高三数学二模质量分析

2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4考生注意:1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数lg(2)y x =-的定义域为2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=.4．已知点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.5．已知7270127(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，则5a =．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则此圆锥的体积为.（结果中保留π）7．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.8．已知函数()2log f x x =，若()()()1212f x f x x x =≠，则124x x +的最小值为．9．12,F F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为10．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD 的取值范围是.11．已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.13．已知集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，则A B = （）A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,1,2}D ．{0,2,4}14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2345y22.33.4mA ．变量x 、y 之间呈正相关关系B ．可以预测当8x =时，y 的值为6C ． 3.9m =D ．由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515．已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b <.若a ，b 是函数2y ax bx c =-+的两个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15122⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设2()sinsin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a、b 及c ，若a =b ，3()2f A =，求角C ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；(2)若2AB =，60DAB ∠=︒，PD =，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小.19．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=，223p =，312p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.20．如图，椭圆22:12y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.(1)求线段MN 的长；(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数ln y x x a =⋅+（a 为常数），记()()y f x x g x ==⋅.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos xg x x x +<.1．2+∞（，）【详解】要使函数lg(2)y x =-有意义，则202x x ->⇒>，所以函数lg(2)y x =-的定义域为2+∞（，），故答案为2+∞（，）.2．2i -+##i-2【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+3．0.2##15【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，可得(5)0.5(35)0.50.30.2P X P X >=-≤≤=-=.故答案为：0.2.4．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，可得π3xOA ∠=，所以5π326ππxOP ∠=+=，可得5πcos6P x ==，5π1sin 62P y ==，所以点P 的坐标为12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5．21【分析】先将7x 变形为7[1(1)]x +-的形式，再应用二项式定理求解即可.【详解】77[1(1)]x x =+-，由二项式定理得：5567C (1)T x =-，所以5257776C C 2121a ⨯====⨯.故答案为：21.6【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则212ππ2l =，所以2l =，则半圆的弧长为2π，所有圆锥的底面半径为2π2πr =，1r =，所以圆锥的体积为：21π1π33⨯⨯=．．7．5【分析】根据题意，列出方程求得14a =-，得到25n S n n =-且26n a n =-，结合n n S a <，列出不等式，即可求解.【详解】由等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，可得115422522a a ⨯+=+⨯⨯，解得14a =-，所以2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-，且3(1)226n a n n =-+-⨯=-，因为n n S a <，即2526n n n -<-，整理得27+60n n -<，解得16n <<，因为N n *∈，所以使得n n S a <成立的n 的最大值为5.故答案为：5.8．4【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得121x x ⋅=，利用基本不等式即可求解．【详解】()222log ,01log log ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，若()()()1212f x f x x x =≠，不妨设1201x x <<≤，则2122log log x x -=，所以2122212log log log 0x x x x +=⋅=，即121x x ⋅=，所以1244x x +≥=，当且仅当112x =，22x =时，等号成立．故答案为：4．9【分析】根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=︒，再利用勾股定理可求得122||c F F =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】解：22||:||:||3:4:5AB BF AF = ，不妨令||3AB =，2||4BF =，2||5AF =，22222||||||AB BF AF += ，290ABF ∴∠=︒，又由双曲线的定义得：12||||2BF BF a -=，21||||2AF AF a -=，11||345||AF AF ∴+-=-，1||3AF ∴=．12||||3342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在Rt △12BF F 中，222221212||||||6452F F BF BF =+=+=，2212||4F F c = ，2452c ∴=，13c ∴=．∴双曲线的离心率13c e a==．故答案为：13．10．()1,2【分析】取AC 的中点E ，由题意可得2CD mCE nCB =+，从而推得,,B D E 三点共线，进而得出CE CD CB <<，即可得出答案.【详解】取AC 的中点E ，则2CA CE =，又2CD mCA nCB mCE nCB =+=+，又因为21m n +=，故,,B D E 三点共线，即点D 在中线BE 上运动，在正三角形ABC 中，BE AC ⊥，又0m >，0n >，则CE CD CB <<，故()1,2CD ∈ .故答案为：()1,211．1{|02a a <≤或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，结合01a <<，此时102a <≤；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得34a ≤，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <≤或1}a =．故答案为：1{|02a a <≤或1}a =．12．1540【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，结合题意转化为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，进而转化为四个正整数的和为23，结合隔板法，即可求解.【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，则有恒等式()()()()3030*x y x z y z +-+-+-=，其中1x ≥，5y x -≥，5z y -≥，300z -≥，即1x ≥，41y x --≥，41z y --≥，311z -≥，故()*式为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有322C 1540=种方法．故答案为：1540．13．D【分析】直接根据交集概念求解.【详解】因为集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，所以{0,2,4}A B = .故选：D.14．C【分析】利用回归直线方程可判断A 选项；将8x =代入回归直线方程可判断B 选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =⨯+=，B 对；对于CD 选项，23453.54x +++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =⨯+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15．B【分析】由a ，b 为函数2()f x ax bx c =-+的两个零点可得()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+，即可得21a b a =-、41a c a =-，由两边之和大于第三边，结合题意可得15122a <<.【详解】由,ab 为函数2()f x ax bxc =-+的两个零点，故有()()2a x a xb ax bxc --=-+，即()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+恒成立，故()a a b b +=，2a b c =，则21a b a =-，242211a a c a b a a a==⨯=--，由a ，b ，c 为某三角形的三边长，且a b <，故10a ->，且21a a a<-，则112a <<，因为b c a +>必然成立，所以a c b a b c +>⎧⎨+>⎩，即42241111a a a a a a a a a a⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪--⎩，解得10201a a ⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，所以1122a <<，故a的取值范围是：11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.16．C【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前n 项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前n 项和性质分析②的真假，综合可得答案.