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全国2008年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题及答案课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=⋃A AD ．A A =2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6D ．0.83．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F （ ）A ．e 31 B ．3eC ．11--eD ．1311--e 4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （ ）A ．41B ．31C ．3D ．45．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ） A ．161B ．163 C ．41 D ．836．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F YD ．17．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(NB ．)27,7(NC ．)45,7(ND ．)45,11(N8．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为 （ ） A ．np p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np -9．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(tD ．)1,1(F10．设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计是（ ） A ．∑=--ni iX Xn 12)(11B ．∑=--ni iXn 12)(11μC ．∑=-ni iX Xn12)(1D ．∑=-+ni iXn 12)(11μ二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
重庆交通大学继续教育学院2008--2009学年第一学期考试A 卷《概率论与数理统计（经管类）》课程考核形式：闭卷 考试需用时间：120分钟在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ ） A ．⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0;10,21)(x x fC ．⎩⎨⎧-<<=其他,1;10,3)(2x x x fD ．⎩⎨⎧<<-=其他,0;11,4)(3x x x f2.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（ ） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.34133.则P{XY=0}=（ ） A. 41 B.125 C.43 D.14．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,100,0;100,100)(2x x x x f 任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ ）A ．41 B ．31 C ．21 D ．325．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（ ） A ．D (X )+D (Y ) B ．D (X )-D (Y ) C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y ) D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )7．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y-4）=（ ）A ．-13B ．15C ．19D ．238．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ ）A ．6B ．22C ．30D ．46 9．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θˆ=（ ） C ．2xD ．x2110.设n 1X ,,X 为正态总体N(2,σμ)的样本,记∑=--=ni i x x n S 122)(11,则下列选项中正确的是（ ） A.)1(~)1(222--n S n χσB.)(~)1(222n S n χσ-C.)1(~)1(22--n S n χD.)1(~22-n S χσ二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。
考试时间120分钟。
考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。
2010年度“国家精品课程”申报表（本科）推 荐 单 位 杭州电子科技大学所 属 学 校 杭州电子科技大学 （是否部属）课 程 名 称 概率论与数理统计课程类型■ 理论课（不含实践）□理论课（含实践）□实验(践)课所属一级学科名称 理 学所属二级学科名称 数 学课 程 负 责 人 沈 灏申 报 日 期 2010年5月17日中华人民共和国教育部制二○一○年三月填 写 要 求一、以word文档格式如实填写各项。
二、表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，再次出现时可以使用缩写。
三、涉密内容不填写，有可能涉密和不宜大范围公开的内容，请在说明栏中注明。
四、除课程负责人外，根据课程实际情况，填写1～4名主讲教师的详细信息。
五、本表栏目未涵盖的内容，需要说明的，请在说明栏中注明。
