高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(201911整理)

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。

等差数列与等比数列一、知识要点： 1.通项公式：等差数列通项公式：b kn d m n a d n a a m n +=-+=-+=)()1(1（k 、b 为常数） 等比数列通项公式：m n m n n q a q a a --==11 2.求和公式：等差数列前n 项和Bn An a a n d n n na S n n +=+=⋅-+=2112)(2)1(（A 、B 为常数） 等比数列前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--⋅==)1(,1)1()1(,11q qq a q na S n n3.性质：（1）等差中项：212+++=n n n a a a等比中项：212++⋅=n n n a a a（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+（等差数列）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅（等比数列）（3）n S 为等差数列前n 项和，则 ,,,232m m m m m S S S S S --也成等差数列。

n S 为等比数列前n 项和，则 ,,,232m m m m m S S S S S --也成等比数列。

6.等差数列中：（1）若)(n m S S n m ≠=，则0=+n m S（2）若q S p =，p S q =，则)(q p S q p +-=+等比数列中：n m m n m S q S S +=+ （q 为公比）二、例题解析：例题1.（1）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A.5B.4C. 3D.2 （2）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.201(3)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．27(4)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例题2. 在等比数列}{n a 中： （1）6117=⋅a a ，5144=+a a ，求1020a a = _________. （2）设0>n a ，49211376102=++a a a a a a ，求76a a += ________. （3）126,128,66231===+-n n n S a a a a ，则n =________. （4）若1010=S ，13030=S ，则40S =_________.（5）设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若}{log 2n a 是公差为-1的等差数列，且836=S ， 则1a =________.例题3.(1) 设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0B.a 7＝0C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值（2）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，又636,S =6324,144n n S S -==，则n ＝______ (3)设公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项积为n T ，且满足：01,1100991>->a a a ，01110099<--a a ，给出以下结论：① 10<<q ； ② 1198<T ； ③ 110199<a a ； ④ 使1<n T 成立的最小自然数为199； 其中正确结论序号为____________例题4.（1）已知数列{}n a 中，22,111+==+n nn a a a a ，则n a ＝____________（2）已知数列{}n a 满足：4221+=+n n a a ，且,0,11>=n a a 则n a ＝____________例题5.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三、练习：1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =( )A.38B.20C.10D.92. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈． 设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 3. 设}{n a 是等差数列，公差大于0，n an b )21(=，且821321=++b b b ，81321=b b b ； 则通项__________=n a ；__________=n b 。

等差数列等比数列公式
等比数列是前一项除以后一项等于一个固定常数q通项公式an＝a1·q(n－1),等差数列是前一项与后一项的差是常数等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d等比
数列是指前一个数和后一个数的比相同,
一. 等差数列
1.通项公式
an =a1+(n-1)d
2.议和公式
sn=(a1+an)n/2
sn=n*a1+n(n-1)d/2
当n为奇数时：sn=中间项*项数
当n为偶数时：sn=中间两项的平均数*项数
3.特殊性质
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
对于等差数列，考试中常以中项求和公式为重点进行考察，下面我们就来练习一下。

基准：某剧院存有33排座位，后一排比前一排多3个座位，最后一排有个座位，答
这个剧院一共存有多少个座位?
a b c d
由题干所述，一共存有33项，公差为3，最后一项为，中间项为第17项，第17项=-
3x16=87，因此一共存有87*33即为个座位，挑选b项。

例：某一天，小李发现台历已经有一周没有翻了，就一次性翻了七张，这七天的日期
数加起来恰好是77，请问这一天是几号?
a 13号
b 14 号
c 15 号
d 17号
翻过去的七天日期数恰好是公差为1的等差数列，因此中间项是第四天为77/7=11号，最后一天是14号，那么当天为15号，选择c项。

等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。

(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。

通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。

这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。

2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。

当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。

2019高考数学数列总结：等差数列及等比数列公式高中数学数列知识点总结：等差数列公式等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2 若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数文字翻译第n项的值=首项+(项数-1)*公差前n项的和=(首项+末项)*项数/2公差=后项-前项高中数学数列知识点总结：等比数列公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。