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复变函数课程教学模式探讨一、教学目标复变函数是数学分析中的一门重要课程，教学目标是培养学生对复变函数的基本概念和基本方法的理解和掌握，以及具有一定的数学建模和问题求解能力。
培养学生对复变函数理论的兴趣，为学生今后深入学习数学分析和工程数学打下坚实的基础。
教学目标的设定应该突出教学内容的重点和难点，结合实际的教学环境和学生的实际情况，将抽象的数学理论与实际问题相结合，引导学生主动思考、发现问题并解决问题的能力。
二、教学内容复变函数的教学内容主要包括复数、复变函数、解析函数、级数、留数理论、保形映射等。
这些内容是复变函数的基础知识，学生需要理解和掌握这些内容。
教学内容应该结合实际问题，引导学生将理论知识应用到实际问题中，培养学生的数学建模和问题求解能力。
教学内容的设计应该合理安排，注重理论知识的系统性和完整性，同时注重将理论知识与实际问题相结合，引导学生主动发现和解决问题。
三、教学方法针对复变函数课程的教学方法应该灵活多样，注重理论与实践相结合。
教师在教学中应该采用讲授、实例演练、课堂讨论、案例分析等多种教学方法，引导学生主动参与课堂，培养学生的动手能力和实际问题解决能力。
教学方法还应该注重培养学生的数学思维和数学逻辑推理能力，引导学生自主学习和自主发现，提高学生的创新能力和解决问题的能力。
四、教学评价复变函数课程的教学评价是对学生学习情况和教学效果的量化评价，是促进学生学习的重要手段。
教学评价应该综合考虑学生的理论知识掌握情况、应用能力和解决问题的能力，注重考察学生的综合素质和创新能力。
教学评价也可以通过课堂讨论、作业考查、实验报告等多种形式进行，可以考察学生的不同方面的能力，全面地了解学生的学习情况和学术水平。
五、教学模式的探讨复变函数课程的教学模式应该注重师生互动，注重理论与实践相结合，引导学生主动学习和思考。
教师在课堂教学中应该注重对学生的引导和激励，促进学生的主动参与和思考，培养学生的学习兴趣和学习动力。
应用技术类本科《复变函数》教学的几点探讨复变函数是数学专业中非常重要的一门课程，它在应用技术类本科教育中也占据着重要的地位。
本文将对应用技术类本科《复变函数》教学进行探讨，从课程设置、教学模式、实践教学等方面进行分析，旨在提高教学质量，培养学生综合应用数学知识解决实际问题的能力。
一、课程设置1. 课程目标应用技术类本科《复变函数》课程的目标是通过学习和掌握复变函数的基本理论和方法，培养学生分析解决实际问题的数学建模能力，提高学生的数学运算能力和计算机实际操作能力，为学生将来的科研和工程实践打下坚实的数学基础。
2. 课程内容应用技术类本科《复变函数》课程内容应包括复数的定义和运算、复变函数的定义和性质、复变函数的导数和积分、解析函数与共轭函数、级数展开与留数定理等内容。
还可以结合实际案例，引导学生将数学知识应用到工程实践中，让学生在学习中加深对数学理论的理解和掌握。
二、教学模式1. 理论教学结合实际案例在教学中，老师可以结合实际案例，让学生了解复变函数在工程实践中的应用。
利用复变函数的知识解决电路中的交流电问题，让学生明白数学知识在实际工程中的应用，激发学生学习的兴趣。
2. 计算机辅助教学在《复变函数》教学中，可以引入计算机辅助教学的模式，通过Matlab或者Mathematica等数学软件，让学生能够更加直观和深入地理解复变函数的相关概念和原理，培养学生的计算机实际操作能力。
三、实践教学1. 实验可以设置一些与《复变函数》相关的实验课程，让学生亲自进行实验操作，通过实验数据的收集和处理，培养学生的实际动手能力，加深对复变函数理论的理解。
2. 实际案例分析可以设计一些实际案例，让学生通过分析和计算，应用复变函数的知识解决实际工程问题，提高学生的实际问题解决能力，培养学生的工程实践能力。