【详解】根据题意，对于命题①，{}n a 是公差不为零的等差数列，若120k a a a ⋅= ，则在12,,,k a a a 中，至少有一项为0，假设()0,1m a m k =≤≤，则()()()12121212102m m m m a a S m a ---+==-=，必有12210k S S S -⋅= ，反之，在等差数列{}n a 中，若23n a n =-，则121,1a a =-=，有20S =，则120k S S S ⋅= 成立，但120k a a a ⋅= 不成立，故12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件，故①正确；对于命题②，若{}n a 是等比数列，设其公比为q ，若N k ∈，2k ≥时，有120k S S S ⋅= ，则12,,,k S S S 中，至少有一项为0，则1q ≠，假设0,m S =则有()110,1mm a q S q-==-必有1mq=，又由1q ≠，必有m 为偶数且1q =-，故10k k a a ++=，反之，若10k k a a ++=，则1q =-，必有20S =，则有N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= ，若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=，故②正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.17．(1)π1()sin(62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π求出ω即可；（2）由3()2f A =得出2π3A =，过点C 作AB CD ⊥于点D ，得出π6ACD ∠=，分别求出,AD CD 的长，结合AB即可得出BD CD =，进而得出BCD ∠，根据ACB BCD ACD ∠=∠-∠即可求得答案．【详解】（1）1cos 3π1()sin sin()2262x f x x x ωωω-=+=-+，因为函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以π2T =,则2π2πT ω==，解得1ω=，所以π1()sin()62f x x =-+．（2）由3()2f A =得，π13ππ()sin(2π,Z 62262f A A A k k =-+=⇒-=+∈，因为(0,π)A ∈，所以ππ62A -=，即2π3A =，22221cos22b c a A bc +-===-，解得622c =(舍负)，过点C 作AB CD ⊥于点D ，如图所示，由π2π,23D BAC ∠=∠=得，π6ACD ∠=，则1π,cos 2262AD AC CD AC ===⨯=，所以BD AB AD =+=BD CD =，所以π4BCD ∠=，则πππ4612ACB BCD ACD ∠=∠-∠=-=．18．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出//AB 平面PCD ，然后根据平面ABE ⋂平面PCD EF =，利用线面平行的性质定理证出//EF CD ；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，根据线面垂直的判定定理，证出BH ⊥平面PAD ，可得BEH ∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，然后在Rt BEH △中利用锐角三角函数的定义算出答案．【详解】（1）证明： 平面ABE 与直线PC 相交于点F ，∴平面ABE ⋂平面PCD EF =，四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AB ⊄ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，AB ⊂ 平面ABE ，平面ABE ⋂平面PCD EF =，//EF CD ∴；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，菱形ABCD 中，AB AD =，60DAB ∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，H 是AD 中点，BH AD ∴⊥，PD ⊥ 平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BH PD ∴⊥，PD 、AD ⊂平面PAD ，PD AD D = ，BH ∴⊥平面PAD ．BEH ∴∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，E 是PD 中点，PD =12DE PD ∴==PD ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，H 为AD 中点，112DH AD ∴==，Rt DEH △中，3EH =，等边ABD △中，高BH AD ==Rt BEH ∴ 中，tan BH BEH EH ∠=可得π6BEH ∠=，即直线BE 与平面PAD 的所成角等于π6．19．(1)2324(2)121223p p p p --+(3)先派出甲【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解；（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．【详解】（1）设事件A 表示“该小组比赛胜利”，则()3121112344343224P A =+⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，则1(1)P X p ==，12(2)(1)P X p p ==-，12(3)(1)(1)P X p p ==--，所以X 的分布为：X123P 1p 12(1)p p -12(1)(1)p p --所以112121212()2(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p =+-+--=--+；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为1E ，由（2）可知，1121223E p p p p =--+，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为2E ，则2323223E p p p p =--+，则1212123232121323(23)(23)22E E p p p p p p p p p p p p p p -=--+---+=--+21313132()2()()(2)p p p p p p p p =---=--，因为1231p p p >>>，所以130p p ->，220p -<，所以120E E -<，即12E E <，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．20．(1)MN =22(3)2-1-.【分析】（1）根据已知求出点N 的横坐标，根据对称性可得线段MN 的长；；（2）线段PQ 的中点在x 轴上，得Q 点纵坐标，代入椭圆方程得Q 点横坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出110,,x y x 的关系，结合起来可得00x =或01x x =-，再分别代入求得1y ，得结论．【详解】（1）由22:12y x Γ+=可得：a =1b =，从而1c ==，所以令1y =，则2112x +=，解得：22x =±，所以MN =（2）线段PQ 的中点在x 轴上，则1P y =，所以1Q y =-，即2QF y ⊥轴，所以令1y =-，则2112x +=，解得：x =所以221211222POF S F Q F F =⋅==（3）22121122222POF S F Q F F =⋅=⨯= ，假设存在以2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，2(0,1)F -，因为四边形2F QEP 是矩形，一定为平行四边形，所以222F P F Q F E +=，则021x x x =+，212y y =+，所以011(,2)E x x y ++，,Q E 都在椭圆上，()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得201012220x x x y +++=①，又22QF PF ⊥，所以220F Q F P ⋅=，即110110(,1)(,2)2(1)0x y x y x x +⋅=++=，则11022y x x +=-②，②代入①得20010x x x +=，解得：00x =或01x x =-，若00x =时，11y =-，122x =±，此时P 与1F 重合，Q 点坐标为2(,1)2±-；若01x x =-时，联立()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，消去1x 可得：211420y y ++=，解得：12y =-因为1y ⎡∈⎣，所以12y =-所以存在满足题意的Q点，其纵坐标为2-1-..【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．21．(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题以，得到()ln ,0a g x x x x=+>，求得2()x a g x x -'=，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；（2）设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，求得()lnx h x t x '=-，求得函数()h x 的单调性和最小值为(2t h ，得到()(2t h x h ≥，即可得证；（3）根据题意，得到1e ln cos xx x x x +<-，结合cos [1,1]x ∈-，把转化为1e ln 1x x x x +<-，设()1e ln 1,0x k x x x x x=+-+>，利用导数求得()k x 的单调性和最大值()12e k =-，即可得证.【详解】（1）解：由题意，函数ln y x x a =⋅+，且()()y f x x g x ==⋅，可得()()ln ,0f x a g x x x x x ==+>，则221()a x a g x x x x-'=-=，所以(1)1g a '=-，又因为(1)ln1g a a =+=，所以()g x 在1x =处的切线方程为(1)(1)y a x a =--+，又因为函数()y g x =在1x =处的切线过原点，可得0(1)(01)a a =-⋅-+，解得12a =.（2）解：设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，可得()ln ()ln()2h x x x t x t x a =+--+，其中0x t <<，则()ln 1ln()1lnx h x x t x t x'=+---=-，令()0h x '>，可得1x t x >-，即20x t t x ->-，即20x t x t-<-，解得2t x t <<，令()0h x '<，可得01x t x <<-，解得02t x <<，所以()h x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2t 上单调递减，可得()h x 的最小值为(2t h ，所以()(2t h x h ≥，又由()()()(ln 2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a =+-=+=-+，所以()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+.（3）解：当1a =时，即证1e ln cos xx x x x+<-，由于cos [1,1]x ∈-，所以e e cos 1x x x x x -≥-，只需证1e ln 1xx x x+<-，令()1e ln 1,0xk x x x x x=+-+>，只需证明()0k x <，又由()22211e (1)(1e )(1)x x x x k x x x x x ---'=--=，因为0x >，可得1e 0x -<，令()0k x '>，解得01x <<；令()0k x '<，解得1x >，所以()k x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()k x 在1x =处取得极大值，也时最大值，所以()()max 12e 0k x k ==-<，即()0k x <，即1a =时，不等式e ()cos x g x x x +<恒成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

