重庆大学最优化方法习题答案

最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?答：决策变量、⽬标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。

min f (x)答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x0, j 1,L , p于 X D 均有 f(X *) f(X)则称 X *为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有等。

练习题⼆1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品) 的对偶问题)。

如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1解：确定决策变量对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。

确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。

确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。

因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 35y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18y 1, y 2,y 3 02、研究线性规划的对偶理论和⽅法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：略。

3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：x (k 1) x (k)x (k 1)x (k)x (k) min zx1x2x3minz4x2x3x1 x22x 32x12x2 x32（1） s.t. 2x1x2 x3 3x22x 3x 42 x1x34x2x3x 5 5x 1,x 2,x 3 0x i 0（i 1,2, ,5）解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6min z x 1 x 2x30*x 40* x 5 0* x 6x 1 x 22x 3 x4=22x 1 x 2 x 3x5=3x6=4x1, x2, x3, x4, x5, x6 0因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5作为换出的基变量。

最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。

在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。

本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。

一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。

解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。

计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。

然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。

接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。

f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。

由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。

2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。

解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。

然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。

接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。

由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。

二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。

解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。

计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。

《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。

一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。

3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 .5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s xx f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。

2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f T i Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。

三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(min x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x即可)： .0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42242. 0)(<∇d x f T3. T )0,1,2(-，T )1,0,3(-（答案不唯一）。

最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。

答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。

目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。

2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。

答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。

例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。

三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。

如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。

答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。

这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。

2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。

生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。

工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。

如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。

《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。

2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

习题二包括题目： P36页 5〔1〕〔4〕 5〔4〕习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。

解： (1)(4,6)T x=-，由题意得∴(1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴(1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭∴(1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15〔1〕解如下15. 用DFP 方法求以下问题的极小点〔1〕22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法一样2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=所以 令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停顿 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

最优化方法课后习题答案最优化方法课后习题答案最优化方法是一门重要的数学学科，它旨在寻找给定问题的最佳解决方案。

在这门课程中，学生将学习各种最优化算法和技术，以解决不同类型的优化问题。

课后习题是巩固所学知识的重要方式，下面将为大家提供一些最优化方法课后习题的答案。

1. 线性规划问题的单纯形法是如何工作的？单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。

其基本思想是通过不断迭代改进当前解决方案，直到找到最优解。

具体步骤如下：1) 初始解：选择一个可行解作为初始解，通常是通过求解一个相应的松弛问题得到。

2) 进入变量：选择一个进入变量，即使目标函数值增加最快的变量。

3) 离开变量：选择一个离开变量，即使约束条件仍然保持满足的变量。

4) 改进解：通过改变进入变量和离开变量的值，得到一个更好的解。

5) 终止条件：当无法找到更好的解时，算法终止。

2. 什么是凸优化问题？如何判断一个问题是否是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题。

凸函数具有以下性质：1) 对于任意两个点x和y以及0≤λ≤1，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)。

2) 对于任意两个点x和y以及0≤λ≤1，有g(λx+(1-λ)y)≤λg(x)+(1-λ)g(y)，其中g(x)表示约束函数。

要判断一个问题是否是凸优化问题，可以通过以下步骤：1) 检查目标函数和约束条件是否都是凸函数。

2) 检查约束条件是否满足凸集的定义，即对于任意两个点x和y以及0≤λ≤1，有λx+(1-λ)y满足所有约束条件。

如果以上两个条件都满足，则问题是凸优化问题。

3. 最小二乘法是如何解决无约束优化问题的？最小二乘法是一种常用的解决无约束优化问题的方法。

其基本思想是通过最小化目标函数和实际观测值之间的差距来找到最优解。

最小二乘法的步骤如下：1) 建立目标函数：根据实际观测值和模型假设，建立一个与待优化参数相关的目标函数。

2) 求解最优解：通过对目标函数求导，并令导数等于零，求解出最优解。