如何更好地教学复变函数复变函数是大学数学中的一门重要课程，涉及到复数、解析函数、级数等内容，对学生的数学基础和逻辑思维能力要求较高。
在教学复变函数时，教师需要结合学生的实际情况和学习特点，采取有效的教学方法，引导学生更好地掌握知识。
以下是一些提升复变函数教学效果的方法：首先，建立合适的教学目标和教学计划。
在开始教学复变函数之前，教师应该明确教学目标，明确学生需要达到的学习成果。
可以根据教学大纲和课程要求，设计合理的教学计划，确保教学内容的有序性和系统性。
同时，教师还可以根据学生的实际情况和学习能力，适当调整教学进度和深度，避免出现教学脱节或内容重复的情况。
其次，注重基础知识的巩固和拓展。
复变函数作为一门高等数学课程，学生在学习中需要掌握一定的基础知识和数学技巧。
因此，在教学过程中，教师可以通过复习前置知识、讲解基础概念、解析典型例题等方法，帮助学生夯实数学基础，增强数学思维能力。
同时，在讲解难点和深入内容时，教师还可以适时引导学生拓展思维，培养学生的解决问题的能力和创新意识。
再次，激发学生学习的兴趣和主动性。
复变函数作为一门理论性较强的学科，学习难度较大，学生在学习过程中可能会出现兴趣不高、动力不足的情况。
因此，教师可以通过精彩的教学内容、生动的教学方式和形象的案例分析，激发学生对数学的兴趣，提高学习的主动性和积极性。
同时，教师还可以鼓励学生参与课堂讨论、独立思考和解决问题，培养学生的学习自信心和团队合作能力。
最后，关注学生的学习效果和反馈。
在教学复变函数的过程中，教师应该及时收集学生的学习情况和反馈意见，了解学生的学习进度和学习困难，及时调整教学方法和内容，保证教学效果的质量和学生成绩的提高。
同时，教师还可以鼓励学生定期进行自我检查和总结，及时发现和纠正学习中存在的问题，提高学习效果和学习质量。
综上所述，教学复变函数是一项需要教师和学生共同努力的过程。
只有教师注重教学方法的创新和学生学习效果的提升，学生才能更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力和创新思维。
复变函数课程教学模式探讨1. 引言1.1 研究背景复变函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
随着科技的发展和社会的进步，对复变函数课程的教学模式也提出了更高的要求。
传统的教学模式存在着诸多不足，无法完全满足学生的需求。
研究复变函数课程教学模式的优化成为当前教育领域的研究热点。
本文旨在探讨复变函数课程教学模式的改革与优化，并结合案例分析，提出符合现代教学理念的教学模式。
通过对复变函数课程的教学模式进行深入探讨，更好地满足学生的学习需求，促进他们的自主学习和发展。
1.2 研究目的研究目的是为了探讨复变函数课程教学模式的现状和存在的问题，进一步分析传统教学模式在复变函数课程中的局限性，探索现代教学技术在复变函数课程中的应用，并结合案例分析，提出教学模式改革的建议。
通过此研究，旨在寻求复变函数课程教学模式的优化途径，为提升学生的学习效果和教学质量提供理论支持和实践指导。
通过对复变函数课程教学模式的探讨，为未来复变函数课程的教学改革和发展方向提供参考，促进复变函数教育的创新和进步。
在不断探索和实践中，期望能够为培养具备扎实数学基础和创新精神的复变函数专业人才做出贡献，推动复变函数课程教学向更高水平迈进。
2. 正文2.1 复变函数课程内容概述复变函数是数学中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和应用，因此在数学、物理、工程等领域都具有重要价值。
在复变函数课程中，通常会涉及到复数的基本概念和运算规律、复变函数的定义与性质、解析函数、留数定理、级数展开等内容。
学生在学习中需要掌握复变函数的基本理论和方法，同时还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
