高三数学(理科)冲刺试卷10

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f'(x)$的零点个数是（）。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若$a, b, c$是等差数列的连续三项，且$a + b + c = 12$，则$ab + bc +ca$的值是（）。

A. 36B. 24C. 18D. 123. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值是（）。

A. 13B. 23C. 5D. 14. 函数$y = \frac{1}{x}$的图像在（）象限。

A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限5. 下列不等式中正确的是（）。

A. $x^2 > 4$B. $x^2 < 4$C. $x^2 \leq 4$D. $x^2 \geq 4$6. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点$B$的坐标是（）。

A. $(3, 2)$B. $(1, 4)$C. $(4, 1)$D. $(5, 0)$7. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列的前$n$项和$S_n$是（）。

A. $2^n - n - 2$B. $2^n - n - 1$C. $2^n - n$D. $2^n - n + 2$8. 若直线$y = kx + b$经过点$(1, 2)$和$(2, 3)$，则$k$的值是（）。

A. 1B. 2C. 0.5D. -19. 已知函数$y = \log_2(x - 1)$，则函数的定义域是（）。

A. $x > 1$B. $x \geq 1$C. $x < 1$D. $x \leq 1$10. 下列命题中正确的是（）。

A. 两个等差数列一定是等比数列B. 两个等比数列一定是等差数列C. 两个等差数列的公差一定相等D. 两个等比数列的公比一定相等二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的对称轴方程是__________。

