抛物线专题复习
欧阳光明（2021.03.07）
一、抛物线的知识点：
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
焦半径
焦点弦公式
()
022
>=p px
y
x
y
O
F
l
()
0,0
x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2
p x -= 1=e 0
2x p
PF +=
)(21x x p AB ++=
()
022>-=p px
y
x
y
O F l
()
0,0
x 轴 ⎪⎭⎫
⎝⎛-0,2p
2
p x = 1=e 0
2
x p PF -=
)(21x x p AB +-=
()
022>=p py
x
()
0,0
y
轴
⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2
p y -= 1=e 02y p
PF +=
)(21y y p AB ++=
()
022>-=p py
x
()
0,0
y
轴
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-2,0p
2
p y = 1=e 0
2
y p
PF -=
)(21y y p AB +-=
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p
d 2=
AB 为抛物线px y
22
=的焦点弦，则=
B A x x 4
2
p ，=B A y y 2p -，
||AB =p x x B A ++
考点1 抛物线的定义
[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点)2,3(-；(2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2
π
=∠为原点),则直线
AB 必过的定点坐标为_______
[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；
（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→
→
FB FA 延长
AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
二．基本题型
1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，
333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P
成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+
B ． 321y y y =+
C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+
3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则
=+|
|1
||1QF PF （ ）
（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a
4
5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点
A
作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )
A ．(2,22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22)
6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物
线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120
7．两个正数a 、b 的等差中项是9
2
，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ）
A ．1(0,)4
-B ．1(0,)4C ．1(,0)2-D ．1(,0)4
-
8．抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3
π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ）
A ．33
B ．34
C ．36
D ．38
9．已知抛物线C ：21
2
x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )
A
．
(,1)(1,)
-∞-+∞ B.
2
(,(,)22
-∞+∞C ．(,(22,)-∞-+∞D ．(,(2,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．
A ．5
B ．6
C ． 7
D ．9
