19.3矩形的定义和性质

矩形的性质及应用矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和广泛的应用。

本文将介绍矩形的性质及其在日常生活和工程领域中的应用。

一、矩形的定义和性质矩形是一种四边形，具有以下性质：1. 边长相等：矩形的对边两两相等，即AB = CD，BC = AD。

2. 对角线相等：矩形的对角线相等，即AC = BD。

3. 内角为直角：矩形的四个内角均为直角（90度角），即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

4. 互相平行：矩形的对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。

5. 对边垂直：矩形的对边互相垂直，即AB⊥BC，AD⊥DC。

二、矩形的应用1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常用的几何形状之一。

例如，在房屋平面设计中，矩形可以表示房间的墙壁，屋顶的平面形状等。

使用矩形结构可以简化建筑设计过程，使结构更稳定。

2. 产品设计：许多产品的外观设计都使用了矩形的形状。

例如，电视、手机、书桌等产品的外形通常是矩形，因为矩形有较大的空间利用率和良好的稳定性，便于制造和使用。

3. 数学推导：矩形的性质在数学推导中经常被应用。

例如，利用矩形的对角线相等性质，可以推导出勾股定理；利用矩形的内角为直角性质，可以推导出平行线之间的角度关系等。

4. 图像处理：在图像处理和计算机图形学中，矩形常被用作图像的基本单元。

图像可以被划分成一个个矩形像素块，利用矩形的性质和坐标系统进行处理和显示。

5. 地理测量：在地理测量中，矩形常被用来表示土地的边界、建筑物的平面布局等。

通过测量矩形的边长和角度，可以计算土地的面积和建筑物的体积。

6. 电路布局：在电路设计中，矩形的形状可以用来表示电路板的外形和内部布局。

矩形的边界可以作为电路板的导线和器件的连接点，方便电路布线和组装。

7. 几何推理：利用矩形的性质，可以进行一些几何推理和证明。

例如，通过对矩形的两个对角线进行分析，可以证明一个四边形是矩形。

三、总结矩形是一种重要的几何形状，具有明确的性质和广泛的应用。

矩形几何知识点总结
1. 矩形的定义
矩形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
(1) 四条边两两平行
(2) 四个角都是直角
(3) 两条对角线相等
2. 矩形的性质
(1) 对角线相等：矩形的两条对角线相等。

(2) 内角度数：矩形的每个内角都是90度。

(3) 相对边相等：矩形的对边相等。

3. 矩形的周长
矩形的周长是其四条边的和，可以用公式表示为：周长 = 2*长 + 2*宽。

4. 矩形的面积
矩形的面积是其长度和宽度的乘积，可以用公式表示为：面积 = 长 * 宽。

5. 矩形的对角线
矩形的两条对角线相等，可以用勾股定理求解其长度：对角线的长度= √(长的平方 + 宽的平方)。

6. 矩形的中位线
矩形的中位线是连接对边中点的直线，是一条平行于底边和顶边的线段。

中位线的长度可以直接用底边或顶边的一半来表示。

7. 矩形的特殊情况
当矩形的长度和宽度相等时，即为正方形。

正方形是矩形的特殊情况，具有矩形所有的性质，同时还具有一些特殊的性质，如对角线相等、角度为90度、边长相等等。

8. 矩形的应用
矩形是几何学中的基本图形，广泛应用于物理、工程、建筑等领域。

矩形的周长和面积是计算其它形状的重要基础，对角线和中位线也有着重要的几何意义。

总之，矩形是几何学中一个重要的图形，具有许多重要的性质和特点，对于学习几何学和应用几何学都具有重要的意义。

通过深入理解矩形的定义、性质、周长、面积、对角线、中位线等知识点，可以更好地应用和理解几何学知识。

高三数学矩形知识点总结矩形是我们数学学科中的一个重要图形，在高三数学中也是一个常见的考点。

熟练掌握矩形的相关知识点对于解题和应对考试都非常有帮助。

本文将总结高三数学中与矩形相关的知识点，帮助同学们更好地理解和记忆。

一、基本概念1. 矩形的定义：矩形是四边形的其中一种，具有两对相等且平行的边。

2. 矩形的性质：具有四个直角和两对对边相等。

3. 矩形的元素：矩形的元素有边长、周长和面积。

二、周长和面积的计算1. 周长计算公式：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即P=2(长+宽)。

