四年级数学思维训练等差数列

用两根长是5厘米、两根长是7厘米的小棒围成的四边形，则它的周长是_______厘米。

一个长方形的周长为dm 36,它的宽是dm 3，那么这个长方形的面积是_______2dm 。

一个长方形长10米，宽6米，如果宽增加3米，长不变，这个长方形的面积增加_______平方米.一间房间长7米5分米、宽5米4分米，在房内地面上铺长3分米，宽5厘米的长方形木板。

共需________块。

下图是由8个小正方形拼成一个大长方形，面积是64平方厘米，图中阴影部分（梯形）的面积是_______平方厘米。

把12个边长为2分米的正方形拼成长方形，那么长方形的周长最小是_______分米，周长最大是_______分米。

一根长20厘米的铁丝围成一个正方形的面积是（ ）。

A.40平方厘米B.4平方分米C.80平方厘米D.4平方米用4个边长是1厘米的小方块分别拼成长方形和正方形，它们的周长是（ ）。

A.长方形长 B.正方形长 C.一样长 D.无法比较把4个小正方形，拼成3种图形，下列说法中，正确的是（）。

①③②A.三个图形的周长一样长B.图②的周长最长C.图①图②的周长相等D.图②图③的周长相等用24块一样大小的正方形能拼成周长不同的长方形有（）种。

A.2B.3C.4D.5有一个长方形与一个正方形的纸片，它们重叠一部分（如下图的阴影部分）。

求空白部分的面积和周长。

（单位:cm）如图是用4个相同的直角三角形拼成的一个大正方形。

求大正方形的周长和面积。

40cm30cm数串中每两个相邻的差都相等，像这样一串数，我们称它为等差数列.其中每一个数都叫做这个等差数列的一项，第一个数叫做第一项或首项，用1a 表示，第二个数叫第二项，用2a 表示……；第n 个数叫做第n 项，用n a 表示.n a a ,1又分别叫做等差数列的首项和末项，字母n 表示等差数列的项数.等差数列中，从第2项开始，后边一项与前面一项的差始终相等，用字母d 表示这个差，即1212312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d Λ，我们把d 叫做等差数列的公差.等差数列有以下几个重要的公式：①等差数列的通项公式：d n a a n ⨯-+=)1(1. ②等差数列的公差：)1()(1-÷-=n a a d n .③等差数列的项数：1)(1+÷-=d a a n n )(1n a a <. ④差数列的求和公式：2)(121÷⨯+=+++n a a a a a n n Λ. ⑤等差数列（奇数个数）的总和：中间项×项数.求等差数列3,7,11,15,19，……的第10项和第25项.已知等差数列4、9、14、19、24 …，问264是其中第几项？从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是________。

等差数列知识导航若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式：通项公式：第几项＝首项＋（该项数－1）×公差；项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1；求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 ；平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2 ；在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

精典例题例1：有一等差数列：2、5、8、11......101，这个等差数列共有多少项？思路点拨可以看出这个等差数列的首项是2，末项是101，公差是3。

根据公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1进行计算。

（101-2）÷3＋1=34。

模仿练习1.在等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2.已知等差数列：9、18、27、36......270，问这个数列共有多少项？3.有一串数，第一个数是5，以后每个数都比前一个数大5，最后一个数是90，你能算出这一串有几个数吗？例2：有一等差数列1,4,7,10......这个等差数列的第30项是多少？思路点拨可以看出这个等差数列的首项是1，公差是3。

要求第30项，可根据通项公式：第几项＝首项＋（该项数－1）×公差进行计算。

1＋（30-1）×3=88，所以第30项是88。

模仿练习1.一个等差数列，首项=3，公差=2，那么它的第10项是多少？2.有一个等差数列，3,6,9,12，......这个等差数列的第80项是多少？3.有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，你能求出第20个数是多少吗？例3：有这样一列数，1，2，3，4......99，请求出这个数列各项相加的和。

一、计算。

（1）1＋2＋3＋4＋……＋35＋36 （2）1＋11＋21＋31＋……＋101＋111（3）2＋4＋6＋8＋……＋198＋200 （4）56＋57＋58＋59＋60＋61＋62＋63＋64（5）（1999＋1997＋1995＋……＋13＋11）－（12＋14＋16＋……＋1996＋1998）二、有一列数：1，5，9，13，17，21……（1）它的第1000个数是几？（2）4921是它的第几项？三、求出所有2位数的和。