2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f'(1)$的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列各式中，正确的是：A. $x^2 + y^2 = 1$表示一个圆B. $x^2 - y^2 = 1$表示一个椭圆C. $x^2 + y^2 = 0$表示一个点D. $x^2 - y^2 = 0$表示一个双曲线3. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是：A. $a^2 + b^2 > 2ab$B. $a^2 + b^2 \geq 2ab$C. $a^2 + b^2 < 2ab$D. $a^2 + b^2 \leq 2ab$4. 函数$y = x^3 - 6x^2 + 9x$的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_4 + a_5 + a_6 = 21$，则$S_9$的值为：A. 45B. 50C. 54D. 606. 若$|x - 1| + |x + 1| = 4$，则$x$的取值范围是：A. $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$B. $-1 \leq x \leq 1$C. $x < -1$ 或 $x > 1$D. $x = -1$ 或 $x = 1$7. 已知复数$z = 1 + 2i$，则$|z|^2$的值为：A. 5B. 4C. 3D. 28. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a + b + c = 9$，$ab + bc + ca = 21$，则$abc$的值为：A. 9B. 12C. 15D. 189. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 27$，$a_2 + a_3 + a_4 = 81$，则$q$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 若$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，则$\tan x$的值为：A. 1B. 0C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数$y = 2^x$的图像上任意一点的坐标满足$y = \ldots$。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题10月月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--<，4{|log 0.5}B x x =<，则（ ）A ．AB φ= B ．UC A B R = C ．A B B =D ．A B B =2.已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z =（ ） A ．2i + B ．12i - C ．12i + D ．2i -3.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和等于（ ）A ．10B ．5C ．0D ．55.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．32 B ．18 C ．16 D ．106.某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ） A ．;9c a i =≤ B ．;9b c i =≤ C ．;10c a i =≤ D ．;10b c i =≤7.已知向量(1,2)a =-，(3,6)b =-，若向量c 满足c 与b 的夹角为0120，(4)5c a b +=，则||c =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．258.已知菱形ABCD 的边长为3，060ABC ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．15π B ．6π C ．152πD ．12π 9.已知双曲线222:14x y C b-=(0)b >的一条渐近线方程为62y x =，12,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，12||:||3:1PF PF =，则21||PF PF +的值是（ ） A ．4 B ．26 C ．210 D ．610510. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,2]-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-11.如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽AB x =(1)x ≥，线段MN 的长度为1，端点M ，N 在长方形 ABCD 的四边上滑动，当M ，N 沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值差为y ，则函数()y f x =的图象大致为（ ）12.定义在(0,)+∞上的单调减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的 是（ ）A ．3(2)2(3)f f >B ．2(3)(4)f f <C ．3(4)4(3)f f <D ．2(3)3(4)f f <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正项等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若430S =，3540a a +=，则数列{}n a 的前9项和等于 .14.在6()(0)a x a x>的展开式中含常数项的系数是60，则sin axdx ⎰的值为.15.已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k=.16.已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--，当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(,0)()k k Z ∈成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数；③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(,1)()k k k Z +∈上单调递增. 其中所以正确结论的序号为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222222sin sin sin C B a c b B b c a-+-=+-. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin a C B ==，求b ，c 的值. 18. （本小题满分12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望. 19. （本小题满分12分）在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PD PB ⊥，PA PD =. （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设E 是棱AB 的中点，090PEC ∠=，2AB =，求二面角E PC B --的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，2,0)F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+，2(||k ≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求||OP 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数3()f x x x x =--.（Ⅰ）求函数()y f x =的零点的个数；（Ⅱ）令2()ln ()g x x f x x=++，若函数()y g x =在1(0,)e 内有极值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，14PA PB =，12PD PC =. （Ⅰ）求ADBC的值； （Ⅱ）若BD 为圆O 的直径，且1PA =，求BC 的长. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是222422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos()4πρθ=+.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修45:不等式选讲 已知函数()|21|||2f x x x =+--. （Ⅰ）解不等式()0f x ≥；（Ⅱ）若存在实数x ，使得()||f x x a ≤+，求实数a 的取值范围. 高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1．已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．MN N =B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆2．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是A ．()22x x f x -=-B ．2()1f x x =-C ．()cos f x x x =D ．()ln f x x =- 3．下列命题中错误的是A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．00,x ∃>使“00x xa b >”是“0a b >>”的必要不充分条件4．若tan 2α=，则sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值为A ．16 B ．16- C ．12 D ．12-5．已知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 6．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ()0ϕ>个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ=A．3-B．3C．3- D．37．已知函数21()7,0(x)2log(1),0x xfx x⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩，若()1f a<，则实数a的取值范围是A.()[),30,1-∞- B.()()3,01,1-- C.()3,1- D.()(),31,-∞-+∞8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升) 加油时累计里程(千米)10月1日12 3500010月15日60 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A．6升B．8升 C．10升 D．12升9．平面直角坐标系xOy中，点00(,)P x y在单位圆O上，设xOPα∠=，若536ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3sin()65πα+=，则x的值为A．343-B．343+C．433-D．433--10．已知函数2()(1)xf x e x=-+（e为自然对数的底），则()f x的大致图象是A B C D11．已知函数()xf x e=，,,a b c分别为ABC∆的内角,,A B C所对的边，且222334a b c ab+-=，则下列不等式一定成立的是A．()()sin cosf A f B≤B．()()sin sinf A f B≤C．()()cos sinf A f B≤D．()()cos cosf A f B≤12．设实数0λ>，若对任意的()2,x e ∈+∞，不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则λ的最小值为A ．22eB ．22eC ．212eD ．22e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P , 点P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =． 14．若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为．15．已知命题2:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为真命题，则实数m 的取值范围为． 16．已知1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,3AC DC =． （Ⅰ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（Ⅱ）若2BD DC =，且23AD =，求DC 的长．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==． （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值．19．（本小题满分12分）国家质量监督检验检疫局于5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80E DBCAP毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（Ⅰ）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40,ln90 4.50≈≈≈）20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)1()xf x e ax x x R =+++-∈.（Ⅰ）若0x ≥时,()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）求证：2e3e 2-<.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44：极坐标和参数方程选讲已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1(x tt y t=-⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值．23．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x x ->；（Ⅱ）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围．荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三10月联考理科数学参考答案一． 选择题：二、填空题13．914．20x y--= 15．2m<16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有sin sinAC DCADC DAC=∠∠.因为AC=,所以sin2ADC DAC∠=∠=.………………………………3分又6060>+∠=∠+∠=∠BBADBADC所以120ADC∠=.