1． 课程负责人情况姓 名 沈灏 性 别 女 出生年月 1958年2月最终学历 研究生 职 称 副教授 电 话 135****6081学 位 博士职 务 数学系副主任传 真 86915159 所在院系 理学院信息与数学科学系E-mail *****************通信地址（邮编） 杭州下沙高教园区杭州电子科技大学理学院（310018） 1-1 基本 信息研究方向概率统计、运筹学组合优化1-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计，基础课，3学时/周，5届，学生总数约1200人 数学建模，公共课，3学时/周，5届，学生总数约3600人运筹与优化，专业基础课，3学时/周，5届，学生总数约650人 实践性教学：数学建模课程设计，每年约200人，5年总人数约1000人 毕业设计，5年共30人 主持教学研究课题：开放式教学模式与创新能力培养的研究与实践，杭州电子科技大学高教研究项目，2005.05-2006.12 教学研究论文：沈灏，数学课开放式教学模式的研究与实践，中国教育学报，2007年第6期，总第38期 教学表彰：2007年度学校教学杰出奖 1-3 学术 研究参加的科研项目:[1] 带有随机因素的若干排序问题研究，浙江省教育厅科技项目，2005.07-2007.12，主持[2] 互连网络中若干优化问题研究,国家自然科学基(10371028), 2004.01 -2006.12,17万,排名第四[3] 互连网络中的优化问题,省教育厅重点项目(20030622),03.09-06.12,5万,排名第二学术论文：[1] 沈灏. 基于累计按期完工概率增量的一个排序算法,杭州电子科技大学学报25(6),2005[2] 魏小兰,沈灏. 窗时排序的计算机搜索算法,杭州电子科技大学学报26(4),2006[3] 俞一,沈灏,背包问题的一个k 阶优化遗传算法,杭州电子科技大学学报27(4),2007[4] 叶赛英,沈灏,魏小兰,机器带故障的两台机排序问题的一个近似算法, 杭州电子科技大学学报 28(2),2008[5] 可能产生中断且考虑运输的两台平行机排序问题,浙江大学学报36(2),2009课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课 课程负责人：主持本门课程的主讲教师姓 名陈建兰性 别女出生年月 1966.06 最终学历 研究生 职 称副教授电 话 130****6030学 位 硕士 职 务无 传 真 无 所在院系 理学院信息与数学科学系 ********************.cn通信地址（邮编）杭州电子科技大学理学院（310018）2⑴-1 基本信息 研究方向应用数学、概率论与数理统计2⑴-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：高等数学（甲），基础课，5/周，4届，学生总人数499人 高等数学（乙），基础课，5/周（3/周），1届，学生总人数118人 概率论与数理统计，基础课，3/周，3届，学生总人数365人 概率论，基础课，2/周，1届，学生总人数80人实践性教学：数学实验，专业课，2/周，3届，学生总人数371人 C 语言程序设计实习，1/周，3届，学生总人数329人毕业论文，20人教学研究论文：[1] 《概率论与数理统计教学改革的探讨》 杭州电子科技大学学报（社会科学版），第一作者（三人），2005.6[2] 《在数值分析课程中开展学生实践能力培养的研究》，中国高等教育论丛，第一作者（两人），2008.9 [3] 《关于数学实验的教学研究》，中国高等教育论丛，独著，2010.3 2⑴-3学术研究参加的科研项目:[1] 神经网络在矿井水净化处理中的应用，横向课题，07.12—09.12，负责人学术论文：[1] 数据包络分析在矿井水淡化处理中的应用，杭州电子科技大学学报，第一/共两人,2007.02 [2] 基于船体放样的三角Bézier 曲线的逼近.杭州电子科技大学学报.第一/共两人，2009.01 [3] 神经网络在矿井水净化处理中的应用. 杭州电子科技大学学报, 第二/共两人，2009.01[4] 多元统计分析在矿井水淡化处理中的应用. 杭州电子科技大学学报,独著，2009.08[5] C-Bézier 曲线的双圆弧逼近，杭州电子科技大学学报,独著，2010.02 课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名程宗毛 性 别 男 出生年月 1964.6.8 最终学历 研究生职 称 副教授电 话 153****3859学 位博士职 务传 真所在院系 理学院信息与数学科学系 *********************通信地址（邮编） 杭州市三墩镇城北商贸圆29幢北二单元402室1-1 基本 信息研究方向概率论 随机过程 数理金融 计算网络1-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计，专业课，6/周，5届，学生总人数1200人 数学建模，公共课，6/周，5届，学生总人数5400人 随机过程，专业课，3/周，1届，学生总人数77人 金融数学，专业课，3/周，2届，学生总人数120人 时间序列分析，专业课，2/周，2届，学生总人数60人实践性教学：数学建模课程实践，专业课，2/周，5届，学生总人数750人 毕业论文，40人1-3 学术 研究参加的科研项目:[1] 因果过程和非因果过程的样本轨道性质，国家自然基金NSFC(10901138),10.1—12.12排名第三[2] 非高斯过程样本理论中极限定理，国家自然基金（10571159），06.1-09.1（已结题），排名第四[3] 模糊n-cell 数空间理论及在遥感土地覆盖分类中应用方法研究，浙江省自然基金(Y7080044). 09.1-11.1,排名第三学术论文：[1] Zong-mao Cheng, Zheng-yan Lin ，Some results on fractional Brownian sheets andtheir local times, Acta Mathematica Applictae Sinica, English Series 24(4) 669-676 (2008)[2] Zheng-yan Lin, Zong=mao Cheng (corresponding auther.), Existence and jointcontinuity of local time of multiparameter fractional l e vy processes, Applied mathematics and mechanics 30(3), 381-390 (2009) [3] Zong-mao Cheng, Xiu-yun Wang, Zheng-yan, Results on local times of a class ofmultiparameter Gaussian