12)，当l 绕点M 旋转时，求(1)动点P的轨迹方程；(2)｜NP｜的最小值与最大值.22.(12分)(2012·江西高考)已知三点O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x,y)满足|MA +M B|=OM ⋅(O A +OB)+2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P的坐标是(0，-1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比.答案解析1.【解析】选C.由于点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜F 1F 2｜，点M 在线段F 1F 2上，故选C.2.【解析】选D.椭圆方程化标准形式22xy32+=1，a 2=3，，2a=轴长为3.【解析】选D.∵y 2=8x 焦点是(2，0)， ∴双曲线22x a-y 2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a ＞0，所以,∴双曲线的渐近线方程是y=〒3x.4.【解析】选D.由｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a≥=6，当｜PF 1｜+｜PF 2｜=6时轨迹为线段，当｜PF 1｜+｜PF 2｜＞6时轨迹为椭圆.5.【解题指南】本题解题关键是由方程的标准式，求出对应的a,b,c ，进而求出离心率.【解析】选B.由离心率的概念得e 1=m,e 2=m，则e 1e 2，又m ＞n ＞0,所以e 1e 2＜1=e 3,故选B.6.【解析】选A.设与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+c=0，与抛物线联立方程组得24x 3y c 0y x++=⎧⎨=-⎩，消去y 得3x 2-4x-c=0，Δ=(-4)2-4〓3〓(-c)=0，解得c=43-，则抛物线与直线4x+3y-8=0平行的切线是4x+3y 43-=0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得48-+｜｜=43，故选A.7．【解析】选C.当0＜k ＜3时，则0＜3-k ＜3, ∴22xy3kk--=1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2+b 2=3=c 2.∴两曲线有相同焦点; 当k ＜0时，-k ＞0且3-k ＞-k ，∴22xy3kk+--=1表示焦点在x 轴上的椭圆.a 2=3-k,b 2=-k.∴a 2-b 2=3=c 2 与已知椭圆有相同焦点.8.【解析】选D.不妨设双曲线方程为2222x y ab-=1(a ＞0,b ＞0)，则可令F(c,0),B(0,b)，直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=bax 垂直，所以-b c⋅b a=-1，即b 2=ac ，所以c 2-a 2=ac,即e 2-e-1=0,所以2或2舍去).【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程：设法求出圆锥曲线的方程，再依方程求出a,b,c ，进而求出离心率；(2)借助题目中的等量关系：充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c 的等量关系，再对其等量关系进行变形，从而求出a,c 的关系；(3)巧用圆锥曲线中的线段关系：圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形，掌握各平面图形自身特点，能快速找到对应的等量关系，如直径所对角为直角.9.【解析】选A.由已知可得|AB|＝S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距C(x ，x 2)，而l AB ：x ＋y-2＝02x x 2+-｜｜，所以x 2＋x-2＝〒2，当x 2＋x-2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x-2＝-2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A. 10.【解析】选C.由双曲线x 2-2y4＝1知渐近线方程为y ＝〒2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点， ∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝222(b 5)b5b 20++.设直线与椭圆一交点为E(x,y),x ＞0,y ＞,则y=2x=2⋅,,∵2|OE|=A B 3,|AB|=2a,∴2|OE|=2a 3,∴=2a 3,解得b 2=12.11.【解析】选A.如图所示，双曲线的渐近线方程为：y=〒ax,若∠AOB=3π，则θ=6π,tan θ=a=3,∴. 又∵∴e=ca =3=12.【解析】选D.由FA =-4FB 知F ，A ，B 三点共线，不妨设FB 长度为1个单位，则｜FA ｜为4个单位，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C ，D,则有｜AC ｜=4，｜BD ｜=1，过B 点作BE 垂直AC ，垂足为E ，有｜AE ｜=3，由此得∠EAB 的正切值为43，由抛物线的对称可知有两条这样的直线.即得直线AB 的斜率.13.【解析】设正方形边长为1，则｜AB ｜=2c=1,∴c=12,｜AC ｜+｜BC ｜=1+∴a=12，∴e=ca=1214.【解析】当x ≥0时，方程2x x y94-=1化为22yx94-＝1；当x<0时，2x x y94-=1化为22yx94+=1，∴曲线2x x y94-=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线y=x+3与曲线2x x y94-=1的公共点的个数为3．答案：3【方法技巧】直线与圆锥曲线位置的判断判断直线与圆锥曲线间的位置关系，一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时，用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系；当直线的斜率存在且不为0时，可联立方程用判别式确定方程根的个数，进而确定直线与圆锥曲线间的关系，做题时要特别注意下面几点：(1)若直线过椭圆内一点，则直线与椭圆一定相交.(2)直线与双曲线相交有两种情形，一是两交点在双曲线的一支上，二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形，一是直线与双曲线相切(对应判别式为0)，二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).(3)直线与抛物线只有一个公共点，也有两种情形，一是直线与抛物线相交，(此时直线与对称轴平行或重合)，二是直线与抛物线相切(对应判别式为0). 15.【解析】抛物线y 2=的焦点F 为(，设双曲线方程为x 2-3y 2=λ，43λ=(2,∴λ=9，双曲线方程为22xy93-=1.答案：22xy93-=1【变式训练】已知抛物线的方程是y 2=8x ，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是_________，其渐近线方程是_________. 【解析】由抛物线的方程y 2=8x 得焦点为(2,0)，所以双曲线的实轴在x 轴上，且c=2，又离心率为2，所以a=1，又由b 2=c 2-a 2得b 2=3,所以双曲线的标准方程是22yx3-=1，其渐近线方程是y=x.