于是3030120180=--=∠C,所以60B∠=.……………………………………6分（Ⅱ）设DC x=,则2BD x=,3BC x=,AC=.于是sinACBBC==,cos B=,.6xAB=………………………………………9分在ABD∆中,由余弦定理,得2222cosAD AB BD AB BD B=+-⋅,即222264222x x x x=+-⨯=,得x=DC=．………12分18．证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接,OF EF．因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF PA，且12OF PA=，因为DE PA，且12DE PA=，所以OF DE，且OF DE=．所以四边形OFED为平行四边形，所以OD EF，即BD EF．2分因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA BD⊥．因为ABCD是菱形，所以BD AC⊥．因为PA AC A=，所以BD⊥平面PAC．4分因为BD EF，所以EF⊥平面PAC．因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE．5分（Ⅱ）因为直线PC与平面ABCD所成角为45，所以45PCA∠=，所以2AC PA==．所以AC AB=，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM BC⊥．以A为原点，AM，AD，AP分别为x y z，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -．7分则()0,02P ，，)0C ，，()0,21E ，，()0,20D ，，()3,1,2,PC =-(),CE =-()0,0,1DE =．设平面PCE 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 令11y =，则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．…………………………………………9分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm 即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．cos ,⋅===⋅n m n m n m ， 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos θ=，11分 即二面角P CE D--的余弦值为． ·················································· 12分 19．解：（Ⅰ）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，…………………1分 此时()40sin()133f x x π=+，……………………………………………………………2分 当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 401353y =+=．………………4分 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升．………………5分（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >．由0.5901420x e -⋅+<，得0.5115x e -<， …………………………………………………7分 两边取自然对数，得0.51ln ln 15x e -< ………………………………………………………8分即0.5ln15x -<-，所以ln15 2.715.420.50.5x ->==-， …………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：（Ⅰ）由已知得2,1ac ==，∴b =E 的方程为22143x y +=；...........4分（Ⅱ）假设存在点0(,0)M x ,使得MA MB ⋅为定值，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-=..............................................................6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分 101202(,),(,)MA x x y MB x x y =-=-22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MB x x x x y y m y y x m y y x ∴⋅=-⋅-+⋅=+⋅+-++-=22002296(1)()(1)()(1)3434m m x m x m m +-+--+-++ 22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分 要使上式为定值, 即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=-．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=- 综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-为定值．.……………………………………12分21．解:（Ⅰ）法一：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++..................................................1分()()211x f x e x ''=-+，()()211x f x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增， 则()()0=0f x f ''''≥................................................................................................................. .....3分 则()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分 ① 当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在[)0+∞，上单调递增，此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分 ②若2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增， 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. ............................................ .....................................7分 法二：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分 ① 2a ≥-，令()1xg x e x =--，则()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．………………………………………………….... .... .... ...3分∴()()1112011xf x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增. ∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分 ②若2a <-,由()()()()222111011x xx e f x ex x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. .........................................................................7分 （Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11xe x x -++-在[)0,+∞上单调递增....................... ........ ..................... ........................ ...................................... .....................9分则()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭. ∴3ln 22>-∴232e>,即232e <.............................................................................................. .....12分 22.解：（Ⅰ）.24cos ,4cos ρθρθ=∴=, 由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=, 由1x ty t =-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分（Ⅱ）把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=,整理得230t -=,设其两根分别为12,t t，则12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-== .……………………………………………10分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的距离为2d =，从而PQ =23．解：（Ⅰ）()0f x x ->可化为1x x ->，所以22(1)x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分（Ⅱ）因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷二． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π② 若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2019届全国新高三原创精准冲刺试卷（十）理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{{sin 0}M x y N x x ===>，则MN =（ ）A ．(0,3]B ．[3,)πC ．[1,)π-D ．[1,0)-2. 已知复数z 满足()(1)2z i i i -+=-，则z =（）A ．1B ．12CD3．设537535714(),(),log 755a b c -===,则,,a b c 的大小顺序为( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．在某个微信群的一次抢红包活动中，若所发红包的总金额10元，被随机分配为1.34元、2.17元、3.28元、1.73元和1.48元共5个供甲和乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲和乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）A ．14B ．15C ．25D ．135．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，68966,3a a S S +=-=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A ．ln 1y x =-B ．2y x x =-C ．cos xy x=D ．x x y e e -=+ 7．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．B ．3C ．3D ．8．已知函数()()1s i n f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2,3πB ．2,3π-C ．1,6πD ．1,6π-9．给出下列五个命题：①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01xe ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“0a b ∙<”； ④在锐角△ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+；⑤{}n a 为等差数列，若(,,,)m n p q a a a a m n p q N *+=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,m n a a ，使得64m n a a =，则19m n +的最小值为（ ） A ．145 B ．114C ．83D ．10311．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴端点分别为12,A A ，记双曲线的其中一个焦点为F ，一个虚轴端点为B ，若在线段BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点(1,2)i P i =，使得122i A P A π∠=，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A．1)2 B．1)2 C．1(1,)2 D．1(,)2+∞ 12．已知函数32,1()(2)ln ,11x x x f x a e x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪+⎩，若曲线)(x f y =上始终存在两点A 、B ，使得OA ⊥OB ，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1(0,]eC ．1[,)e+∞ D ．[,)e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 101)3x的展开式中含2x 项的系数是 . 14. 已知实数x 、y 满足约束条件2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，则2z x y =-的取值范围是 .15. 已知向量a 在向量b 方向上的投影为1-，向量b 在向量a 方向上的投影为12-，且 =1b ，则a b -= .16. 在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,ACB BC CC AC ∠====P 是1BC上一点，则1CP PA +的最小值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若对于任意(0,3)x ∈，不等式()2f x x a <+恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）如图，在凸四边形ABCD 中，1,3A B B =，AC DC CD ⊥=，，设ABC θ∠=．（1）若0=30θ，求AD 的长； （2）当θ变化时，求BD 的最大值．B19．（本题12分）2019年元旦班级联欢晚会上，某班在联欢会上设计了一个摸球表演节目的游戏，在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．