Smarandache LCM函数与数论函数Ω(n)的高次混合均值

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关于Smarandache双阶乘函数与近似伪Smarandache函数的混合均值

２０１７年３月
西南民族大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎｌｉａｔｉｅｓ（ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｓｄｆ（１）＝ｌ，Ｓｄｆ（２）＝２，ｓａｆ（３）＝３，ｓｄｆ（４）＝４，ｓｄｆ（５）＝５，Ｓｄｆ（６）＝６，Ｓｄｆ（７）＝７， … ．
Ｏｎｔｈｅｈｙｂｒｉｄｍｅａｎｖａｌｕｅｏｆｔｈ ห้องสมุดไป่ตู้ Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｄｏｕｂｌｅｆａｃｔｏｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｐｓｅｕｄｏ－Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｆｎｃｕｔｉｏｎ
黄
摘
炜
７２１０１３）
（宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡
要：利用初等方法和解析方法，研究了著名Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ双阶乘函数ｓｄｆ（ｎ）与近似伪Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ函数Ｕ（ｎ）及
ｎｄａｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｐｓｅｕｄｏ－Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｓｏｍｅｈｙｂｉｄｒｍｅａｎｐｏｐｒｅｒｔｉｅｓａｎｄｓｏｍｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｆｏｒｍｕｌａｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈｈｅｌｐｅｄｔｏｐｒｏｍｏｔｅｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｗｏｒｋｏｆｃｌａｓｓｉｃｌａａｉｒｔｈｍｅｔｉｃｌａｆｕｎｃｔｉｏｎ．

关于Smarandache幂函数的混合均值

＋（。Ⅳｍ（．）Ｄ日）ｎ，（ｉ）・
其中Ａ（）＝∑ Ｉ（）Ｎ是离最近的整数（ｎ口ｎＩｎ～，
复合均值性质。Ｈａｑｈｕ在文献［］ｕｎｉＺｏｎ３中得到了包含Ｓ（）Ｐｎ的一个无穷级数的恒等式。
维普资讯
第２７卷
第１期
２００８年３月
延安大学学报（自然科学版）ＪｕａｏａａｎｖｒｔＮｔｒｃｅｃｄｔｎｏｒｌｆｎｎＵｉｓｙ（ａａＳｉｎｅＥｉｏ）ｎＹｅｉｕｌｉ
Ｖｏ＿７Ｎｏ１ｌ２．
如果ｎ＝６则有ｐ，
Ｐ，果１ｏ；如－ｐ＜ｒＰ，果Ｐ＋１如２ｐ；
Ｓｎ＝Ｐ，口２ ≤ ３Ｐ（）女果ｐ＋１ｐ；
引理Ｈ（ｅｒｎ公式）存在递增函数日（）Ｐｒｏ设 “ 及函数Ｂ（） “ 使得
这时，函数
ｓ）
３
疋理的让明
在ｓ＝１处有一个一阶极点，留数为．以所
一．
现在我们来完成定理的证明。令口（２１）＝
，
则由于口ｎ的可乘性，用［］的Ｅｌ（）利５中ｕｅｒ
容易求得估计式
乘积公式得：
Ｍａｃ．０８ｒｈ２０
关于Ｓａａｄｃｅ幂函数的混合均值ｍｒｎａｈ
贺艳峰
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７６０）１００
摘
要：用解析方法研究了包含Ｓａａｄｃｅ幂函数倒数的混合均值，利ｍｒｎａｈ并给出了它的渐近公式。文献标识码：Ａ文章编号：０－２２０）１０１２１４６Ｘ（０８０－０－００００

两个smarandache复合函数的均值估计

两个smarandache复合函数的均值估计Smarandache复合函数的均值估计是一种常用的参数估计方法，它可以更准确地估计参数，关键是它具有快速性和准确度，因此受到许多研究者和应用程序开发者的青睐。

一、概述Smarandache复合函数的均值估计是一个简单而强大的统计方法，它能够提供更加准确的参数估计结果，以更少的计算时间。

它的原理是，首先给出一个数据集，然后采用Smarandache复合函数进行模拟，以确定这些参数均值的最佳估计值，而无需进行额外的拟合和试验。

二、估计方法1. 先在相应的数据集上取一组随机样本x1,x2,x3…xn；2. 设定参数α，β，γ；将该组样本带入SE函数求得y1….yn；计算样本点坐标和其它常数的中点，作为参数的初始值θ0；3. 用σ2(θ0)估测模型均方误差，然后采用最小二乘法求解得到的参数值θ为最接近的参数均值；4. 之后将参数带入SE函数，求得模型输出值y1,y2,y3…yn；5. 计算模型输出坐标的中点作为最优估计值。

