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x = r cosθ u = wcosϕ f (x, y) → f (r,θ ),
例:
y = r sinθ v = wsinϕ F(u, v) → F(w,ϕ)
f (r , θ + θ 0 ) ↔ F (ω , ϕ + θ 0 )
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
6.分配性和比例性
傅立叶变换和反变换对于加法可以分配,而对乘法不行 F { f1 ( x , y ) + f 2 ( x , y )} = F { f1 ( x , y )} + F { f 2 ( x , y )} F { f1 ( x , y ) f 2 ( x, y )} ≠ F { f1 ( x , y )} • F { f 2 ( x , y )} 比例性: af ( x , y ) ⇔ aF (u , v ) 1 u v f ( ax , by ) ⇔ F( , ) ab a b 在空间比例尺寸的展宽,相应于频域比例尺度的压缩, 1 其幅值也减少为原来的 ab
x =0 y =0
N −1 v =0
N −1
N −1
f ( x, y ) = ∑ e-j2πux / N • ∑ F (u, v )e − j2πvy / N
u =0
N −1
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
F (u , v) = Fx {Fy [ f ( x, y )]} = Fy {Fx [ f ( x, y )]} f ( x, y ) = Fu −1{Fv −1[ F (u , v)]} = Fv −1{Fu −1[ F (u, v)]}
∫
= =
∞ −∞
f ( x ) e -j 2 π u x d x
X
∫
0
A e − j2 πu x d x −A e − j2 π u X − 1 j2 π u e − jπ u X 尤 拉 公 式 : in x = − s 1 ( e jx − e − jx ) 2 j
X A e − j2 π u x = 0 − j2 π u A e jπ u X − e − jπ u X = j2 π u A = s in ( π u X ) e − jπ u X πu
2
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换
A, 例 2: f ( x , y ) = 0, F (u , v ) = 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ y0 其它
∫ ∫ = ∫ ∫
−∞ x0 0
∞
∞
−∞ y0 0
f ( x , y ) e x p [ -j2 π ( u x + v y )]d x d y A e x p [ − j2 π ( u x + v y )]d x d y
第3章 图像变换
图像是二维信号,其坐标轴是二维空间坐标轴, 图像本身所在的域称为空间域(Space Domain)。 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量,称为空 间频率(Spatial Frequency)。
第3章 图像变换
每一种变换都有自己的正交函数集,引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 K-L变换 小波变换
3.1.1 一维傅里叶变换
一维(连续)傅里叶变换
傅里叶变换是一种数学变换(正交变换),可以把 一维信号(或函数)分解成不同幅度的具有不同频 率的正弦和余弦信号(或函数)。 输入信号 => 傅里叶(正)变换 => 频率域信号 函数 f (t ) 函数 F ( f )
频率域信号 => 傅里叶反变换 => 输出信号 函数 F ( f ) 函数 f (t )
−j
2πmn N
其中m = 0,1,L N − 1 其中n = 0,1,L N − 1
x(n) = ∑ X (m)e
2πmn N
3.1.2 二维离散傅里叶变换
二维连续函数
F (u , v) = ∫
∞ −∞ −∞ ∞
f ( x, y ) 的傅里叶变换
∫
∞
f ( x, y ) exp[− j2π(ux + vy )]dxdy
该 傅 里 叶 谱 是 一 s in c ( u )函 数
3.1.1 一维傅里叶变换
一维(连续)傅里叶变换
f ( x)
A
0
X
3.1.1 一维傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
如果x(n)为一数字序列,则其离散傅里叶正反变换: 1 X ( m) = N
N −1 m =0
∑ x(n)e
n =0 j
N −1
∞
f ( x, y ) == ∫
−∞ −∞
∫
F (u , v) exp[ j2π(ux + vy )]dudv
傅里叶变换的相角、傅里叶谱或功率谱可由下式给出: Φ (u , v) = arctan[ I (u , v) / R (u , v)] F (u , v) = [ I 2 (u , v) + R 2 (u , v)]1/ 2 E (u , v) = F (u , v) = I 2 (u , v) + R 2 (u , v)
u =0 v =0
M −1 N −1
变换在一个周期内进行。M,N表示图像f(x,y)在x,y方 向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅 谱分别表示为: F (u , v ) = F (u , v ) e jφ ( u ,v ) = R (u , v ) + jI (u , v )
φ (u , v ) = arctan
−
f ( x, y ) F (0, = 0)
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8.离散卷积定理
f ( x, y ) * g ( x, y ) ⇔ F (u, v) • G (u , v) f ( x, y ) • g ( x, y ) ⇔ F (u , v) * G (u , v)
为防止卷积后发生交叠误差,需对离散的二维函数的定 义域加以扩展
I (u , v ) R (u , v )
F (u , v ) = [ R 2 (u , v ) + I 2 (u , v )]1/ 2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
基本性质:
1.可分离性
1 F ( u, v ) = 2 N
e-j2πux / N • ∑ f ( x, y )e-j2πvy / N ∑
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8.离散卷积定理 当卷积周期
M≥A + C − 1 才避免交叠误差 N≥B + D − 1 0 x A −1 ≤≤ A x M −1 ≤≤ 0 x C −1 ≤≤ C≤x M − 1 ≤ 0 y≤B − 1 ≤ B y≤N − 1 ≤ 0 y≤D − 1 ≤ D y≤N − 1 ≤
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4.共轭对称性
若
则 存在
f * ( x, y ) = f ( x, y ) F * (u , v ) = F ( − u , − v ) f ∗ ( x, y ) ↔ F ∗ (−u , − v)
或
-N/2
一个周期
N/2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
5.旋转不变性
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
7.平均值
1 二维离散函数的平均值: ( x, y ) = 2 f N 将u = v = 0代入离散傅立叶公式: 1 F (0,= 2 0) N
− N −1 N −1 x =0 y =0
∑∑ f ( x, y)
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
N −1 N −1
图像中心化
u0 = v0 = N / 2 时
f (x, y)(−1)
x+ y
N N ↔ F(u − , v − ) 2 2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.周期性
F (u , v) = F (u + aN , v + bN ) f ( x, y ) = f ( x + aN , y + bN )
3.1.1 一维傅里叶变换
一维(连续)傅里叶变换
条件:如果实变量函数f ( x) 是连续可积的,即
∫
∞
−∞
f ( x) dx < ∞, 且F ( u ) 是可积的,则傅里叶变换对一定存在。
∞
一维傅里叶变换对表示为: F { f ( x)} = F (u ) = ∫ F
−1 −∞
f ( x) exp[− j2πux]dx
1 2
幅值函数(傅里叶谱)
I (u ) 相角 φ (u ) = arctan R(u ) 能量谱或能量谱:R 2 (u ) I 2 (u ) +
3.1.1 一维傅里叶变换
一维(连续)傅里叶变换
例 1: f ( x ) 是 一 门 函 数 A f (x) = 0 解: F (u ) = (0 ≤ x ≤ X ) (x ≥ X ) 求它的傅里叶变换
第3章 图像变换
3.1 傅里叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 小波变换及其应用
第3章 图像变换
信号处理方法: 时域分析法 频域分析法 特点:算术运算次数大大减少,可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理
第3章 图像变换
频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度
的度量。
例如
交流电频率为50~60Hz(交流电压) 中波某电台1026kHz(无线电波)
傅 里 叶 谱 : (u , v ) = A x0 y 0 F
3.1.2 二维离散傅里叶变换
1 F (u , v) = MN