答案：22yx3-=1 y=x16.【解析】设抛物线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=m(x-3)对称，A ，B 中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称. 当m ≠0时，211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒1212y y x x --=121y y +=12y=1m-,所以y=m 2-，所以M 的坐标为(52,m 2-)，∵M 在抛物线内，则有52＞(m 2-)2，得＜m且m ≠0，综上所述，m ∈().答案：()【一题多解】设两点为A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)，它们的中点为M(x ，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b ，与方程y 2=x 联立，得y 2+my-b=0 (*) 所以 y 1+y 2=-m ，即y=m 2-，又因为中点M 在直线y=m(x-3)上，所以得M 的坐标为(52,m 2-)，又因为中点M 在直线x=-my+b 上，b=52-2m 2，对于(*)，有Δ=m 2+4b=10-m 2>0，所以m.答案：()17.【解析】(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为2222x y ab-=1.由题意，得2222b 12,b c a ,c 5.a4⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩解得a=8,c=10,b=6.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为22xy6436-=1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222x y ab-=1.由题意，得2a 6b 3a2=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得a=3,b=92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为22xy8194-=1.同理可求当焦点在y 轴上时双曲线的方程为22yx94-=1.18.【解析】(1)设椭圆方程为2222x y ab+=1(a ＞b ＞0),由已知c=又ca3解得a=3,所以b=1, 故所求方程为22yx9+=1.(2)设直线l 的方程为y=kx+t(k ≠0)代入椭圆方程整理得(k 2+9)x 2+2ktx+t 2-9=0,由题意得2222(2kt)4(k 9)(t 9)02kt1k 9⎧∆=-+-⎪⎨-=-⎪+⎩＞, 解得kk ＜.19.【解析】(1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2=4y.(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2=4y,当直线l 2斜率为0时 ｜PQ ｜=.当直线l 2斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2，两式作差得 x 12-x 22=4(y 1-y 2)，即得k=12x x 4+=t2,则直线方程为y-2=t 2(x-t),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0. 由根与系数的关系得x 1+x 2=2t,x 1x 2=2t 2-8, ｜PQ ｜6,即｜PQ ｜的最大值为6.20.【解析】(1)双曲线C 的右准线l 的方程为：x=2ac，与x 轴的交点为M,两条渐近线方程为:y=〒ba x.∴两交点坐标为P(2ac,ab c),Q(2ac,-ab c).∵△PFQ 为等边三角形，则有｜MF ｜2｜PQ ｜(如图).∴c-2ac=2(ab c+ab c),即22c a c-=c解得∴e=c a=2.(2)由(1)得双曲线C 的方程为2222x ya3a-=1.把代入得(a 2-3)2x +2x+6a 2=0.依题意2422a 30,12a 24(a 3)a 0⎧-≠⎪⎨∆=--⎪⎩＞ ∴a 2＜6，且a 2≠3.∴双曲线C 被直线y=ax+b 截得的弦长为∵22b e a=12a,∴144a 2=(1+a 2)242272a 12a (a 3)-⋅-整理得13a 4-77a 2+102=0. ∴a 2=2或a 2=5113,∴双曲线C 的方程为22xy26-=1或2213x 13y51153-=1.21.【解析】(1)直线l 过点M(0，1),设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标是方程组22y kx 1y x 14=+ ⎧⎪⎨+= ⎪⎩①②的解.将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx-3=0，所以1221222k x x ,4k8y y .4k⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+于是O P =12(O A +OB )=(12x x 2+,12y y 2+)=(2k 4k-+,244k+),设点P 的坐标为(x,y), 则22k x ,4k4y ,4k-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩+消去参数k 得4x 2+y 2-y=0. ③当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y=0. (2)由点P 的轨迹方程知x 2≤116,即-14≤x ≤14.所以｜NP｜2=(x-12)2+(y-12)2=(x-12)2+14-4x 2=-3(x+116)2+712,故当x=14时，｜NP｜取得最小值，最小值为14.当x=-116时，｜NP6.22.【解析】(1)由MA =(-2-x,1-y),M B=(2-x,1-y),得 |MA +M B,OM ⋅(O A +OB)=(x,y)〃(0,2)=2y.化简得曲线C 的方程是x 2=4y.(2)直线PA,PB 的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y=0x 2x-20x 4,且与y 轴的交点为F(0,20x 4-),分别联立方程组200y x 1,x x y x ,24=--⎧⎪⎨=-⎪⎩200y x 1,x x y x ,24=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得D,E 的横坐标分别是x D =0x 22-,x E =0x 22+,则x E -x D =2,|FP|=1-20x 4,故S △PDE =12|FP|〃|x E -x D |=12〓(1-20x 4)〓2=24x 4-, 而S △QAB =12〓4〓(1-20x 4)=24x 2-,则Q A B P D ES S =2,即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。