processes, Acta Mathematica Applictae Sinica, English Series 24(4) 81-90 (2006) [4] Zheng-yan Lin, Zong-mao Cheng (corresponding auther.), Maximal speed of particalin super-levy process, Applied mathematics and mechanics 29(4), 517-526 (2008) [5] Zheng-yan Lin, Zong-mao Cheng (corresponding auther.) Hausdorff dimension ofset generated by exceptional oscillations of a class of N-parameter Gaussian process, Applied mathematics and mechanics 28(2 ), 237-246 (2007)课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名吕亚召性 别 男出生年月 1980年7月最终学历 硕士 职 称讲师电 话 86919035学 位 研究生 职 务 教师 传 真 所在院系 理学院信息与数学科学系******************.cn 通信地址（邮编） 杭州电子科技大学理学院(310018) 2⑷-1 基本信息 研究方向非参数、半参数统计2⑷-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计(公共课)、3/周、5届、 人数:1286 数理统计(专业课)、3/周、4届、人数：245 信息科学基础(专业课)、3/周、3届、人数：330 概率论(专业课)、3/周、1届、人数：85 SPSS 统计分析软件（公共课）、2/周、2届、人数：80实践性教学： SAS 软件实习：4届，总人数247毕业设计：2届、共5人教学表彰：2008年获杭州电子科技大学 青年教师教学技能比赛特等奖2⑷-3 学术 研究学术论文：[1] Statistical inference for the index parameter in single-index models, Journal ofMultivariate Analysis 2010 (101) P1026-1041.署名第三课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名赵月旭性 别 男出生年月 1976.1 最终学历 研究生职 称 副教授 电 话 学 位 硕士 职 务传 真所在院系 理学院********************.cn通信地址（邮编） 杭州电子科技大学理学院（310018） 2⑷-1 基本信息 研究方向 概率极限理论、随机过程轨道的渐近性质2⑷-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：05-06学年：高等数学、概率论，8节/周， 580人06-07学年：高等数学、概率论与数理统计、概率论， 11节/周， 800人 07-08学年：概率论与数理统计、高等数学、人口数学，11节/周， 550人08-09学年：概率论与数理统计， 6节/周， 490人 09-10学年：概率论与数理统计， 6节/周， 400人2⑷-3 学术研究承担项目：[1] 基于T-S 模型的连续非线性系统和随机系统的分析和设计, 国家自然科学基金，2010.1-2012.12，4/9.[2] 完全重构过采样滤波器组鲁棒优化设计的框架理论及应用, 国家自然科学基金, 2007.1-2010.12，4/8.[3] 两类相依变量的精确收敛速度, 浙江省教育厅自然科学基金，2006.7-2007.12，1/6.学术论文：[1] Y. Zhao. Precise rates in complete moment convergence for ρ-mixing sequences. J.Math. Anal. Appl., (339), 2008: 553-565.[2] Y. Zhao, J. Tao. Precise asymptotics in complete moment convergence forself-normalized sums. Comput. Math. Appl., (56), 2008:1779-1786.[3] Y. X. Zhao, Z. H. Ma. Conditional entropy of partitions on quantum logic. Commun. Theor. Phys., (48), 2007: 11-13. [4] Y. Zhao. Convergence rates in Log laws for NA sequences. Disc. Dyn. Nat.Soc .,2007: 1-11.[5] Y. Zhao. Some asymptotics in the law of the iterated logarithm. Bull. Braz. Math.Soc., 37(3), 2006:377-391.获奖情况：[1] 混合相依变量大数律及矩的精确渐近性，浙江省高校科研成果三等奖，1/1,2009.[2] NA 序列部分和完全收敛性的进一步探讨,浙江省自然科学优秀论文二等奖,1/1,2007.[3] 可交换随机变量序列部分和的完全收敛性,浙江省自然科学优秀论文三等奖,1/1,2005. 课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课3. 教学队伍情况姓名 性别出生年月 职称学科专业在教学中承担的工作沈灏 女 58年2月 副教授 运筹学组合优化主讲 陈建兰 女 66年6月 副教授 应用数学 主讲 程宗毛 男 64年8月 副教授 概率统计 主讲 吕亚召 男 80年7月 讲师 概率统计 主讲 赵月旭 男 76年1月 副教授 概率统计 主讲 孙伟良 男 63年11月讲师 概率统计 主讲 吴明女 61年7月 副教授 基础数学 主讲 洪世煌 男 62年7月 教授 应用数学 主讲 郑静 女 70年10月讲师 概率统计 主讲 黄霞 女 76年5月 讲师 应用数学 主讲 赵叶华 女 78年10月讲师 基础数学 主讲 唐军民 男 74年8月 讲师 概率统计 主讲 宫改云 女 78年1月 讲师 计算数学 主讲 刘建贞 女 79年1月 讲师 运筹学 主讲 覃森 男 78年4月 讲师 应用数学 主讲 杨建芳 女 78年11月讲师 运筹学 主讲 3-1人员 构成（含外 聘教师）王杰峰男78年9月 讲师基础数学主讲3-2教学队 伍整体 结构 教学队伍的知识结构、年龄结构、学缘结构、师资配置情况（含辅导教师或实验教师与学生的比例）教学队伍中具有副高以上职称教师5人,占总人数35%,具有博士学位教师7人,占总人数41%,目前正在在职攻读博士学位教师2人。