（1）求A 同学摸球三次后停止摸球的概率；（2）记X 为A 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X 的分布列和期望．20．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，045ACD ∠=，2CD =，PAC ∆PA CD ⊥．(1) 证明：平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --的平面角的大小．21．（本题12分）已知椭圆C 中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF ∙=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(2,0)A 的直线l 与C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点P ，与y 轴交于点Q ．若22BF QF ⊥，且POA PAO ∠=∠，求直线l 的方程．22.（本题12分）已知函数1()2(1)(0)xa f x ae a a x+=+-+>． （1）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对于任意的0x >，恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围．数学（理）试卷参考答案13.514.[1,4]-16.17.【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，即2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x x ≤-⎧⎨-+≤⎩解得24x <≤或12x -≤≤或21x -≤-；不等式的解集为[2,4]-． （5分） （2）2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立2412x x x a ⇒-++<+1241x a x x a ⇒-+<-<+-533ax a -⇒<<+ 由题意得，5(0,3)(,3)3aa -⊆+，所以5033a a -≤⎧⎨+≥⎩055a a a ≥⎧⇒⇒≥⎨≥⎩．（10分）18.【解析】（1）在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴2131AC =+-=，∴1AC =．在ACD ∆中，222244AD AC DC AC =+==，∴2AD =．（5分）（2）设AC x =，CD =，在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，24x θ=-．∵1sin sin sin AC AB ACB ACBθ==∠∠， ∴sin sin ACB xθ∠=．在BCD ∆中，3(3)cos(BD x =sin 15θ====．∵(0,)θπ∈，∴2(,)333πππθ-∈-，当32ππθ-=，56πθ=时BD 取到最大值（12分）19.【解析】（1）设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A ，则23341()4A P A A ==，故1名同学摸球3次停止摸球的概率为14．（４分）（2）随机变量X 的可能取值为0,1,2，3,41(0)4P X ==；2421(1)6P X A ===；22234411(2)6A P X A A ==+=；1222341(3)6C A P X A ===；33441(4)4A P X A ===所以随机变量X 的分布列：1111101234246664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（12分）20.【解析】（1）△ACD 中，045,2,ACD CD AC ∠=== 由余弦定理可得，AD =222AC AD CD +=， 所以090CAD ∠=，且△ACD 为等腰直角三角形．取CD 中点O ，由AC =AD 得，AO ⊥CD 连PO ，PA ⊥CD ， 所以CD ⊥平面POA 所以CD ⊥PO又AO =1，PO =1，PA =所以，222AO PO PA +=，PO AO ∴⊥又AO ⊆平面PCD 所以PO ⊥平面ABCD 又PO ⊆平面PCD所以平面PCD ⊥平面ABCD ．（6分）（1）以O 为原点，OD 、OA 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P ，(0,1,0)A ，(1,0,0)C -，(2,1,0)B -设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，(0,1,1)PA =-，(2,0,0)BA =n PA n BA ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒00y z x -=⎧⎨=⎩ 令1y =，则1z =，所以(0,1,1)n = 同理，平面PBC 的法向量(1,1,1)m =- 故cos ,0n m n m n m∙<>==，090θ∴=．所以，二面角A -PB -C 的平面角为90°．（12分）21.【解析】(1)设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2M c c ． 12339(2,)(0,)224MF MF c c c ∙=--∙-=，1c ∴=D222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得224,3a b ==． ∴椭圆方程为22143x y +=（5分）（2）设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，(,)B B B x y ，由22341220x y kx y k ⎧+=⎨-++=⎩，可得2222(43)1616120k x k x k +-+-= 解得2x =或228643B k x k -=+，（7分）所以21243B k y k -=+，2228612(,)4343k kB k k ---+ 设(0,)Q Q y ，有2229412(1,),(,)4343Q k kFQ y BF k k -=-=++ 由BF QF ⊥，得 0BF QF ∙=，所以222124904343Q ky k k k -+=++，解得29412Q k y k-=（9分）由POA PAO ∠=∠，得P 为OA 的垂直平分线与l 的交点，所以(1,)P k -由PQ l ⊥，得294+1211k k k k -∙=--，得238k =，解得4k =±所以，直线l的方程为2)y x =- （12分）22.【解析】（1）当1a =时，2()4xf x e x=+-，(1)2f e =-， 22'(),'(1)2x f x e k f e x =-==-， 故()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(2)(2)(1)y e e x --=--， 即(2)0e x y --=．（2）定义域为(0,)+∞，1()2(1)(0)xa f x ae a a x+=+-+> 则2221(1)'()x xa ax e a f x ae x x +-+=-=在(0,)+∞上为增函数，令2()(1)xg x ax e a =-+，则(0)(1)0,(1)(1)0g a g a =-+<=+->所以，存在唯一的0x ∈，使得0200()(1)0x g x ax e a =-+= 即0201x a aex +=当0(0,)x x ∈时，()0,'()0g x f x <<，()f x 在0(0,)x 上递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0,'()0g x f x >>，()f x 在0(,)x +∞上递增． 所以0min 02000111()()2(1)2(1)xa a a f x f x ae a a x x x +++==+-+=+-+ 002(21)(1)(1)0x x a x +-+=+≥又0x ∈，且0a >，故001x <≤ 因为'()f x 在(0,)+∞上为增函数，且0'()0f x ≥， 所以0'(1)'()0f f x ≥≥，即(1)0ae a -+≥，解得11a e ≥-， 综上所述，a 的取值范围是1[,)1e +∞-．[选择填空题详细答案] 1. A【解析】由题得2320x x +-≥，13x ∴-≤≤，所以[1,3]M =-．由题得{22,}N x k x k k Z πππ=<<+∈，所以(0,3]M N =．2. C【解析】由题得11122i z i i i 2-=+=-+，所以2z =． 3. D【解析】553775577()()()755a b -==>=，3577()()155b =>=，因为3314log log 315c =<=，所以c b a <<． 4. C【解析】甲和乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率由如下几种情况： 1.34+3.28=4.62>4； 2.17+3.28=5.45>4； 1.73+3.28=5.01>4； 1.48+3.28=4.76>4． 则不低于4元的概率422455P ⨯==⨯． 5. D【解析】由题意，6877263a a a a +==⇒=，9678988331S S a a a a a -=++==⇒=，则871d a a =-=，可得172n a n =-， 令0n a ≥，即1720n -≥，解得172n ≤，又由*n N ∈， 当*18,n n N ≤<∈时，0n a >，当*9,n n N ≥∈时，0n a <， 所以使n S 取得最大值时n 的值为8． 6. D【解析】对于选项A ， ln 1y x =-，故函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，不合题意，故A 不正确．对于选项B ，当0x >时， 2y x x =-，故函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，不合题意，故B 不正确．对于选项C ，当0x >时， cos xy x=，所以2sin cos x x x y x +'=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 0y '<，函数单调递减，不合题意，故C 不正确．对于选项D ，可得x x y e e -='-，故导函数在()0,+∞上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，000y e e ->-='，故x x y e e -=+在()0,+∞上单调递增，符合题意．7. D【解析】该四棱锥可补形为棱长为2的正方体，如图所示： 该四棱锥与正方体有同一个外接球，∴外接球的体积为． 8. B【解析】由条件知道： 27,36x x ππ== 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin 0,sin 036πωϕπωϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图像知道周期是π ，故2ω=，故47sin 0,sin 033πϕπϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数的对称中心得到4+3k πϕπ= ， 故.3πϕ=-如果7433k πϕπϕπ+=⇒=- ，根据2πϕ<，得到3πϕ=-． 9. A【解析】因为若p q ∨为真命题的条件是p 、q 至少有一个是真命题，而p q ∧为真命题的条件为p 、q 两个都是真命题，所以当p 、q 一个真一个假时，p q ∧为假命题，所以①不正确；命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃>，有01xe ＜”，所以②不正确； “0a b ∙<”是“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件，所以③不正确； 因为在直角三角形中，2A B π+>，有2A B π>-，所以有sin sin()cos 2A B B π>-=，即sin cos A B >，同理sin cos B A >，故sin sin cos cos A B A B +>+，所以④正确；若数列{}n a 为常数列，则m n p q +≠+，所以⑤不正确． 10. B【解析】22n n S a =-⇒12(2)n n a a n -=≥, 令1n =，则11122S a a =-=，解得12a =．{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2n n a =．642264m n m n a a =⇒∙=，解得m +n =6，所以191191918()()(10)(106663n m m n m n m n m n +=++=++≥+=， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m =2，n =4时，19m n +最小值为114． 11. A【解析】由于在线段BF 上(不含端点)有且仅有两个不同的点(1,2)i P i =,使得122i A P A π∠=,说明以12A A 为直径的圆与BF 有两个交点．首先要满足a b <,即e >另外还要满足原点到直线BF :1x yb c+= (不妨取F 为双曲线的右焦点,B 为右端点)的距离小于半径a ,因为原点到直线BF的距离为,a <,整理得422b ac <,即42310e e -+<,解得232e +<．12e <． 12. C【解析】曲线()y f x =上存在两点A 、B 满足题意，则A 、B 两点只能在y 轴两侧，且0OA OB ⋅=，不妨设()()(),0A t f t t >，则由AB 中点在y 轴上知()32,B t t t -+，且1t ≠，由0O A O B ⋅=，所以()()2320t f t t t -++= （*）存在两点A 、B 满足题意等价于方程（*）有解问题，（1）当01t <<时，即A 、B 都在32y x x =-+上，则()32f t t t =-+， 代入方程（*），得()()232320t t ttt -+-++=，即4210t t -+=，而此方程无实数解；（2）当1t >时，即A 在(1)xa x y e+=上，B 在32y x x =-+上， 则()(1)ta t f t e +=，代入方程（*）得，()232(2)ln 01a e t t t t t t --+⋅+=+， 即1(2)ln e t t a=-，设()(2)ln g x e x x =-，1x > 则()2ln 1eg x x x'=-+-，当1x >时，'()g x 递减，且'()0g e = 所以，(1,),'()0,()x e g x g x ∈>递增；(,),'()0,()x e g x g x ∈+∞<递减 所以，()()g x g e e ≤=．由题意有，1e a ≤，解得1a e≥． 13. 5【解析】351021101011()()33r r rr rr r T C C x x --+=-=-， 令35222r r -=⇒=，235T x =，所以展开式中含2x 项的系数为5． 14. [1,4]-【解析】画出可行域，可得14z -≤≤．【解析】由题意可得，=2=1a b ，，向量a 与b 的夹角为120°，所以=7a b -． 16. 【解析】将△1C BC 绕直线1C B 顺时针旋转到与△11AC B 共面，此时1AC 的长度就是1CP PA+的最小值，其中01111190,2,BCC C C CB AC A B ∠=====所以222111140C B AC A B +==，所以01190PC A ∠=，所以011135CC A ∠=，在△11CC A中，1AC ==所以1CPPA +的最小值为C 111。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