复变函数课程内容的学习对于培养学生的抽象思维能力和数学建模能力具有重要意义。
通过学习复变函数，学生可以更深入地理解数学中的抽象概念，同时也为将来在各种领域中应用数学知识打下基础。
复变函数课程内容丰富多样，涉及到许多重要的数学概念和方法，对于学生提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。
浅谈理科《复变函数》课程的教学方法改革编者按：复变函数（ComplexFunction）是高中理科教学中重要的数学课程之一，其内涵涉及抽象思维能力的培养以及社会能力的训练。
本文主要就复变函数课程的教学方法如何改革提出了一些改革的建议，希望能够让学生在学习复变函数这门课程的过程中，积极参与，拥有良好的数学素养，从而让学生养成思维敏捷、洞察力强的良好学习习惯，为日后学习和工作之道打下坚实的基础。
现如今，学校里针对复变函数这门课程教学中所采取的方法尚待改进。
首先，传统的教学要求学生要求仅仅记住死记硬背的知识，而没有深入理解，以致学生学习比较枯燥，容易感到被动。
其次，课堂上的教学内容也让学生感到无聊，带给他们的空间思维也很有限。
最后，学生往往不能把复变函数的学习融入到实际的生活中去，而是单纯的当作一门学科，学习时情感不高，学习效果也较差。
既然当前复变函数的教学方法存在着不少问题，那么如何改革复变函数课程的教学方法呢？首先，在教学中要引导学生进行深入的理解。
不能只注重死记硬背，而要把课程内容扎根学生的知识结构，以课堂上介绍的一些基本概念为基础，使学生能够理解其中的数学公式、定义以及基本思想，从而使学生逐渐深入学习。
第二，要把数学关键概念和学生的知识融合在一起。
在课堂上，要把学生舞台表演，国学、国际数学竞赛等形式的教学与复变函数的教学结合在一起，从理论到实践，让学生在学习复变函数的过程中，拥有良好的思维能力，有效地激发学生的学习兴趣，让学生在课堂中接受的知识能够得到良好的转化和融合。
最后，要在实际的应用中加强复变函数的教学。
教师要给学生安排一些实践性的训练，如把学习的复变函数的知识应用到生活中，像解决家庭生活中的问题、应用到电子游戏中等，从而增加学生学习的意义感和兴趣，让学生在学习复变函数的过程中，发现更多关于数学思维和现实生活的美妙联系，养成良好的学习思维素养。
综上所述，改革复变函数课程的教学方法对于提高学生的数学素养非常重要，希望教师能够利用自己的教学特长，在教学活动中培养学生的抽象思维能力，从而激发学生的学习兴趣，使其在复变函数课程的学习中有更加深刻的了解，更加准确的理解，更加迅速的记忆。
复变函数课程教学模式探讨复变函数是大学数学专业中的重要课程之一，它是研究复数域上的函数的性质和规律的学科。
复变函数在数学理论研究、物理学、工程技术等领域都有着广泛的应用，复变函数的教学对于培养学生的数学思维能力和创新能力具有重要的意义。
本文将探讨复变函数课程的教学模式，探讨如何更好地开展复变函数课程的教学工作。
一、传统教学模式的不足在传统的复变函数课程教学中，通常采用的是传授理论知识、讲解例题、布置作业、进行考试的教学模式。
这种模式忽视了学生实际操作的能力，容易使学生产生枯燥乏味的感觉，对于抽象的复变函数理论知识难以形成深刻的理解。
传统的教学模式也难以激发学生的学习兴趣和主动性，导致学生们对于数学学科的兴趣不高，仅仅是为了应付考试而学习。
二、探讨新的教学模式1. 引入实例分析法在复变函数课程的教学中，可以适当引入实例分析法。
通过具体的实例问题来引出相关理论知识，让学生在实际问题中感受到理论知识的应用和实际意义。
可以通过讲解复变函数在电路分析中的应用，来引入相关的复变函数理论知识，这样可以使学生更加容易地理解、记忆和应用这些知识。
2. 实践教学结合在复变函数课程中，可以适当引入实践教学环节，让学生通过实际操作来感受复变函数的魅力。
可以组织学生进行实验，通过数据采集和分析来进行复变函数的拟合和运算，这样可以帮助学生更加深入地理解复变函数的含义和使用方法。