概率论与数理统计教学教案第一章随机事件与概率
授课序号01
A ，A
B =B A ； ()B
C A B C =),
()AB C A BC =)；
B C AC BC =),
)()()A B C A C B C =；
对偶律（德•）摩根公式）：=A B A B ，并事件的对立等于对立事件的交，=B A B ，交事件的对立等于对立事件的并。
{0,1,2,
=
，即一定不会发生的不可能事件。
授课序号02
11i i i A ==⎫=⎪⎭∑11i i i A ==⎫=⎪⎭∑)(1P A =-)(B P =个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？B 的概率依次为为三个随机事件，已知
授课序号03
)在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。
二、主要例题：
授课序号04
各事件概率的积，则称事件12,A A 个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称事件1i i A B =⎫=⎪⎭为试验E 的事件，且)(AB P A =()((12||A P A P A 相互独立，则下列各对事件也相互独立：
)B
授课序号05
(j A =∅2n A A =Ω则称事件组12,,
,n A A A 为样本空间的一个。
2009年考研数学内部讲义概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学2008年5月第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．• 考试内容解析 •一、随机事件与样本空间1．随机试验E ：⎪⎩⎪⎨⎧)()3()()2()(,)1(随机性知每次试验的结果事先未多样性先已知试验所有的可能结果事统计性可重复进行试验在相同的条件下２．样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间．记为Ω={ω}．Ω中的元素ω称为样本点，也即E 的基本事件．３．随机事件：试验E 的结果称为E 的随机事件．记为A 、B 、C 等．(1)基本事件：E 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;(2)必然事件与不可能事件：每次试验E 中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E 中一定不发生的事件称不可能事件，记为∅．4．事件间的关系和运算事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等． (1)包含：如果事件A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A ⊂B 或B ⊃A ． (2)相等：如果A ⊂B 且B ⊂A ,则称事件A 与B 相等．记作A =B ．(3)不相容：如果事件A 与事件B 不可能同时发生, 即∅=B A I ，则称事件A 与事件B是互不相容(或互斥)．(4)对立：如果事件A 与事件B 满足：Ω=∅=B A B A U I ②;①．即事件A 与事件B 必发生其一，但不能同时发生．则称事件A 与事件B 是互逆事件，或者说A 与B 为对立事件，记为B A =(或A B =)．注：两个互相对立的事件A 与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．(5)并(和)：如果事件A 与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的并(或和), 记作A ∪B 或A +B ．(6)差：如果事件A 发生而事件B 不发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的差, 记作A -B 或A \B ．(7)交：如果事件A 与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的交,记作A ∩B 或AB ．(8)完全事件组：如果事件A 1，A 2，…，A n ，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A 1，A 2，…，A n ，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是无限的．完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分．4．事件运算的性质对于任意事件A ，B ，C ， A 1，A 2，…，A n ，…，有 (1)交换律：A +B =B +A ；AB =BA ．(2)结合律：A +B +C = (A +B )+C =A +(B +C )；ABC =(AB )C =A (BC )．(3)分配律：A (B +C )=AB +AC ；A (B -C )=AB -AC ；i ii iAA A A U U =)(．(4)对偶律：i ii ii ii iA A A A ，AB ，B A U I I U ==+==+,．5．事件与集合由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1．1二、事件的概率概率是事件出现可能性大小的度量,用P (A )表示事件A 的概率．如用{…}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P {…}表示其概率．1．概率的概念在一个随机试验中,对于每一个事件A ,都有唯一的实数P (A )和它对应,且P (A )是满足下列条件的事件A 的函数：(1)非负性：P (A )≥0；(2)规范性：对于必然事件，有P (Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A 1，A 2，…,A n ，…,有∑=ii i iA P A P )()(U ．∅=B A I 图1.1AB A −ΩB A ⊂BAB A U B A I2．