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2017年黑龙江省大庆高考数学冲刺试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0,1,2｝，B=｛x｜(x﹣1)（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0｝B．｛0，1} C．｛﹣1，0,1｝D．｛0，1,2}2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i)=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3"的逆否命题是:“若x≠3,则x2﹣4x+3≠0"B．“x＞1”是“｜x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0"，则¬p:“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”4．函数的图象的图象( ）A．关于原点对称B．关于直线 y=﹣x 对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x 对称5．已知公差不为零的等差数列｛a n｝，若a5，a9，a15成等比数列,则等于（) A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．27．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞48．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β,α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ,m⊥αD．n⊥α，n⊥β,m⊥α9．将4名大学生分配到A,B,C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人,若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（）A．36种B．30种C．24种D．20种10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=,则cos(α+）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣11．抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0)，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R上的奇函数f（x)，设其导函数为f′（x),当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′(x)＜f（﹣x），令F(x）=xf（x），则满足F(3)＞F（2x﹣1)的实数x的取值范围是（）A．（，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2) D．（﹣1，）二、填空题（共4小题，每小题5分,共20分）13．若在等腰Rt△ABC 中，｜|=｜|=2，则•= ．14．已知正数x，y满足约束条件,则的最小值为．15．数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An,若a2=2，则A= ，数列的前n项和T n= ．16．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某同学将“五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ)（w＞0,｜φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φπ2πxAsin（wx+φ)05﹣50（1）请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x)的解析式；（2)将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g（x）图象，求y=g(x）的图象离原点O最近的对称中心．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC=BC=BB1,点D是BC的中点．(1)求证：A1C∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的正弦值；（3）判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1)求比赛三局甲获胜的概率;（2)求甲获胜的概率；（3)设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0），（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率;(Ⅱ）如图，AB是圆M：(x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数f（x）=lnx，g(x)=f（x）+ax2+bx,函数g（x）的图象在点（1,g（1))处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；(2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2),（x1＜x2)，证明:．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离;（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，)，求｜PA|+｜PB｜．选考题（共1小题,满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|+｜m﹣x|(其中m∈R）．（1）当m=2时，求不等式f（x)≥6的解集;(2）若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2017年黑龙江省大庆一中高考数学冲刺试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2｝，B={x｜（x﹣1）(x+2）＜0｝，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．｛0，1｝C．｛﹣1，0，1｝D．｛0，1，2｝【考点】1E：交集及其运算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B,然后进行交集的运算即可．【解答】解:B={x｜﹣2＜x＜1}，A={﹣2,﹣1，0，1，2｝；∴A∩B={﹣1，0｝．故选:A．2．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：,∴z=2+3i．故选：A．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p:“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】25：四种命题间的逆否关系；2J:命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由逆否命题的定义知A是正确的；x＞1｜⇒x|＞0成立，但|x|＞0时，x＞1不一定成立，故B是正确的；p且q为假命题,则p和q至少有一个是假命题，故C不正确;特称命题的否定是全称命题,故D是正确的．【解答】解:逆否命题是对条件结论都否定,然后原条件作结论，原结论作条件，则A是正确的；x＞1时，|x｜＞0成立，但｜x|＞0时，x＞1不一定成立,故x＞1是|x|＞0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否定是全称命题，故D是正确的．故选C．4．函数的图象的图象（）A．关于原点对称B．关于直线 y=﹣x 对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x 对称【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数奇偶性，根据奇偶性得出结论．【解答】解：由函数有意义得＞0,解得﹣2＜x＜2，设f（x)=log2，则f（﹣x）=log2=﹣log=﹣f（x），∴y=log2是奇函数,∴y=log2的图象关于原点对称．故选A．5．已知公差不为零的等差数列｛a n｝，若a5，a9，a15成等比数列，则等于（）A．B．C．D．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】设出等差数列的公差，由a5，a9，a15成等比数列得到a9和公差的关系,则的值可求．【解答】解：设等差数列｛a n}的公差为d（d≠0）,由a5，a9，a15成等比数列，得,即，∴a9=12d．则a15=a9+6d=12d+6d=18d．∴=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．2【考点】L！:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图,我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解:由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥由于正视图是一个上底为1,下底为2，高为1的直角梯形故棱锥的底面面积S==则V===故选A7．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是( ）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β,α∩β=l,m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ,β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α,n⊥β,m⊥α【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确;α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确;n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D9．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（)A．36种B．30种C．24种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意中甲要求不到A学校，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校,易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意，首先分配甲,有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C32•A22=6种情况；则若甲要求不到A学校,则不同的分配方案有2×(6+6）=24种;故选：C．10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos(+α）=，cos（﹣）=,则cos（α+)=( ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α)和sin（﹣)的值，进而利用cos（α+）=cos通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解:∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==,sin(﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos(﹣)+sin（+α）sin（﹣)=故选C11．抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x，y)为该抛物线上的动点，又点A(﹣1,0），则的最小值是( ）A．B．C．D．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线的定义,转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知,抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA，当PA是抛物线的切线时,有最小值，则∠APN 最大,即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大,设在PA的方程为：y=k（x+1)，所以，解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0,解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．12．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x)，当x∈(﹣∞,0］时,恒有xf′(x)＜f（﹣x），令F(x)=xf（x），则满足F（3)＞F(2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（,2）B．(﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1,）【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到:′＜0,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）,所以：f(﹣x)=﹣f（x)设f（x）的导函数为f′(x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(﹣x)，则：xf′(x）+f（x）＜0即:′＜0所以:函数F（x）=xf（x)在(﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f(x）为奇函数,令F（x）=xf（x)，则：F（x）为偶函数．所以函数F（x)=xf(x）在(0，+∞）上是单调递增函数．则:满足F(3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：解得：所以x的范围是：（）故选：A二、填空题(共4小题,每小题5分，共20分）13．若在等腰Rt△ABC中,||=｜|=2，则•= ﹣4 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件,以及向量的平方即为模的平方，即可得到．【解答】解：在等腰Rt△ABC中,｜|=｜｜=2，且AB⊥AC，即有•=•（﹣)=•﹣=0﹣22=﹣4．故答案为：﹣4．14．已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=2x+y,化为y=﹣2x+t,数形结合求得t的最大值，进一步求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2)．令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．∴的最小值为．故答案为：．15．数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An，若a2=2，则A= ，数列的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知得a2=S2﹣S1==2，从而a=,利用，求出a n=n，从而==,由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和．【解答】解:∵数列{a n｝的前n项和S n满足S n=+An，a2=2,∴a2=S2﹣S1=()﹣(）==2,解得a=,∴=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[］=n，当n=1时，上式成立,∴a n=n，∴==，∴数列的前n项和：T n=1﹣…+=1﹣=．故答案为：，．16．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【考点】HW：三角函数的最值；HX：解三角形．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A)=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0,cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C)=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A,B,C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0,由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得,﹣≤＜0,因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C)=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0,即x≥2，即x≥8,或x≤0(舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换）,此时A,B,C均为锐角．三、解答题(共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某同学将“五点法”画函数f(x）=Asin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φπ2πxAsin(wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g(x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．【考点】HK：由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；(2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．【解答】解：（1）数据补充完整如下表：wx+φπ2πxAsin（wx+φ）050﹣50函数f（x）的解析式为:f（x)=5sin（2x ﹣）．（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g（x）=5sin=5sin(2x+)．由2x+=kπ，k∈Z,可解得：x=﹣，k∈Z，当k=0时，可得：x=﹣．从而可得离原点O最近的对称中心为：(﹣，0)．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC=BC=BB1,点D是BC的中点．（1）求证:A1C∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的正弦值；（3）判断在线段B1B上是否存在一点M，使得A1M⊥B1D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定;LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1)以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系,求出面AB1D的法向量，证明=0，即可得到结论;（2)确定平面AB1D的法向量、平面ABD的法向量,利用向量的夹角公式，即可求得结论；(3)设出M的坐标，利用则，可得结论．【解答】（1）证明:以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设AC=BC=BB1=2,则A1（2，0,2)，C（0,0，0），D（0，1，0),A（2，0，0)，B1（0，2，2），B （0，2，0）∴，，设平面AB1D的法向量为=(x，y，z）,则由，可得，故可取=（1，2,﹣1)∵=0,∴A1C∥平面AB1D；（2）解：由（1)知平面AB1D的法向量为=(1，2,﹣1），平面ABD的法向量为=(0，0，2)∴二面角B1﹣AD﹣B的余弦值为｜｜=｜|∴二面角B1﹣AD﹣B的正弦值为;（3）解：设M(0，2，t），则=(﹣2，2，t﹣2）,=（0，﹣1，﹣2）若A1M⊥B1D,则，∴﹣2﹣2(t﹣2)=0，∴t=1∴=时，A1M⊥B1D．19．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2)求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；CG：离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）比赛三局甲获胜的概率是:P3==．（2）再求出P4和P5,甲获胜的概率是：P3+P4+P5=．（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是 EX．【解答】解：记甲n局获胜的概率为 P n，n=3，4，5,（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3==；（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4==;比赛五局甲获胜的概率是:P5==；甲获胜的概率是：P3+P4+P5=．（3）记乙n局获胜的概率为 P n′，n=3，4,5．P3′==，P4′==；P5′==;故甲比赛次数的分布列为：X345P（X）P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（）+4(）+5（）=．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c．(Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：(x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KE：曲线与方程．【分析】（Ⅰ)求出经过点（0，b)和（c,0）的直线方程,运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由(Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程，代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：(Ⅰ）经过点（0，b)和(c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===;（Ⅱ)由(Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M(﹣2，1)是线段AB的中点，则|AB｜=，易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k（x+2)+1,代入①可得(1+4k2）x2+8k（1+2k)x+4（1+2k)2﹣4b2=0，设A（x1，y1）,B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是｜AB|=•｜x1﹣x2｜=•==，解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1．21．已知函数f（x）=lnx，g（x)=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点(1,g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系;（2）若a≥0,试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2,y2），（x1＜x2），证明：．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；R6：不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出;（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；(3）证法一:利用斜率计算公式，令（t＞1)，即证（t ＞1），令（t＞1)，通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式,令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令,通过求导即可证明;证法四：利用斜率计算公式,令h(x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解:（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1,g（1））处的切线平行于x轴得:g’（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．(2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0,+∞),∴当a=0时,,由g'（x)＞0得0＜x＜1，由g’（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减;当a＞0时，令g'(x)=0得x=1或，若，即时,由g’（x）＞0得x＞1或，由g’(x）＜0得，即函数g（x）在，（1,+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g’（x)＞0得或0＜x＜1，由g’(x）＜0得，即函数g（x）在(0,1），上单调递增，在单调递减；若,即时，在（0，+∞)上恒有g’（x)≥0,即函数g(x）在(0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x)在（0，1)上单调递增，在（1,+∞）单调递减;当时，函数g（x)在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x)在（0，+∞)上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1,+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证,令（t＞1），即证（t＞1)①，令(t＞1),则＞0,∴h（t)在（1，+∞）上单调递增,∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1)，即．证法二：依题意得,令h（x）=lnx﹣kx，则，由h’（x）=0得，当时，h’（x）＜0，当时，h'(x)＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减,又h(x1）=h（x2)，∴，即．证法三：令,则，当x＞x1时，h’（x)＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞)单调递减，∴当x2＞x1时,,即；同理，令,可证得．证法四:依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则,当x＞x1时，h’（x)＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增,∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1)=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则,当x＜x2时，m’（x）＜0，∴函数m(x)在（0,x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1)＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ)求圆C的圆心到直线l的距离;（Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（Ⅱ)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得即,根据两交点A，B所对应的参数分别为t1,t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．【解答】解：（Ⅰ）由,可得,即圆C 的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…(Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得,即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…选考题(共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=｜x+1|+｜m﹣x｜（其中m∈R）．(1）当m=2时,求不等式f(x）≥6的解集；（2）若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）当m=2时,f（x）≥6，即｜x﹣2|+｜x+1｜≥6，通过讨论x的范围，从而求得不等式f（x）≥6的解集;（2）由绝对值不等式的性质求得f（x)的最小值为|m+1｜,由题意得｜m+1｜≥6，由此求得m 的范围．【解答】解：（1）m=2时，f(x)≥6,即｜x﹣2|+｜x+1｜≥6，x＜﹣1时,﹣2x+1≥6，即x≤﹣，故x≤﹣，﹣1≤x≤2时，得:3≥6不成立，x＞2时，得:2x﹣1≥6，即x≥,故x≥，故不等式的解集是｛x|或x≤﹣x≥｝；（2)f（x）=｜x+1｜+｜m﹣x｜≥｜(x+1）+（m﹣x)｜=|m+1｜，由题意得|m+1｜≥6，则m+1≥6或m+1≤﹣6,解得：m≥5或m≤﹣7,故m的范围是(﹣∞，﹣7]∪［5,+∞）．。