四、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。

最后一排有94个座位。

问：这个影剧院共有座位多少个？五、七层宝塔每层的灯数比上一层多挂的灯数相同，最上一层挂100盏灯，最下一层挂220盏灯，问每层比上一层多挂几盏灯？六、8个连续自然数的和是108，写出这8个数。

七，如果一个等差数列的第4项为21，第六项为33，求它的第8项。

八、求所有被3除余数是1的两位数的和。

九、下面的算式是按一定的规律排列的：5＋3，7＋6，9＋9，11＋12，……它的第1999个算式的结果是多少？十、计算：（1）9＋13＋17＋21＋25＋29 （2）260－1－2－3－4－……－19－20 十一、100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试几次？十二、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？2，5，8，11，14，……十三、下面各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……那么，第多少个算式的结果是1992？一、计算。

（1）1＋2＋3＋4＋……＋35＋36 （2）1＋11＋21＋31＋……＋101＋111=666 =672（3）2＋4＋6＋8＋……＋198＋200 （4）56＋57＋58＋59＋60＋61＋62＋63＋64 =10100 =540（5）（1999＋1997＋1995＋……＋13＋11）－（12＋14＋16＋……＋1996＋1998）1005二、有一列数：1，5，9，13，17，21……（1）它的第1000个数是几？=1+4×（1000-1）=3997（2）4921是它的第几项？（4921-1）÷4+1=1231项三、求出所有2位数的和。

备课说明：①教学目标：熟练掌握等差数列各公式，会解典型等差数列应用题以及综合题。

②教学重点：三个求和公式以及逆应用、首尾配对求和的思想；教学难点：等差数列应用（例4、练4）。

1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式：这两个公式请一起记忆：末项=首项+公差×（项数-1）☆常用来求第n项：第n项为末项，项数为n；首项=末项-公差×（项数-1）这两个公式请一起记忆：公差=（末项-首项）÷（项数-1）项数=（末项-首项）÷公差+1三个求和公式要牢记：等差数列的总和=（首项+末项）×项数÷2 ☆首尾配对法等差数列（奇数个数）的总和=中间项×项数等差数列（偶数个数）的总和=中间两项之和×项数÷24、常用解题思路：（1）一个等差数列中，第m项与第n项（m＞n）存在以下关系：第m项=第n项+（m-n）×公差（2）有时一些要求和的文字题中运用的就是等差数列的求和公式，例如：全部三位数的和是多少？1到200内能被9整除的数的和是多少？课前小热身：8分钟巧算（1）一个首项为1，公差为2的等差数列，第20项为___________。

（2）一个首项为8，末项为64，共有8项的等差数列，公差为___________。

（3）一个首项为2，公差为3的等差数列，50为其中第___________项。

（4）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=___________。

（5）41+44+47+……+101=___________。

【答案】39；【解答】（1）末项=首项+公差×（项数-1）=1+2×（20-1）=39（2）公差=（末项-首项）÷（项数-1）=（64-8）÷（8-1）=8（3）项数=（末项-首项）÷公差+1=（50-2）÷3+1=17（4）等差数列的总和=（首项+末项）×项数÷2=（1+11）×11÷2=66或：等差数列（奇数个数）的总和=中间项×项数=6×11=66（5）项数=（末项-首项）÷公差+1=（101-41）÷3+1=21等差数列的总和=（首项+末项）×项数÷2=（41+101）×21÷2=1491【巧用等差数列常用公式与性质】小莫在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下了第四个数31和第十个数73。

四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。

等差数列的认识、通项公式的使用1.熟悉等差数列通项公式2.应用等差数列通项公式计算例题1：判断下面哪些是等差数列？⑴1、0、1、0、1、0 …⑵2、8、14、20、26 …⑶1、2、2、3、4、5 …⑷95、90、85、80、75 …例题2：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。

第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，问它第100次跳多高？例题3：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。

