关于范数的理解或定义
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I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
由此可知：p-范数对于性质 3ο也是成立。
（把这个也弄懂了，好高兴！）下面是几种p-范数的特例： 1ο1x =∑=ni ix 1; (此时p=1)2ο2x = 2112)(∑=ni ix ; (此时p=2)3ο∞x= ni ≤≤1max i x ; (此时p=∞)对于这第三种的特例，事实上，设α= ∞x= ni ≤≤1max i x ，有∞→p lim p x =α∞→p lim p ni pi x 11)(∑= = α 即是当∞→p 时，∞→x x p.二、 f(x )除了有p-范数模式以外，还有一种形式，叫椭圆范数，它的定义如下：()Ax xTxA1=其中A 是正定矩阵，当A=I 时，就是一般的2-范数下证椭圆范数也满足范数定义的三个性质：1、因为A 是正定矩阵，所以对于,0)(,0>=≠∀Ax x x f x T显然()Ax xTxA21=>0成立，即满足性质ο1； 2、()()A A x TTx Ax x x A x ααααα===2121)()( ，故性质ο2成立；3、 欲证性质ο3，先证柯西不等式，即：∑∑∑===≤ni in i iin i i ba b a 121221)(证： 因为()∑+=≤ni i i b x a 12()∑∑∑∑====++=++=ni i n i i i n i ini ii i ib x b a x a b x b a x a121122122222该二次多项式是非负的，所以 =∆04)(4121221≤-∑∑∑===ni ini iini i bab a ，即∑∑∑===≤ni ini iini i ba b a 121221)(证毕！ΘA 是正定的，所以与I 是合同的，即存在可逆矩阵P ，s.t P P A T =∴()()()y x A y x Tyx A++=+21()()()y x P P y x TT ++=1()()())()(1y x P y x P T++=()()()Py Px Py Px T++=21令X=Px,Y=Py, 则上式等于()()Y X Y X T++= ()2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=n i i i Y X 下证： ()211221122121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑===n i i n i i n i i i Y X Y X 欲证 ()211221122121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n i i n i i n i i i Y X Y X （左右两边平方后化简得）即证∑∑≤===∑ni ni iiini i Y X Y X 11221（两边平方）所以要证 ∑∑∑===≤ni ini ii ni iYXY X121221)(由柯西不等式可知，上不等式成立；即()21121122121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n i i n i i n i i i Y X Y X 成立 又Θ ()Ax xTxA21=()())()(2121Px Px Px P x TTT==211221)()(∑===ni i TX X X同理 2112)(∑===ni i AY y综上所述，有AA A y x y x +≤+，所以椭圆范数也满足性质ο3。
三、 对于一个已知的范数，借助于一个非奇异矩阵，可诱导出一种新的范数。
设x是x 的某种范数，P 是非奇异矩阵，定义Px x=*下证*x 范数满足范数的三条性质：因为x 是x 的某种范数，则x 满足范数的三条性质；且P 是非奇异矩阵，则Px nR ∈. 1、任意的x ≠0,Px ≠0,且Px nR ∈，所以Px x=*>0成立；2、**)(x Px Px x P xααααα==== ；3、Py Px y x P y x +=+=+)(*，因为Px,Py nR ∈,则有 ***y x Py Px Py Px +=+≤+。
有以上可知*x 范数对于一般范数的三条性质都是成立的。
四、 下证: R n 空间上的所有范数都是等价的。