2. 面积计算公式：矩形的面积等于长乘以宽，即S=长×宽。

三、特殊情况1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等。

正方形的周长公式为P=4a，面积公式为S=a²，其中a为边长。

2. 长方形：长方形是一种边长不等的矩形。

长方形的周长公式为P=2(长+宽)，面积公式为S=长×宽。

四、对角线1. 对角线的定义：矩形中连接两个非相邻顶点的线段称为对角线。

矩形有两条对角线，且相等。

2. 对角线的性质：对角线相等，且互相平分。

3. 对角线的求解：对角线的长度可以使用勾股定理来求解。

五、性质和定理1. 矩形的内角和为360度。

2. 矩形是平行四边形的一种特殊情况，具有平行四边形的性质和定理。

3. 矩形的主对角线与副对角线相等。

六、相关例题1. 若一个矩形的周长为20cm，且其中一边长为4cm，求其面积。

解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm。

由周长公式可得2(x+y)=20，即x+y=10。

又已知一边长为4cm，设为x，即x=4。

将x=4代入x+y=10中可得4+y=10，解得y=6。

故矩形的长为4cm，宽为6cm，面积为4×6=24 cm²。

2. 一个正方形的对角线长度为10cm，求其面积。

解析：设正方形的边长为a cm。

由对角线性质可知，对角线长度等于边长乘以√2，即a√2=10。

矩形菱形正方形1．矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．两者缺一不可．(2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质．②矩形的四个角都是直角．如图，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，又由邻角互补、对角相等可得∠BAD＝∠ADC ＝∠DCB＝∠ABC＝90°推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.③矩形的对角线相等．如上图，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC为公共边，可得△ABC≌△DCB.从而证得AC＝BD.其推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.④矩形既是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)(20．4节讲到)，又是轴对称图形(有两条对称轴)．①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等．②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形．【例1】如图所示，在矩形ABCD中，∠CAD＝30°，CD＝5 cm，求矩形ABCD的周长(精确到0.1)．解：连接BD交AC于点O.在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝10(cm)．在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝102－52＝75≈8.66(cm)．∴AB＋BC＋CD＋DA＝2(AD＋DC)＝2×(8.66＋5)≈27.3(cm)．∴矩形ABCD的周长约为27.3 cm.2．直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图所示，由矩形的对角线相等可知，AC ＝BD .又因为矩形的对角线互相平分，所以OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD .所以OA ＝OB ＝OC ＝OD .所以在Rt △ABC 中，斜边上的中线OB ＝12AC .直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．这一性质常常用来证明线段的倍分关系．【例2】如图，BD ，CE 是△ABC 的两条高，G ，F 分别是BC ，DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析：有三角形的高就会出现直角三角形，有中点就可以联想到直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质．证明：连接EG ，DG .因为BD ，CE 是△ABC 的两条高，所以△BDC 和△BEC 都是直角三角形． 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝12BC ＝EG ，即△GDE 是等腰三角形．因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线． 所以GF 是底边DE 上的高． 所以FG ⊥DE . 3．矩形的判定(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)方法一：对角线相等的平行四边形是矩形． (3)方法二：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的定义也是矩形判定方法中的一个 矩形的判定可用下图表示：①用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．②用方法一判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．【例3】如图所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC与EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．分析：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，即具体情况具体分析．证明：连接AF，CE.∵EF和AC互相平分，∴四边形AECF是平行四边形．∴AB∥CD，CF＝AE.又∵DF＝BE，∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．4．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，当把平行四边形的一条边平移后，使邻边相等，平行四边形就变成了菱形．菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形.①菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．②菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法．【例4】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．分析：由菱形的定义去判定，由DE∥AC，DF∥BC可得四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2，证得邻边相等即可．解：四边形DECF是菱形．理由：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.∵DF∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴CF＝DF.∴四边形DECF是菱形．5．菱形的性质菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外它也具有自己特殊的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴即每条对角线所在的直线；(4)菱形的面积等于对角线乘积的一半．①由于菱形对角线互相垂直平分，故菱形可被两条对角线分成四个全等的直角三角形，这样容易与勾股定理联系起来；②菱形的面积除了用对角线计算之外，也可以用底乘以高来计算．即菱形的面积有两种求法．【例5】如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为()．A．5 B．6 C．8 D．10解析：设AC，BD相交于点O，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以AO＝3，BO ＝4，根据勾股定理，AB＝5.答案：A6．菱形的判定(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．(2)方法一：四边都相等的四边形是菱形．(3)方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形的判定方法可用下图表示：判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定．若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形的条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直即可．【例6】如图所示，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.又EF是AC的垂直平分线，所以OA＝OC.所以△AOE≌△COF.所以OE＝OF.所以AC与EF互相垂直平分．所以四边形AFCE是菱形．7．正方形的定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．正方形与矩形、菱形的关系可用下图表示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；②既是矩形又是菱形的四边形是正方形；③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．【例7】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB.同理可得DF∥BC.∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形．又∠ABC＝90°，∴四边形BEDF是正方形．8．正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质．(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴．【例8】如图所示，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC.求证：FN＝EC.证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°.因为AB＝2BC，所以EN＝BC.所以△FNE≌△ECB.所以FN＝EC.9．正方形的判定(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角．【例9】如图所示，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO.又因为△ACE是等边三角形，所以EO⊥AC，即DB⊥AC.所以平行四边形ABCD是菱形．因为△ACE是等边三角形，所以∠AEC＝60°.所以∠AEO＝12∠AEC＝30°.因为∠AED＝2∠EAD，所以∠EAD＝15°.所以∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.因为四边形ABCD是菱形，所以∠ADC＝2∠ADO＝90°.所以四边形ABCD是正方形．10．矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质．应从边、角、对角线三个方面区分它们的性质：(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边相等的性质；(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都等于90°的性质；(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质，菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质．【例10】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°.求∠AFE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.(2)解：∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.11．矩形、菱形、正方形判定的综合运用几种特殊平行四边形的判定方法可用下图表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，当平行四边形的一个内角变为直角时(角特殊化了)，平行四边形变成矩形；当平行四边形的邻边变为相等时(边特殊化了)，平行四边形变成菱形；当平行四边形的一个内角变为直角，一组邻边变为相等时(角、边均特殊化了)，平行四边形变为正方形．【例11】已知如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)试说明BE＝DF的理由；(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并说明你的理由．解：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.因为AE＝AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF.所以BE＝DF.(2)四边形AEMF是菱形．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.因为BE＝DF，所以BC－BE＝DC－DF.即CE＝CF.又OC为公共边，∴△EOC≌△FOC.所以OE＝OF.因为OM＝OA，所以四边形AEMF是平行四边形．因为AE＝AF，所以平行四边形AEMF是菱形．12．特殊四边形的探究题平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合探究题在中考中常出现．它还能与其他知识综合考查，如等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，综合运用性质和判定进行推理是解此类题的关键．矩形、菱形、正方形问题在中考中的比重近年来有加大的趋势，不但有选择题、填空题、解答题，也有探究型、开放型试题．解答此类问题，要在牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定、弄清它们的特性和共性的基础上，分析图形特征，选择适当的方法．譬如解答正方形问题时，由于正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，所以当证明一些与线段有关的问题时，可以借助旋转或平移实现线段的移位，在正方形中这种移位非常地巧妙、自然，比作其他类型的辅助线要来的简捷、顺畅．_______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【例12】以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH.(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°)．①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE＝HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．。