数学质量分析报告范文一、引言贵校本次数学考试已结束，为了更好地评估学生的学习情况，借此机会汇总数学成绩，并对数学考试的质量进行分析和总结，提出解决方案，呈现给老师和家长，共同探讨如何提高学生的数学成绩。

二、成绩概述本次数学考试共有1000名学生参加，其中一等成绩60人，二等成绩180人，三等成绩350人，四等成绩290人，五等成绩120人。

三、考试难度评估本次数学考试难度适中，部分试题设计较巧妙，需要学生在短时间内快速作答，考察了学生的思维能力和操作能力。

但是，部分题目过于简单，无法考察学生的深入思考和创新思维。

四、试题评估1. 知识点分布试卷中知识点分布均匀，但是单项选择题数量过多，缺乏对学生思维的挑战。

2. 试题难度试题难度适中，但是应适当增加难度，加强对学生思维的考察。

3. 试题类型试题类型包括选择题、填空题、计算题、实际问题，但是应增加应用题的数量，加强对学生解决实际问题的能力的考察。

五、学生能力评估1.基础知识学生的基础知识扎实，掌握基础知识较好。

2.思维能力学生的思维能力各异，部分学生对于思维题难以应对。

3.解题能力学生的解题能力整体较好，对于难题解决能力也有不错的表现。

六、总结与对策1.试卷设计方面应适当提高试卷难度，注重对学生深度思考和创新思维的考察。

2.考试形式方面应增加应用题的数量，加强对学生解决实际问题的能力的考察。

3.教学改进方面教师应注重培养学生的创新能力，提高学生的思维能力，激发学生的学习兴趣，同时注重对学生知识点的掌握。

七、结论本次数学考试整体成绩良好，但是仍需提高。

通过对试卷设计和学生能力分析，我们能够更好地引导学生学习，并为教学改进提出有效建议，提高学生的数学成绩。

2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题及答案解析一、单选题1.若集合(){}013≥--=x x x M ，()(){}013≥--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}3≥x x B .{}31≥≤x x x 或C .{}31≥=x x x 或D .{}31==x x x 或2.已知i zi+=1（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则=-z z （）A .1-B .1C .i-D .i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则=+++MD MC MB MA 22（）A .AB B .CDC .AB2D .CD 214.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（）A .61B .91C .365D .3675.已知函数()()0,0cos >≠=ωωa x a x f ，若将函数()x f y =的图象向左平移ωπ6个单位长度后得到函数()x g y =的图象，若关于x 的方程()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，先测得︒=∠45BCD ，︒=∠105BDC ，100=CD 米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角︒=∠28ACB ，则酒店的高度约为（）（参考数据：4.12≈，4.26≈，53.028tan ≈︒）A .91米B .101米C .111米D .121米7.已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是（）A .45-B .25-C .5-D .52-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发明”的学习内容是“探究函数xx y 1+=的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数xx y 12+=的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）A .25210-B .255-C .5410-D .5410-二、多选题9.已知βα，为两个平面，n m ，为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是（）A .若n m ∥，则βα∥B .若n m ，为异面直线，则α与β相交C .若α与β相交，则n m ，相交D .若βα⊥，则nm ⊥10.若实数b a ,满足1≤a 且100≤+b a ，则（）A .ab 的最小值是100-B .ab 的最大值是99C .ab b a ++的最小值是201-D .ab b a ++的最大值是20011.已知正方形ABCD 中，2=AB ，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥ABC P -的体积为V ，则下列命题正确的的是（）A .32=+PC P A ，则α的最大值时4πB .32=+PC P A ，则V 的最大值时31C .若422=+PD P A ，则V 的最大值是32D .若422=+PD P A ，则α的最大值时4π12.抛物线x y C 42=：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足AEEB ADDB OB ==（为坐标原点），分别过D ，E 作x轴平行线交抛物线C 于Q P ，两点，则（）A .BOD AOD ∠=∠sin sinB .OEOD ⊥C .直线PQ 过定点⎪⎭⎫⎝⎛021D .五边形DPFQE 的周长7>l 三、填空题13.()()y x y x +-8的展开式中27y x 的系数是.14.定义在R 上的非零数函数()x f 满足：()()x f x f =-，且()()02=+-x f x f .请写出符合条件的一个函数的解析式()=x f .15.已知数列，，，， 9,75,3,1,75,3,1,5,3,1,3,1,1其中第一项是1，接下来的两项是3,1，再接下来的三项是5,3,1，以此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400>n S 成立的最小正整数n 的值是.16.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：离心率为21=e ，F 为椭圆C 的右焦点，B A ,是椭圆C 上的两点，且FB F A λ=.若FB F A ⊥，则实数λ的取值范围是.四、解答题17.已知数列{}n a 满足：21=a ，且对任意的*N n ∈，⎪⎩⎪⎨⎧+=++是偶数是奇数n a n a a n n n nn ,22,211.（1）求32a a ，的值，并证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列；（2）设()*12Nn a b n n ∈=-，求数列{}nb 的前n 项和nT .18.如图，在三棱锥111C B A ABC -中，底面ABC ⊥平面B B AA 11，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且DB CD 3=，B A A A 11=.（1）求证：D A C B 111⊥；（2）若2=AB 且二面角11B BC A --的余弦值为53，求点1A 到侧面C C BB 11的距离.19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足BCA C A 222sin sin sin 1sin sin -=-且C A ≠.（1）求证：C B 2=；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4=a ，求线段BD 长度的取值范围.20.为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分，答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分，答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题机会的概率为6.0，答对每道抢答题的概率为8.0，答对每道必答题的概率为()10<<p p ，且每道题的作答情况相互独立.（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过1.0分，求p 的取值范围.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中nd c b a =+++旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020()2k K P ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.02421.已知双曲线1422=-y x C ：，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 的坐标为()0,4.