第5次跳了10厘米，它一共跳了60次，问它第60次跳多高？例4：一个等差数列共13项。

每一项都比它的前一项大7，并且末项为125。

求首项是多少?（即使该课程的课后测试）练习1：判断下面哪些是等差数列，是的画√，不是的画×。

（1）4、8、12、16、20、24 …（）（2）1、2、3、5、8、13 …（）（3）3、3、3、3、3、3、3 …（）（4）40、38、37、36、34、32 …（）练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？练习5：一个等差数列共20项。

每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。

求首项是多少？练习1：判断下面哪些是等差数列是的画√，不是的画×。

（1）4、8、12、16、20、24 … （ √ ） 公差为4（2）1、2、3、5、8、13 … （ × ） 相邻两项分别差1、 1、 2 、3 、5（3）3、3、3、3、3、3、3 … （ √ ） 公差为0（4）40、38、37、36、34、32 … （ × ） 相邻两项分别差2、1、1、2、2练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？分析：1(1)n a a n d =+-481(481)64476286a a =+-⨯=+⨯=练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？分析：1(1)n a a n d =+-1001(1001)32993299a a =+-⨯=+⨯=练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？分析：1(1)n a a n d =+-301(301)41294117a a =+-⨯=+⨯=练习5：一个等差数列共20项。

四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。

等差数列的认识、通项公式的使用1.熟悉等差数列通项公式2.应用等差数列通项公式计算例题1：判断下面哪些是等差数列？⑴ 1、0、1、0、1、0 …⑵ 2、8、14、20、26 …⑶ 1、2、2、3、4、5 …⑷ 95、90、85、80、75 …例题2：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。

第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，问它第100次跳多高？例题3：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。

第5次跳了10厘米，它一共跳了60次，问它第60次跳多高？例4：一个等差数列共13项。

每一项都比它的前一项大7，并且末项为125。

求首项是多少?（即使该课程的课后测试）练习1：判断下面哪些是等差数列，是的画√，不是的画×。

（1）4、8、12、16、20、24 …（）（2）1、2、3、5、8、13 …（）（3）3、3、3、3、3、3、3 …（）（4）40、38、37、36、34、32 …（）练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？练习5：一个等差数列共20项。

每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。

求首项是多少？练习1：判断下面哪些是等差数列是的画√，不是的画×。

（1）4、8、12、16、20、24 …（√）公差为4（2）1、2、3、5、8、13 … （ × ） 相邻两项分别差1、 1、 2 、3 、5（3）3、3、3、3、3、3、3 … （ √ ） 公差为0（4）40、38、37、36、34、32 … （ × ） 相邻两项分别差2、1、1、2、2练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？ 分析：1(1)n a a n d =+-481(481)64476286a a =+-⨯=+⨯=练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？ 分析：1(1)n a a n d =+-1001(1001)32993299a a =+-⨯=+⨯=练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？ 分析：1(1)n a a n d =+-301(301)41294117a a =+-⨯=+⨯=练习5：一个等差数列共20项。

第1讲简单的数列问题（一）例题1（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？练习1一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大7，并且末相为125，那么首项是多少？（2）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小7，并且末相为125，那么首项是多少？练习2一个等差数列共有12项，每一项都比它的前一项小4，并且末相为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？练习4已知等差数2,9,16,23,30，…那么709是其中第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差是多少？第19项等于多少？305是第几项？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+1,2+3,3+5,1+7,2+9,3+11,1+13,2+15,3+17，…请写出其中所有结果为98的算式。

作业1. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是多少？2. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是多少？3．一个等差数列首项为13，第9项为29，那么这个等差数列的公差等于多少？第20项等于多少？4. 一个等差数列第5项为47，第15项为87，那么这个等差数列的公差等于多少？63是第几项？5．如图所示，有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……，按照这个规律，第19层有多少块砖？第2讲简单的数列问题（二）例题1计算下面各题：（1）3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30（2）41＋37＋33＋29＋25＋21＋17＋13＋9＋5＋1练习1计算：6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46例题2计算下列各题：（1）5＋11＋17＋…＋77＋83（2）82＋77＋72＋…＋12＋7练习2计算：100＋92＋84＋…＋12例题3计算下面各题：（1）12＋18＋24＋…共10项（2）193＋187＋181＋…共13项练习3计算：（1）10＋13＋16＋…共12项例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完，请问：萱萱一共对了多少天，这本课外书共有多少页？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米。