单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.由1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是( ) A.归纳推理 B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理【解析】选A.根据定义可知是归纳推理.2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心.3.在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.4.若a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ca2D.ac(a-c)<0【解析】选C.A，B，D一定成立.当b=0时，C不成立，所以C不一定成立. 5.用反证法证明命题“若a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线(点法式)方程为：1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，化简得x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为( )A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )A.a=，b=c=B.a=b=c=C.a=0，b=c=D.不存在这样的a，b，c【解析】选A.令n=1，2，3，得所以a=，b=c=.8.已知f(x+1)=，f(1)=1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选B.由已知得，f(2)==，f(3)===，f(4)==，因而，猜想f(x)=.9.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=( ) A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选B.因为m2=1+3+5+…+11=×6=36，所以m=6.因为23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，所以53=21+23+25+27+29，因为n3的分解中最小的正整数是21，所以n3=53，n=5，所以m+n=6+5=11.10.平面上有n条直线，其中任意的两条不平行，任意三条不共点.f(k)表示n=k 时平面被分成的区域数，则f(k+1)-f(k)= ( )A.kB.k+1C.k-1D.k+2【解析】选B.1条直线把平面分成2个区域；2条直线把平面分成(2+2)个区域；3条直线把平面分成(2+2+3)个区域；4条直线把平面分成(2+2+3+4)个区域；由此可知，若k条直线把平面分成f(k)个区域，f(k+1)=f(k)+k+1，则f(k+1)-f(k)=k+1.11.已知x>0，不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a的值为( )A.n2B.n nC.2nD.22n-2【解析】选B.由x+≥2，x+=x+≥3，x+=x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，故a=n n.12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{a n}中，由于4+6=3+7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.因为b4=b1q3，b5=b1q4，b7=b1q6，b8=b1q7，所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).因为q>1，b n>0，所以b4+b8>b5+b7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知x，y∈R，且x+y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_________.【解析】“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14.已知圆的方程是x2+y2=r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为_________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1类似的性质为：过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.答案：经过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=115.函数y=a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则+的最小值为_________.【解析】因为函数y=a1-x的图象所过的定点为A(1，1)，且点A在直线mx+ny-1=0上，所以m+n=1.又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，于是+=(m+n)·=2++≥2+2=4.答案：416.(2017·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+ S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有__________________ .【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，由线段类比平面，平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知在△ABC中，有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于.【解题指南】设最大角为A，最小角为C，因为A≥120°，所以B+C≤60°，C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围，即得所证.【证明】设最大角为A，最小角为C，则最大边为a，最小边为c.因为A≥120°，所以B+C≤60°，且C≤B，所以2C≤B+C≤60°，C≤30°.所以==≥ =2cos C≥.18.(12分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：+=1.【解题指南】采用分析法进行证明，根据结论+=1，可得c2+a2-b2-ac=0；再利用A，B，C成等差数列，可得B=60°，利用余弦定理可得b2=c2+a2-ac成立，从而得证.【证明】要证原式成立，只要证=1，即证bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即c2+a2-b2-ac=0，而三个内角A，B，C成等差数列，所以A+C=2B，又A+B+C=180°，所以B=60°，由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB=c2+a2-ac，所以c2+a2-b2-ac=0，故+=1.19.(12分)(2018·温州高二检测)设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明：数列{c n}不是等比数列.【证明】假设数列{c n}是等比数列，则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=a n-1a n+1，=b n-1b n+1.代入①并整理，得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n+，即2=+.②当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以+>2，与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列. 