2014高中数学 一题多变一题多解特训(十).doc

高中数学 一题多变一题多解特训（七）题型一：一题多解例题：设10=+a a lg ，1010=+bb ，求b a +的值。

解法一（构造函数）设x x x f lg )(+=，则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==，由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数，所以b a 10=，故1010=+=+b b a b 。

解法二（图象法）因为a 是方程10=+x x lg 的一个根，也就是方程x x -lg 10=的一个根 b 是方程1010=+x x 的一个根，也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=，xx h 10=)(，x x -)(10=Φ，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示： 108642-5510B A ACa 是方程)()(x x g Φ=的根，即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根，即图中OB=b易得OA+OB=10，所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ，1010=+x x 的根为a ，b 由1010=+x x ，得x x -1010=，∴x)-lg(10=x ，又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10，1010x )-x (10=即，02=+101010x -x 即1021=+x x )(0<Δ虚根题型二：一题多变 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（ 变题1：如图所示，),,,)((4321=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21x x ,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2：定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。

“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。

我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”。

这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。

通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。

从而培养创新精神和创造能力。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。

解法一（代数法）： 设，、)(R y x yi x z ∈+=.25)1(.42222y y x i z y x -=-+=-+＝则.32,2max =--=∴≤i z y y 时，当Θ解法二（三角法）： 设),sin (cos 2θθi z += 则.sin 45)1sin 2cos 422θθθ-=-=-＋（i z.31sin max =--=∴i z 时，当θ解法三（几何法）：。

所对应的点之间的距离与表示上的点，是圆点i z i z y x z z -=+∴=4,222Θ如图1 所示，可知当i z 2-=时，.3max =-i z解法四（运用模的性质）：312=+=-+≤-i z i z Θ而当i z 2-=时，.3.3max =-∴=-i z i z解法五（运用模的性质）：图11)()()(2+-+=--=-i z z z z i z i z i z Θ.)((),(25的虚部）表z z I z I += 又.3,9,2)(max 2max =-∴=-∴≤i z i z z I Θ例2 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。

本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

证法1 ：)()11(21)(1by ax by ax +-+=+-Θ)()(212222by ax y x b a +-+++=,0])()[(21)]2()2[(21222222≥-+-=+-++-=y b x a y by b x ax a所以 .1≤+by ax分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。

它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。

接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。

一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。

这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。

通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。

例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。

这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。

一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。

这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。

通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。

例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。

在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。

首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。

通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。

其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。

通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。

同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。

教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。

此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。

高考数学一题多解练习；已知n s 是等比数列的前n 想项和；963s s s ,,成等差数列；求证；852a a a ,,成等差数列 法一；用公式qq a s n n 一一111)(=； 因为963s s s ,,成等差数列；所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)(所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=；q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒；所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三；（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题；已知54=αsin 且α是第二象限角；求αtan解；α是第二象限角；54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1；54=αsin ；求αtan 解；054>=αsin ；所以α是第一或第二象限角 若是第一象限角；则3453==ααtan ,cos 若是第二象限角；则3454一一==ααtan ,cos 变2；已知)(sin 0>=m m α求αtan解；由条件10≤<m ；所以当 10<<m 时；α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211m mαm α一一==tan ,cos若是第二象限角2211m m αm α一一一一tan ,cos == 当1=m 时αtan 不存在变3；已知)(sin 1≤=m m α；求αtan解；当11一,=m 时；αtan 不存在当0=m 时； 0=αtan当α时第一、第四象限角时；21m mα一=tan当α是第二、第三象限角时；21m m α一一=tan。

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一题多解、一题多变题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x x a x x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立，试求实数a 的取值范围。

解法一：在区间[)∞+，1上，022>++=xa x x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立，设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ，∴当x=1时a y +=3min ，于是当且仅当03>+=a y min 时，函数恒成立，故 a>—3。

解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xa x x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时ax f +=3）（min 于是当且仅当3+a>)时恒成立, 故 a>—3。

