信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==
∑+∞
-∞
=,3,2,1,0;)(0n e
C t x n t
jn n
ω
式中：
所以：
幅值频谱：
相位频谱：
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
1.3求指数函数 的频谱。 解：
1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱.
[]
()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅
⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰
⎰⎰,6,4,2;
0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12
0000
2
00200202200
0000
000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππ
ππωωπ
πωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=∑
+∞
-∞=,7,5,3,1;2)(0n e
n A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22
2n n A C C C nI nR n π
⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n ππ
πϕω
π
πωμ2;2sin 1)(lim 0000000=
===⎰⎰
∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2
sin 1)(1002
0002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰
⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf j A dt e Ae dt e t x f X ft j t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==⎰
⎰∞+--∞+∞--
解:1) 符号函数的频谱:
令:
2)单位阶跃函数的频谱:
1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。
解：
1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：
1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。
在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现
f
j dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t
ft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022002110
1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-===⎰
⎰⎰
∞+---∞--→--→f j dt e e dt e t x f X t x e t x ft
j t ft j t
ππααπαα21lim )()(;)(lim )(0202220
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰
⎰∞+--→--→⎩⎨
⎧≥<=T t T t t t x ;
0;cos )(0ω(
)
[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2
12cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰
⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft
j t f j t f j T T T
T
ft j ft
j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t
αωα()
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞
+---+∞-+∞∞--⎰⎰
⎰)(21
)(2122
2sin )()(00202220
0200f f j f f j j dt
e e e j
e dt
e
t f e
dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t
ft j παπαππππαπαπ
什么情况？ 解： 当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象
1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x ) 解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/ x 0)
等式两边对x 求导数：
2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值
误差将是多少？
解：()()()ωωωτωωX Y j j H =+=
+=
135.011
1 ()()
2
2
77.01135.011
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=
+=
πωωA
当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59% 当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33% 当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%
2.3求周期信号()()
45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为()1
05.01
+=
s s H 的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
[]()
)22(2
1
)22(2121
)(2cos )()()(0022220
200f f F f f F dt e e e t f dt
e
t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft
j ft j ππππππππππ-++=⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⋅==-∞
+∞
---+∞
∞
-+∞
∞
--⎰⎰⎰
)(1
)(11122
002000t x x x t x x dx dt -=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωω)(1221lim lim 1lim )(22000t x x dx dt T T t x T T x x p x x T x -=⋅=∆⋅∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=→∆∞→→∆π