三、优点1. 可以低成本地估计出参数的均值，而无需进行正则化等复杂运算；2. 具有快速性和精确度，比传统S方法具有更小的均方根误差，而计算速度更快；3. 可以针对不同类型的数据集进行计算，使参数估计更加准确；4. 模型参数变化时，该模型能够自动调整，使参数均值更加准确；5. 可以应用到不少大数据和复杂系统的参数估计中；6. 具有灵活性，可以根据个别的数据分析情况调整参数，从而得到更好的结果。

四、缺点1. 对数据集中参数范围较大的情况要求较高，且结果不一定准确；2. 不具有可推广性，它无法有效地拟合其他基本曲线方程；3. 程序复杂且不易调试，要求研究者具有较强的数学和编程能力。

五、应用Smarandache复合函数的均值估计非常适合于各种大数据和复杂系统的参数估计，如金融市场的数据分析及应用，机器学习的训练集参数估计，社交网络中的行为分析等。

关于smarandache可乘函数的β次混合均值

关于smarandache可乘函数的β次混合均值Smarandache可乘函数的β次混合均值
1. 什么是Smarandache可乘函数？
Smarandache可乘函数是由罗马尼亚传教士、数学家米拉多塔罗什·斯马兰达凯开发的一种函数，从而可以从给定的实数序列或者多均值问题中求出最佳均值。

Smarandache可乘函数将非常复杂的计算简化成一个可乘函数：当多个变量存在且每个变量的值可合理模拟时，可以解决复杂的问题，例如求解线性可加和混合均值。

2. β次混合均值
β次混合均值是一种重要的计算方式，它由一组样本中的所有观测值组成，其中β指的是每个数据的权重。

β次混合均值用来计算一组数据的混合均值，这等于将一组数据中的每个值乘以一个系数，然后将它们加起来除以系数之和。

β次混合均值又称为加权混合均值，因为它将一组数据中每个数据的权重考虑在内。

3. 使用Smarandache可乘函数计算β次混合均值
Smarandache可乘函数是一种特别有用的方法，可以用来求解以下β次混合均值问题。

首先，设定数据集中的每个数据的权重β为1/n，其中n为数据集的数据项数。

这是一种有效的方法，因为它相当于把所有数
据的权重平分，从而使每个数据的影响都一样。

然后，使用Smarandache可乘函数来平衡权重因子，然后使用以下公式来计算β次混合均值：μ=ΣXᵢ/Σβ。

以上就是关于Smarandache可乘函数的β次混合均值的内容，它可以用来求解许多非常复杂的问题，并且帮助人们在多变量和异质环境下获取更有效的结果。

关于Smarandache复合函数的均值分布

，
∑ Ｓ（ｍ）＝
）
ｍ ≤
∑
＝
ｍＳ
其中，ｂ（ｉ＝２，３， …，ｋ）为可计算的常数。
第３２卷
第２期
２０１３年６月
延安大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ＿３２Ｎｏ．２
叫熹］ｃ
２５ｌ埋及具让明
引理
令 ≥２为任意实数，设Ｐ为素数，则有
＝＋
Ｍａｒｋ在文［２］中得到了Ｓ（Ｐ）的上下界估计，
即
爰＋０（熹）。
（Ｐ一１） ≤５（ｐ） ≤（Ｐ一１）
［＋１＋ｌｏｇ；］＋１，了一个较为精准的均值分布的估计式
收稿日期：２０１３—０４—２８
垒
。
３＋３＋。
（Ｘ３），
干旱弓Ｉ乇里毕
令 ≥２为任意实数，ｋ ≥２为给定的整
基金项目：基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目（１１ＪＫ０４８９）
定义一个新的数论函数Ｗ（ｎ）为：对任意的正
＋主蔫＋Leabharlann Ｄ（熹）一埘ｘ
整数ｎ，ｋ为最小的使得ｎ ≤ｋ（３ｋ＋１）的正整数，即
Ｗ（ｎ）＝ｍｉｎ｛ｋ：ｎ ≤ｋ（３＋１），ｋ∈Ｎ｝。本章主要讨论复合函数（Ｗ（凡））的均值分布性质。定理数，则有

