圆锥曲线解题方法技巧归纳

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般 式。

(2) 与直线相关的重要内容(3) 弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y-i ), B(x 2, y 2)间的距离：ABy 1 kJ (1 k 2)[(x~X 2)2 4x 1X 2] 或AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ①l 1 l 2k 1k 2=-1② l 1//l 2k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2——1(m0,n 0 且 m n)m n距离式方程:(x c)2 y 2 .(x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种①倾斜角与斜率k tan , [0,)②点到直线的距离Ax o By o C A 2 B 2③夹角公式:tan1 k z k ix 1 x 22 2标准方程：—y 1(m n 0)m n距离式方程：| (x c)2 3 4 y 2、.. (x c)2 y 21 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?2 2如：已知F 1、F 2是椭圆- » 1的两个焦点，平面内一个动点 M 满足43(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x 轴上时为a ex 0；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”。

(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x °| a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为lx,卫,焦点在y 轴上时为|%|卫2 2(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2 2设A x 1, y 1、B X 2, y 2 ， M a, b 为椭圆—'1的弦AB 中点则有432 2 2 2 2 2 2 24 h 1，卷1 ;两式相减得出空 也匕 04 34 343MF 1 MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，SF 1PF 2(其中 F 1PF 2,cosb 2 tan —2uuun ujir uuuir］西需护岸？苹2闻『阿込)2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一 个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X i ,yJ,B(X 2,y 2)，将这两点代入曲线方程得到 ① ②两个式子，然后①-②，整体消元 ........... ，若有两个字母未 知数，贝S 要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以 利用三点A 、B 、F 共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间 的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为 y kx b ，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆4x 2 5y 2 80上，且点A 是椭 圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).(1) 若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程； (2) 若角A 为900 , AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。

第二问抓住角A 为90°可得出AB 丄AC ,从而得X 1X 2 y 』2 14(y i 祠16 0，然后利用联立消元法及交轨 法求出点D 的轨迹方程；解：(1)设B ( x i ,y i ) ,C(X 2,y 2 ),BC 中点为(冷皿)尺2,0则有x 1 x 2 x 1x 2y iy 2 y i y 3kAB3a4b20 16 20 16(1)两式作差有 (X i X 2)(X 1X 2) (y iy 2)(y iy ?) 0 x o y o k 工 20 16~5 ~4~y o2，代入（1）得k 65直线BC 的方程为6X 5y 28 02)由 AB 丄 AC 得 X 1X 2 y 1 y 2 14( y 1 y 2) 16 0 (2)设直线BC 方程为y kx b,代入4X 78 5y 280，得2 2 2(4 5k )X 10bkx 5b 80 04 y —9y 2 9X 2 32 y 16 0所以所求点D 的轨迹方程是x 2 （y ④）2（20）2（y 4）。

993、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD 中AB 2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当|4F （2,0为三角形重心，所以由X i X 22，得 X o3，由 yiy243X 1 X 210kb 4 5k 2， X 1X 225b 804 5k 2y 1y 2 8k 4 5k 2,ym4b 2 80k 2 4 5k 2代入（2）式得29b 32b 164 5k 20 ,解得b 4（舍）或b直线过定点（0,2 2X E L ,y E L ,再代入X2耸a bf(e, ) 0，此运算量可见是难上加难•我们对h可采取设而不求的解题策建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称故1 231由题设23解得3 2 3 3彳得，124 3 e2 2 4、7 e ,10标系xOy，如图，若设C #,h ,代入冷 2 yb12 *1，求得h L ,进而求得1，建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理直角坐标系xOy，则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦依题意，记A c,0 , C |,h , E X0,y°，其中 c 1|AB|为双曲线的半焦距, h是梯形的咼，由定比分点坐标公式得X0hy0 r2 2设双曲线的方程为笃当1 ,a b由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e -代入双曲线方程得ah2所以双曲线的离心率的取值范围为,7,d0 分析：考虑AE , AC 为焦半径，可用焦半径公式，|AE , AC 用E,C 的横坐标表 示，回避h 的计算，达到设而不求的解题策略.所以双曲线的离心率的取值范围为.7,-10 4、判别式法例3已知双曲线C •匸兰1，直线I 过点A .2,0，斜率为k ，当0 k 1 2 2 时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线I 的距离为.2，试求k 的值及 此时点B 的坐标分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此， 数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观 入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与I 平行的直线，必与双曲线 C 相 切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0.由此出发，可设计如下解题思路：I : y k(x .2)0 k 1直线I'在I 的上方且到直线I 的距离为』2c c - 22C又|AE，代入整理X E，丿又1 121 |AC 12 3刁曰 -得,2 1 23 2343e 224解得曲 e 尿解法二：建系同解法一，AEa ex E , AC a ex C ,1亠，由题设e 1分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表 达，即所谓“有且仅有一点B 到直线I 的距离为2 ”，相当于化归的方程 有唯一解.据此设计出如下解题思路:于是关于x 的方程1可知:k 2 1 x 2 2k .2(k 21). 2k x , 2(k 21) 2k由如上关于x 的方程有唯一解，判别式 0,就可解得点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局 观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C ：x 2 2y 2 8和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、 B 两点，在线段AB 上取点Q ，使詈 賢，求动点Q 的轨迹所在曲线的PB QB方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知 从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是简解：设点MT （T2关于x 的方程 距离为： 2x______0 k 1 有唯一曲 1 _）为双曲线C 上支上任一点, 则点M 到直线I 的 转化为一元二次方程根的问题于是，问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于0 k 1，所以、2 x 2kx ，从而有方程k 2 1 x 2 2k ,2(k 21)2(k 21)L 22k2 0的二根同正,故..2(k 2 1)2k kx 0恒成立，于是等价于2 0.选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消 参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜 率k 作为参数，如何将x,y 与k 联系起来？ 一方面利用点 Q 在直线AB 上； 另一方面就是运用题目条件：箔 罟来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共 x4(X A X B )2x A x B ，要建立x 与k 的关系，只需将直线 AB 的方 ~8 (XA X B)~程代入椭圆C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解 在得到x f k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的y k( x 4) 1 解得 k —~1， ［将直线方程代入椭圆方程，消去 y ,利用韦达定理 x4直接代入x f k 即可得到轨迹方程。

