第2讲 数形结合思想.ppt

（小升初） 备课教员：×××第二讲 数轴、相反数和倒数一、教学目标： 1. 能正确掌握数的分类，理解数轴、相反数与倒数的重要概念。

2. 给一个数能求出它的相反数，并且在数轴上表示，掌握求倒数的方法。

3. 通过相反数的几何意义，进一步渗透数形结合的思想；经历倒数的意义和形成过程，培养学生观察、分析、归纳、举例及语言表达能力。

二、教学重点： 数形结合，理解相反数及倒数的意义 三、教学难点： 相反数及倒数，及比较有理数的大小。

四、教学准备： PPT ，温度计 五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：同学们，还记得上节课我们学了什么吗？谁能来说说？ 生：有理数。

师：上节课我们是不是学了有理数？还记得有理数的分类吗？ 生：师：有理数是不是可以分为正有理数、负有理数和零？那同学们看老师手上拿的是什么？（温度计） 生：温度计。

师：是的，那它形状是什么样的？上面的刻度和数字有什么样的特点？ 生：……师：是不是也有正的和负的还有零？ 生：……师：好，那么今天就来学习和温度计有相似之处的数轴。

我们课本也给了数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

这三个统称为数轴的三要素。

三者缺一不可。

板书课题：数轴、相反数和倒数数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

相反数：数值相反的两个数,我们就说其中一个数是另一个数的相反数。

倒数：设一个数a 与其相乘的积为1的数，得到的a1就是a 的倒数。

二、星海遨游（43分钟） 例题一：（9分钟）如下图所示，数轴中正确的是（ ）。

师：同学们先看看这些数轴，发现了什么？ 生：……师：我们可以先看看哪个是错的？是不是B 肯定是错的？因为它连原点都没有，再看看选项A 它少什么？ 生：……师：是不是少了正方向？所以它也是不对的。

再看选项C ，它是哪里错了呢？ 生：……师：因为我们已经判断了选项A 和选项B 是错的，那C 和D 肯定有一个是正确的，同学们看看C 和D 有什么不同的呢？ 生：……师：它们是不是都有原点和正方向？但是大家仔细看一下选项C 的单位长度是不是不一样？0到-1的长度和0到1的长度都是一个单位长度，然而它们长度不一样，所以C 也是错的。

提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2022·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2022·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝()A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.3．(2022·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2022·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案]B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2022·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2022·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( ) A.613 B.365 C.65 D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“美丽 图象”．下列函数的图象为“美丽 图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，由于y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，由于x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排解C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，依据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2022·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.10．(2022·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B [解析]画出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，明显在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，由于函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．由于C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2022·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x 2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2022·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．[答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA→＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，简洁得到∠ACB ＝120°.∵CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2022·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P.(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0， x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x－x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k ＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2022·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a ∈R . (1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0， ∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0， ∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32， x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增； x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减； ∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln xx 2有唯一正实数根， 令φ(x )＝－x －ln xx 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2xx 4＝x －1＋2ln xx 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增． 即φ(x )≥φ(1)＝－1， 又当x →0时，φ(x )→＋∞， 而当x →＋∞时，φ(x )→0且φ(x )<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a |a ≥0或a ＝－1}．。

高考数学数形结合思想分析与讲解所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

以“形”变“数” 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。

解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。

一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。

实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。

要想提 高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

基础自测：1.已知10<<a ，则方程x aa xlog =的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个 2.设数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=43m x m x M ，数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=n x n x N 31，且N M ,都是集合{}10≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的“长度”，那么集合N M 的长度的最小值为 A.31 B.32C.121D.1253.若奇函数)(x f 在()+∞,0上的增函数，有0)3(=-f ，则{}=<⋅0)(x f x x （ ） A.{}033<<->x x x 或 B.{}330-<<<x x x 或 C.{}33-<>x x x 或 D.{}0330<<-<<x x x 或 4.当y x ,满足条件1≤+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是（） A.[]3,3- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,31参考解析：1.解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|， y=|logax|的图象，则图象有两个交点.2.解析 由题意知.集合M 的“长度”为43，集合N 的“长度”为31，而集合{x|0≤x ≤1}的“长度” 为1；设线段AB=1，41,43==b a ，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N.如图，显然当a ，b 各自靠近AB 两端时，重叠部分最短,其值为12113143=-+ . 答案 C3.解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x 异号 的部分，可以看出x ·f(x)＜0的解 集为{x|0＜x ＜3或-3＜x ＜0}. 答案 D4.解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1的图象如右图阴影部分， ①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;②若x ≠0时，变量 可看成点A (0，3)与可行域内的点B 连线斜率k 的 倒数,而k ∈(-∞,-3]∪[3,+∞),典型例题讲解题型一 代数问题“几何化”——以形助数【例1】求函数m m A -++=642的值域。

