高二数学课件 数列求和及其应用复习

解得
，
或
，
舍 解得 ，即数列 的通项公式
；
，
数列 的前 n 项和
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
．Hale Waihona Puke 高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
练习：已知数列 的前 n 项和 Ⅰ 求 的通项公式；
．
Ⅱ记
，求数列 的前 n 项和．
解： Ⅰ 数列 的前 n 项和
通项是什么？
＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
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练习：在各项均为正数的等比数列
中，
求等比数列 的通项公式；
，且 ，
成等差数列．
若数列 满足
，求数列 的前 n 项和 ．
解： 设数列列
的公比为 q，
，可得
；
时，
上式对
也成立，则
，
Ⅱ
则数列 的前 n 项和为
．
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
，
；
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
裂项相消法求和法（拆项法）：
适用于分式的形式把一项拆成两个分式差的形式,然后再求和.
也就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的 抵消项，进而达到求和的目的。
归纳小结
(1)公式法.
(2)分组化归法.将该数列的通项变形后，每一项拆成两项或多项，重新分组，将一般数列
求和化为特殊数列求和.
(3)并项求和法.(4)错位相减法.(5)倒序相加法.

∴bn＝－34·23n－1。 ∴an2－1＝－34·23n－1。 ∴an2＝1－43·32n－1。 又 a1＝12>0，an·an＋1<0，
∴an＝(－1)n－1
1－34·23n－1。
对应训练 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－a1n，bn＝an－1 2(n∈ N*)，则数列{bn}的通项公式 bn＝____－__13_×__4_n－_1_－__32___。
【规律·方法】 利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n1(an≠0)求通项公式的方 法称为累乘法。累乘法是求型如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的基 本方法，其中 g(n)可求前 n 项积。
对应训练 2 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋ 1
考点二 累乘法求通项公式
【例 2】
若
a1＝1，Sn＝n＋3 2an(n∈N*)，则通项
nn＋1 an＝____2____。
【解析】 由题设知，a1＝1。 当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，∴aan－n 1＝nn＋－11。 ∴aan－n 1＝nn＋－11，…，aa34＝35，aa23＝24，aa12＝3。 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘， 得到aan1＝nn＋2 1，又∵a1＝1，∴an＝nn＋2 1。
数列 求和
学习目标
• 1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式． • 2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．
知识梳理
• 一、公式法 • 1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和
• (1)等差数列的前n项和公式Sn＝__n_（__a_12＋__a_n_）__ • ＝__n_a_1＋__n_（__n_－2__1）d． (其中a1为首项，d为公差) • (2)等比数列的前n项和公式

an1 an
a
上述解法错误在于，当公比
1/a=1即a=1时，前n 项和公式
不再成立。
例2 求和：1
1 a
1 a2
解：当a=1时， S
1
n
1； an
当a 1时，
S
1
1
1 a
n1
1 1
a
an1 1 an1 an
n 1，
S
an+1 1
an1 an
a=1 a 1
对策：
在求等比数列前n项和时，要特别 注意公比q是否为1。当q不确定时 要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求 解。
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5. 1 1 ( a b) a b ab
练习：求an
1
1 23
解：an
1 1 23
n
的前n项和
n
2
n(n 1)
2( 1 1 ) n n 1
(3).Sn x 2x2 3x3 nxn x 0
4Sn
1 1 2
1 23
1 3 4
1
nn 1
即时小结
求前n项和关键的第一步：
在什么情况下，用分组求和？
cn an bn其中an是等差数列 bn 是等比数列
3.错位相减法：设数列{an}是公差为d的等差数列（d
不等于零），数列{bn }是公比为q的等比数列(q不
No 等于1），数列{cn满} 足：cn anbn 则{cn}的前n项和为： Sn Imca1 gec2 c3 cn