（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于S R ,两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆1422=+y x 交于点E D ,，直线AE AD ,与双曲线C 的另一个交点分别是点N M ,.试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()()0sin >+-=a bx x a e x f x.（1）当0=b 时，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0<b 时，设0x 是函数()x f 的极值点，证明：()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥.（其中71828.2≈e 是自然对数的底数）参考答案一、单选题12345678CDACBBCD1.解析：∵(){}{}31013≥==≥--=x x x x x x M 或，()(){}{}13013≤≥=≥--=x x x x x x N 或，∴M ∩=N {}31≥=x x x 或.2.解析：由i z i +=1，则()()()211111i i i i i i i z +=-+-=+=，则21i z -=，∴i z z =-.3.解析：由题意可得MB MD MC MA -=-=，，∴MDMB MB MC MC MA MD MC MB MA +++++=+++22ABMA MB MB MC =-=+=4.解析：记事件“A =甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”由题意，总的基本事件为：两个人各有6中不同的下法，故共有36种结果，则时间包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2+2+1=5种不同下法.∴事件A 的概率为：()365=A P .5.解析：由题意可得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 6cos πωωπωx a x a x g ，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1270π，x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+612766πωπππω，x ，∵()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+25236127πππωπ，，解得4716<≤ω，即实数ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，.6.解析：由题可得︒=∠30CBD ，在BCD ∆中BDCBCCBD CD ∠=∠sin sin ，又()42645sin 60cos 45cos 60sin 4560sin 105sin sin +=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=∠BDC∴()265021426100sin sin +=+⨯=∠∠=CBDBDCCD BC ，又()10128tan 2650tan ≈︒⨯+=∠=ACB BC AB 米.7.解析：已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，∴101222==+r 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()1-=x k y ，联立()⎩⎨⎧-==+1122x k y y x ，整理得()01212222=-+-+k x k x k ，0>∆恒成立，∴2212k k x x B A +=+，2211k k x x B A +-=，由于1=A x ，∴2211k k x B +-=，则()2121kkx k y B B +-=-=，由于BC 是圆O 的直径，由中点坐标公式可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--22212,11k kk k C ，则弦AC 的中点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++221,11k k k ∵直线AB 、BD 的斜率之和为0，∴k k k k k kk k k BD-=+-+-+-+-=222221111112整理得()052=-k k ，解得0=k 或5±=k .又点B 在第一象限，∴1-<k ，故5-=k .即直线AB 的斜率是5-.8.解析：由xx y 12+=的两条渐近线分别为x y 2=，0=x ，∴该函数对应的双曲线焦点在x y 2=，0=x 夹角（锐角）的角平分线l 上，设kx y l =：且2>k ，若βα，分别是kx y =，x y 2=的倾斜角，故2tan ,tan ==βαk 故βα-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由()ααπβαtan 12tan tan =⎪⎭⎫⎝⎛-=-，即()k k k 1212tan tan 1tan tan tan =+-=+-=-βαβαβα，整理得0142=--k k ，可得52+=k （负值舍去），∴绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为25521-=+=a b ，故()54105491122-=-+=+=ab e .二、多选题9.解析：n m ∥，m ⊥平面α，n ⊥平面β，，则两平面平行，故A 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，n m ，为异面直线，则α与β相交，故B 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若α与β相交，则n m ，相交或异面，故C 错误；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若βα⊥，则n m ⊥，故D 正确.10.解析：由题设，⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-10010011b a a ，如下图可行域，由图知：可行域边界交点坐标依次为()99,1，()101,1-，()991--，，()1011-，，显然ab 在坐标值异号的两交点处取最小值，坐标值同号的两交点处取最大值，故ab 的最小值是101-，最大值是99，A 错，B 对；由图知：[]199,201-∈++ab b a ，在第一象限边界交点、第四象限边界交点处分别取得最大、最小值，C 对，D 错.11.解析：由题意知，点P 为动点，C A ,为定点，32=+PC P A ，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以22=AC 为焦距，长轴为32的椭圆，将此椭圆绕AC 旋转一周，得到一个椭球，即点P 的轨迹是一个椭球，9101112ABDBCACABD而椭球面为一个椭圆，由22222,32222=+==c a ，即2,3==c a ，得122=-=c a b ，当点P 运动到椭球的上、下顶点时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆b S V ABC ；设点P 在平面ABCD 上的射影为Q ，则BQPQ=αtan ，又10≤<PQ ，20≤<BQ ，且BQ PQ ≤，∴当且仅当BQ PQ =时αtan 最大，即α的最大值时4π；当422=+PD P A 时，由42=AD 得222AD PD P A =+，则点P 的轨迹是以AD 为直径的球，设AD 的中点为O ，则O 为球心，当AD OP ⊥即1=OP 时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP S V ABC ；当直线BP 与球相切于点P 即BP OP ⊥时，α取得最大值，此时5551sin ===OB OP α，则4πα≠.12.