【拓展延伸】适宜用反证法证明的命题有：①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性，存在性的命题.③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体，更容易研究的命题.20.(12分)已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.【解析】一般性的命题为sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=.证明：左边=++=-[cos(2α-120°)+cos 2α+cos(2α+120°)]==右边.所以命题成立.21.(12分)若实数x，y，m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0，求实数x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 【解析】(1)由题意可得|x2-1-0|>|1-0|，即|x2-1|>1，即x2-1>1或x2-1<-1，解得x>或x<-，故实数x的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).(2)对任意两个不相等的正数a，b，有a3+b3>2ab，a2b+ab2>2ab.因为|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0，所以|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|，故a3+b3比a2b+ab2远离2ab.22.(12分)(2017·杭州高二检测)已知：0<b<a<e，其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系.(2)证明你的结论.【解析】(1)取a=2，b=1可知：a b>b a，又当a=1，b=时，a b>b a，由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)要证a b>b a对一切0<b<a<e成立，需证ln a b>ln b a，需证bln a>aln b，需证>，设函数f(x)=，x∈(0，e)，f′(x)=，当x∈(0，e)时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)=在(0，e)上单调递增，所以f(a)>f(b)，即bln a>aln b，所以a b>b a.。

单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017·郑州高二检测)下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【解析】选 D.归纳推理由部分到整体,特殊到一般,演绎推理由一般到特殊,类比推理由特殊到特殊,故①③⑤正确.2.(2017·石家庄高二检测)下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.3.已知a<b<0,下列不等式中成立的是( )A.a2<b2B.<1C.a<4-bD.<【解析】选C.令a=-2,b=-1,满足a<b<0,则a2>b2,=2>1,>,故A,B,D 都不成立.4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b大小关系不定【解析】选B.因为a=,b=,所以a<b.5.(2017·平顶山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选 A.推理过程中,“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”是错误的.6.(2017·太原高二检测)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为m=(-1,-2,1)的平面的方程为( )A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0 【解析】选 A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B 不为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系Oxyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不为0)表示________.【解析】Ax+By=0表示一条直线.Ax+By+C=0中的C=0说明截距为0,即当y=0时,解得x=0,所以当然过原点.同理,Ax+By+Cz=0,当z=0时,Ax+By=0,它是平面xOy中的一条过原点的直线,所以Ax+By+Cz=0是过原点的一个平面.答案:过原点的平面7.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选B.由已知得,f(2)==,f(3)===,f(4)==,因而,猜想f(x)=.8.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a”,则最终的索因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选A.因为a>b>c,且a+b+c=0,所以3c<a+b+c<3a,即a>0,c<0.要证<a,只需证b2-ac<3a2,只需证(-a-c)2-ac<3a2,只需证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)·(2a+c)>0,只需证2a+c>0(a>0,c<0,则a-c>0),只需证a+c+(-b-c)>0,即证a-b>0,这显然成立.【补偿训练】已知f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值( )A.一定大于零B.一定等于零C.一定小于零D.正负都有可能【解析】选A.f(x)=x3+x是奇函数,且在R上是增函数,由a+b>0得a>-b,所以f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0,同理f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0.9.数列{a n}中,a1=1,S n表示前n项和,且S n,S n+1,2S1成等差数列,通过计算S1,S2,S3,猜想当n≥1时,S n= ( )A. B.C. D.1-【解析】选B.由题意知,2S n+1=2S1+S n,则S1=1,S2=,S3=,则S n=.10.(2017·武汉高二检测)已知a>0,b>0,a,b的等差中项为,且m=a+,n=b+,则m+n的最小值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选 C.由已知,得a+b=1,m+n=a++b+=1++=1++=3++≥3+2=5. 11.(2017·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31…A.809B.853C.785D.893【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个,则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405-1=809.12.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{a n}中,由于4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{b n}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.