也可以通过课外实践活动，让学生参与复变函数理论知识在实际工程中的应用，这样可以激发学生学习的兴趣和动力。
3. 创新性教学在复变函数课程的教学中，可以适当引导学生进行创新性思维训练。
可以鼓励学生进行复变函数的相关研究和探索，帮助学生培养独立思考和解决问题的能力。
教师可以引导学生选定一个复变函数的研究方向，通过文献查阅和实际操作来展开研究，最终形成一份独立的研究成果。
这样可以帮助学生更加深入地理解复变函数理论知识，并培养学生的科研能力和创新能力。
三、落实教学改革为了落实新的教学模式，需要从教材编写、教师培训、课程设置等方面进行改革。
关于复变函数课程教学的几点思考【摘要】本文主要围绕复变函数课程教学展开讨论，分别从教学目标、教学内容、教学方法、教学手段、教学效果等方面进行思考。
在教学目标的设定上，需要明确学生应该掌握的知识和能力；在教学内容的设计上，要注重梳理重点难点，设计合理的教学内容；在教学方法的选择上，应根据学生特点选择适合的教学方法；在教学手段的运用上，可以运用多媒体技术、案例分析等方式提高教学效果；需要对教学效果进行评估，及时调整教学策略。
结论部分对复变函数课程教学的思考进行总结，并展望未来的教学改进方向，以提高教学效果和促进学生学习能力的提升。
【关键词】复变函数课程教学、思考、教学目标、教学内容、教学方法、教学手段、教学效果、评估、总结、改进方向、未来展望1. 引言1.1 背景介绍复变函数是数学分析的一个重要分支，是研究具有复变量的函数的性质和规律的学科。
复变函数课程作为数学专业中的重要课程之一，对学生掌握数学分析的基础理论和方法具有重要意义。
在当今社会，复变函数理论在工程技术、物理学、经济学等领域都有着广泛的应用。
掌握复变函数理论，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学建模和解决实际问题的能力。
复变函数课程的教学显得尤为重要。
为了更好地进行复变函数课程的教学，需要对教学目标进行明确的设定，设计合理的教学内容，选择适合的教学方法，运用有效的教学手段，并对教学效果进行科学评估。
只有这样，才能够确保复变函数课程的教学质量和教学效果，使学生真正掌握和运用所学知识。
本文将从教学目标的设定、教学内容的设计、教学方法的选择、教学手段的运用和教学效果的评估等几个方面来深入探讨复变函数课程教学的一些思考和提出改进建议。
希望可以为复变函数课程的教学工作提供一定的参考和借鉴。
2. 正文2.1 教学目标的设定教学目标的设定是复变函数课程教学中至关重要的一环。
为了确保学生能够全面掌握课程知识并提高他们的能力，合理设定清晰明确的教学目标是必不可少的。
复变函数课程教学模式探讨复变函数是数学专业中重要的一门课程，它是研究复数域上的多元函数的一个分支。
复变函数的课程内容涵盖了复数的基本性质、复变函数的连续性、可导性、积分等，是一门理论性和实际性结合比较紧密的课程。
在教学中，如何更好地引导学生理解和掌握复变函数的知识，成为了教师们需要思考和探讨的问题。
本文将就复变函数课程的教学模式进行探讨，旨在寻求更好的教学方法，提高学生对复变函数知识的掌握和应用能力。
一、传统教学模式的问题及意义传统的复变函数教学模式主要以教师为主导，通过讲授理论知识、推导定理和公式为主要形式，学生在课堂上属于被动接受者。
这种教学模式存在以下问题：1. 学生 passivity. 在传统教学模式中，学生主要是被动接受知识，缺乏积极性和主动性，容易出现学习兴趣不高和课堂效率低下的情况。
2. 理论与实践脱节。
传统教学模式注重理论知识的传授，较少涉及实际问题和实际应用，导致学生对复变函数的理论和实际应用之间的联系认识不清。
3. 缺乏互动与讨论。
传统教学模式中，学生缺乏与老师和同学的互动和讨论，课堂氛围较为单一，缺乏活跃性和趣味性。