高二数学数列复习
欢迎来到《高二数学数列复习》的PPT课件。本课程将带您深入了解数列的 基础知识、应用、求和、趋势与极限，并提供练习与解题技巧分析。
数列基础知识
数列定义
了解数列的定义及其特性，为后续的学习奠 定基础。
数列通项公式
学习如何根据数列的规律推导出通项公式。
数列分类
掌握常见数列的分类方法，如等差数列、等 比数列等。
数列求和公式
了解如何计算数列的求和，包括等差数列求 和和等比数列求和。
数列的应用
等差数列
探索等差数列在实际问题中的应用，例如时间、距离等。
等比数列
发现等比数列在实际生活中的应用场景，如增长、衰减等。
Fibonacci数列
了解Fibonacci数列的特点和应用，如黄金分割、自然界中的现象等。
数列求和
数列极限
了解数列极限的定义，以及如何求解数列的极 限。
小结与练习
数列综合练习
通过做练习题来巩固数列的知 识和技巧。
数列知识点回顾
总结数列的重要知识点，复习 关键概念。
数列解题技巧分析
分享有效的数列解题技巧和应 用策略。
1
等差数列求和
通过推导公式计算等差数列的求和，并通过实例应用题加深理解。
2
等比数列求和
掌握等比数列求和的公式，运用于现实问题，并解析具体应用题。
3
特殊求和方法
介绍差分法和telescopical cancellation方法，加快计算求和结果。
数列趋势与极限
数列的单调性
定义数列的单调性，以及判定一个数列是否单 调的方法。

数列（求和）
主讲教师：XXX 2018年9月1日
aபைடு நூலகம்a1 0
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁渡 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面子；担 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡泊且致 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意，反而深 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？在路上， 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分钟，对自 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到；学会赞 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事，则可重 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都随缘。 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云飞，心 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够畅即可； 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭的环境， 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。人生的 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥和升平， 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头脑清醒， 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可长，志不 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向觉悟。让 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距，实际上是 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是很重要的 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一件事。因 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、一感恩， 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要光临。成 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。在危险 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做一个有 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需要外来 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝交。人 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口，错误 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都作一 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止学习。 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你爱的最 无私的人。

(2)若bn=
3
,{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
分析：(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;
(2)由于所给数列中{an}是一个等差数列,{bn}是一个等比数列,
因此利用错位相减法求Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 d>0,
∵2a1,a2,a3+1 成等比数列,∴
2
(a3+1),
8×7
9(1-97 )
9 14
=8×1+ ×4+
=120+ (3 -1).
2
1-9
8
(2)当 n=2m(m∈N*)时,
)

(4-2)
9(1-9
Sn=1+5+…+(4m-3)+9+92+…+9m=
+
2
1-9
当 n 为奇数时,n-1 为偶数,Sn=Sn-1+an
( -1)( -2)
9 n-1
( +1)
∴a -1=2n-1,即a =2n-1+1.
2n-1+n.
(2)解 ∵an=2n-1+1,∴nan=n·
∴数列{nan}的前 n 项和
Tn=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1+(1+2+3+…+n)
0
n-1
2
=1×2 +2×2+3×2 +…+n×2 +
( +1)
.③
2
∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n+n(n+1).④

析 : 先求出an 34 2n. n 17时, an 0; n 18时, an 0.
①n 17时, an 0,Tn a1 a2 an
a1 a2 an
S n 33 n n 2
②n 18时, an 0, Tn a1 a2 | an |
a n a n 1
2an
a
解：∵数列 2 是公比为 4 的等比数列, ∴ an -1 =2an an1 4 ，即 an an 1 2
2
故数列 an 是公差 d 2 的等差数列.
n
2
2
由于 a 2 , a 4 , a 7 成等比数列，∴ a4 a2 a7 ，即 (a1 3d ) (a1 d )(a1 6d )
(a1 a17 ) (a18 a19 an )
S17 ( S n S17 ) 2S17 S n n 2 33n 544
2

33
n

n
, n 17

Tn 2

n 33n 544, n 18
2.裂项相消法
➢ 常见裂项公式：
6
2
2
2
2
2
2
n
(
n

1
)
n
(
n

1
)


3
3
3
3
④1 2 3 n


4
2
2
需用数学归
纳法证明
1.公式法——全优4.3.2
例1.1设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，