因为b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7,所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).因为q>1,b n>0,所以b4+b8>b5+b7.【补偿训练】(2017·西安高二检测)设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不等的常数),则++的值是____________. 【解题指南】利用导数的运算法则分别计算f′(a),f′(b),f′(c),再代入式子++计算.【解析】f′(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),f′(a)=(a-b)(a-c),f′(b)=(b-a)(b-c),f′(c)=(c-a)(c-b),++=++==0.答案:0二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2017·沈阳高二检测)一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是________.【解析】将圆分组:第一组○●,2个第二组○○●,3个第三组○○○●,4个所以每组图总个数构成一个等差数列,前n组圆的总个数为S n=2+3+4+…+(n+1)=·n=.令S n=120,得n≈14.1.即包含了14整组.答案:1414.(2017·济南高二检测)从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16= -(1+2+3+4),…,推广到第n个等式为________.【解析】因为1=1=(-1)1+1·1,1-4=-(1+2)=(-1)2+1·(1+2),1-4+9=1+2+3=(-1)3+1·(1+2+3),1-4+9-16=-(1+2+3+4)=(-1)4+1·(1+2+3+4),所以1-4+9-16+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1·(1+2+…+n).答案:1-4+9-16+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1(1+2+…+n)15.(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________;②该小组人数的最小值为________.【解析】设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a,b,c,则有2c>a>b>c,且a,b,c∈Z.①当c=4时,b的最大值为6;②当c=3时,a的值为5,b的值为4,此时该小组人数的最小值为12.答案:①6 ②1216.(2017·泸州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是:若O是△ABC 内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,将它类比到空间的情形应为:若O 是四面体ABCD内一点,则有________.【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,由线段类比平面,平面类比到空间,由线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0. 答案:V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【补偿训练】现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.【解析】平面内类比到空间=.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.【证明】假设f(x)=0有整数根n,则an2+bn+c=0(n∈Z),而f(0),f(1)均为奇数,即c为奇数,a+b为偶数,则a,b,c同时为奇数或a,b同时为偶数,c为奇数,当n为奇数时,an2+bn为偶数;当n为偶数时,an2+bn 也为偶数,即an2+bn+c为奇数,与an2+bn+c=0矛盾.所以f(x)=0无整数根.【补偿训练】(2017·中山高二检测)已知函数f(x)=a x+(a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【证明】(1)f′(x)=a x lna+,因为a>1,x∈(-1,+∞),所以a x lna>0,>0,所以f′(x)=a x lna+>0,所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)假设方程f(x)=0存在负数根x0,即x0<0(x0≠-1),则+=0,即=-.因为a>1,所以0<<1,所以0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0相矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.【拓展延伸】适宜用反证法证明的命题有:(1)结论本身是以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性,存在性的命题.(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体,更容易研究的命题.18.(12分)已知在△ABC中,有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于.【解题指南】设最大角为A,最小角为C,因为A≥120°,所以B+C≤60°,C≤30°,再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围,即得所证.【证明】设最大角为A,最小角为C,则最大边为a,最小边为c.因为A ≥120°,所以B+C≤60°,且C≤B,所以2C≤B+C≤60°,C≤30°.所以==≥=2cosC≥.【补偿训练】已知f(x)=ax3+3x2-x+1,a∈R.(1)若f(x)的曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值及切线方程.(2)若对任意x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3ax2+6x-1,因为曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直,所以f′(1)=3a+5=-1⇒a=-2,此时切点为(1,1),切线方程为x+y-2=0.(2)因为对任意x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,所以3ax2+2x-1≤0恒成立,所以⇒a≤-.19.(12分)(2017·南昌高二检测)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用分析法和综合法证明B为锐角.【证明】分析法:要证明B为锐角,只需证cosB>0,又因为cosB=,所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知=+,即2ac=b(a+c),所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而a+c>b显然成立,所以B为锐角.综合法:由题意:=+=,则b=,所以b(a+c)=2ac.因为a+c>b,所以b(a+c)=2ac>b2.又a2+c2≥2ac,所以cosB=≥>0.又因为0<B<π,所以0<B<,即B为锐角.