概率的基本性质 (1)P (∅)=0;(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…,A n 两两互不相容,则∑===ni i i ni A P A P 11)()(U ;(3)对于两个事件A 与B ,如果B A ⊂,则P (A -B )=P (A )-P (B )． 特别地,由于P (Ω)=1,故而有()1()P A A =−．3．古典型概率如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率．对于此类试验中的事件A ,其概率可以如下计算：nn A A P A=Ω=中所含样本点的个数中所含样本点的个数)(． 4．几何型概率如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A 的概率为)()()(或面积或体积长度的或面积或体积长度的Ω=A A P ．5．条件概率对于任意两个事件A 和B ,其中P (A )>0,则事件B 在事件A 发生的条件下的条件概率定义为：)()()|(A P AB P A B P =注：可以验证,对于给定的事件A ,条件概率)|(A B P 具有概率的一切性质． 6．计算概率的几个公式(1)加法公式：对于任意事件A ，B ，C ，有P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )．P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )．上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式． (2)减法公式：对于任意两个事件A ，B ，有P (A -B )=P (A )-P (AB )．(3)乘法公式：对于任意两个事件A ，B ，则有()()(|)(()0)P AB P A P B A P A =>或()()(|)(()0)P AB P B P A B P B =>一般地，对任意三事件A 、B 、C ,则()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =．对于n 个事件A 1，A 2，…,A n ，若P (A 1A 2…A n -1)>0,则P (A 1A 2…A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)…P (A n | A 1A 2…A n -1)(4)全概率公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()((5)贝叶斯公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B (P (B )>0),有),,2,1()|()()|()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B P B A P B A P nj jji i i i L ===∑=三、事件的独立性与独立重复试验1．独立事件(1)两个事件独立：对于两个事件A 与B ，如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与B 独立． 如果事件A 与B 独立,则事件B A B A B A 与与与,,也独立．(2)多个事件的的相互独立：对于任意n 个事件A 1，A 2，…,A n ，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意n j i ≤<≤1,有)()()(j i j i A P A P A A P =,则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 两两独立;如果其中任何k n k ≤≤2()个事件：),1(,,,2121n i i i A A A k i i i k ≤<<<≤L L 均有),()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P L L =则称A 1，A 2，…,A n 相互独立． 2．独立试验(1)独立试验：两个或两个以上试验为相互独立的,如果与各试验相联系的事件之间相互独立．(2)独立重复试验：在两个或多个独立试验中,如果同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们是独立重复试验．(3)伯努利试验：如果试验结果只有A 与A 两个结果,则称之为伯努利试验．将一伯努利试验独立重复进行n 次,则称为n 重伯努利试验．设在每次试验中P (A )=p (0<p <1),则在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次的概率为kn k p p k n p n k b −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1(),;( 此公式称为二项概率公式．• 例题讲解 •例1．已知A 、B 、C 为任意三个随机事件,则P [(A +B )(A -C )]等于( ))()()()()()()()()()()()()()()()()(AC P A P D ABC P AC P A P C ABC P AB P AC P A P B ABC P AB P AC P A P A −+−−−+−+−解:例2．设三个非空事件A ,B ,C 是完备事件组,则不能得出结论的是( )∅=∅=D C C B A B C A C B B A A )()()(,)(,,)(U 为对立事件两两互斥解:例3．设随机事件A 与B 互不相容,则下列选项中不正确．．．的是( ) ()()()()()])([()()()()()(1)()()()(B A P A P B A P D A P B A B A P C B P A P B A P B B A P A P B A P A U U U −=−=−−=−−+=−解:例4．)(),|()|(,1)(0,,则若有为两事件设B A P B A P B P B A =<<B A D B P A P AB PC B A B AB A ⊃==∅=)()()()()()()(解:例5．)()|(,1)(,0)(,,,=≠>C AB P C P ABC P C B A 与为三个随机事件已知)|()()()()()()()()|()|()()|()|()()|()|(C B P AC P ABC P D B P A P AB P C AC B P C B P B BC A P C A P A C B P C A P ====不等价的是 解:例6．)