①－②，得(1－q)Sn＝a1b1＋d
－anbn＋1，化简求出 Sn 即可．
[典例 3] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且 an＝ bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝abn＋n＋12n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
当 n 为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)] ＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2－1＋22n－5＋ n214＋24n＋6＝3n2＋2 7n.
当 n＞5 时，Tn－Sn＝3n2＋2 7n－(n2＋4n)＝n2－2 n＝nn2－1＞0，所以 Tn＞Sn. 综上可知，当 n＞5 时，Tn＞Sn.
(2)证明：由(1)知 an＝2n＋3， 所以 Sn＝n[5＋22n＋3]＝n2＋4n. 当 n 为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)] ＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝ n＋2 1－12＋2n－3＋n－2 1142＋4n＋2＝3n2＋52n－10. 当 n＞5 时，Tn－Sn＝3n2＋52n－10－(n2＋4n)＝n2－32n－10＝n－52n＋2＞ 0，所以 Tn＞Sn.
[方法技巧] 分组转化法求和的常见类型
[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
[对点练清] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N *.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－n－12＋2 n－1＝n. a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.

数列求和的分类
有穷数列求和
数列的项数是有限的，求和时只需要 将所有项加起来即可。
无穷数列求和
数列的项数是无限的，需要采用特定 的方法进行求和。
数列求和的基本方法
公式法
对于一些特定的数列，可以直 接使用公式进行求和。
裂项法
将数列中的每一项都拆分成两 个部分，然后分别进行求和。
错位相减法
将数列中的每一项都乘以一个 常数，然后错位相减，得到一 个等差数列，最后进行求和。
03
等比数列求和
等比数列的定义
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都
相等。
等比数列的每一项都可以由首项 和公比唯一确定。
等比数列的通项公式为 $a_n=a_1*q^{(n-1)}$，其中 $a_n$是第n项，$a_1$是首项
，q是公比。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式 是数列中任意一项的 数学表示。
详细描述
分组转化法的基本思路是将原数列分组，每组内的项可以转化为等差数列或等比数列，然后利用相应 的求和公式计算每组的和，最后将各组的和相加得到原数列的和。这种方法适用于一些复杂的数列求 和问题。
05
数列求和的应用
在数学竞赛中的应用
数学竞赛中，数列求和是常见的 题型，考察学生的数学思维和计
算能力。
数列求和在金融领域中还应用于计算复利、评估贷款还款等金融业务。
在日常生活中的应用
在日常生活中，数列求和的应用也十 分常见，如计算购物清单的总价、计 算工资总额等。
数列求和在日常生活中的应用还体现 在统计数据、计算平均值等方面。
通过数列求和，人们可以快速准确地 计算出一系列数字的总和，提高日常 生活中的计算效率。

1 2
④同除以1－q写出Sn
Tn 5 ( 4n 5) 2 n
3.错位相减法 等差×等比
(1)主要适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是

n
n
公比为q的等比数列，如：{n·3 }、{(2n＋1)·4 }、{ }

(2)步骤：
①所乘系数: 在等式两边同乘的是等比数列的公比;写出“Sn”与“qSn”的表达式;
)
➱
n( n k ) k n n k
1
1 1 － 1
②
＝ 2
；
2n－1
2n＋1
2n－12n＋1


1
1
1
1

(

)
③
n(n 1)( n 2) 2 n(n 1) (n 1)( n 2)
1
( n k n)
无理型： ④
nk n k
➱
2n
1
2
－
(2)由(1)可知 cn＝bn·log3(2an＋1)＝3n 1·n，令{cn}的前 n 项和为 Tn，
则 Tn＝1×30＋2×31＋…＋n·3n－1，故 3Tn＝1×31＋2×32＋…＋n·3n，
1
－n 1
两式相减得－2Tn＝1＋(31＋32＋…＋3n－1)－n·3n＝3n 2
－ ，
2
n 1
－
2 2
2
2
2
齐次式错位相减
得等比数列求和
1 2 3
n 1 n


②
2 2 2
2
2
1
1 1
1
1
n
1