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海明码的计算（精）海明码的计算：码距：是不同码字的海明距离的最小值。
（1）可查出多少位错误：可以发现“≤码距-1”位的错误（2）可以纠正多少位错误：可以纠正“<码距/2”位的错误，因此如果要能纠正n位错误，则所需最小的码距是：2n+1。
计算：海明码是放置在2的幂次位上的即1,2,4,8,16,32,而对于信息位为m的原始数据，需加入k位的校验码，它满足m+k+1<.海明码的求法：一、有一种简单的方法，则是从第1位开始，遇到校验位留下空格。
如原始信息为101101100,并采用偶校验：1011011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13二、然后概据以下公式填充校验位：1，2，4，8B1=B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=1B2=B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1=1B4=B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0三、最后将结果填入，得到结果：11100110011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13海明码的纠错：如下给出一个加入了校验码的的信息，并说明有一位的错误，要找出错误位：11100110010001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13将B1，B2，B4，B8代入上式的公式中：B1=B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1 B2=B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1⊕0=1B4=B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1然后从高位往下写，B8+B4+B2+B1=1011=11（十进制）即11位出错。
海明码，汉明码，hamming code--计算法则最近最海明码很感兴趣，查了些资料，有⼀篇资料极好，所以贴出来，希望供有需求的⼈能有个参考。
1 海明码原理概述 海明码是R. Hamming提出的, ⼀种可以纠正⼀位错的差错控制编码。
了解海明码之前, 先回顾⼀下简单的奇偶校验码的情况。
若信息位为K=n- 1位, 表⽰为a1～an- 1, 加上⼀位偶校验位(冗余位)a0, 构成⼀个n位的码字a0～an- 1, 在接收端校验时, 可按关系式: s=a0+a1+a2+…an- 1来计算, 若S=0, 则⽆错, 若S=1, 则有错。
上式可称为监督关系式, S称为校正因⼦。
在奇偶校验情况下, 只有⼀个监督关系式和⼀个校正因⼦, 其取值只有两种(0或1),分别代表了⽆错和有错的情况, ⽽不能指出差错所在的位置。
不难想象, 若增加冗余位, 也相应地增加监督关系式和校正因⼦, 就能区分更多的情况。
如, 若有两个校正因⼦, 则其取值就有4种可能: 00、01、10或11, 就能区分4种不同情况。
若其中⼀种表⽰⽆错, 另外三种不但可以⽤来指出有错, 还可以⽤来区分错误的情况, 如指出是哪⼀位错等。
⼀般⽽⾔, 信息位为K位, 增加r位冗余位, 构成n=k+ r位码字。
若希望⽤r个监督关系式产⽣的r个校正因⼦来区分⽆错和在码字中的n个不同位置的⼀位错, 则表⽰:或。
2 构造海明码的冗余位和监督关系式的⽅法 按上述设计思路, 为了叙述清楚, 下⾯以信息位K=7来讨论海明码的冗余位和监督关系式的具体构造过程和⽅法。
因为且k=7, 所以≥4, 即⾄少需要4位冗余位(对应产⽣4个校正因⼦和4个监督关系式), 形成24=16种不同取值, ⽤其中11种分别表⽰⽆错和a0～a10中⼀位错的情况。
构造表如表1: 冗余码如下: a0=a8+a9+a10 (1) a1=a5+a6+a7 (2) a2=a4+a6+a7+a9 (3) a3=a4+a5+a7+a8+a10 (4) 监督关系式如下: s0=a0+a8+a9+a10 (5) s1=a1+a5+a6+a7 (6) s2=a2+a4+a6+a7+a9 (7) s3=a3+a4+a5+a7+a8 (8)3 构造校正因⼦和监督关系式时应遵循的原则 上表1中, 构造4个校正因⼦和4个监督关系式的过程中, 为了体现前⾯所述设计思想,应遵循如下原则: 图1中共有11列, 每⼀列应保证各不相同, 即s0 s1 s2 s3 的16种组合中, 取“0000”组合表⽰⽆错, 剩下15种中取其中11种⽤来表⽰a0～a10中某⼀位出错的情况, 所以,下表2有错, 因为a5 和a7 两列均为“0111”。
海明码详解这两天也在研究海明码的问题，把我的理解说给你吧，按照我说的可以顺利得到海明码步骤：一、确定校验码的位数k二、确定校验码的位置三、数据的位置四、求出校验位的值首先，海明码的作用是：在编码中如果有错误，可以表达出第几位出了错，二进制的数据只有0和1，修改起来很容易，求反即可，这需要加入几个校验位。
重要的知识点：海明码的组成，不是简单的在后面加上校验位，海明码≠数据位+检验位那检验位该怎么加呢？它是根据总的位置来加的，加在【2的几次幂】的位置上，这个位置不是我们通常的从右向左数位置，刚好相反，是从左右如下图：P是校验位， D是数据位：原始的数据是：101101 校验位是插到了 1 2 4 8这几个位置上的。