2020届高三冲刺联考理数试卷本试卷共4页忆3题（含选考题）。

全卷满分150分a考试用时120分钟。

注章事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑A写在试题卷、草告岛纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直按写在答题卡上对应的答题区域内。

写柱试翅卷、草犒维和咎题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交©第I卷一•选择题；本题共12小题■每小题5分■在每小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的O1•设集合A={A | r x-62r-7<0）,B=% | I A〜1 I >2） ,ra*合AnB=A. {工13VGV7} E —7VzV — 1} C. （玄I — IVHV3} D. （nr I —3V 工VI}2.设复数上满足人=i（L为虚数单位），则厂=A. i B< —i C. 1 D e L3.平行四边形ABCD中，E是AE的中点tBF=2FC,若E?=M AB+nAD，贝lj w + n=A必气％D-I4.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现占椭1G>6>O）相切的两条垂直切线的交点轨迹为『+V = 三，这个阿亦被称为蒙日@ 1 .现将质点F随机投人椭RC三y +尸1所对应的蒙日冏内’则质点落在椭圆外部的概率为（附:椭圆£+石=1的面积公式为、=如A 女匾B —C 1 —呃D 1 —A. §比3 J ± 9u，i 35-已知斜三角形如iC中，角A、F、C所对的边分别为］、b、_若ex = 4,C=6（r,6GN・,且。