（小升初）备课教员：×××第二讲数轴、相反数和倒数一、教学目标： 1. 能正确掌握数的分类，理解数轴、相反数与倒数的重要概念。

2. 给一个数能求出它的相反数，并且在数轴上表示，掌握求倒数的方法。

3. 通过相反数的几何意义，进一步渗透数形结合的思想；经历倒数的意义和形成过程，培养学生观察、分析、归纳、举例及语言表达能力。

二、教学重点：数形结合，理解相反数及倒数的意义三、教学难点：相反数及倒数，及比较有理数的大小。

四、教学准备：PPT，温度计五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：同学们，还记得上节课我们学了什么吗？谁能来说说？生：有理数。

师：上节课我们是不是学了有理数？还记得有理数的分类吗？生：师：有理数是不是可以分为正有理数、负有理数和零？那同学们看老师手上拿的是什么？（温度计）生：温度计。

师：是的，那它形状是什么样的？上面的刻度和数字有什么样的特点？生：……师：是不是也有正的和负的还有零？生：……师：好，那么今天就来学习和温度计有相似之处的数轴。

我们课本也给了数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

这三个统称为数轴的三要素。

三者缺一不可。

板书课题：数轴、相反数和倒数数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

相反数：数值相反的两个数,我们就说其中一个数是另一个数的相反数。

倒数：设一个数a 与其相乘的积为1的数，得到的a1就是a 的倒数。

二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）如下图所示，数轴中正确的是（ ）。

师：同学们先看看这些数轴，发现了什么？生：……师：我们可以先看看哪个是错的？是不是B 肯定是错的？因为它连原点都没有，再看看选项A 它少什么？生：……师：是不是少了正方向？所以它也是不对的。

再看选项C ，它是哪里错了呢？ 生：……师：因为我们已经判断了选项A 和选项B 是错的，那C 和D 肯定有一个是正确的，同学们看看C 和D 有什么不同的呢？生：……师：它们是不是都有原点和正方向？但是大家仔细看一下选项C 的单位长度是不是不一样？0到-1的长度和0到1的长度都是一个单位长度，然而它们长度不一样，所以C 也是错的。

第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的. 应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a <a e B.a e <a <e a －1 C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2019·浙江新高考联盟考试)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0， 则f ′(x )＝e x －1>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ， 即1x ＋ln x ＝k .若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( )A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y 1＝x 2－π4，y 2＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上单调递增.若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立， 则f (x 2＋x )<－f (x －k )f (x 2＋x )<f (k －x )x 2＋x <k －x ，故问题转化为存在x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ， 即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)C (2)A应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)求nS n 的最小值.解 (1)∵S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3， ∴a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3， 又{a n }是等差数列，则公差d ＝a 6－a 5＝1， 由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)由(1)知nS n ＝n 3－5n 22，设f (x )＝x 3－5x 22， 则f ′(x )＝32x 2－5x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >103；令f ′(x )<0，得0<x <103.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，又f (3)＝－9，f (4)＝－8.∴当n ＝3时，nS n 取到最小值－9.探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n 项和公式求出nS n ，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n 的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，ka n ，S n ，－1成等差数列，求实数k 的值.解 (1)∵a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1(n ∈N *)， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，∵ka n ，S n ，－1成等差数列，∴2S n ＝ka n －1. 则2×3n －12＝k ·3n －1－1，解得k ＝3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k2＝21＋41k ＋4k≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于点B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值.解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0，0)， 由已知得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. 因为AB→＝2NB →， 所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又A 点在圆上，所以x 20＋y 20＝4，即动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立直线l 与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13×(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0， 解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m13，x 1·x 2＝4（m 2－1）13，又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2， |PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213， 所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2（13－m 2）13≤113(m 2＋13－m 2)＝1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立. 所以△OPQ 面积的最大值为1. 类型二 数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案 (1)C (2)C探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点. 答案 B应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43D.－1(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是()A.25B.5C.4D.1解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB→＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ).所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值－32.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0表示的平面区域(如图阴影部分).x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O (0，0)的距离的最小值的平方.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2). ∴(x 2＋y 2)min ＝|OA |2＝12＋22＝5. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.(2)(2019·长沙调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2D.22解析 (1)在同一坐标系中，作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图.依题意可知2a ≤2－2a ，解得a ≤12.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ， 所以AC →⊥BC →.又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |， 当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2019·昆明诊断)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB→＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线且OP ⊥l 时，|P A →＋PB →|取得最小值. ∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A →＋PB→|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.答案 D类型三 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例7】 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14探究提高 指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.【训练7】 (1)(2019·济南调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ， 有S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由参数变化引起的分类讨论【例8】 (2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值.若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞).探究提高 1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】 已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x .若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x(x >0)，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解. 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故m <18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18应用3 由图形位置或形状引起的分类讨论【例9】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12 B.12 C.0D.－12或0(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)当0<m <3时，焦点在x 轴上，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab ≥tan 60°＝3，即3m≥3，得0<m ≤1；当m >3时，焦点在y 轴上，依题设，则ab ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案 (1)D (2)A探究提高 1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.【训练9】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________.解析 (1)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. ∴曲线C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2， 故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8， 所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案 (1)12或32 (2)22或23 类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 应用1 特殊与一般的转化【例10】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.1 2aC.4aD.4 a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝1a y(a>0)，焦点F⎝⎛⎭⎪⎫0，14a.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练10】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)(2019·许昌模拟)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C 2的值为( )A.15B.14C.12D.23解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边).则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2tan C 2＝12×1＝12.答案 (1)B (2)C应用2 正与反、常量与变量的转化【例11】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[－2，2]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】 (1)(2019·日照调研)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析 (1)命题的否定：“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，∴m <e |x －1|恒成立，∴m 取值范围为(－∞，1).因此(－∞，1)与(－∞，a )相等，故a ＝1.(2)由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 应用3 函数、方程、不等式之间的转化【例12】 已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值.解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，∴f (x ＋t )≤3e x e x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3. 探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练12】 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，e ＋1e 解析 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1， ∴f ′(x )＝1x －1＝1－x x ≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数， 因此a －1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤f (x )≤f (1)＝a ， 设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，⎩⎨⎧a －1e >1e ，a ≤e ，解得2e<a≤e. 答案 B。