对于复变函数的教学模式的探讨，有必要对传统教学模式进行反思和批判，以期能够寻求更加有效的教学模式，提高学生的学习效果和学术素养。
二、探索互动式教学模式1. 利用案例教学法。
在复变函数的教学中，教师可以结合实际问题，通过举例分析和讨论，让学生在具体问题中理解和掌握复变函数的知识，提高学生的学习兴趣和参与度。
2. 引导学生自主学习。
教师在课堂上可以通过提问、讨论等方式引导学生自主学习，帮助学生形成对复变函数的学习兴趣和学习能动性，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3. 注重实际问题的应用。
复变函数的知识在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，教师可以通过引入相关的实际问题，让学生在解决实际问题的过程中理解和应用复变函数的知识，提高学生的学习动机和实际应用能力。
三、激发学生学习兴趣的教学方法1. 利用多媒体教学手段。
复变函数课程教学模式探讨1. 引言1.1 背景介绍复变函数是数学中重要的分支之一，在科学与工程领域有着广泛的应用。
随着科技的不断发展，人们对复变函数的理解和应用要求也越来越高。
复变函数课程的教学显得尤为重要。
本文旨在探讨复变函数课程的教学模式，对传统教学模式进行分析，提出创新设计的教学模式，并通过案例分析和教学效果评价来评估教学效果。
通过对复变函数课程的教学模式进行探讨和改进，旨在提高学生对复变函数的理解和应用能力，培养学生的创新思维和解决问题的能力，为他们未来的发展打下扎实的基础。
1.2 研究目的研究目的：复变函数课程作为数学专业中重要的一部分，其教学模式对学生的学习效果和能力培养起着至关重要的作用。
本研究旨在深入探讨复变函数课程的教学模式，分析目前的教学现状，探讨传统教学模式的优缺点，并结合创新教学理念设计出更加适合学生需求的教学模式。
通过案例分析和教学效果评价，评估不同教学模式对学生成绩和学习动力的影响，为复变函数课程的教学改进提供参考和建议。
通过研究现有教学模式的优势和不足，总结出改进和发展的方向，为未来复变函数课程教学提供更具针对性和有效性的教学模式。
我希望通过本研究能够为教师提供更多的教学策略和方法，为学生提供更好的学习体验和发展空间。
1.3 研究意义复变函数作为数学中重要的分支之一，其在实际应用中具有广泛的价值和意义。
研究复变函数课程教学模式的意义包括以下几个方面：优化复变函数课程的教学模式可以提高学生对该领域知识的理解和掌握程度，促进学生在数学领域的综合素养提升。
通过深入研究复变函数课程的教学模式，可以促进教师的教学水平和教学方法的不断创新和提高，为学生提供更加优质的教学资源和服务。
探讨复变函数课程的教学模式，可以促进教育教学方法的创新和发展，推动高等数学教育的变革和提升，提高国家整体科技水平。
研究复变函数课程教学模式的意义还在于为相关领域的教育研究提供新的思路和方法，丰富教育教学理论，推动教育教学改革和发展。
浅谈机电一体化技术专业中《复变函数与积分变换》的教学方法一、导言机电一体化技术是一门融机械、电子、控制、计算机等学科于一体的综合性学科，应用广泛。
在机电一体化技术专业中，《复变函数与积分变换》是一门重要的数学课程，也是机电一体化技术专业学生必修的一门课程。
本文将从教学内容、教学方法、教学手段等方面浅谈《复变函数与积分变换》的教学方法。
二、教学内容1. 复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
在《复变函数与积分变换》课程中，学生首先需要了解复数的定义、性质、共轭、模等概念。
然后学习复变函数的定义、性质、常见的初等函数和幂级数展开等内容。
2. 积分变换在《复变函数与积分变换》课程中，学生还需要学习积分变换的相关知识，包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等内容。