2023届高三新高考冲刺卷数学1.已知集合{|15}A x z x =∈- ，2{|ln(4)}B x y x x ==-+，则A B ⋂真子集的个数为()A.6B.7C.8D.16【答案】B 【解析】由240xx -+>，得04x <<，因为{1,0,1,2,3,4,5}A =-，所以{1,2,3}A B ⋂=，所以A B ⋂子集的个数为328=个，真子集的个数为7个.故选：.B 2.已知ln m a b b =+，ln n b b a =+，若0a b >>，则m ，n 的大小关系是()A.m n >B.m n <C.m n =D.大小不确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查两个数的大小的比较，考查导数在比较大小中的应用．ln ln ()lnb m n a b b b b a a b b a -=-+-=-+，得到1ln m n b b b a a a a-=-+，构造函数，利用函数单调性，即可得到结果．【解答】解：ln m a b b =+ ，ln n b b a =+，0ab >>，ln ln m n a b b b b a ∴-=-+-()(ln ln )a b b b a =-+-()lnba b b a=-+，所以1ln m n b b ba a a a-=-+，令，设，，在上单调减，所以，0m na->，所以m n >，故选：.A3.已知平面向量a ，b 满足||2a =，(1,1)= ，||a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为()A.2222B.(1,1)C.(1,1)-- D.22(,22-【答案】B 【解析】【分析】本题考查投影向量，向量的数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题.设向量a ，b 的夹角为θ，由||a b += 利用向量数量积求出cos 2θ=，再由投影向量公式可得.【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，||b = ，222||242210a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯+= ，所以cos 2θ=，从而a 在b 上的投影向量的坐标为||cos (1,1).||ba b θ⋅=4.某县选派7名工作人员到A ，B ，C 三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有()A.1176B.2352C.1722D.1302【答案】A 【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.把7名工作人员分别分为(1,1,5)，(2,2,3)，(3,3,1)三种情况讨论.解：把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同安排方法有1153765322126C C C A A ⋅=种，把7名工作人员分为2，2，3三组，则不同安排方法有2233753322630C C C A A ⋅=种，把7名工作人员分为3，3，1三组，则不同安排方法有3313741322420C C C A A ⋅=种，共有1266304201176++=种.5.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是“设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(d ac 、b 、c 、*)d N ∈，则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．”我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令141053π<<，则第一次用“调日法”后，可得3是π的更精确的不足近似值，即103.3π<<若每次都取最简分数，则第五次用“调日法”后，得到π的近似值为()A.165 B.196 C.258 D.227【答案】D【解析】【分析】利用“调日法”结合弧度制与角度制，即可求出第五次用“调日法”后，得到π的近似值．【解答】解：由题意知，第一次用“调日法”后，可得3是π的更精确的不足近似值，即1033π<<，第二次“调日法”后，可得134是π的更精确的不足近似值，即1334π<<，第三次“调日法”后，可得165是π的更精确的不足近似值，即1635π<<，第四次“调日法”后，可得196是π的更精确的不足近似值，即1936π<<，第五次“调日法”后，可得227是π的更精确的不足近似值，即2237π<<，故第五次用“调日法”后，得到π的近似值为22.7故本题选.D 6.已知x ，2[,]y e e ∈，且.x y ≠若ln ln x y y xa y x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1aB.0a >C.1a -D.0a <【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数单调性，利用导数求函数单调性，属于中档题.不妨设y x >，先化简不等式，将其变形为ln ln x a y ax y++<，再利用x ，y 的大小关系，得到ln ()x af x x+=为递增函数，从而求出a 所满足的不等式，最后得到a 的取值范围.解：不妨设y x >，从而ln ln ln ln x y y xa ay ax x y y x y x-<⇒-<--，故(ln )(ln )y x a x y a +<+，由于x ，0y >，从而ln ln x a y ax y ++<，故ln ()x a f x x +=为2[,]e e 上的单调递增函数，即21ln ()0x a f x x--'= 在2[,]e e 上恒成立，即1ln a x - ，2[,]x e e ∈恒成立，故21ln 1.a e -=- 故选.C 7.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,M N 两点在双曲线C上，且12//F F MN ，12||6||F F MN =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.423D.322【答案】D 【解析】【分析】列出点N 、Q 的坐标.可设01(,)6N c y ，016(,)22c c y Q -+代入双曲线方程消去202y b 即可求解.【解答】解：12//MNF F ，12||6||F F MN =，因为12||2F F c =，所以1||3MN c =，所以可设01(,)6N c y ，016(,22c cy Q -+代入双曲线方程，，消去202y b 得2292c a =，即292e =，所以322e =.故选.D 8.在三棱锥P ABC-中，二面角P AB C--、P AC B--和P BC A --的大小均等于3π，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ=()A.14B.2C.3D.4【答案】D【分析】解决本题的关键是根据题意找出O 点及Q 点的位置.【解答】解：如图，过P 作PD ⊥平面ABC ，D 为垂足，因为::3:4:5AB AC BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，取线段BC 的中点E ，则OE ⊥平面ABC ，由已知可得D 为直角三角形ABC 的内心，做DM 垂直于AC 与M ，则DMAC ⊥，因为PD ⊥平面ABC ，AC ABC ⊂平面，所以PD AC ⊥，又PD DM D ⋂=，且都在平面PDM 上，AC PDM ∴⊥平面，又PM PDM ⊂平面，所以AC PM ⊥，所以PMD ∠即是平面PAC 和平面ABC 的二面角，设.OE x =因为::3:4:5AB AC BC =，不妨设3,4,5AB AC BC ===，由几何关系可得34512DM+-==，3PMD π∠=，得PD =，，52AE =，由勾股定理得222OA OE AE =+，222()OP DE PD OE =++，又因为OA OP =，所以22255)44x x +=+，解得33x =，故3PD PQ OE QO ==，即4PO OQ=，故选.D 9.已知O 为坐标原点，圆Ω：22(cos )(sin )1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是()A.Ω恒过原点OB.Ω与圆224x y +=内切C.直线2x y +=被ΩD.直线cos sin 0x y αα+=与Ω相离【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的最大值问题，属中档题．把点(0,0)O 代入圆的方程可判断1|12|==-，可判断B ；直线322x y +=被圆Ω所截得弦长为C ；圆心到直线cos sin 0x y αα+=距离为|cos(，可判断【解答】解：把点(0,0)O 代入圆的方程得22(0cos )(0sin )1θθ-+-=，所以点O 在圆Ω上，故A正确；1|12|==-，即两圆圆心距离等于两圆半径之差的绝对值，故B 正确；直线2x y +=被圆Ω所截得弦长为=sin cos [4πθθθ+=+∈，∴即直线322x y +=被圆Ω，故C 正确；圆心到直线cos sin 0x y αα+=距离为|cos()|1θα=- ，故直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交，故D 不正确；故选：.ABC 10.在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点E ，F 分别为线段11B D ，1BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.1DB ⊥平面1ACD B.平面11//A C B 平面1ACD C.点F 到平面1ACD的距离为3D.直线AE 与平面11BB D D 所成角的正弦值为13【答案】ABC 【解答】解：以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，设(,,1)E x y ，，即(1,,0)(,,0)x y λλ-=-，(1,,1)E λλ∴-，设(1,,)F y z ''，，即(0,,)(0,,)y z μμ''=，(1,,).F μμ∴对于A 选项：1(1,1,1)DB =- ，AC (1,1,0)=，1(0,1,1)AD =，，11DB AD ⊥，又AC ⊂平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，1AC AD A ⋂=，1DB ∴⊥平面1ACD ，故A 正确;对于B 选项：1DB ⊥ 平面1ACD ，1(1,1,1)DB ∴=-为平面1ACD 的一个法向量，11(1,1,0)AC = ，1(1,0,1)A B =- ，111DB A C ∴⊥，11DB A B ⊥，又11A C ⊂平面11A C B ，1A B ⊂平面11A C B ，1111A C A B A ⋂=，1DB ∴⊥平面11A C B ，∴平面11//A C B 平面1ACD ，故B 正确;对于C 选项：AF (1,,)μμ= ，∴点F 到平面1ACD的距离11|AF |3||DB d DB ⋅===，为定值，故C 正确;对于D 选项： 该几何体为正方体，AC ∴⊥平面11BB D D ，AC (1,1,0)∴=是平面11BB D D 的一个法向量，设直线AE 与平面11BB D D 所成的角为θ，AE (1,,1)λλ=-，|AC AE |sin |AC ||AE |θ⋅∴==⋅，不是定值，故D 错误.故选.ABC 11.函数3()f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则能使函数()f x 仅有一个零点的是()A.3a =-，3b =- B.3a =-，2b =C.0a =，2b = D.1a =，2b =【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，属于中档题.【解答】解：由已知可得()f x 的定义域为.R 对于A ：当3a =-，3b =-时，3()33f x x x =--，则2()333(1)(1).f x x x x '=-=-+当1x <-或1x >时，()0;f x '>当1-时，()0f x '<，故()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=-，在1x =处取得极小值(1) 5.f =-又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故A 正确.对于B ：当3a =-，2b =时，3()32f x x x =-+，则2()333(1)(1).f x x x x '=-=-+当1x <-或1x >时，()0;f x '>当11x -<<时，()0f x '<，故()f x 在1x =-处取得极大值(1)4f -=，在1x =处取得极小值(1)0.f =又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有两个交点，故此时()f x 有且只有两个零点，故B 错误.对于C ：当0a =，3b =-时，3()3f x x =-，则2()30f x x '= 在R 上恒成立，当且仅当0x =时取等号，故()f x 在R 上单调递增，又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故C 正确.对于D ：当1a =，2b =时，3()2f x x x =++，则2()310f x x '=+>在R 上恒成立，故()f x 在R 上单调递增，又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故D 正确.12.如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第n 个台阶的方法数为n a ，则下列结论正确的是()A.613a = B.223n n n a a a -+=+C.123751a a a a ++++= D.222212311n n n a a a a a a +++++=⋅- 【答案】ABD【分析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的求和，属于中档题.根据题意可得21n n n a a a ++=+，由递推公式逐项判定，即可求解.【解答】解：根据题意可得21n n n a a a ++=+，11a =，22a =，33a =，45a =，58a =，613a =，所以A 正确;721a =，则123753a a a a ++++= ，则C 不正确;211121223n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-++-+=++=++-+-=+，所以B 正确;211a =，222312321()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，233423432()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，2111()n n n n n n n a a a a a a a +-+=⋅-=⋅-⋅1n a -，累加可得222212311n n n a a a a a a +++++=⋅- ，所以D 正确，故选.ABD 13.若31i zi-=-，则z =__________，z在复平面内对应的点位于第__________象限.