位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1步骤一、确定校验码的位数k公式：m+k+1≤2^k (m是数据位的位数，K是要加的校验位的位数数据长是4位，校验码就是3位4+k+1≤2^kK最小只能是3数据长是5,6,7,8,9,校验码就是4位5+k+1≤2^kK最小就只能取4101101 数据位是6位，那校验位应该是4位，那总位数是：6+4=10位步骤二、确定校验码的位置位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1（图1）注意：【位置是从左----------右编码】（网上好多都反了，都是从右往左的，这应该是错的）校验位就插在2的幂次方的位置上。
4个检验位就是插到，2的0次方=1，2的1次方=2，2的2次方=4，2的3次方=8的位置上。
始上（图1）步骤三、数据的位置数据位置就按顺序写入进去就OK了，不要写到校验位就是的了。
步骤四、求出校验位的值也就是求图1中：p1 p2 p3 p4 的值。
那这几个数该如何求值呢？这里就要引进一个线性码的概念了，就是这4位校验码和图1中的那些位置上的数有关系呢？这里有一个进制转换的问题要先解决：因为是4位校验码，所以我们可以s4 s3 s2 s1 这个数来表示这个4位校验码，也就是p4 p3 p2 p1M1号位是十进制的1 转成四位二进制数就是：0001 即M1 和s1有关系同样的道理M2 变成四位二进制数： 0010 0010----s4 s3 s2 s1 s2的位置上是1 ，所以M2和S2有关系。
1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数[font class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;"id="bks_cu2htj1g"]2.[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"][font]海明码的原理[/font]在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。
海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。
海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。
一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7 [/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"]海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal;"] [/font]3.海明码的生成与接收特注：以下的+均代表异或方法一：1)海明码的生成。
海明码编码计算、检错和纠错原理解析一、海明码检错/纠错基本思想海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。
它的检错、纠错基本思想如下：（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位（3）对错误位取反来将其纠正二、海明码计算海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码1. 计算校验码位数假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247校验码位数2 3 4 5 6 7 82. 确定校验码位置海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置3. 确定校验码校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。
确定每个校验码所校验的比特位：P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。
P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。
P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。
对海明码的理解海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
一个n位二进制数位串在传输过程中哪一位都有出错的可能，也就是说有n个发生错误的可能性。
针对此情况，如果发送方只抽出其中一位制置奇偶校验位值，以便对其它位进行偶校验或奇校验，虽然也能检错，但无法确定错码的位置，不能纠错。
如果发送方抽出其中r位（放在1，2，4，8，16……位上）,给每个位制置奇偶校验位值，以便对从其它位中选择的有差异的r个位组进行偶校验或奇校验，这样，就能用含r个校验位值的逻辑组合（其所在位置可以不连续，但是，其在逻辑上是连续的）所衍生出的2r种状态对可能发生的错误进行相应范围的检测。
进一步思考：如果让2r种可能发生的状态中除去一种状态反映整个位串传输正确外，剩下的2r-1种状态一一对应地反映位串中可能发生的n种错误，那么，对r会有多大的数量要求呢？显然，r应满足下列关系式：2r-1>=n (1)这样，r个校验位所衍生出的2r种状态才能覆盖可能产生的n种错误。