两个含SmarandacheLCM函数的复合数论函数方程的可解性

φ（φ（ｎ－φ（φ（ｎ））））＝２的可解性问题，但求解过程较为繁琐，故袁合才、王波等［６］对其求解方法加以简化，研究了复合欧拉函数方程 φ（φ（ｎ－φ（φ （ｎ））））＝４，６的可解性问题。张利霞、赵西卿等在文献［７－８］中分别研究了数论方程Ｓ（ＳＬ（ｎ））＝φ（ｎ），Ｓ（ＳＬ（ｎ））＝φ２（ｎ）的可解性，郭梦媛、高丽等在文献［９］研究了Ｓ（ＳＬ（ｎ２））＝φ２（ｎ）的可解性。本文基于此，探究了含ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数的复合数论函数方程 φ（φ（ｎ－Ｓ（ＳＬ（ｎ））））＝８，１０的可解性问题。
当ｎ－Ｓ（ＳＬ（ｎ））＝３２时，由引理４，此时３３≤ｎ
≤６４，将其逐一代入验证，此时式（１）无解。
当ｎ－Ｓ（ＳＬ（ｎ））＝３４时，由引理４，此时３５≤ｎ
≤６８，将其逐一代入验证，只有ｎ＝５１满足
证明由引理１—引理３易知，当满足条件时，Ｓ（ＳＬ（ｎ））≤ｋｐ≤ｐｋ≤ ２ｎ，即ｌ＝ｎ－Ｓ（ＳＬ（ｎ））≥ｎ－ｋｐ≥ ｎ－ｐｋ≥ｎ－２ｎ＝２ｎ。则有ｌ＋１≤ｎ≤２ｌ，证毕。
２主要结论及其证明
定理１含ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数的复合数论
函数方程
φ（φ（ｎ－Ｓ（ＳＬ（ｎ））））＝８
第３８卷第１期２０１９年３月
延安大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１９．０１．０１２
Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．１Ｍａｒ．２０１９
两个含ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数的复合数论函数方程的可解性
（１）

关于Smarandache Ceil函数的一类均值问题

关于Smarandache Ceil函数的一类均值问题
吕二兵
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2013(026)002
【摘要】研究了Smarandache Ceil函数与素因子积函数U(n)的均方值的分布问题.利用解析方法给出了(Sk (n)-U(n))2的一个有趣的渐近公式,其中k≥2,n为自然数.
【总页数】3页(P155-157)
【作者】吕二兵
【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127
【正文语种】中文
【中图分类】O156.7
【相关文献】
1.关于m次幂部分数列与Smarandache ceil函数的均值 [J], 冯强;郭金保;王荣波
2.关于Smarandache ceil函数及其对偶函数的均值 [J], 冯强;郭金保
3.Smarandache Ceil 函数的均值研究 [J], 许军保
4.关于Smarandache Ceil函数的一个混合均值 [J], 祁兰;赵院娥
5.关于Smarandache Ceil函数的均值问题 [J], 薛阳;高丽
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smarandache函数的均值分布性质

smarandache函数的均值分布性质
弗拉克·苏马兰达谢函数（Franek Smaradache Function，简称FSF）已被认可为线性算法模型中的最优方案，其在不同领域都得到了普遍应用。