【答案】2i-四【分析】本题考查复数运算，几何意义，共轭复数，属于基础题.321iz z i i -==- 复数的四则运算，2z i =-得出复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i izi i i i --++====+--+，所以2z i =-，复数z 在复平面内对应的点为点(2,1)-，位于第四象限.故答案为2i -，四.14.写出一个同时满足①②两个条件的函数解析式，即()f x =__________.①函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称;②x ∀，y R ∈，()()().f x y f x f y ⋅=⋅【答案】(x 答案不唯一)【解答】解：同时满足条件，函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称；②x ∀，y ∈R ，可取，验证满足上述两个条件.15.如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 的斜二测直观图为A B C ''' ，已知PB ⊥底面ABC ，PB =，A D D C ''=''，1A O OB O D ''=''=''=，则三棱锥P ABC -外接球的体积V =__________.【答案】1256π【解析】【分析】本题考查了斜二测画法，球的切接问题，属于中档题.由斜二测画法得原地面三角形中2ABCπ∠=，2AB =，4BC =，把三棱锥补成长方体，长方体对角线为外接球的直径，由此求得球的半径，再由球的体积公式求解.【解答】解：由题意得//O D B C ''''，且1.2O D B C ''=''所以由斜二测画法得，在原图ABC中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，原图中的三棱锥中已知PB ⊥底面ABC ，故BA ，BC ，BP 两两垂直，把三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体过同一顶点的三条棱长分别为BA ，BC ，BP ，故三棱锥P ABC-外接球的半径222522AB BC PB r ++==，则34125.36V r ππ==故答案为125.6π16.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点(1,0)F 且与抛物线交于A 、B 两点，则2||||AF BF -的最小值为__________.【答案】222【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及其应用，由基本不等式求最值，属于中档题.先求抛物线方程，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，求出11||||AF BF +的值，再运用基本不等式求出2||||AF BF -的最小值.【解答】解：已知12p=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =，若直线l 与x 轴重合，这时该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为1xmy =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，则212121616044m y y m y y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，所以1212111111||||1122AF BF x x my my +=+=+++++1212212121222()4(2)(2)2()4my my m y y my my m y y m y y +++++==+++++22244 1.484m m m +==-++所以111||||BF AF =-，则当且仅当||AF =时，等号成立，故2||||AF BF -的最小值为 2.-故答案为： 2.-17.设正项数列满足11a =，且(1)证明：数列是等差数列；并求数列的通项公式；(2)设n b =，证明：数列的前n 项和3.2nS <【答案】解：(1)因为2221(1)(1)n nna n a n n n n +-+=+=+，所以222111n n n a a a n n +-+=，又11a =，故2111a =，所以2{}n a n是首项为1，公差为1的等差数列，故21(1)1na n n n=+-⨯=，则n a n =±，因为数列{}n a 是正项数列，所以.n a n =(2)由(1)得n b ==，当1n =时，1113;22S b ==<当2n 时，1n b n ==<=<=，所以133(1;222n S <+-+++= 综上：3.2n S <18.在ABC 中，(2sin)cos 1cos sin 2cos sin .A B A B B C --=-(1)求;B (2)证明：2222.a cb + 【答案】解：(1)由(2sin)cos 1cos sin 2cos sin A B A B B C --=-，得2cos 1cos sin sin cos 2cos sin B A B A B B C -=+-，即2cos 1sin 2cos sin B C B C -=-，2cos 2cos sin 1sin B B C C +=+，2(1sin )cos 1sin C B C +=+，因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1sin 0C +>，所以2cos 1B =，即1cos 2B =，又因为0B π<<，所以.3B π=(2)依题要证明2222a c b + ，即证明2222a c b + ，由(1)及正弦定理得：22222222sin sin 4(sin sin )sin 3a c A C A Cb B ++==+41cos 21cos 242((cos 2cos 2)32233A C A C --=+=-+，又因为23A CB ππ+=-=，所以4223C A π=-，所以4cos 2cos(2)cos 2cos(2)33A A A A ππ+-=--cos 2coscos 2sin sin 233A A A ππ=--13cos 2sin 2cos(2223A A A π=-=+，因为203A π<<，所以52333A πππ<+<，所以当23A ππ+=时，cos(2)13A π+=-此时42(cos 2cos 2)33A C -+有最大值2，即2222a c b + ，所以2222a c b + 得证.【解析】本题考查三角恒等变换、正弦定理，属较难题.19.在三棱柱111ABC A B C =中，AB BC ⊥，1AB AA ⊥，123A AC π∠=，点M 为棱1CC 的中点，点T 是线段M 上的一动点，12 2.AA AC AB ===(1)求证：1;CC AT ⊥(2)求平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值.【答案】解：(1)证明：因为11//CC AA ，1AB AA ⊥，所以1CC AB ⊥，连接AM ，1AC ，由题意知1ACC 是正三角形，因为点M 为棱1CC 的中点，所以1CC AM⊥，又AB ，AM ⊂平面ABM ，AB AM A ⋂=，所以1CC ⊥平面ABM ，又AT ⊂平面ABM ，所以1.CC AT ⊥(2)由(1)知1CC ⊥平面ABM ，而BM ，AM ⊂平面ABM ，则1CC BM⊥，1CC AM⊥，于是AMB ∠即为平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的平面角或其补角，在正三角形1ACC 中，2AC =，于是AM =1AB AA ⊥，11//AA BB ，于是1AB BB ⊥，又AB BC ⊥，且1BB ，BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B ⋂=，所以AB ⊥平面11.B BCC 因为BM ⊂平面11B BCC ，所以AB BM ⊥，在Rt ABM 中，AM =1AB =，从而3sin3AB AMB AM ∠==，于是平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值为3.3【点睛】本题考查了求二面角、直线与直线垂直的证明、线面垂直的判定与性质，属中档题.20.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0.p p ==①试证明：1{}3np -为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．【答案】解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为111339p =⨯=，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知1~(3,)9X B ，所以3318()(()99k k k P Xk C -==⨯⨯，0,1,2,3k =，故X 的分布列为：X 0123P5127296424382431729所以X 的期望11()3.93E X =⨯=(2)①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n 时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，第1n -次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则1111110(1)222n n n n p p p p ---=⨯+-⨯=-+，即1111(323n n p p --=--，又11233p -=，所以1{}3n p -是以23为首项，公比为12-的等比数列．②由①可知1211(323n n p -=-+，所以9102111()3233p =-+<，所以91010112211(1)[()]223323q p =-=-->，故1010.p q <【点睛】本题考查离散型随机变量分布列以及二项分布期望的求解、数列与概率的综合应用，为较难题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为，离心率为22过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于点M，交直线x =.N (1)求||||AB FM ；(2)证明：A 、M 、B 、N 四点共圆．【答案】(1)解：由题意得，解得，所以椭圆C 的方程为221.42x y +=点F ，因为直线l 不与坐标轴垂直，所以设直线AB方程为(0)y k x k =≠，点11(,)A x y ，22(,).B x y 将直线l 与椭圆C 的方程联立，消去y得2222(12)440k x x k +-+-=，由2222)16(12)(1)0k k =-+-> ，得216160k +>，21224212x x k +=+，21224412k x x k-=+，所以AB 的中点D 的坐标为，所以AB 的中垂线的方程为2222122(1212y x k k k +=--++令0y =，得22212M x k =+，所以22222222(1)2(1)||||||121212k k FM k k k ++=-==+++，又21224(1)||||12k AB x x k +=-==+，所以2224(1)||12||2(1)12k AB k FM k +==+(3)证明：由(1)可知224(1)||12k AB k +=+，所以222(1)||.12k AD k +=+由(1)得点D 的坐标为，22212M x k =+，所以|||||||M D D N DM DN x x x x =--2222222122222(1||||121212k k k k =+--+++2222222221222224(1)(1||||1212(12)k k k k k --+=+=+++，所以2||||||AD DM DN =，所以||||.||||AD DN DM AD =又因为90ADM NDA ∠=∠=︒，可得ADM ∽NDA ，所以MAD AND ∠=∠，AMD NAD∠=∠由180MAD AND AMD NAD ∠+∠+∠+∠=︒，得90MAN MAD NAD ∠=∠+∠=︒，同理90MBN ∠=︒，所以A 、M 、B 、N 四点共圆．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定点、定值、定直线问题，椭圆的标准方程，椭圆中的中点弦问题，属于较难题．(1)由题意结合222a b c =+得到关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的标准方程；由直线l不与坐标轴垂直，可设直线AB 方程为(0)y k x k =-≠，点11(,)A x y ，22(,).B x y 将直线l 与椭圆C 的方程联立，消去y 并结合韦达定理求出AB 的中点D 的坐标，从而得到AB 的中垂线的方程为2221(1212y x k k k +=--++，求出点M 的坐标，然后求出||AB ，||FM 即可求出||||AB FM 的值；(3)由(1)得224(1)||12k AB k +=+，可得222(1)||12k AD k +=+，求出点D 的坐标，求出||||DMDN ，证明ADM ∽NDA ，由此证明四点共线．22.已知0a>，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()x f x e -=，()ln().g x ax =(1)求a ；(2)(0,)x ∀∈+∞，有(1)1()f x m kx k g ex +-+- ，求2mk k -的最大值．【答案】解：1(1)()ln()x F x e ax -=-，11()x F x e x-'=-，()F x '在(0,)+∞上递增，注意到(1)0F '=，()F x ∴在(0,1)上单调递减;(1,)+∞上单调递增，min ()(1)1ln 2ln 1F x F a a ∴==-⇒⇒=-，1.a e=(2)由1()x f x e -=，()ln 1g x x =-，(1)x m f x m e -+-=，()ln g ex x=1ln x m e kx k x -∴+- ，显然0k >，令()ln 1h x kx x k =-+-，1()h x k x'=-()h x 在1(0,k 上单调递减1;(,)k +∞上单调递增，min 11()(1ln 1ln 0.h x h k k k k k∴==-+-=+令()1x m x e kx k ϕ-=-+-，()0x m x e k ϕ-'=-=()i ∴当m k e - 时，()0m x e k ϕ-'>- ，()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，故只需(0)10ln m m e k k e m kϕ--=+-⇒⇒- 22ln mk k k k k ∴--- ，令2()ln (ln )0H k k k k k k k =--=-+ ()ii 当m k e ->时，令()0ln x x m kϕ'=⇒=+且当0ln x m k <<+时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减;当ln x m k >+时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，故只需min ()(ln )(ln )11ln 0x m k k k m k k km k k ϕϕ=+=-++-=--1ln mk k k ⇒- ，221ln 1mk k k k k ∴--- 当且仅当ln 0k k +=且1ln mk k k =-时取等号，综上：2max () 1.mk k -=【点睛】本题考查利用导数求函数最值及利用最值求参，考查分类讨论思想，为较难题.。