每种错误发生时才不至于漏检。
从n中扣出r个校验位n-r=k，这k个位是信息位。
n=k+r，代入（1）式得：2r-1>=k+r (2)移项得：2r-r>=k+1 (3)按(3)式进行试算（试算不包括”>”——取最小值）表1根据经验表2此即r以其所衍生出的状态能覆盖的信息位数量。
反过来，从k的数量，可以倒推需要多少校验位对其进行检测。
知道了信息位数量与校验位数量的关系后，怎样编海明码呢？用一道例题加以说明。
例题现有8位二进制数信息位串10011101等待传输，问怎样将海明校验位编入以资校验？根据前述，8个信息位要有4个校验位来检测，于是整个位串长就是8+4=12位。
海明码海明码（Hamming Code）是在电信领域的一种线性检测码，以发明者理查德·卫斯里·海明的名字命名。
海明码在传输的消息流中插入验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，以侦测并更正单一比特错误。
由于海明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）电路。
1940年，海明于贝尔实验室（Bell Labs）工作，运用贝尔V型（Bell Model V）电脑，一个周期时间为几秒钟的机电继电器计算机。
输入终端是依靠打孔卡（Punched Card），这不免会产生读取错误。
在平日，特殊代码将发现错误并闪灯（flash lights），使得操作者能够纠正这个错误。
在周末和下班期间，在没有操作者的情况下，机器只会简单地转移到下一个工作。
海明在周末工作，他对于不可靠的读卡机发生错误后，总是必须重新开始项目变得愈来愈沮丧。
在接下来的几年中，他为了解决错误检测的问题，着手开发功能强大的检测算法。
直到1950年，他发表了著名的海明码。
与其他的错误校验码类似，海明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。
利用一个以上的校验位，海明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错，但这种方法比简单重传协议的成本要高。
海明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
如果一条信息中包含更多用于纠错的位，且通过妥善安排这些纠错位使得不同的出错位产生不同的错误结果，那么我们就可以找出出错位了。
在一个7位的信息中，单个位出错有7种可能，因此3个错误控制位就足以确定是否出错及哪一位出错了。
海明码SECDED（single error correction, double error detection）版本另外加入一个检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。
海明码详解
①海明校验的基本思想
将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。
实质上，海明校验是一种多重校验。
②海明校验的特点
它不仅具有检测错误的能力，同时还具有给出错误所在准确位置的能力。
一．校验位的位数校验位的位数与有效信息的长度有关
设:N--为校验码的位数 K--是有效信息位 r--校验位（分成r组作奇偶校验，能产生r位检错信息）
海明码应满足 N=K＋r≤2r－1 若r=3 则N=K＋r≤7 所以K≤4
二．分组原则`
在海明码中，位号数（1、2、3、……、n）为2的权值的那些位，即：
1(20)、2(21)、 4(22)、8(23)、…2r-1位，作为奇偶校验位
并记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。
例如： N=11 K=7 r=4 相应海明码可示意为
位号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P占位P1 P2 × P3 × × × P4 × × ×
其中×均为有效信息，海明码中的每一位分别被P1P2P3P4… Pr 中的一至若干位所校验，其规律是：
第i位由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验
如：海明码的位号为3，它被P1P2（位号分别为1,2）所校验
海明码的位号为5，它被P1P3（位号分别为 1,4）所校验
归并起来: 形成了4个小组，每个小组一个校验位，校验位的取值，仍采用奇偶校验方式确定。
如表2·6 、表2·7所示：
三．编码、查错、纠错原理
以4位有效信息(b1、b2、b3、b4)和3位校验位(P1、P2、P3)为例: K=4 r=3 海明序号 1 2 3 4 5 6 7
海明码 P1 P2 b1 P3 b2 b3 b4
根据表2-8可以看到
（1）每个小组只有一位校验位，第一组是P1、第二组是P2、第三组是P3。
（2）每个校验位校验着它本身和它后面的一些确定位。
1.编码原理（采用偶校验）
1)若有效信息b1b2b3b4=1011 先将它们分别填入第3、5、6、7位
2)再分组进行奇偶统计，分别填入校验位P1、P2、P3的值
如：第一组有：P1b1b2b4 因b1b2b4含偶数个1，故P1应取值为0
第二组有：P2b1b3b4因b1b3b4含奇数个1，故P2应取值为1
第三组有：P3b2b3b4 因b2b3b4含偶数个1，故P3应取值为0
海明编码为:P1P2b1P3b2b3b4=0110011