学生需要掌握变换的定义、性质、常用变换对应的函数等知识。
以上就是《复变函数与积分变换》课程的主要内容，在教学中，老师需要根据学生的实际情况，安排合理的教学内容和教学方法。
三、教学方法1. 理论教学与实际应用相结合在《复变函数与积分变换》课程中，理论知识和实际应用是密不可分的，因此教学中既要注重理论知识的传授，也要注重实际应用的训练。
老师可以通过案例分析、实际问题分析等方式，引导学生将所学理论知识应用到实际问题中去。
2. 多种教学手段的运用在教学中，老师可以采用多种教学手段，如讲授、示范、导学、讨论、实验、作业等，以激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
老师可以通过讲解和示范，帮助学生理解相关概念和定理；通过导学和讨论，引导学生主动参与课堂，培养他们的分析和解决问题的能力；通过实验和作业，巩固和运用所学知识。
3. 注重实践能力的培养四、教学手段1. 利用多媒体教学在《复变函数与积分变换》课程中，老师可以利用多媒体教学手段，如电子教材、动画、PPT等，将抽象的理论知识转化为形象直观的图形和动画，让学生更容易理解和接受。
通过实验教学，可以帮助学生将理论知识应用到实际问题中去，提高他们的实践能力。
Advances in Education教育进展, 2016, 6(3), 142-145Published Online May 2016 in Hans. /journal/ae/10.12677/ae.2016.63022With Concise Remarks on the Teaching ofComplex FunctionShumei Guo, Xinna Li, Ning ZhangDepartment of Science, Information Engineering University, Zhengzhou HenanReceived: May. 8th, 2016; accepted: May. 22nd, 2016; published: May. 27th, 2016Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractAnalogy in the teaching of complex function is a commonly used method. But the complex function and the real function still have many differences in essence. Only clear with the essential differ-ence between complex function and real function, and realizing the unique properties of complex function content, students can better understand and apply complex function.KeywordsComplex Function, Limit, Derivative, Analytic Function浅谈复变函数教学郭淑妹，李新娜，张宁信息工程大学理学院，河南郑州收稿日期：2016年5月8日；录用日期：2016年5月22日；发布日期：2016年5月27日摘要在复变函数的教学中类比教学法是比较常用的教学方法，但是复变函数与实函数还是有许多本质的区别，学生只有清楚复变函数与实函数的本质区别，了解复变函数内容的独特之处，才能更好地理解和应用复变函数。
郭淑妹 等关键词复变函数，极限，导数，解析函数1. 引言复变函数是分析学的一个重要组成部分，是数学乃至自然科学的重要基础之一，是分析学应用于实际问题的一种具体工具和桥梁。
因此，很多院校的工科专业都开设了这门课。