解析：如图，不妨设1>=t OB ，点B 在x 轴上方，()0,1y D -()00>y ∵AEEB ADDB OB ==，则AD t DB =，AE t EB =，易得()()011y t B +-，，设()E y E ,1-，则()t y y y t EE=--+010，得到011y tty E -+=，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-0111y t t E ，，且()2202211t y t =++，即()222011t t y +-=，选项A ，如图，令βα=∠=∠AOB AOD ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈20,πβα，，则αβ-=∠BOD ，∵201sin y y +=α，2011cos y +=α，()ty t 01sin +=β，t1cos =β，∴()=-=∠αβsin sin BOD ()⋅+ty t 012011y +t 1-201y y +⋅2001y y +=αsin =，∴BOD AOD ∠=∠sin sin ，∴选项A 正确；选项B ，∵()0,1y OD -=，()⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ty t OE 1110，，则⋅OD +=1OE ()ty t -+1120()0111111122=-=+-⋅-++=t t t t ，∴OE OD ⊥，即OE OD ⊥，选项B 正确；选项C ，易知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的斜率为k ，()01,y x P ，()⎪⎭⎫⎝⎛-+ty t x Q 1102，，将()01,y x P 代入x y 42=，得到()()141141422201+-=+-==t t t t y x ，∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,141y t t P ，同理可得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t y t t t Q 11,1410∴()()()()()()()()()()()022020001214112141411114114111y t t t t ty t t t y t y t t t t t y t y t k +-=++--=+-++---+=+---+--+=，∴直线PQ 的方程为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t x y t y y 1411200，假设直线PQ 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，则有()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t y t y 141211200，得到0211=--+t t ，即023=+t ，不对t 恒成立，∴选项C 不正确；选项D ，由抛物线定义知，21p x PF DP +==，22px QF EQ +==，∴五边形DPFQE 的周长()ED QF PF l ++=2，又∵()1411+-=t t x ，()1412-+=t t x ，()0,1y D -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-021,1y t t E ，()222011t t y +-=，∴=l ()()p y t t y t t t t 211141141200+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-()()4121211210+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=y t tt t t t ()()()()()()()411212112141112121121222222+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=++-⋅-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=t t t t t t t t t t tt t t t ，又∵1>=t OB ，∴()()()()11211212121121=-+⋅+->-+++-t t t t t t t t ，()()11211121124224242222>+--+=+--=--t t t t t t t tt t ，∴7421=++>l ，故选项D 正确.三、填空题13.20；14.x y 2cosπ=（答案不唯一）；15.59；16.⎦⎤⎢⎣⎡+-374374，13.解析：二项式()8y x -中，()r rrrr y x C T -+-=8811，当y x +中取x 时，这一项为()r rr ry xC --981，∴2=r ，()281282=-C ，当y x +中取y 时，这一项为()1881+--r rr ry xC ，∴1=r ，()81181-=-C ，∴展开式中27y x 的系数是20288=+-.14.解析：∵()()02=+-x f x f ∴()x f 的对称中心为()0,1，且由()()x f x f =-可得出()x f 的对称轴为y 轴，且周期为4的偶函数都可以.15.解析：将已知数列分组，每组的第一项均为1，即第一组：1；第二组：3,1；第三组：53,1，；以此类推：将各组数据之和记为数列{}n b ，则()22121n n n b n =-+=，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则()()612121222++=+++=n n n n T n ；∴400385621111010<=⨯⨯=T ，400506623121111>=⨯⨯=T ；∵1021b b b +++ 对应{}n a 中项数为55211101021=⨯=+++ 项，即1055T S =，∴40039453135858<=+++=S ，400401753138559>=++++=S ，则使得400>n S 成立的最小正以整数59=n .16.解析：椭圆的右焦点为极点，建立坐标系，设()θρ,A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0πθρB 过点A 作l AH ⊥交l 于点H ，l 为椭圆的右准线ca x 2=，过点A 作⊥AM 极轴交极轴于点M ，由椭圆的第二定义知：e AHAO=，则ρ=AO ，∴θρcos 2--=c c a AH ，则e c ca=--θρρcos 2，代入化简可得：θρcos 12e a b +=，同理可得：θπθρsin 12cos 1220e a b e a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，由FB F A λ=可得λθθθθθθρρ=+-=+-=+-==cos 2sin 2cos 211sin 211cos 1sin 10e e FB F A ，θθλcos 2sin 2+-=，λ表示()22，C 与()θθsin ,cos -D 两点的连线的斜率，而()θθsin ,cos -D 可看作圆122=+y x 上任意一点，∴λ的几何意义为圆122=+y x 上一点与()22，C 两点的连线的斜率，过点()22，C 作圆的切线可求出z 的最大值和最小值，由分析知，过点()22，C 直线的斜率一定存在，设为()22-=-x k y ，即022=+--k y kx ，故圆心()0,0到直线022=+--k y kx 的距离为：11222=++-kk ，化简得：03832=+-k k ，解得：374-=k 或374+=k，∴374cos 2sin 2374+≤+-≤-θθ，故374374+≤≤-λ.四、解答题17.解：（1）由题意可得：1212==a a ，1022233=+=a a .由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+----+++324384382238232121212121221212n n n n n n n n a a a a a ，又038321≠=+a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列.（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b .运用分组求和可得()()nn n T n n n n 321498324141383244438110--=---⋅=-+++=- 18.解：（1）取BC AB ,的中点E O ,，连接AE OD D A O A ,,,11，∵ABC ∆是正三角形，∴BC AE ⊥；∵B A A A 11=，O 为AB 中点，∴AB O A ⊥1，∵DB CD 3=，E 为BC 中点，∴D 为BE 中点，又O 为AB 中点，∴AE OD ∥，∴BC OD ⊥；∵平面ABC ⊥平面B B AA 11，平面ABC ∩平面AB B B AA =11，⊂O A 1平面B B AA 11，∴O A 1⊥平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC O A ⊥1；∵O OD O A =⋂1，⊂OD O A ,1平面OD A 1，∴BC ⊥平面OD A 1，又⊂D A 1平面OD A 1，∴BC ⊥D A 1，又11C B BC ∥，∴D A C B 111⊥.（2）取11C B 中点F ，连接DF F A ,1，由三棱柱结构特征知：AE F A ∥1，又AE OE ∥，∴AF OD ∥，即F D O A ,,1，四点共面，由（1）知：BC ⊥平面ODF A 1，∵⊂DF D A ，1平面ODF A 1，∴DF BC ⊥，D A BC 1⊥，∴DF A 1∠是二面角11B BC A --的平面角，∴53cos 1=∠DF A ，作DF G A ⊥1，垂足为G ，∵G A BC 1⊥，G A DF 1⊥，D DF BC =⋂，⊂DF BC ,平面11B BCC ，∴G A 1⊥平面11B BCC ，设h O A =1，则121+=h AA ，又312221=-==F A AE ，∴2321==AE OD ，∴4321+=h D A ，432122121+=⎪⎭⎫⎝⎛+=h F A O A DF ，∴53432343432cos 2221212211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=⋅-+=∠h h h DFD A F A DF D A DF A ，解得3=h ，又54sin 1=∠DF A ，∴G A D A DF A DF D A S DF A 111121sin 211⋅=∠⋅⋅=∆，即G A 1215215421521521⋅⨯=⨯⨯⨯，解得：51521=G A ，即点1A 到侧面C C BB 11的距离为5152.19.