2.查错与纠错
因为分三组校验，每组产生一位检错信息、3组共3位检错信息，便构成一个指误字，上例指误字由G1G2G3组成。
其中：
G3=P3⊕b2⊕b3⊕b4 P3b2b3b4=0011
G2=P2⊕b1⊕b3⊕b4 P2b1b3b4=1111
G1=P1⊕b1⊕b2⊕b4 P1b1b2b4=0101
采用偶校验，在没有出错情况下G1G2G3=000。
由于在分组时，就确定了每一位参加校验的组别,所以指误字能准确地指出错误所在位。
如：若第3位b1出错，由于b1参加了第一组和第二组的校验，必然破坏了第一组和第二组的偶性，从而使G1和G2为1。
因为b1未参加第三组校验，故G3=0，所以构成的指误字G3G2G1=011它指出第3位出错。
反之：若G3G2G1=111 则说明海明码第7位b4出错。
因为只有第7位b4参加了3个小组的校验，破坏了三个小组的偶性。
假定：
源部件发送海明码为：0110011 接收端接收海明码为：0110011
则: 三个小组都满足偶校验要求，这时G3G2G1=000，表明收到信息正确，可以从中提出有效信息1011参与运算处理。
纠错：若接收端收到的海明码为0110111，分组检测后指误字G3G2G1=101，它指出第5位出错，则只须将第5位变反，就可还原成正确的数码0110011。
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海明码和CRC编码
(2009-04-17 22:03:44)
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分类：软件设计
海明码
原码
校验码
报文
it
一、CRC编码
1、已知多项式和原报文，求CRC编码，如：使用多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1,对报文10100110进行CRC编码，则编码后的报文是什么？
方法与步骤：
步骤1：对报文10100110，在末尾添加所给多项式的最高次阶个0，如本题为x^5，则添加5个0，变为：1010011000000。
步骤2：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。
步骤3：步骤1中求得的1010011000000对步骤2中求得的110011进行模二除法，所得到的余数即为校验码，把校验码添加在原报文尾部即为所求的编码报文1010011011000，具体如下：
2.已知道接收到的CRC编码，求原编码或判断是否出错，如：已知G(x)=x^5 + x^4 + x +1，接收的为1010011011001，问是否出错？
步骤一：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。
步骤二：用接收的报文1010011011001对步骤一的110011进行模二除法，看余数是否为0，如为0则正确，如不为0，则出错，计算余数为1，则出错。
如下图：
二、海明码
1.求海明码，如：求1011海明码。
步骤一：求校验码位数r，公式为：2^r ≥r+k+1的最小r。
题目中为2^3≥3+4+1,所以取r=3，即校验码为3位。
步骤二：画图，并把原码的位编号写成2的指数求和的方式,其中位编号长度为原码和校验码个数之和，从1开始。
校验码插在2的阶码次方的位编号下，且阶小于r。
如下：
原码的位编号写成2的指数求和：
7=2^2+2^1+2^0;
6=2^2+2^1;
5=2^2+2^0;
3=2^1+2^0;
步骤三：求校验位，即每个校验位的值为步骤二中“原码的位编号写成2的指数求和”式子中相应2的阶出现的位编号下原码的值异或。
即：
r0=I4异或I2异或I1=1；(2^0次出现在7，5，3位，其对应的值为I4，I2，I1)
r1=I4异或I3异或I1=0；(2^1次出现在7，6，3位，其对应的值为I4，I3，I1)
r2=I4异或I3异或I2=0；(2^0次出现在7，6，5位，其对应的值为I4，I3，I2)
把r0,r1,r2带入海明码，得所求的海明码为：1010101
2.已知海明码，求原码或判断是否出错并改正错位，如：信息位8位的海明码，接收110010100000时，判断是否出错，并求出发送端信息位。
步骤一：求校验码位数r，公式为：2^r ≥r+k+1的最小r。
题目中为2^4≥4+8+1,所以取k=4，即校验码为4位。
步骤二：根据作图，求得信息位编码和发过来的校验码记为r，并由原编码从新计算出新的校验码与发来的校验码r进行异或运算，具体如下：
得到，原码11000100，发送来的校验码r为1000
再根据求R，把原码的位编号写成2的指数求和：
12=2^3+2^2；
11=2^3+2^1+2^0;
10=2^3+2^0;
9=2^3+2^0;
7=2^2+2^1+2^0;
6=2^2+2^1;
5=2^2+2^0;
3=2^1+2^0;
求得：
S3=r3异或(I8异或I7异或I6异或I5)
S2=r2异或(I8异或I4异或I3异或I2)
S1=r1异或(I7异或I6异或I4异或I3异或I1)
S0=r0异或(I7异或I5异或I4异或I2异或I1)
S3S2S1S0,其十进制为0，表示没出错，如果不为零，则其十进制数即为出错的位。
本题S3S2S1S0=1001，十进制为9，即第九位出错。
改过来既为：11010100
注：不管用海明还是CRC编码，如果不是有必要或学密码学，不用想办法搞清原理，就拿它当像勾股定理一样使用就ok，否则，对一般来讲，的确有点痛苦。