引理一 R n 空间上的任意范数对所有的x,y ∈R n 有y x y x -≤-证：已知 x =()yy x +-y y x +-≤y x y x -≤- 同理 y x x y -≤- 于是有 y x yx -≤-引理二 R n 空间上的任意向量范数x 是一个连续函数。
证明： 令N=∑=ni ie1，其中e i （i=1,2,……,n)是R n空间的单位坐标向量，对于0>∀ε取 i h <N ε,i=1,2,.....,n, 设x ∈R n，h=i ni i e h ∑=1,由引理一中的不等式可得：≤≤--h xh x i ni i e h ∑=1=∑=ni i i e h 1N N ⨯≤ε=ε于是x 的连续性得证。
定理一 R n 空间上的所有范数都是等价的。
证明： 由等价关系的性质，仅需证明R n空间的任意范数和R n空间的某一确定的范数（如：2-范数）等价即可。
取闭球面S ={}12=∈x R x n，假设x 是任意一种范数，由引理二可知它是一个连续的函数，因为连续函数能在有界闭集上取得最大值和最小值，因此存在M ≥m>0，对所有的x ∈S,有M x m ≤≤在 R n空间上任取向量x ，x ≠0，则规范化后的向量S xx∈2，所以有M x xm ≤≤2利用范数的性质，上式可化为： 22x M x xm ≤≤当x =0时显然也成立。
由此可知R n空间上的所有范数都是等价的。
II 、矩阵的范数一、矩阵范数的定义设A ∈R n n ⨯,x 是R n 空间的任一向量范数，则矩阵A 的范数A 定义为xAx A nR x x sup0∈≠=（1）设S ={}1=∈x R x n，对所有的x ∈R n ,x ≠0,则有S x x ∈，且Ax x xAxAx A Sx R x x R x x nnsup sup sup00∈∈≠∈≠===由Ax 是连续函数，它在有界闭球面S 上达到它的最大值，即它的上确界，故有 Ax Ax Ax A x sx Sx max max sup1=∈∈===（2）（1）、（2）式定义的矩阵范数也称为矩阵的算子范数或极限范数。
它是有某种向量范数诱导出来的，不同的向量范数诱导写出来的矩阵范数也不同，用μA 记由向量范数μx 诱导出来的矩阵范。
矩阵范数具有如下性质：1ο当A ≠0时，0>A ； （非负性） 2οA A αα=，其中α是数； （正齐性）3ο 对任意的A,B ∈Rnn ⨯,有B A B A +≤+； （三角不等式）4οx ∈R n，有x A Ax ≤； （矩阵范数与向量范数的相容性） 5ο对任意的A,B ∈R nn ⨯,有B A AB ≤。
（矩阵范数的相容性）定理二 设A ()n n ij a ⨯=∈R n n ⨯，则有（1） ∑=≤≤∞=nj ij ni a A11max（2） ∑=≤≤=ni ijnj aA 111max（3） ()212max ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A T i i λ（即对称矩阵A A T 的最大特征值的平方根）二、 谱半径相关设A ∈R n n ⨯，A 的n 个特征值n 21λλλ，，，⋯⋯一般为复数，则称()ini A λρmax 1≤≤=是矩阵A 的谱半径，即谱半径()A ρ为特征值的最大模。
n 个特征值代表复平面上的n 个点，以谱半径()A ρ内，如右图：定理五 设A ∈R n n ⨯，A()A ρA ≤证明： 设λ是A 的A 一个特征值，x ≠0是A 的对应λ的特征向量，则 x Ax λ=对两边同时取范数，并利用范数的性质得 x x Ax λλ==由0≠x 和上式可得A x Ax ≤=λ（因为A 是取的上确界） 再λ的任意性可知： ()A ρA ≤。
定理六 设A ∈R n n ⨯，对任意的0>ε，存在A 的一种范数，使得()ερ+≤A A证明： 对任意矩阵A ，它不一定能相似于一个对角阵，但它一定能相似于一个分 块的对角阵J ，J 具有如下形式：J=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s J J J O21 其中J i (s i ≤≤1）称为Jordan 块，而J 称为矩阵A 的Jordan 型，这里Jordan 块J i 具有如下形式：J i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡i iiiλλλλ111OO是一个上二对角矩阵，对角线上元素i λ是A 的特征值，次对角线元素均为1，且 J 的对角戏元素由A 的所有特征值组成。