FSF是一种最佳拟合算法，它在数学模型计算中提供高度精确的结果。

FSF均值分布性质是FSF函数的基本性质，均值分布指的是给定数据集的聚合特性。

通常情况下，数据集中的每一项元素都遵行相同的数学模型，以表示其内在特性和聚合特性。

基于FSF函数的均值分布特性，可以利用数据集的聚合信息来估算其内在决策规则，从而对关键数据进行更严格的分类和分组归纳。

此外，尽管FSF函数提供非常精确的拟合结果，但是它的均值分布性质也为实际应用提供了一定的支持。

由于它作为一种均值分布特性，可以使用数据集来帮助优化这些算法，提高模型准确性和稳定性。

因此，FSF函数的均值分布性质对不同领域的有效处理和适配都提供了有效的支持。

总之，FSF函数的均值分布特性为不同数学模型提供了最佳拟合结果，提供高度精确的优化机制。

同时，它还可以有效支持实际应用，帮助优化模型的准确性和稳定性，为不同领域的有效处理和适配提供有效的支持。

一个关于Smarandache LCM函数的猜想

２＋３＋（．１．＋
＝
３３＋（１
＿ｒ＋．＋．
－
１３）－
．
（）２
显然上式不为整数．当
・２时，，可直接验证，仅当
３时，６
３为整数・
若ｐ５贝ＬＺ）ｐｓ（）Ｐ，０（ｓｐ＝，Ｌ４＝，由于芝１则ｐ，
令＝４’ ｐ ‘２ｎ， …ｐ｜由１ …＜且ｐ，１有ｓ（“ Ｐ，Ｐ；，于ｐ＜ｐ，ｌ则当ｒ５时，ｔ） “ ｐ
Ｓ（Ｌ）Ｐ＝，于是
“ Ｐ，） “
Ｓ－３一Ｓ）ｉ＇＋（）Ｓ（ｄ ∑ ＬＦＬｄ匆１＋Ｌ４）厶（ｄ（）２ｄ－
的最小公倍数．例如，Ｌｎ的前几项值依次为Ｓ（），Ｌ２＝２ｓ（），Ｌ４＝４ｓ（＝５ｓ（＝３Ｓ（）Ｓ（）Ｌ１＝１ｓ（），Ｌ３＝３Ｓ（），Ｌ５），Ｌ６），Ｌ７
＝７Ｓ（），Ｌ９＝９Ｓ（Ｏ＝５Ｓ（１＝１，ｚ），Ｌ）１，Ｌ１），Ｌ１＝５Ｓ（）１，从，Ｌ８＝８Ｓ（），Ｌ１），Ｌ１）１ｓ０２＝４Ｓ０３＝３Ｓ（４＝７Ｓ（），Ｌ１＝６ …
表示为１２… ，的最小公倍数．，，ｋ本文利用初等的方法，究张文鹏教授提出的一个包含ＳａｎａｈＬＭ的函数的猜研ｍｒｄｃｅＣａ想，并给出了一些新的结论，改进了参考文献中的结果．关键词：ｍｒｄｃｅＣ函数；想：等方法ＳａｎａＭａｈＬ猜初
１
＝瓦１＋

一个包含有FOSmarandacheLCM函数SL(n)的混合均值

Ｃ＝｛，ｚ：，２＝ｐ－ …ｐ，５， ∈ ［１，】）利用人（，ｚ）的定义，［１，］的分法及．）的性质知：
∑Ａ（ｎ）ＳＬ（ｎ）＝ ∑Ａ（ｎ）ＳＬ（，ｚ）＋ ∑人（）（）＋ ∑Ａ（ｎ）ＳＬ（ｎ）．
ｎ＝ｐ … 是的标准分解式，那么
ＳＬ（ｎ）＝ｍａｘ｛ｐ？．
数是，
．
（１）
许多学者对（，ｚ）的初等性质进行了研究，并取得了许多具有一定意义的研究成果．例如文［２］当ｎ是一个素
（）＝ＳＬ（ｐ）＝Ｓ（ｐ）．
ｌ，２，ａ＇３， …，．是满足＞Ｐ “ （＝１，２， … ）的正整数．［４］利用
（ｎ）与除数函数的混合均值．
收稿日期：２０１３－０４ — ０９
）的定义和性质研究了Ｆ．Ｓｍｒａｎｄａｃｈｅ函数
（）＝（，ｚ），（，２） ≠ｒ／７．
并证明了下面的结论：
（２）
（３）
其中．ｓＩ（）＝ｍｉｎ｛ｍ：ｎｌｍ！，ｍ ∈ Ⅳ ｝文［３］中解决了下面的问题
任何满足上式的整数都可表示成／／１：１２或＝。ｐ …ｐＰ其中Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３， …，Ｐ，Ｐ是不同的素数且
［１］，例如ＳＬ（１）＝１，ＳＬ（２）＝２，ＳＬ（３）＝３，ＳＬ（４）＝４，ｓＬ（５）＝５，乩（６）＝３，ＳＬ（７）＝７，ＳＬ（８）＝８，ＳＬ（９）＝９，．（１Ｏ）＝５，ＳＬ（１１）＝１ｌ，ＳＬ（１２）：４，ＳＬ（１３）＝１３… 由ＳＬ（ｎ）的定义我们容易推出如果