解：（1）由题意得BCA C C A 222sin sin sin sin sin sin -=-，即B C A C 2sin sin sin sin 1+=.由正弦定理得：ac c b +=22，又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，∴B c a c cos 2-=，故B C A C cos sin 2sin sin -=，故()B C C B C cos sin 2sin sin -+=，整理得()C B C -=sin sin，又ABC ∆为锐角三角形，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，B ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈-22ππ，C B ∴C B C -=，因此C B 2=.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得C BD BDC a sin sin =∠，∴CBDBDC sin sin 4=∠∴CC C BDC C BD cos 22sin sin 4sin sin 4==∠=，∵ABC ∆为锐角三角形，且C B 2=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<<23022020ππππC C C ，解得46ππ<<C .故23cos 22<<C ，∴22334<<BD .因此线段BD 长度的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,334.20.解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()841.34.2151051049162022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，又()05.0841.32=≥K P ，故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，则丙在一道抢答题中的得分X 可能为2,0,1-，()12.02.06.01=⨯=-=X P ，()4.00==X P ，()48.08.06.02=⨯==X P 故可列出X 的分布列如下：旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020X-102因此()84.048.0212.01=⨯+⨯-=X E .21.解：（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为x y 21±=，过P 与x y 21=平行的直线方程为()421-=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛-43,25R ，过P 与x y 21-=平行的直线方程为()421--=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=---=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛43,25S ，∴直线RS 的方程为25=x.（2）直线MN 过定点.由已知，易知过P 的直线斜率存在且不为0，直线AD ，AE 斜率存在且不为0，设直线AD ，AE 的直线方程分别为21-=y t x 和22-=y t x ，()D D y x D ,()E E y x E ,，由⎩⎨⎧=--=442221y x y t x 得()0441221=-+y t y t ，解得44211+=t t y D ，则4822121+-=t t x D .同理44222+=t t y E ，4822222+-=t t x E .又E D P ,,三点共线，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=44,42422112121t t t t PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--=44,42422222222t t t t PE .故044424244424221122222222121=+⨯+---+⨯+--t t t t t t t t ，解得1221=t t .P0.120.40.48设()11,y x M ，()22,y x N ，则11112t k x y k AD MN ==+=，22212t k x y k AE AN ==+=，∴1222221121=+⋅+=y x y x t t ，即()()()()m kx m kx y y x x ++==++212121121222化简整理得：()()()0412*******21221=-+-++-m x x k x x km （*），易知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=，由⎩⎨⎧=-+=4422y x m kx y ，消去y 整理得()044841222=----m kmx x k ，∴当0412≠-k 且()()014116642222>+-+=∆mkm k 时22212214144,418km x x k km x x ---=-=+，代入（*）化简，解得0222=--k mk m ，即()()02=-+k m k m ，故k m -=或k m 2=.当k m 2=时，k kx m kx y 2+=+=，经过点()0,2-，不符合题意，当k m -=时，k kx m kx y -=+=，经过点()0,1，满足题意.因此直线MN 过定点()0,1.22.解：（1）由题意知()x a e x f xsin -=在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值，则()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有解，故x e a x cos =，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0cos πx x e x g x ，显然()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()10=g ，()+∞=→x g x 2lim π，∴1>a .当1>a 时，()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πα，且()0='αf ，此时当()α,0∈x 时，()0<'x f ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,παx 时，()0>'x f ，∴()x f 在()α,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πα上单调递增，故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值点.因此实数a 的取值范围是1>a .（2）由题意知()b x a e x f x+-='cos ，故()0cos 000=+-='b x a ex f x .()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=()bbx x a e b bx x x a e x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=000004sin 22cos sin 200πa b bx e x 2200-++≥.设()()R x a b bx e x h x ∈-++=22，则()b e x h x+='2，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈2ln ,b x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，2ln b x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()a b b b h x h 22ln 2ln -⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥.因此()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥成立.。