【补偿训练】(2016·杭州高二检测)已知:0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系.(2)证明你的结论.【解析】(1)取a=2,b=1可知:a b>b a,又当a=1,b=时,a b>b a,由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)要证a b>b a对一切0<b<a<e成立,需证lna b>lnb a,需证blna>alnb,需证>,设函数f(x)=,x∈(0,e),f′(x)=,当x∈(0,e)时,f′(x)>0恒成立.所以f(x)=在(0,e)上单调递增,所以f(a)>f(b),即blna>alnb,所以a b>b a.20.(12分)已知x,y∈N*,下列不等式成立.①x2+y2≥;②x2+y2≥;③x2+y2≥.根据上述不等式,请你推出一般的结论,并证明你的结论.【解析】一般的结论是:已知x,y∈N*,a,b都是正数,且a+b=1,则ax2+by2≥(ax+by)2.证明:因为a+b=1,所以a=1-b>0,b=1-a>0.所以(ax2+by2)-(ax+by)2=(a-a2)x2-2abxy+(b-b2)y2=a(1-a)x2-2a(1-a)xy+a(1-a)y2=a(1-a)(x2-2xy+y2)=a(1-a)(x-y)2.又a>0,1-a>0,(x-y)2≥0,所以(ax2+by2)-(ax+by)2≥0.所以ax2+by2≥(ax+by)2成立.21.(12分)用数学归纳法证明(n2-12)+2·(n2-22)+…+n(n2-n2)=n2(n-1)(n+1)(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,左边=1·(12-12)=0,右边=·12·0·2=0,所以左边=右边,n=1时等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1·(k2-12)+2·(k2-22)+…+k·(k2-k2)=k2(k-1)(k+1).则当n=k+1时,1·[(k+1)2-12]+2·[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=[1·(k2-12)+2·(k2-22)+…+k·(k2-k2)]+[1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)]=k2(k-1)(k+1)+·(2k+1)=k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]=k(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)2k(k+2),即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)知对一切n∈N*,等式成立.【拓展延伸】数学归纳法的两点关注(1)关注点一:用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始n0是多少.(2)关注点二:由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k 时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.22.(12分)(2017·兰州高二检测)如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上,BQ=4.(1)若DP=DD1,证明:PQ∥平面ABB1A1.(2)若P是D1D的中点,证明:AB1⊥平面PBC.【证明】(1)在AA1上取一点N,使得AN=AA1,连接PN,BN. 因为DP=DD1,且A1D1=3,AD=6,所以PN AD,又BQ AD,所以PN BQ,所以四边形BQPN为平行四边形,所以PQ∥BN.因为BN⊂平面ABB1A1,PQ⊄平面ABB1A1,所以PQ∥平面ABB1A1.(2)如图所示,取A1A的中点M,连接PM,BM.因为A1A,D1D是梯形的两腰,P是D1D的中点,所以PM∥AD,于是由AD∥BC知,PM∥BC,所以P,M,B,C四点共面.由题设可知,BC⊥AB,BC⊥A1A,所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AB1,因为tan∠ABM====tan∠A1AB1,所以∠ABM=∠A1AB1,所以∠ABM+∠BAB1=∠A1AB1+∠BAB1=90°, 所以AB1⊥BM,又因为BC∩BM=B,知AB1⊥平面PBC.。

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单元质量评估(二)第3、4章（45分钟 100分）一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1.(2012·江苏高考)人类对遗传物质本质的探索经历了漫长的过程，下列有关叙述正确的是( )A.孟德尔发现遗传因子并证实了其传递规律和化学本质B.噬菌体侵染细菌实验比肺炎双球菌体外转化实验更具说服力C.沃森和克里克提出在DNA双螺旋结构中嘧啶数不等于嘌呤数D.烟草花叶病毒感染烟草实验说明所有病毒的遗传物质是RNA2.用a表示DNA，b表示基因，c表示脱氧核苷酸，d表示碱基，下图中四者关系正确的是( )3.如图所示为真核细胞中核基因遗传信息的传递和表达过程。

下列相关叙述正确的是( )A.①②过程中碱基配对情况相同B.②③过程发生的场所相同C.①②过程所需要的酶相同D.③过程中核糖体的移动方向是由左向右4.(2012·南昌高一检测)下列有关植物遗传的叙述，正确的是( )A.由A、C、T、U 4种碱基参与合成的核苷酸共有7种B.一个转运RNA只有3个碱基并且只携带一个特定的氨基酸C.一个用15N标记的双链DNA分子在含有14N的培养基中连续复制两次后，所得的后代DNA分子中含15N和14N的脱氧核苷酸单链数之比为1∶3D.控制细胞核遗传和细胞质遗传的物质分别是DNA和RNA5.(2012·泰州高二学业水平考试)如图所示的四种化学组成中，与“A”所对应的名称相符合的是( )A.①—腺嘌呤核糖核苷酸B.②—腺嘌呤核糖核苷酸C.③—腺嘌呤脱氧核苷酸D.④—腺嘌呤6.真核细胞内某基因由1 000对脱氧核苷酸组成，其中碱基T占20%。

下列叙述中不正确的是( )A.该基因的复制需要解旋酶和DNA聚合酶的参与B.该基因的一条脱氧核苷酸链中(C+G)/(A+T)为 3∶2C.该基因转录形成mRNA必须有RNA聚合酶的参与D.该基因复制3次，则需要游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸2 800 个7.在遗传信息的传递过程中，一般不可能发生的是( )A.DNA复制、转录及翻译过程都遵循碱基互补配对原则B.核基因转录形成的mRNA穿过核孔进入细胞质中进行翻译过程C.DNA复制、转录都是以DNA一条链为模板，翻译则是以mRNA为模板D.DNA复制、转录和翻译的原料依次是脱氧核苷酸、核糖核苷酸、氨基酸8.下列有关基因表达的叙述，正确的是( )A.基因通过控制蛋白质的合成而使遗传信息得到表达B.细胞中的基因都通过控制蛋白质的合成进行了表达C.蛋白质合成旺盛的体细胞中，核DNA多，mRNA也多D.细胞出现生理功能上稳定的差异，根本原因是基因的不同9.(2012·北京高一检测)如图是真核细胞中遗传信息的表达过程，字母表示细胞结构或物质，数字表示过程。