关于复变函数的教学方法的研究也有许多，其中教师在上课的时候常用类比教学法。
因为，复变函数在分析结构上几乎与微积分相同，也是按照函数、极限、连续、导数、积分及级数的顺序建立起来的[1] [2]。
而且定义形式和运算性质也相同，这就很容易给学生造成一个错觉：似乎整部复变函数只是把微积分中许多概念照搬而已。
因此在教学中除了注意复变函数中的概念与微积分中有关概念的共性外，还应特别注意复变函数的固有特点，帮助学生更好地理解复变函数的概念。
所以在教学中在使用类比教学法的同时，尽可能清晰地让学生理解复变函数与实函数的本质不同。
这样，学生在学习复变函数时具有全新的认识，对知识的理解会具有一定的建构性。
本文从平面、极限、导数的定义、解析函数、级数五个方面类比复变函数内容与实函数内容，并从中指出了其本质区别。
2. 平面法国大数学家笛卡尔把代数和几何结合起来，创立了解析几何，所在平面为笛卡尔平面(笛卡尔平面直角坐标系)。
一位数学史家曾经这样评价解析几何：没有笛卡尔的解析几何，就没有牛顿的微积分。
同样挪威一位测量工作者维塞尔促使了复代数与几何的“握手”。
他建立了复平面，并且把复数一一对应到平面上，由此复微分和复积分才发展起来[3]。
但是复变函数与高等数学中的函数还是由本质区别的。
1) 高等数学是建立在笛卡尔平面，复变函数是建立在复平面上，笛卡尔平面和复平面存在质的不同：一是笛卡尔平面x 和y 可以是函数关系()y f x =，而复平面z x iy =+则表示一对复自变量；二是笛卡尔平面坐标中横坐标与纵坐标相互独立，而复平面上，由于21i =−，使x 和y 可以相互转换。
2) 由于笛卡尔平面与复平面的不同，实变函数中函数的自变量的定义域是数轴，因变量的取值在实数域，复变函数中()f z ω=，u iv ω=+，自变量是二维的，对应的因变量也是二维的。
映射是复变函数的几何表示。
在复变函数产生于发展过程中，认识到需要不同平面才能给出几何直观表示经历了很长一段时间，直到1825年，高斯才以完美的形式解决了两个平面，z 平面G 变到ω平面*G 。
3) 在复平面上，∞是一个假想的点，和实数系中的无穷大既有区别又有联系。
实数系中的无穷大是绝对值无限增大的量，有正无穷大和负无穷大之分。
在复变函数中，引入∞是为了与无穷远点相对应，∞是指模为正无穷大，幅角无意义的唯一的一个复数。
因为复数域的∞没有正无穷大和负无穷大之分，所以在关于∞的减法运算就有如下规定：()ααα−∞=∞−=∞≠∞。
3. 极限复变函数的极限和连续的定义，是由实函数极限和连续的定义类比而来，运算法则和性质都相似，并且都是有极限的概念来定义函数的连续性。
复变函数的极限和连续问题都可以转化为两个二元实函数的相应问题。
一元实函数的极限()0lim x x f x →，0x x →是指x 在0x 的邻区内从0x 的左右以趋于0x 。
复变函数()f z 极郭淑妹 等限定义的几何意义是：当变点z 一旦进入0z 充分小的δ去心邻域时，它的象点()f z 就落入A 的预先给定的的ε邻域中。
复变函数极限的定义和一元实变函数极限的定义相比十分类似，但是这里用圆形域代替了那里的邻区。
并且0z z →的方式是任意的，就是说无论z 从什么方向，以何种方式趋向于0z ，()f z 都要趋向于同一个常数A 。
这比一元实变函数极限定义的要求要严苛得多，这也正是复变函数与实变函数有许多不同点的原因所在。
4. 导数复变函数的导数、微分的定义与一元实函数的导数、微分定义是一致的，是利用类比的方法由一元实函数的概念推广到复数域得到的。
设函数在()w f z =定义于区域D ，0z 为D 中的一点，点0z z +∆不出D 的范围。
如果极限()0lim z o f z z z∆→+∆∆存在，那么就说()f z 在0z 可导。
定义中00z z z +∆→的方式是任意的，定义中极限值存在的要求与00z z z +∆→的方式无关。