高中数学模拟考试质量分析
引言
高中数学模拟考试是评估学生数学能力的重要手段之一。

本文旨在对高中数学模拟考试的质量进行分析，探讨考试难度和试卷质量对学生评估的影响，并提出一些建议以提高模拟考试的质量。

考试难度分析
通过对高中数学模拟考试试卷的题目难度分析，可以得出如下结论：
- 部分试题的难度适中，能够很好地评估学生的基础知识和能力水平。

- 一些试题的难度过低，无法准确评估学生的能力，对于学生提高数学水平的作用有限。

- 一部分试题的难度过高，超出了学生的掌握范围，导致评估结果不准确。

试卷质量分析
对高中数学模拟考试的试卷质量进行分析，得出以下结论：
- 试卷的内容覆盖面较广，能够全面评估学生的数学能力。

- 试卷中的题型多样化，能够考察学生的不同技能和思维方式。

- 试卷中存在一些错误或模糊不清的题目，需要加强质量控制。

提高模拟考试质量的建议
为了提高高中数学模拟考试的质量，我们可以考虑以下建议：
- 提高试卷编写的科学性和严谨性，确保题目的准确性和清晰度。

- 合理设置试题难度，确保试卷能够准确评估学生的能力，不
过分偏离学生的实际水平。

- 加强质量控制，对试卷进行认真检查和校对，减少错误和模
糊题目的出现。

- 鼓励学生参与模拟考试后的反馈和讨论，以便及时调整考试
质量和改进评估方式。

结论
高中数学模拟考试的质量对于评估学生能力和指导教学具有重
要意义。

通过分析考试难度和试卷质量，并采取相应的改进措施，
我们可以提高模拟考试的准确性和有效性，更好地促进学生的学习
进步。

学校高三二模质量分析报告高三二模质量分析报告本报告旨在对学校高三二模考试的质量进行分析和评估，以便于教师和学生总结经验，优化教学和学习方法。

一、整体表现本次高三二模考试主要测试了学生在各个学科的基础知识掌握情况和综合应用能力。

总体来说，学生们在这次考试中取得了较为理想的成绩。

其中，理科班学生在数理化科目表现出色，他们基础知识扎实，考试成绩明显高于其他班级。

文科班学生在语文和历史等社科科目中表现较好，但在数学科目上相对较弱。

因此，需要针对学生们的不同情况开展针对性的教学辅导。

二、优点分析1. 学生的写作能力继续提升。

在语文和英语写作两个科目中，学生们的表达能力和逻辑思维能力有了明显的进步。

他们能够结合材料独立思考、合理组织语言，并正确运用一些写作技巧和表达方式。

2. 理科班学生的数理化知识扎实。

这次考试中，理科班学生的数学和物理化学成绩相对较高。

他们对基础知识的掌握程度较好，思维细致严谨，通过合理的分析解题思路，能够灵活运用所学的知识。

3. 学生的自主学习能力明显增强。

本次考试的试卷较难，要求学生进行独立思考和解决问题。

大部分学生能够主动学习，提前准备并针对性地进行复习，这是他们自主学习能力提高的一个重要表现。

三、存在问题1. 学生在知识运用方面有待提高。

一些学生在考试中表现出缺乏对知识的灵活应用能力。

他们对一些知识点理解不透彻，难以将所学的知识运用到实际问题中。

因此，我们需要在教学中更加注重培养学生的综合应用能力。

2. 文科班学生的数学成绩相对较低。

在本次考试中，文科班学生的数学成绩普遍较低。

这可能是因为他们对数学的兴趣不高，缺乏数学思维的训练。

因此，我们应该通过激发学生的兴趣和提供更多的数学实践机会，帮助他们提高数学成绩。

3. 部分学生复习不够全面。

有些学生在复习过程中偏重于某些重点知识，忽视了其他知识点的巩固和掌握。

这导致他们在考试中遇到一些较为综合的题型时出现困难。

因此，学生们需要对各个知识点进行全面的复习，确保知识的全面掌握。

高三二模班级质量分析报告高三二模班级质量分析报告一、班级整体学习情况分析高三二模班级在整体学习情况上表现出较好的发展趋势。

在这个学期的学习过程中，班级的学习氛围逐渐浓厚，同学们对于学业的重视程度明显增加，积极主动参与课堂讨论和互动，表现出较高的学习热情。

同时，班级的整体成绩明显提升，主要科目的平均绩点有所增长，成绩优异的学生比例也有所提高。

二、主要优势和不足分析1.主要优势：（1）学习氛围浓厚：班级内同学们相互之间形成了良好的学风氛围，能够相互鼓励、学习互助。

同学们积极参与课堂讨论和互动，提高了学习效果。

（2）班级成绩稳步提升：经过这个学期的努力，班级的整体成绩有了明显的提升。

特别是一些科目，如数学和物理，班级的平均成绩有所增长，体现出较强的学习能力。

（3）高考备考积极性高：班级同学们对于高考备考的重视程度非常高，积极参加各类模拟考试和高考志愿填报等活动，意识到高考的重要性，为高考做好全面准备。

2.主要不足：（1）时间管理不合理：一些同学在学习过程中存在时间管理不合理的问题，导致学习效率较低。

需要班级加强对学生时间管理的指导和培养，提高学生的自我管理能力。

（2）知识掌握不牢固：尽管班级整体成绩有所提升，但还有一部分同学在某些科目上的知识掌握不牢固。

班级需要加强课后辅导和弱势学生辅导，以提高全体同学的学习水平。

（3）考试应试能力有待提高：虽然班级的成绩有所提高，但一些同学在应试能力上还有较大的提升空间。

班级需要加大对于应试技巧和答题技巧的指导，提高同学们的应试能力。

三、对策和建议1. 加强时间管理教育：班级应组织时间管理和学习计划的培训，指导同学们合理安排学习时间和生活时间，提高学习效率。

2. 建立个性化辅导机制：对于知识掌握不牢固的同学，班级应建立个性化辅导机制，通过课后辅导和重点突破，帮助他们加强知识掌握。

3. 强化应试技巧培训：班级应定期组织应试技巧培训，教授同学们正确的答题技巧和解题方法，提高他们的应试能力。

高三数学质量分析高三模考数学考试质量分析一、试卷评价全卷试题基本以容易题为主，有少量难题，最后一个大题中有一个寒假作业类似的原题。

文、理科合卷。

理科加试附加卷。

试题突出数学主干知识，以重点知识构建试题的主体，注重加强对基础知识、基本技能的考查，如从高中数学中的概念、性质、法则、定理及其由内容反映出来的数学思想和方法出发，从课本例题和习题出发;从一些高考题出发，通过改造、延伸和拓展，形成试题(许多题方法多样，立足于考查学生对基础概念、关系的理解，有利于学生形成基础知识网络(还有许多题能产生很多变化。