矩形知识点矩形是几何学中最基本的形状之一，具有广泛的应用和重要的特性。

在本文中，我们将详细介绍矩形的定义、性质和常见的计算方法。

定义：矩形是一种有四条边且内角都是直角的四边形。

它具有两对相等且平行的边，且对角线相等。

矩形的四个内角都是直角（90度）。

矩形可由两条相交的平行线段组成，每条线段都是矩形的一条边。

性质：1. 对边和对角线的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等。

这意味着矩形中的两个相对的边长是相等的，并且可以通过对角线划分成两个完全相等的三角形。

2. 内角性质：矩形的每个内角都是直角（90度）。

因此，矩形的四个内角的和为360度。

3. 对称性：矩形具有两个对称轴，即矩形的两条对边是互相对称的。

这意味着矩形可以通过一个对称轴旋转180度得到完全相同的形状。

4. 重心：矩形的重心位于两条对角线的交点处，也是矩形的中心点。

重心将两条对角线等分为四等份。

计算方法：1. 周长：矩形的周长可以通过两个相邻边长之和乘以2来计算，公式为周长=2 × (长 + 宽)。

2. 面积：矩形的面积可通过长乘以宽来计算，公式为面积=长×宽。

3. 对角线长度：矩形的对角线长度可以通过勾股定理来计算。

假设矩形的长为a，宽为b，则对角线长度d可通过公式 d = √(a² + b²) 来计算。

应用：矩形作为几何学的基本形状，在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用。

1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常见的形状，如房屋的平面图、窗户、门等都可以使用矩形形状来设计。