(,32)(,41)|()|(则设===A P A B P B A P)|()|(,)(127)(,)()()(,)(125)(,)(B A P B A P B A D B A P B A C B P A P B A B B A P B A A ====且不独立与且不独立与且独立与且独立与U U解:例7．设有两个事件A , B , 0<P (A )<1, 0<P (B )<1, 则( )一定相容则不独立若一定互斥则不独立若一定相容则独立若不相容一定互斥则独立若B A B A D B A B A C B A B A B B A B A A ,,,)(,,,)(,,,)()(,,,)(解:例8．商店销售10台电视机,其中有7台一级品,3台二级品,已买出一台,在其余的9台中 任取2台发现均为一级品,则买出的那一台也是一级品的概率为( )107)(105)(87)(85)(D C B A 解:例9．.____)|(,2.0)(,6.0)(,3.0)(,,====B A P AB P B P A P B A 则是两个随机事件设 解:例10．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .解: 从P (AB )=0，可知P (ABC )=083)(1)()(8501611*********)()()()()()()()(=−===+−−−++=+−−−++=C B A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U U U U U 则图1.2例11．袋中有五张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中无放回地随机抽取三张卡片，则取到的三卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是 .解:例12．在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于21的概率为 . 解: 这是一个几何概型,设x ,y 为所取的两个数,则样本空间为1{(,)|0,1},{(,)|(,),||}.2334(),,.14A A x y x y A x y x y x y S P A S S A S ΩΩΩ=<<=∈Ω−<===Ω记故其中分别表示和的面积 例13.(练习)设甲,乙两约好8:00—9:00在某地方会面,约定先到者等候20分钟,过了时间就离开,则两人能够会面的概率 .(95)例14．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则P {Y =2}= .解:由于事件{X =1}，{X =2}，{X =3}，{X =4}是一个完备事件组，且1{},1,2,3,44P X i i ===. 1{2|1}0,{2|},2,3,4P Y X P Y X i i i=======,根据全概率公式41{2}{}{2|}i P Y P X i P Y X i ======∑111113(0).423448=+++=例15．(练习)设袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚硬币投掷r 次,已知每次都是国徽,则这枚硬币是正品的概率为r n m m2⋅+.例16．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 .解:这是一个4重伯努利试验概型，设试验的成功率即射手的命中率为p ，则进行四次独立地射击，事件“四次均不中”的概率为4(1)p −，它是“至少命中一次”的对立事件. 依题意48012(1)11.8133p p p −=−⇒−=⇒= 例17．(练习)现进行一系列独立重复试验，成功两次之前失败两次的概率为163，则成功三次之前失败三次的概率 . (325) 注：（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p （0<p <1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）3p (1-p )2 （B ）6p (1-p )2. （C ）3p 2 (1-p )2 （D ）3p 2 (1-p )2.解:第4次射击恰好第二命中表示4次射击中第4次命中目标，前三次射击有1次命中目标.由独立重复性知所求的概率为: 2213)1(p p C − 应选（C ）.例18．(摸球问题)袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区别.现将球随机地一只只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率(b a k +≤≤1).解法1 把a 只黑球b 只白球视为不同的(如设想把它们编号)，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 个位置上，则基本事件总数就是a+b 个相异元素的全排列 (a+b )!.若记k A 为“第k 次摸出黑球”，这相当于在第k 个位置上放一黑球，在其余的(a+b -1)个位置上放另外的(a+b -1)个球.所以，k A 包含的基本事件个数为)!1(−+⋅b a a .故所求概率为ba ab a b a a A P k +=+−+⋅=)!()!1()(.解法2 还是将球视作各不相同的，只考虑前k 次摸球.此时样本空间包含的基本事件总数为kb a A +.而k A 这个事件相当于在第k 个位置上放一只黑球(有a C a =1种放法)，在其余k -1个位置上摆放从余下的a+b -1只球中任意取出的k -1只球(有11−−+k b a A 种放法)，总共有11−−+⋅k b a A a 种.故所求概率为b a a A A a A P kba kb a k +=⋅=+−−+11)(. 这个结果与k 无关.也就是说，不管先后次序，不管是放回还是不放回抽样，抽取到黑球的概率都是ba a+，这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中的抽签，摸彩票等等，机会均等且与先后次序无关.例19．(分房问题) 有n 个人每个人都以同样的概率N1被分在)(N n N ≤间房中的每一间中(每间容量不限).试求下列各事件的概率：(1)A ：某指定n 间房中各有一人； (2)B ：恰有n 间房，其中各有一人；(3)C ：某指定房间中恰有)(n m m ≤人.解 由于每一个人可被分配到N 间房中任意一间，所以基本事件总数相当于从N 个元素中选取n 个重复排列数，即为nN ，事件C B A ,,包含的基本事件数分别为m n mn C nN B A N C m n C m n m −−=⋅==)1(,!,!.于是(1)n Nn A P !)(=；(2)n nN N n C B P !)(⋅=；(3)m n mm n nm n mn N N C NN C C P −−−=−=)11()1()1()(.注：某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率(生日相同指几月几日出生相同)。