重视对数学思想方法的考查，将中学数学中一些比较基本的数学思想和方法，以各种不同的层次融入试题中(涉及到数形结合思想;体现了分类讨论思想;体现了函数与方程的思想。

试题在一定程度上体现了平常教学的要求，做到了考学生知识，考老师的教法的目的(试题对全校学生而言有一定的区分度，但对好班学生就区分度较小。

通过本次考试，能有效的找出教与学中存在的问题，明确下阶段努力的方向。

二、数据分析分数段 >=135 >=119 >=112 >=96 >=80 >=70 >=60 <60 全校数学统计参加考试人数:324人，均分:71.6分，人数 51 1 9 20 49 62 36 105 表1 全校各分数段的情况优秀率:0.93%，及格率:21.3%，低分率:59.57%。

最高分143分，最低分0分。

表二:闪光/薄班级总分均分试题类型试题描述满分平均分最高分最低分得分率优秀率及格率低分率方差标准差弱点全市全部 94.7 试卷数学 160 71.6 138.0 0.0 45 0.93 21.30 59.57 688.26 26.23 二中全部 71.6主观题 1-3 15 10.5 15.0 0.0 70 31.48 81.17 18.83 14.46 3.80 10301班49.8主观题 4-6 15 9.6 15.0 0.0 64 31.17 68.21 31.79 21.20 4.60 10302班54.8主观题 7-9 15 8.4 15.0 0.0 56 20.68 60.19 39.81 21.79 4.67 10303班75.6主观题 10-12 15 12.1 15.0 0.0 80 58.64 86.11 13.89 16.75 4.09 10304班 64.6主观题 13-14 10 3.0 10.0 0.0 30 16.98 16.98 56.17 14.49 3.81 薄弱点10305班 60.0主观题 15 14 8.1 14.0 0.0 58 24.38 42.59 25.31 16.01 4.00 10306班77.7主观题 16 14 6.3 14.0 0.0 45 12.35 17.59 31.79 14.80 3.85 10307班92.8主观题 17 14 4.5 14.0 0.0 32 10.80 11.73 51.23 20.24 4.50 薄弱点10308班 102.2主观题 18 16 2.7 16.0 0.0 17 1.54 7.41 87.65 12.97 3.60 薄弱点主观题 19 16 3.9 16.0 0.0 24 2.16 2.47 90.43 11.00 3.32 薄弱点主观题 20 16 2.3 10.5 0.0 14 0.00 1.23 97.53 4.45 2.11 薄弱点第 1 页共 2 页三、试卷分析通过对学生答题情况的分析，学生主要在以下几个方面存在问题:1(对基本的数学概念、定理理解和掌握不到位，对一些基本的解题方法不清晰(这些题涉及的解决方法比较常规，但从考试情况看，学生掌握情况还不够理想(这说明学生知道一点，但还是有点乱，不能很快的检索到解题方法，不能选择好的解题方法(这种现象是下一个阶段必须要重点解决的问题(2(重点知识和重要方法(如函数与导数、三角函数等)在高考中常考，也比较容易得分(此次考试学生在推理、文科数列等问题上得分情况不够理想(简单问题复杂化，思路不清晰，计算(特别是有关字母的运算)不过关;第17题，解决的方法是常规方法，但实际情况是“好象知道一点，但实际操作时，丢三落四，处处有问题。

高三数学二模质量分析___于2014年3月5日发表了一篇关于二模质量分析的文章。

在文章中，他总结了学生在二模考试中存在的问题，并提出了一些解决方法。

首先，他列举了学生在答卷中反映出的主要问题，包括基础知识不扎实、审题不到位、综合能力不够、拘泥于成法、心态不好等。

针对这些问题，他提出了以下解决方法：1.加强集体备课，制定教学基本策略，提高课堂教学针对性和有效性。

2.研究最新考试说明，分析高考试题，找出可能出题的地方，讨论如何出高考题，让学生知道考什么、怎么考、考到什么程度。

3.制定详细的复计划，二轮复主要进行专题复，三轮复主要进行高考模拟训练，适当进行考试技巧和考试心理的培训，使学生以饱满的热情和信心，步入高考的考场。

这些方法旨在解决学生在二模考试中存在的问题，提高他们的研究效果和应试能力。

同时，他还强调了总体设计要符合所教班级学生的实际，不同层次的教学班做到有所区别，并根据教学的实际进行适当的调整。

8、加强对学生的分析与研究，了解每个学生的优缺点，挖掘他们的潜力。

分类推进学生的研究任务和目标，根据学生的水平进行有针对性的训练。

例如，对于尖子生，不仅要加强解题思路和思维训练，还要注重细节和规范；对于中等生，要抓住中低档题目不失分；对于基础薄弱的学生，要力争基础题不丢分，做好选择、填空和解答题的第一问等。

9、收集、整理高考信息，包括高考试题和模拟试题。

每周进行一次高质量、有针对性的模拟训练和限时训练，以检测学生的全面性、方法熟练性、运算准确性和知识应用能力。

训练也要注重学生的书写规范和表述准确性，让学生明确模拟练的目的。

10、注重学生的心理素质训练，调整学生的临考前状态和考后心理。

高考既考察学生的研究成绩，也考察学生的心理素质。

因此，在考前要给学生适当的指导，包括答题策略、考试心理和考试技能的训练与指导，帮助学生树立信心，排除心理障碍，提高应试能力。

考后要及时进行心理调整，以平和的心态面对高考，发挥真实水平。