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塑＋１
＋
ｉ＝２
圭
簪＋Ｄ（），
其中（ｎ）为Ｒｉｅｍａｎｎｚｅｔａ一函数，（ｉ＝２，３， …，ｋ）为可计算的常数。
文献［１２］研究了ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数ＳＬ（１２）
与数论函数（ｎ）的均方差问题，并给出一个较强
的渐近公式
．
２相关引理
引理１［ｎ，Ｈ设 ≥２为实数，则有
喜
ｎｘ ≤ （ｓｏ（凡）～（＝４Ｊ寻二１）。意＋Ｉｌ
譬＋Ｄ（），
其中ｃ（２，３， …，ｋ）为可计算的常数。
数乩（）定义为最小的正整数后，使得Ｊ［１，２， …，ｋ］，其中［１，２， …，ｋ］表示１，２， …，ｋ的最小公倍数。由其定义可得：若ｎ＝，ｐ：ｏｔ …ｐ为的标准分解
定理
设ｋ１２为给定的整数，＞则对任意的实数
有关这一函数或与其相关的研究很多，请参看
＞２，当＞１时，有渐近公式
ｎｘ ≤ （ｓＬ（
～
＝南二Ｄ十１、・（二），・
掣堑＋
～
）：互 ≤ ＝萋Ｊ＋ＩｎＤ（ＩＩｎ１／，
收稿日期：２０１６ —１０～１６
基金项目：陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目（２０１３ＪＱ１０１９）；延安大学校级科研计划项目——引导项目（ＹＤ２０１４
＋Ｄ
）
１ｎ ¨ ／
ｎ
掣
２
。
葫２＋
＝
南＋１。南几２１ｆ羔１＋ ’ 主葫】ｆ旦１
萋焉［南ｊ＇
岬ｘ
＋。
［南］，
（２）
其中ｅ（ｉ＝２，３， …，ｋ）为可计算的常数。
摘
要：利用初等和解析方法研究ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数ＳＬ（ｎ）与数论函数（／Ｚ）的混合函数
（ＳＬ（ｎ）一（ｎ））的均值问题，并给出较强的渐近公式。
关键词：ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数；数论函数；均值问题；渐近公式
￣ＫＩＮＥｙ，］上有连续导数，其中ｏ＜ｙ＜，则有
∑ａ（）ｎ）＝
２Ｂ＋１
＜ｎ＜
（））一４（），＾（）一ｆ￣Ａ（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ。
引理３设 ∈ Ｒ， ≥２，对任意素数ｐ及正实数
Ｍａｒ．２０１７
２０１７年３月
ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬＣＭ函数与数论函数（）的高次混合均值
鲁伟阳，高丽
（１．陕西延安中学；２．延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）
３定理的证明
Ｉ
本文主要利用初等和解析方法研究了Ｓｍａｒａｎ — ｄａｃｈｅＬＣＭ函数乩（ｎ）与数论函数（／７，）的混合函
数（乩（ｎ）一（ｎ））的均值问题，并得到一个较强
的渐近公式。即证明了
—
０５）；延安大学研究生教育创新计划项目
作者简介：鲁伟阳（１９８９一），男，陕西兴平人，延安中学二级教师。
１４
引理２
ｎ乓
（Ａｂｅｌ等式）对任一数论函数口ｎ），
．
ｌ２８＋１
令ａ（ｘ）＝∑口（ｎ），其中当＜１时Ａ（）＝０。假设厂
中图分类号：０１５６．４
文献标识码：Ａ
文章编号：１００４— ６０２Ｘ（２０１７）０１ — ００１３— ０３
１引言及结论
对任意正整数凡，著名的ＳｍａｒａｎｄａｃｈｅＬ期
延安大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．３６Ｎｏ．１
式，则ＳＬ（１１，）＝ｍａｘ｛Ｐ１，Ｐ２， …，Ｐ｝。文献［１— ９］。对于任意正整数，数论函数（ｎ）定义为力（１）＝０，当ｎ＞１且ｎ＝Ｐｌ・Ｐ２ …Ｐ为１１，的标准分解式时，（ｒｔ）：ｏｌ１Ｐ１＋Ｏｔ２Ｐ２＋… ＋ａｋｐ。这个函数为可加函数，即对任意的正整数ｍ和凡，有（ｍ）＝（ｍ）＋（）。关于这一函数的详细研究请参看文献［１Ｏ一１２］。（１）