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单元质量评估(二)第二章(90分钟 100分)一、选择题(本题包括16小题，每小题3分，共48分)1.下列说法正确的是( )A.所有自发进行的化学反应都是放热反应B.熵值增大的反应都能自发进行C.由能量判据和熵判据组合而成的复合判据，适合于所有的反应D.同一物质的固、液、气三种状态的熵值相同2.下列关于平衡常数K的说法中，正确的是( )A.在任何条件下，化学平衡常数是一个恒定值B.改变反应物浓度或生成物浓度都会改变平衡常数KC.平衡常数K只与温度有关，与反应浓度、压强无关D.从平衡常数K的大小不能推断一个反应进行的程度3.下列各组反应(表中物质均为反应物)，反应刚开始时，放出H2的速率最大的是( )编号金属(粉末状) (mol) 酸的浓度及体积反应温度(℃)A Mg，0.1 6 mol·L-1硝酸10mL 60B Mg，0.1 3 mol·L-1盐酸10mL 60C Fe，0.1 3 mol·L-1盐酸100mL 60D Mg，0.1 3 mol·L-1硫酸5mL 604.(2012·南昌高二检测)(双选)下列有关反应限度的叙述正确的是( )A.可逆反应达到平衡状态后，改变外界条件后，若反应速率发生变化，则平衡一定发生移动B.大多数化学反应在一定条件下都有一定限度C.使用催化剂可降低反应活化能，加快反应速率，改变反应限度D.FeCl3溶液与KSCN溶液反应达到平衡时，加入少量KCl固体，因K+、Cl-与溶液颜色无关，所以溶液颜色不会变化5.下列说法中，能说明化学平衡一定向正反应方向移动的是( )A.N2O4(g)2NO2(g)，改变某一条件后，气体颜色加深B.N2(g)+3H2(g)2NH3(g)，改变某一条件后，NH3的体积分数增加C.H2(g)+I2(g)2HI(g)，单位时间内消耗H2和HI的物质的量之比大于1∶2D.2SO2(g)+O2(g)2SO3(g)，恒温恒压条件下，充入He6.增大压强，对已达平衡的反应3A(g)+B(g)2C(g)+2D(s)产生的影响是( )A.正反应速率加大，逆反应速率减小，平衡向正反应方向移动B.正反应速率减小，逆反应速率加大，平衡向逆反应方向移动C.正、逆反应速率都加大，平衡向正反应方向移动D.正、逆反应速率都没有变化，平衡不发生移动7.在反应A+B(s)C中，若增大压强或降低温度，B的转化率均增大，则反应体系应是( )A.A是固体，C是气体，正反应吸热B.A是气体，C是气体，正反应放热C.A是气体，C是固体，正反应放热D.A是气体，C是气体，正反应吸热8.下列各可逆反应达平衡后，改变反应条件，其变化趋势正确的是( )9.(2012·潍坊高二检测)在一定条件下的密闭容器中投入4 mol A和n mol的B，发生如下反应4A+5B4C+6D。

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单元质量评估(二)第二章 平面向量 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2011²慈溪高一检测)已知AB uuu r =(3，0),则|ABuuu r|等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)52.(2011²天津高一检测)若向量a ,br r的坐标满足a b +r r =(-2,-1), a b-r r=(4,-3)，则a r²br =( )(A)-5 (B)-4 (C)-3 (D)-2 3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H ，则OP OQ+uu r uuu r=( )(A)O Huuu r (B)O G uuu r(C)FOuur (D)EOuu u r4.已知a r=(2,1), a r²b r =10,|a b +r r则|br|=( )(C)5 (D)255.已知ar=(-1,x)与br=(-x,2)共线且方向相同,则x 等于( )(C)1 (D)6.(2011²黑龙江高一检测)已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：PA PB PC 0++=，若实数λ满足：AB AC AP+=λ,则λ的值为( )(A)23(B)32(C)2 (D)37.①AB AC BC -= ；②AB BC CA 0++= ；③若()()AB AC AB AC 0+-=，则△ABC 为等腰三角形；④若AC AB 0＞，则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是( )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④ 8.已知O为坐标原点，向量O A =(1,1), OB=(3,1),在x轴上有一点P使AP²BP取最小值，则点P 的坐标是( ) (A)(2,0) (B)(4,0) (C)(3,0) (D)(-3，0)9.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中正确的是( )(A)若a²b =0,则a =0或b=0(B)若λa=0 ,则a =0或λ=0(C)若a2=b 2,则a =b 或a=-b(D)若a²b =a ²c ,则b =c10.设a=(m,n)，b =(s,t)，定义两个向量a,b之间的运算“⊗”为a b ⊗=(ms,nt),若向量p=(1,2)，p q ⊗=(-3,-4)，则q等于( )(A)(-3，-2) (B)(3，-2) (C)(-2，-3) (D)(-3，2) 11.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P 的坐标为( ) (A)(-2，4) (B)(10，-5) (C)(-30，25) (D)(5，-10)12.(2011²海淀高一检测)若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足31A M A B A C 44=+,则△ABM与△ABC 的面积之比等于( )(A)34(B)14(C)13(D)12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.(2011²江苏高考)已知1e ,2e 是夹角为23π的两个单位向量，12a e 2e =-,12b k e e =+,若a²b=0,则k的值为______.14.在静水中划船的速度是40 km/小时，水流的速度是20 km/小时，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该与河岸垂直方向成__________.15.(2011²江西高考文科)已知两个单位向量12e ,e的夹角为3π,若向量112b e 2e =-,212b 3e 4e =+，则1b ²2b =_______.16.O 是平面上一点，A,B,C 是平面上不共线三点，动点P 满足()OP OA AB AC=+λ+ ，λ=12时，则PA²(PB PC+ )的值为________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2011²吉林高一检测)已知向量a=(3，-4)，求：(1)与a平行的单位向量b；(2)与a垂直的单位向量c；(3)将a绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e的坐标.18.(12分)设向量1e, 2e 的夹角为60°且︱1e︱=︱2e︱=1，如果12AB e e =+，12BC 2e 8e =+ ，12CD 3(e e )=-.(1)证明：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k 的值，使k的取值满足向量122e e +与向量12e k e +垂直.19.(12分)求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 20.(12分)(2011²吉安高一检测)已知a=(1,0), b=(2,1)求:(1)|a+3b|； (2)当k 为何值时，k a-b与a+3b平行.21.