2008级函授（本科）《概率论》课程自学指导和自学进度一、课程的目的、任务和要求概率论是研究随机现象客观规律性的数学学科，在高等院校教学计划中是一门基础理论课。
本课程是为培养机械设计、机电工程、土木工程等专业人才而设置的一门必修的重要基础理论课。
作为信息时代的应用型人才，应该有相应的数学基础，这就必须具备概率论的基本理论知识，并掌握它的基本方法。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论的基本概念，了解它的基本理论和基本方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生初步具有运用概率论的知识分析和解决随机现象实际问题的能力，学习后继课程及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。
二、课程的主要内容与基本要求第一章随机事件与概率主要内容：随机事件，样本空间，事件之间的关系及运算。
概率的统计定义，概率的公理化定义，概率的性质。
古典概型，概率的加法公式，条件概率，概率的乘法公式，随机事件的独立性，全概公式与Bayes公式。
独立重复试验，贝努里概型，二项概率公式。
重点：随机事件，古典概型，概率的加法公式，条件概率，概率的乘法公式，随机事件的独立性，全概公式与Bayes公式。
独立重复试验，贝努里概型。
难点：古典概型，概率的计算，全概公式与Bayes公式。
基本要求：1.理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与基本运算。
2.理解概率的概念，理解古典概率的定义，知道概率的公理化定义。
3.掌握概率的基本性质（特别是加法公式），会应用这些性质进行概率计算.理解条件概率概念。
掌握乘法公式、全概公式、贝叶斯公式。
4.理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。
5. 了解贝努里概型的概念，掌握贝努里概型和二项概率的计算。
第二章随机变量的分布与数字特征主要内容：随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布。
两点分布；二项分布；泊松分布；超几何分布。
连续型随机变量的概率密度，均匀分布；指数分布；正态分布。
分布律与概率密度的性质，分布函数及其性质。
上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是 （ ） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。
记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。
则=)|(A B P （ ）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（ ）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。
| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | ||防灾科技学院2008~2009学年 第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级07601/ 07602/07103 答题时间120分钟一填空题（每题2分，共20分）1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为)0(0,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x ex f x，则分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ；6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2/)(22Y X X +)2(t ；7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率()≥<-32X P 98；8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；9、设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨⎧<≥=.0,0,0,1X X Y ，则Y10、已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本1200=x 小时，则μ的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （96.1025.0=z ）。
二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（ C ）（A ）11-=αβ ；（B ）1+=αβ；（C ）11+=αβ；（D ）不能确定； 3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立； （B ）)(4)()2(Y D X D Y X D +=-；（C ）)(2)()2(Y D X D Y X D +=-； （D ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-；4、若)1,0(~N X ，则)2|(|>X P =（ A ）（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-； 5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。