从而简化消去参的过程点Q 的轨迹方程关于x 的一元二次方程:2 22k 21 x 24k(1 4k)x 2(14k(4k 1) 2k 122(1 4k)8X 1X 2k 2 1线，不难得到不过是得到关于x y 的方程(不含k )l,则可由简解：设 Ax i ,y i ,B (X 2, y, 利用(点,9)满足直线由B A 方程：A Q可得：，消去参数PB QBx x 1 x 2 4 x 2 x '解之得：x4(x i X 2) 2x 1X 28 (捲 X 2)(1)设直线AB 的方程为：y k(x 4)代入椭圆C 的方程，消去y 得出4k)28 0(2)决本题，已经做到心中k 2与 y k （x 4） 1 联立，消去 k 得：2x y 4 （x 4） 0.在（2）中，由 64k 2 64k 24 0，解得 2 10 k 2 10，结合（3）44可求得 16 2両x 16 2阿99故知点Q 的轨迹方程为：2x y 4 0（ 16 2 10 x 16 2 10 ）.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次 方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到•这当中，难点在引出参， 活点在应用参，重点在消去参•，而“引参、用参、消参”三步曲，正是 解析几何综合问题求解的一条有效通道• 5、求根公式法2 2例5设直线I 过点P （ 0, 3），和椭圆-孔1顺次交于A 、B 两点,94试求的取值范围.PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： 竺二土，但从此后却一筹PBX B莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够•事实上，所谓求取值范 围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函 数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所 求量的一个不等关系•分析1：从第一条想法入手， 詈二子已经是一个关系式，但由于有两 个变量X A ,X B ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3个变量 --- 直线AB 的斜率k .问题就转化为如何将X A ,X B 转化为关于k 的表达4k 3 代入（1）,化简得因为椭圆关于求量的轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑k 0的情形.是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于 是问题转化为如何将所求量与k 联系起来.一般来说，韦达定理总是充当 这种问题的桥梁’但本题无法直接应用韦达定理’原因在于霜亍不是 关于X i ,X 2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即 我们可以构造关于X i ,X 2的对称关系式.式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于x 的一元二次所以所以0 时，X 1AP PB27k 6$ 9k 2 527k 6” 9k 259k 49k 2 4兀 _ 9k 2 9k 2 5 18k— ---------- —1 ----------------X 29k 2.9k 2 5 9k 2,9k 254k)2180 9k 240,解得 k 21 1 —189 2 95k 21，综上 1 55 9，AP分析2:如果想构造关于所求量的不等式， 189 2 9 5k 2则应该考虑到：判别式往往方程，其求根公式呼之欲出.1,2y kx 3，解之彳得到所求量关于27的函数关系式52别式得岀k 的取值范围简解2：y 得构造所求量与k 的关系式AP 1PB 5'点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等 式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 .本题也可从数 形结合的角度入手，给出又一优美解法•解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明 问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知 着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思 维形式，它是数学求解的核心。