2. 布局规划：通过将空间划分为矩形区域，可以更好地规划和利用空间，如办公室、仓库等。

3. 计算面积和周长：矩形的面积和周长计算是很常见的数学运算，可以应用在很多实际问题中，如围墙的施工、地板的铺设等。

总结：矩形作为几何学中最基本的形状之一，具有丰富的性质和重要的应用。

通过了解矩形的定义、性质和计算方法，我们可以更好地理解和应用矩形的特性，为我们的日常生活和工作带来便捷和效益。

矩形的性质与判定矩形作为几何形体中的一种，具有其独特的性质与判定方法。

在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及如何准确判断一个图形是否为矩形。

一、矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角均为直角。

矩形的定义可以简洁地表达为：具有四条边且四个内角均为直角的四边形即为矩形。

二、矩形的性质矩形具有以下性质，对于认识矩形的形态和特点非常重要。

1. 边长性质：矩形的相对边长相等，即相对边对应的长度相等。

2. 对角线性质：矩形的对角线相等，即矩形的两条对角线长度相等。

3. 对称性质：矩形具有对称性，即以矩形的任意一条对角线为对称轴，两侧的部分完全相同。

4. 垂直性质：矩形的边两两相交成直角，即任意两边之间的夹角为90度。

5. 平行性质：矩形的相对边平行，即相对的两条边永远平行。

三、矩形的判定如何准确判断一个图形是否为矩形？下面将介绍两种常见的判定方法。

1. 边长判定法：若一个四边形的四条边两两相等，且任意两相邻边夹角为直角，则该四边形是矩形。

例如，若四边形ABCD的边长满足AB=BC=CD=DA，且∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，那么四边形ABCD就是矩形。

2. 对角线判定法：若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则该四边形是矩形。

例如，若四边形EFGH的对角线EG和FH互相垂直且长度相等，那么四边形EFGH就是矩形。

四、矩形的应用矩形在现实生活中有着广泛的应用。

以下是矩形应用的几个典型例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形是常见的几何形状之一。

例如，房屋的窗户、门洞等往往是矩形的形状。

2. 电子屏幕：计算机显示屏、电视屏幕等常常采用矩形的形状，这是因为矩形易于制造和布局，并且能够满足人眼对图像的需求。

3. 图像处理：在图像处理领域，矩形是图像的基本元素之一。

很多图像处理算法和技术都是基于矩形的性质和特点进行设计和实现的。

五、总结矩形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有重要的地位。

矩形知识点总结归纳一、定义：矩形是一个拥有四条直线边的四边形，并且相对的边是平行的，对角线相等、互相平分的几何图形。

通常用ABCD表示矩形的四个顶点，以l表示矩形的长，以w表示矩形的宽。

其数学定义为：对于一个平面几何图形来说，如果它的四边都是直线，且相对的两边是平行的并且长度相等，那么这个图形就是矩形。

二、性质：1. 矩形的对角线相等。

2. 矩形的对边互相平分。

3. 矩形的内角和为360°，即每个角为90°。

4. 矩形的长、宽以及对角线之间满足的关系：对于一个矩形，设其长为l，宽为w，对角线为d，则有以下关系式成立：d² = l² + w²三、相关公式：1. 矩形的周长C和面积S的计算公式：C = 2(l + w)S = l * w2. 矩形的对角线长d的计算公式：d² = l² + w²四、矩形的相关定理：1. 矩形的同位角定理：对于一个矩形，同位角相等。

2. 矩形的对边角定理：对于一个矩形，对边角相等。

五、矩形的应用：1. 矩形在数学题中的应用：在解决实际问题时，矩形可以用来表示场地、土地、房屋等方形或矩形的场景，然后通过矩形的相关性质进行问题的求解。

2. 矩形在工程设计中的应用：例如建筑设计、道路规划等，在实际工程设计中，矩形的性质及相关公式可以帮助工程师们进行结构、面积、周长等方面的计算。

3. 矩形在日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会经常接触到矩形，例如书桌、门窗等家具以及建筑结构都常常采用矩形形状。

上面就是矩形的相关知识点总结归纳，通过对矩形的定义、性质、公式以及相关定理、应用的介绍，可以更好地理解和掌握矩形的特点和相关知识。

希望对学习者有所帮助。

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质 及判定【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1. 矩形具有平行四边形的所有性质；2. 矩形的对角线相等；3. 矩形的四个角都是直角；4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证△ABE≌△CDF．答案与解析举一反三【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P 分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.答案与解析举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.答案与解析3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH 是矩形．、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E 为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13答案与解析举一反三【变式】如图所示,已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点且∠APC＝∠BPD＝90°求证：平行四边形ABCD是矩形．巩固练习一.选择题1．下列命题中不正确的是( )．A. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半B. 矩形的对角线相等C. 矩形的对角线互相垂直D. 矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.43．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为( )．A. 14B. 28C. 20D. 224．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C. 4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则DE＝__________.10.（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是________.11.（2012•长春）如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14. 如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15. 如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED 是矩形．。