(12分)(2011²唐山高一检测)在平面直角坐标系中，点A(7,1),B(-3,-4),O 为坐标原点.求:(1) O A ²OB；(2)若点P 在直线AB 上，且OP ⊥AB ，求O P的坐标.22.(12分)(2011²深圳高一检测)设i,j是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB =4i -2j , AC =7i +4j , AD =3i+6j，求四边形ABCD 的面积.答案解析1.【解析】选B.∵AB uuu r =(3,0),∴|AB uuu r|=3.2.【解析】选A.∵a b +r r =(-2,-1),a b-r r =(4,-3),∴a r =(1,-2),b r=(-3,1).∴ar 〃br =-3-2=-5.3.【解析】选C.设a OP OQ=+r uur uuu r ,利用平行四边形法则作出向量OP OQ+uur uuu r，再平移即发现a FO=r uur.4.【解析】选C.∵ar =(2,1),∴|ar又ar 〃br =10，|a b +r r,∴|a b +r r |2=a r2+2a r 〃b r +br 2=50，∴|br|=5.5.【解析】选A.由题意可知a bλ=(λ＞0),∴1x x 2ì-=-ïïíï=ïîλλ,解得或(舍去).6.【解析】选D.由PA PB PC 0++=可知点P 是△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB AC 2AD +=又结合重心的性质可知3A D A P2=∴AB AC 3AP += .7.【解析】选C.∵AB AC CB -=，故①错；结合向量的三角形法则可知AB BC CA 0++=，故②正确；设BC 的中点为D ，则AB AC 2AD+=,∴()()AB AC AB AC 2AD C B 0+-== ,∴△ABC为等腰三角形,故③正确；AC AB＞0只能说明A 是锐角，无法判断△ABC的形状.独具【误区警示】本题在求解中常因AC AB＞0，而直接下结论△ABC为锐角三角形.8.【解析】选A.设点P(x,0)，则AP 〃BP=(x-1,-1)〃(x-3,-1)=(x-1)(x-3)+1=x 2-4x+4=(x-2)2，当x=2时，AP 〃BP取最小值.此时，P(2,0).9.【解析】选B.A不正确，a〃b =0,可能情况有a b ⊥ 或a ,b至少有一个为0;C 不正确，a2=b 2只能说明|a|=|b|，但方向不一定相同；D不正确，a〃b=a〃c只能说明b ,c 在a上的射影相同，但不一定有b=c .独具【易错提醒】实数的运算同向量的运算有相似之处，但由于向量的运算都有明确的几何定义；因此应用向量的运算法则解题时，务必分析其几何意义. 10.【解析】选A.设q=(x,y),由p=(1,2),且p q ⊗=(-3,-4) 可知(x,2y)=(-3,-4)∴x=-3,y=-2∴q=(-3,-2)11.【解析】选B.5秒后点P 的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10,-5). 12.独具【解题提示】先判断点M 的位置，然后借助三角形的面积公式求解.【解析】选B.由31A M A B A C 44=+可知，点M 在线段BC上.设BM BC=λ，则()AM AB BM AB BC AB AC AB =+=+λ=+λ-31(1)A B A C A B A C44=-λ+λ=+,∴λ=14.又△ABM 与△ABC 的高相等,∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于BM ∶BC=1∶4.13.独具【解题提示】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出a〃b=0，然后找到关于k 的等式进行求解.【解析】由题12a e 2e =- ,12b k e e =+ ,a〃b 12(e 2e )=- 〃(12k e e + )=k+cos23π -2kcos23π -2=0,可以解得k=54.答案：5414.【解析】如图所示：在Rt △ACD 中，CD=20，AD=40, ∴C D 1sin C A D A D2∠==,∠CAD=30°,船航行的方向应与河岸垂直方向成30°夹角. 答案：30°15.独具【解题提示】首先根据数量积的定义，将1b,2b 用12e ,e 表示出来，再结合12e ,e 都是单位向量，且夹角为3π可得.【解析】221212121122b b (e 2e )(3e 4e )3|e |2e e 8|e |=-+=--又∵〈12e ,e 〉=3π,|1e |=1,|2e|=1, ∴12b b 32cos 831863π=--=--=- .答案：-616.【解析】当λ=12时，()111O P O A A B A C O B O C222=++=+,∴P 为BC 的中点，∴PB PC 0+= .∴PA〃(PB PC + )=0.答案：017.【解析】(1)设b a =λ ，则|b|=1，34b (,)55=- 或34b (,)55=- .(2)由a c ⊥ ，a =(3，-4)，可设c =λ(4，3)，∵|c |=1,求得43c (,)55= 或43c (,)55=-- .(3)设e=(x,y)，则x 2+y 2=25. 又a e |a ||e |cos 45=︒=即3x 4y -=，由上面关系求得e (22=- 或e (22=-- ， 而向量e 由a绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e (22=- .18.【解析】(1)∵1212AB e e ,BD BC CD 5e 5e =+=+=+∴BD 5AB = ，即AB ,BD共线，∴A,B,D 三点共线. (2)∵()()12122e e e k e +⊥+∴()122e e + 〃()12e k e + =0∴221121222e 2k e e e e k e 0+++=即12k k 02+++=, 解得5k 4=-.19.【解析】如图： ABCD中：AB DC = ，AD BC= ，AC AB AD =+ .∴22|AC ||AB AD |=+22AB AD 2AB AD=++ .又BD AD AB =-∴2222|BD ||AD AB |AB AD 2AB AD =-=+-∴2222|AC ||BD |2AB2AD +=+2222|A B ||BC ||D C ||A D |=+++独具【方法技巧】用向量方法解平面几何问题的一般步骤1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等；3.把运算结果“翻译”成几何关系.20.【解析】(1)∵a=(1,0), b=(2,1),∴a+3b=(7,3),∴|a+3b |==(2)∵a=(1,0), b=(2,1),∴k a-b =(k-2,-1),a +3b=(7,3),若k a -b 与a+3b平行，则3k-6=-7,1k .3∴=-21.【解析】(1) O A 〃OB=7×(-3)+1×(-4)=-25,(2)设P(m,n)，∵P 在AB上，∴BA与PA共线，BA=(10,5), PA=(7-m,1-n),∴10(1-n)-5(7-m)=0,即2n-m+5=0. ①又∵OP AB ⊥，∴(m,n)〃(-10,-5)=0,即2m+n=0. ② 由①②得m=1,n=-2，即O P=(1,-2) .22.独具【解题提示】先判断四边形的形状，再求面积.【解析】∵AB 〃AD =(4i -2j )〃(3i+6j )=3×4-2×6=0, ∴AB AD ⊥.又∵AC 7i 4j 4i 2j 3i 6j AD AB=+=-++=+,∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD⊥ ，∴四边形ABCD 为矩形.∴S四边形ABCD |A B ||A D |30===.。