也就是说，当0z z +∆在区域D 内以任何方式趋于0z 时，比值()()00f z z f z z +∆−∆都趋于同一个数。
对于导数的这一限制比对一元实变函数类似的限制要严格得多，从 而使复变函数可导函数具有许多独特的性质。
在实变函数中，处处连续，但不可导的函数不是很常见，但是在复变函数中处处连续，但不可导的函数很常见，比如：,Im ,Re z z z 等[4] [5]。
5. 解析函数复函数的研究可以转化为两个二元实函数的研究，解析函数的两个实函数就不再独立，它们之间满足Cauchy-Riemann 方程。
函数在一点解析的定义是：如果函数()f z 在0z 及0z 的邻域内处处可导，那么称()f z 在0z 解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高很多，所以解析函数比实变函数具有许多特有的性质。
5.1. 解析函数具有任意阶导数对一元实变函数求导，如果一阶导函数不连续，则函数不能进行二次可导[1]。
比如一元实变函数()21sin 000x x f x x x ≠ = = ，它的一阶导函数为()112sin cos 000x x f x x x x −≠ ′= = 这个函数在0x =点是不连续 的，所以不能再进行求导。
但是在复变函数中函数如果是解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，并且解析函数的导数仍然是解析函数。
5.2. 任何解析函数都一定能用幂级数表示在实变函数中，任意阶可导的函数是存在的，但它不一定能用幂级数来表示[1]。
例如函数()21e 000x x f x x R x − ≠=∉ = ，就不能用x 的幂级数来表示。
究其原因，在实变函数中，要把一个连续函数 展开成幂级数，既要求它具有任意阶导数，还要求泰勒公式中余项的极限为零。
上面这个例子就是因为余项不趋于零，所以不能展开成x 的幂级数。
对一个实变函数来说，要求出它的各阶导数已不容易，又要证明余项趋于零就更为困难。
但对于复变函数中的解析函数来说，由于它有任意阶导数存在，而且又有泰勒展开定理的保证，因此就不用考虑这两方面的问题。
郭淑妹等5.3. 初等函数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的推广，它既保持了后者的一些基本性质，又与后者有不同的特性。
指数函数与对数函数(除去原点和负实轴)是解析函数，并且是周期函数和多值函数，对数无负数的结论不再有效。
欧拉定理将指数函数和三角函数紧密联系起来，这是复数运动的一大成果。
复变函数中的三角函数，除了具有周期性、奇偶性，一些三角恒等式仍然成立。
但是三角函数不再具有有界性，即不等式sin1z≤不成立。
复变函数的初等函数由于具有一些特性，所以有很多应z≤与cos1用。
比如：利用多值函数计算实积分时，多值函数的单值解析分支与围道的选择非常重要。
初等函数在平面场，特别是稳定平面静电场和稳定平面流场具有重要的应用。
6. 级数复数范围内的级数和数列的关系与实数范围内的情况十分类似。
复数项级数和复变函数项级数的一些概念、定理是实数范围内相应内容在复数范围内的推广。
幂级数的收敛性、性质定理、展开方法也是由实函数幂级数的相应内容类比而来。
因为任何解析函数都可以展开成泰勒级数，但对于有奇点的解析函数可用洛朗级数展开。
洛朗级数把一个函数在围绕它的孤立奇点的圆环域内展开成级数，是泰勒级数的推广。
泰勒级数与洛朗级数的区别是：泰勒级数是圆域收敛的，刻画了函数的解析性；洛朗级数是环域收敛的，刻画了函数的奇性。
任何一种理论的发展在起始阶段和成熟阶段都有着本质的区别。
在起始阶段模仿多于创新，而后才发展成自身的规律，复变函数的发展也是如此。
复变函数在其他学科还有很多应用有待开发，只有认清复变函数自身的特点和规律，才能更好地学习复变函数，才能对复变函数在其他学科上的应用得心应手。