数学人教六年级上册《第八单元_第02课时_数学广角-数与形（二）例2》（教案）一. 教材分析本节课为人教六年级上册数学广角-数与形（二）中的例2。

例2主要通过观察、操作、探索等活动，让学生体会数形结合思想，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

教材内容紧密联系学生的生活实际，具有很强的趣味性和实践性，能激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数形结合思想有一定的认识。

但在解决实际问题时，部分学生还存在着思维定势，不能很好地将数形结合思想运用到解题过程中。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们积极思考，突破思维定势，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生通过观察、操作、探索等活动，理解数形结合思想的内涵，体会数形结合在解决问题中的重要作用。

2.培养学生运用数形结合思想解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和动手操作能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生通过观察、操作、探索等活动，理解数形结合思想的内涵，体会数形结合在解决问题中的重要作用。

2.难点：引导学生运用数形结合思想解决实际问题，培养学生创新思维能力和逻辑思维能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动参与课堂，积极思考。

2.运用观察、操作、探索等教学方法，让学生在实践中感受数形结合思想。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

4.利用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和生动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备足够的学习材料，如白纸、彩笔等。

3.提前学生进行预习，了解学生对数形结合思想的掌握情况。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题，引导学生回顾已学的数形结合思想，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示例2的问题，让学生观察并思考：如何利用数形结合思想解决这个问题？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一种方法利用数形结合思想解决这个问题。

数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由…形‟到…数‟的转化为主.”1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系：_______.解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则.【例2】如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P 是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）.解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ.【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.【例３】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）.Ａ. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上Ｂ. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上Ｃ. 与市中心距离为５km的区域外Ｄ. 与市中心距离为5km的区域内解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B.【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）<0的解集是____.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5］.【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m>0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（B）的充要条件是（）.Ａ. m>-1，n<5Ｂ. m<-1，n<5Ｃ. m<-1，n>5Ｄ. m>-1，n>5解：先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查【例６】已知点Ｐ是椭圆上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则的取值范围是（）.解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动Ｐ点到长轴端点，ＯP值逐渐增大，逐渐接近，当移动Ｐ点到短轴端点时PF1＝PF２，取最小值0.从而判断出答案为Ｄ.【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MN∥CD）.（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？解：由M（60，98），C（500，168），N（500，230）.∵MN∥CD.设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为f A（x），f B（x），（1）通话两小时的费用分别是116元和168元.（2）由f B（n+1）-f B（n）=0.3（n>500）或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.（3）由图知：当0≤x≤60时f A（x）<f B（x）；当x>500时f A（x）>f B（x）；当60<x≤500时，令f A（x）>f B（x ）得x>，即通话时间为（，+∞）时方案B 较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例8】. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。