解法三：在区间[)∞+，1上xa x x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立，故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3，()112++>∴x a — 当x=1时，取得最大值 —3 。

—3>∴a题目： 将函数xx f 1)(-=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。

解： 将函数x x f 1)(-=中的x 换成x+1，y 换成y-1得1)(111)(111)(+=⇒+-=⇒+-=-x x x f x x f x x f 变题1：作出函数11)(+-=x x x f 的图象 解： 函数11)(+-=x x x f =121+-x ，它是由函数x x f 2)(-=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到。

高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀ 证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=）解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角 若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos 若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos 变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan 当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a且Δ1044 a a ⇒=- 变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a且Δ1044 a a ⇒=- 变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a且Δ1044 a a ⇒=- 变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ） （A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个 （C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。

高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴当m y =时，08==mn x - R x ∈Θ，也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 解得213一=q （下略） 变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan 当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01φx xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01φx xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01φx xx x f +=的单调性 任取210x x ππ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x ππ时，即)()(21x f x f φ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x ππ时，)()(21x f x f π)(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122φ++x ax 在R 上恒成立，则要求0φa 且Δ1044φπa a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122φ++x ax 在R 上恒成立，则要求0φa 且Δ1044φπa a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0φa 且Δ1a 004a -≤⇒≥=π4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01φx xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01φx xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01φx x x x f +=的单调性任取210x x ππ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x ππ时，即)()(21x f x f φ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x ππ时，)()(21x f x f π)(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122φ++x ax 在R 上恒成立，则要求0φa 且Δ1044φπa a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122φ++x ax 在R 上恒成立，则要求0φa 且Δ1044φπa a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0φa 且Δ1a 004a -≤⇒≥=π4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个 （C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。

高中数学必修：一题多解，思想转换
对于一个题目多种解法很多同学往往不以为然，总是认为我做出来就可以了。

其实我们做题的目的不应该仅仅是把题目做出来，而是掌握随时随地把题目做出来的强大武器，一题多解的原因正在于此。

1.一题多解可以极大的提高学习数学的兴趣。

坦白讲对一题多解不以为然的同学其实因为自己只想到一种方法，如果自己也能想到这些方法，自然你们也会为之兴奋；
2.一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高同学们分析问题的能力；
3.说的更直白一些，经常训练一题多解可以提高同学们解决综合问题的能力，有利于让自己的知识体系更网络化，从而在考试之中利于不败之地；
下面给同学们举几个例子，希望同学们用心体会：
所以在学习的过程中，我们不只是简单把一道题做完就行了，而是在做完的情况下，多思考一下，看看是否还有其他更好的方法也能完成，这样你的收获远远大于做很多很多题的收获。

“一题多解、多变”练思维“多解、多题归一”悟本质
王永坚
【期刊名称】《文理导航》
【年(卷),期】2013(000)003
【摘要】近年来，在初中数学教学实践中，围绕着培养学生的创造性思维能力问题，已作出了许多有益的探索。

系统论指出：整体功能大于部分功能之和。

它的启示是：在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”、“一题多变”、“多解归一”、“多题归一”等方法组成一个互相联系互相作用的综合整体，更有助于加深对知识的巩固与深化，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。

【总页数】1页(P43-43)
【作者】王永坚
【作者单位】浙江省金华市南苑中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一题多解拓思维,多题归一展能力
2.一题多解深挖例题教学功能多解归一培养数
学思维能力3.“一题多解、多变”练思维“多解、多题归一”悟本质4.一题多解
一题多变提升思维品质5.一题多解与一题多变拓展学生思维能力的尝试
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一题多解、一题多变（课本P 102 ）证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示，),,,)((4321=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的21x x ,，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ A ）A 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。

已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果],[10∈x 时，1≤|)(|x f ，试求实数a 的取值范围。

（1）证明：略（2）实数a 的取值范围是[2,0)-二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52=523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++=1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++=352)lg (lg + =1。